Matematyka Minialgorytmy arytmetyki pamieciowej

Minialgorytmy arytmetyki pamięciowej

Dlaczego warto uczyć się arytmetyki pamięciowej?

Dlaczego warto uczyć się arytmetyki pamięciowej, w sytuacji, gdy w nauczaniu matematyki pojawia się nacisk na nauczanie pojęciowe, umie-jętność rozwiązywania problemów, a coraz mniejszą wagę przykłada się to wykonywania suchych, mechanicznych ćwiczeń?

Uczenie się arytmetyki pamięciowej pomaga w „rozumieniu” arytmetyki liczbowej

W minialgorytmach arytmetyki pamięciowej wykorzystuje się przecież w różnych konfiguracjach takie własności operacji arytmetycznych, jak prze-mienność, łączność, rozdzielność.

Po co arytmetyka pamięciowa, gdy można użyć kalkulatora?

Z wyjątkiem bardziej skomplikowanych przypadków, licząc w pamięci wynik uzyskujemy szybciej, niż gdy posługujemy się kalkulatorem. Nawyk użycia kalkulatora przez uczniów prowadzi do takich absurdalnych sytuacji, że sięga on po kalkulator, gdy trzeba wykonać jakieś proste działanie.

Obliczenia pamięciowe do dobry sport intelektualny

Obliczenia pamięciowe poprawiają koncentrację, ćwiczą pamięć, umiejęt-ność zachowania w pamięci kilku faktów jednocześnie, pozwalają rozwinąć maksymalną szybkość percepcji i przetwarzania informacji, rozwijają „czu-cie” liczb, co się przydaje w obliczeniach przybliżonych, buduje zaufanie do zdolności intelektualnych.

Umiejętność wykonywania obliczeń w pamięci przydaje się codziennym życiu

Na przykład, gdy trzeba oszacować wartość koszyka zakupów, sprawdzić czy została dobrze wydana reszta w sklepie itd.

Dodawanie i odejmowanie

Dodawanie

Inaczej niż w przypadku algorytmu dodawania pisemnego, w algorytmie dodawania pamięciowgo obliczenia rozpoczynamy od strony lewej – począw-szy od cyfry najbardziej znaczącej.

Przykład. Obliczyć 67 + 54.

Wersja „pisemna” algorytmu pamięciowego

6 7 5 4 1 1 7 4 1 2 1 W pamięci obliczamy: 67 + 50 = 117, 117 + 4 = 121. Przykład. Obliczyć 676 + 541.

Wersja „pisemna” algorytmu pamięciowego

6 7 6 5 4 1 1 1 7 6 4 0 1 2 1 6 1 1 2 1 7 W pamięci obliczamy: 676 + 500 = 1176 1176 + 40 = 1216 1216 + 1 = 1217. Przykład. Obliczyć 676 + 587.

W tym przypadku łatwiej jest dodać do 676 najpierw 600, a potem od wyniku odjąć różnicę 13 = 600 − 587.

6 7 6 5 8 7 1 2 7 6 - 1 3 1 2 6 3 (dodanie 600) Odejmowanie

W dalszym ciągu przez a3 oznaczamy cyfrę setek liczby a, przez a2 –

jej cyfrę dziesiątek i przez a₁ jej cyfrę jedności. Analogicznie b₃, b2, b1 to

odpowiednio cyfra setek, dziesiątek i jedności liczby b.

Podobnie jak w przypadku pamięciowego algorytmu dodawania, w algo-rytmie odejmowania pamięciowego obliczenia rozpoczynamy od strony lewej – począwszy od cyfry najbardziej znaczącej.

Przykład. Obliczyć 67 − 52. 6 7 - 5 2 1 7 - 2 1 5 W pamięci obliczamy: 67 − 50 = 17, 17 − 2 = 12.

Trudność pojawia się, gdy zachodzi potrzeba zrobienia „pożyczki” od cyfry wyższego rzędu w odjemnej a.

Odjemna a jest potęgą dziesiątki

Pomocnicze (bo na ogół będące częścią innego rachunku) odejmowania tego typu wykonujemy natychmiast stosując następujący algorytm uzupeł-niania: Pierwszą od prawej cyfrę odjemnika uzupełniamy do dziesiątki, po-zostałe — do dziewiątki.

W ten sposób obliczamy: 100 − 87 = 13, 1000 − 873 = 127, 1000 − 73 = 927.

Odjemna a jest liczbą dwucyfrową, odjemnik b jest liczbą jednocyfrową, dd-d

Jeżeli a₁ < b1, to od a odejmujemy 10 i dodajemy uzupełnienie b do 10.

Na przykład

72 − 6 = 72 − 10 + 4 = 66.

Odjemna a i odjemnik b są liczbami dwucyfrowymi, dd-dd

Jeżeli a1 < b1, to od a odejmujemy zaokrąglenie b do wielokrotności 10

i dodajemy uzupełnienie b do 10. Na przykład

Odjemna a jest liczbą trzycyfrową, odjemnik b jest liczbą dwucyfrową, ddd-dd

Jeżeli a₂a1 ­ b2b1, to odejmowanie sprowadza się do odjęcia od siebie

liczb dwucyfrowych.

Przykład: obliczyć 752 − 36.

52 − 36 = 52 − 40 + 4 = 12 + 4 = 16, wynik: 716. Załóżmy teraz, że a2a1 < b2b1. Rozpatrzymy dwa przypadki:

1. Przypadek a1 < b1 (wtedy a2¬ b2).

Od a odejmujemy 100 i dodajemy uzupełnienie b do 100. Na przykład: 884 − 87 = 884 − 100 + 13 = 797, 752 − 66 = 752 − 100 + 34 = 686. 2. Przypadek a1 ­ b1 (wtedy a2< b2).

Przykład.

752 − 61 = ? 75 − 6 = 75 − 10 + 4 = 64 640 + 2 − 1 = 641.

Odjemna a i odjemnik b są liczbami trzycyfrowymi, ddd-ddd

Jeżeli a3 = b3, to odejmowanie jest typu dd − dd. Przykład

763 − 748 = 63 − 48 = 63 − 50 + 2 = 15.

Jeżeli a₃ > b3, to odejmowanie jest typu ddd − dd. Przykłady.

754 − 356 = 754 − 400 + 44 = 354 + 44 = 398. 754 − 277 = 754 − 300 + 23 = 454 + 23 = 477.

754 − 171 = ? 75 − 17 = 75 − 20 + 3 = 58, 580 + 4 − 1 = 583.

Mnożenie

Mnożenie liczb dwucyfrowych

Jeżeli a = 10a₂+ a₁, b = 10b₂+ b₁, to

Przykład. Obliczyć 67 · 52. 6 7 · 5 2 3 0 0 0 + 4 7 0 3 4 7 0 + 1 4 3 4 8 4

Mnożenie z użyciem liczby bazowej

Przedstawimy teraz pewien sposób mnożenia liczb postaci

a = B + x, b = B + y,

gdzie B – liczba bazowa – jest równa najczęściej 10, 20, 50, 100. Liczby x, y będziemy nazywać nadwyżkami (lub niedoborami w przypadku, gdy są to liczby ujemne). Wówczas

ab = B(a + y) + xy = B(b + x) + xy,

bo

ab = B2+B(x+y)+xy = B(B +x+y)+xy = B(b+x)+xy = B(a+y)+xy.

Przykład. Obliczyć 12 · 13.

Liczba bazowa B = 10.

2 3

12 · 13

Nadwyżkę (nad liczbą bazową) piszemy nad czynnikiem, niedobór – pod czynnikiem. Liczymy: 12 + 3 = 15, 15 · 10 = 150, 150 + 2 · 3 = 156. Przykład. Obliczyć 97 · 98. Liczba bazowa B = 100. 97 · 98 3 2

Liczymy 97 − 92 = 95, 95 · 100 = 9500, 9500 + 6 = 9506. Przykład. Obliczyć 97 · 105. Liczba bazowa B = 100. 5 97 · 105 3 Liczymy: 97 + 5 = 102, 102 · 100 = 10200, 10200 − 15 = 10185. Przykład. Obliczyć 102 · 103. Liczba bazowa B = 100. 2 3 102 · 103 Liczymy: 102 + 3 = 105, 105 · 100 = 10500, 10500 + 6 = 10506. Przykład. Obliczyć 23 · 24. Liczba bazowa B = 20. 3 4 23 · 24 Liczymy: 23 + 4 = 27, 27 · 20 = 540, 540 + 12 = 552. Przykład. Obliczyć 19 · 18. 19 · 18 1 2 Liczymy: 19 − 2 = 17, 17 · 20 = 340, 340 + 2 = 342. Przykład. Obliczyć 24 · 18. Liczba bazowa B = 20. 4 24 · 18 2

Liczymy: 24 − 2 = 22, 22 · 20 = 440, 440 − 8 = 432. Przykład. Obliczyć 52 · 49. Liczba bazowa B = 50. 2 52 · 49 1 Liczymy: 52 − 1 = 51, 51 · 50 = 2550, 2550 − 2 = 2548. Podnoszenie do kwadratu Liczby dwucyfrowe

Dla dowolnych liczb a i x mamy

(a + x)(a − x) + x2 = a2− x2_{+ x}2 _{= a}2_.

Algorytm: liczbę x wybieramy tak, aby a + x lub a − x było wielokrotnością 10. Wtedy pomnożenie a + x przez a − x jest łatwe, jeżeli a jest liczbą dwucyfrową. Do wyniku dodajemy x2.

Przykład. Obliczyć 172. Bierzemy x = 3. Mamy 20 · 14 + 9 = 289. Przykład. Obliczyć 232_. Bierzemy x = 3. Mamy 20 · 26 + 9 = 529. Przykład. Obliczyć 322. Bierzemy x = 2. Mamy 30 · 34 + 4 = 1024. Przykład. Obliczyć 962. Bierzemy x = 4. Mamy 100 · 92 + 16 = 9216. Przykład. Obliczyć 932. Bierzemy x = 3. Mamy 96 · 90 + 9 = 8649.

Liczby z ostatnią cyfrą 5

Przedstawimy teraz pewien sposób obliczenia a2, gdy liczba a jest postaci

a = 10x + 5. Wtedy mamy

a2= 100x2+ 100x + 25 = 100x(x + 1) + 25.

Algorytm: Liczba x powstaje z a przez odrzucenie końcowej cyfry pięć. Obliczamy x(x + 1), dopisujemy 25.

Przykład. Obliczyć 352_.

3 · 4 = 12, 352 = 1225.

Przykład. Obliczyć 752_.

7 · 8 = 56, 752 = 5625.

Liczby z ostatnią cyfrą 6

Algorytmem podnoszenia do kwadratu liczby kończącej się cyfrą 5 po-służymy się podnosząc do kwadratu liczbę z ostatnią cyfrą 6.

Jeżeli a = 10x + 6, to a2 = (10x + 6)2 = (10x + 5)2+ 2(10x + 5) + 1. Przykład. Oblicz 362. Liczymy: 352= 1225, 35 · 2 + 1 = 71, 1225 + 71 = 1296. Przykład. Oblicz 862. Liczymy: 852= 7225, 85 · 2 + 1 = 171, 7225 + 171 = 7396.

Liczby niewiele różniące się od 50

Niech liczba a będzie postaci a = 50 + x. Wtedy mamy

a2= (50 + x)2 = 2500 + 100x + x2 = 100(25 + x) + x2.

Algorytm: Nadwyżkę x dodajemy do 25, do otrzymanej liczby dopisujemy dwa zera i dodajemy x2.

Przykład. Obliczyć 442.

Tutaj x = −6. Liczymy 25 − 6 = 19, 442 = 1936.

Przykład. Obliczyć 562.

Liczby bliskie 500

Niech liczba a będzie postaci a = 500 + x. Mamy wtedy

a2 = (500 + x)2 = 250000 + 1000x + x2 = 1000(250 + x) + x2 Algorytm: Aby obliczyć a2, nadwyżkę x dodajemy do 250, do otrzymanej liczby dopisujemy trzy zera i dodajemy x2.

Przykład. Oblicz 5122.

Tutaj x = 12. Liczymy 250 + 12 = 262, 5122 _{= 262144.}

Liczby kończące się jedynką

Niech liczba a będzie postaci 10x + 1. Mamy

a2= (10x + 1)2 = 100x2+ 20x + 1 = 100x2+ 10x + 10x + 1.

Liczba x powstaje z a przez odrzucenie końcowej cyfry 1. Obliczamy x2_,

dopisujemy dwa zera, dodajemy 10x + 10x + 1.

Przykład. Oblicz 1112.

Mamy tutaj x = 11. Liczymy

112 = 121, 110 · 2 + 1 = 221, 12100 + 221 = 12321.

Przykład. Oblicz 912_.

Mamy tutaj x = 9. Liczymy

92= 81, 90 · 2 + 1 = 181, 8100 + 181 = 8281.

Aplikacja ArytmPam.jar

Aplikacja ta pomaga uczniowi ćwiczyć sprawność wykonywania w pa-mięci operacji arytmetycznych i jest dostępna pod adresem

Okno aplikacji po jej otwarciu

Po kliknięciu myszą na pozycję menu Opcje otwiera się lista typów ope-racji arytmetycznych.

Można teraz wybrać (przez zaznaczenie myszą) rodzaj obliczeń: 1. dd + dd – dodawanie liczb dwucyfrowych.

2. ddd + ddd – dodawanie liczb trzycyfrowych. 3. dd - dd – odejmowanie liczb dwucyfrowych.

4. ddd - dd – odejmowanie liczb dwucyfrowej od liczby trzycyfrowej. 5. ddd - ddd – odejmowanie liczb trzycyfrowych.

6. dd + dd – mnożenie liczb dwucyfrowych.

Następnie wybieramy liczbę operacji do wykonania (domyślnie 10). Klikamy na przycisk Start. W dwu górnych okienkach pojawiają się dwie liczby. W okienku trzecim wpisujemy wynik (np. dodawania) i wciskamy klawisz Enter. Jeżeli wynik jest poprawny, wyświetlone zostają dwa na-stępne argumenty operacji. Jeżeli wpisaliśmy błędną liczbę, okienko zostaje podświetlone na czerwono i aplikacja czeka na podanie poprawnej odpo-wiedzi. Po wykonaniu wszystkich zadań z serii, wyświetlony zostaje łączny czas wykonywania wszystkich operacji i przeciętny czas wykonywania jednej operacji.

Literatura

1. Michael Shermer, Arthur Benjamin, Matemagia. Tajniki pamięciowej