J e rz y KRAWCZYK
PAN, Instytut M echaniki i Górotworu, Kraków
SYMULACJA NIEUSTALONEGO PRZEPŁYWU
POWIETRZA PRZEZ WENTYLATOR WYWOŁANEGO ZAŁĄCZENIEM I WYŁĄCZENIEM SILNIKA
S treszczen ie. Przedstaw iono w yniki sym ulacji kom puterow ej s ta nów nieustalonych u k ład u bocznica - w en ty lator w trak cie rozruchu wentylatora, omówiono wpływ pom inięcia bądź uw zględnienia ściśliwo
ści powietrza n a c h a ra k te r rozw iązań. U kład bocznica - w entylator przybliżono zlinearyzow anym i nieliniowym i m odelam i m atem atyczny
mi o stałych skupionych, a rozw iązania otrzym ano n a drodze całkowa
n ia numerycznego. Opis uw zględniający bezwładność i ściśliwość po
wietrza pozwolił n a przedstaw ienie zachow ania się układów o jednym lub kilku n iestabilnych p u n k tac h pracy i pokazanie możliwości pow sta
nia cyklu granicznego. O trzym ane rozw iązania potw ierdzają stosow al
ność kryterium stabilności H. Bystronia.
A SIMULATION O F UNSTEADY FLOW THROUGH A FA N CAUSED B Y SWITCHING ON AND O FF THE MOTOR
Sum m ary. R esults of a com puter sim ulation of u n ste a d y s ta te s of a branch - fan system have been presented. The system w as represented by linear and nonlinear m ath em atical m odels including acoustic m ass and capacity. T ra n sie n t sta te s for stable and u n sta b le w orking points and a limit cycle exam ple have been calculated.
SIMULATION D E R NICHTSTATIO NÄREN LUFTSTRÖM UNG D U R C H EINENVENTILATOR, D IE D U R C H E IN - U N D A U S -
-SCHALTUNG D E S MOTORS H ERV O R G ERU FEN WIRD
Z u sa m m en fa ssu n g . E s w u rd en E rg ä b n isse der K om putersim ulation d e r n ic h ts ta tio n ä re n Z u stän d e des System s Strecke - V entilator vorgestellt. In lin earen un d n ich tlin earen System s wurden M asse u n d akustisch e K ap azität berüchsichting. Es w urden der Zeitverlauf fü r stabile u nd n ich tstab ile A rb eitspunkte dargestellt, wie auch ein Beispiel des Grenzzyklus.
142 Jerzy Krawczyk
WPROWADZENIE
W kopalnianej sieci wentylacyjnej w większości przypadków do opisu prze
pływu w bocznicach w ystarczą jednow ym iarow e modele m atem atyczne lub num eryczne [7], [10]. To jednowym iarowe przybliżenie ułatw ia rozwiązanie u k ładu rów nań dla całej sieci. Je d n a k n aw et w tedy najczęściej m am y możli
wość otrzym ania jedynie rozw iązania num erycznego, konieczne je s t opraco
w anie złożonego program u, a wyniki są rezu ltatem długotrw ałych obliczeń.
Dlatego od daw na stosowano różne opisy, począwszy od najbardziej złożonego m odelu o stałych rozłożonych, po coraz bardziej uproszczone modele o stałych skupionych. Isto tn ą sp raw ą je s t określenie z ak resu stosowalności poszczegól
nych modeli, dla zlinearyzowanych wygodne je s t stosow anie m etod częstot
liwościowych [6], lecz jeśli chcemy uw zględniać nieliniowości, to często konie
czne je s t porównywanie rozw iązań dla k onkretnych przypadków , by stwier
dzić, ja k dalece m ożna uprościć model m atem atyczny, by kosztem m inim alne
go n ak ład u obliczeń w ystarczająco dokładnie opisywać interesujące nas zjawi
ska.
Pewien pogląd n a możliwości poszczególnych modeli m ożna sobie wyrobić badając modele dla pojedynczej bocznicy. Istn ieją m etody doboru param etrów bocznicy zastępczej, ta k by w pewnym stopniu reprezentow ała niektóre włas
ności dynam iczne i statyczne sieci [3]. W te n sposób badanie u k ład u bocznica- w entylator może być pożyteczne przykładowo przy ocenie stabilności wentyla
to ra w sieci kopalnianej [3]. Model o podobnym stopniu złożoności dla jedno- oczkowej sieci stosowano w pracy [4].
N ajprostszym z dynam icznych modeli je s t opis uw zględniający bezwład
ność przepływającego pow ietrza w formie tzw. m asy akustycznej bocznicy [5]:
p ^ = A p ( Q ) - R | Q | Q (1 )
gdzie:
Q - w ydatek masowy, Ap(Q) - depresja w entylatora, P = ^ - m asa akustyczna,
r
R = \L Ao - opór bocznicy, L - długość bocznicy, SpF*
F - pole przekroju, A - obwód przekroju, p - gęstość powietrza, ^.-w spółczynnik oporu.
W programie komputerowym równanie (1) rozwiązywane jest w sposób przy
bliżony metodą Rungego-Kutty 4 - lub 2-punktow ą [2]. Poprawność rozwiązań oceniano porównując wyniki obliczeń ze znanymi [1] rozwiązaniami analityczny
m i dla włączania i wyłączania w entylatora o charakterystyce p = const.
W pracy [3] wyprowadzono uk ład rów nań, w którym sieć w entylacyjną zastąpiono układem o stałych skupionych - bezwładność przepływającego p ow ietrza reprezentuje tu m asa a k ustyczna P, a ściśliwość pojemność ak u sty czna c ^ . Układ te n przedstaw iono schem atycznie n a ry su n k u 1. Przez Qi oznaczono wydatek masowy n a wlocie, p x - ciśnienie n a wlocie, R - opór skupiony równoważny oporowi bocznicy, Cak — pojemność akustyczna równo
w a ż n a pojemności bocznicy, p* - ciśnienie w kom orze reprezentującej poje
m ność, p - masa akustyczna, p 2 - ciśnienie n a wlocie w en ty lato ra ssącego, Q2 - w y d atek na wylocie, Ap(Q2) - depresja w en ty latora ssącego.
Q i
o pt
Cak
R P*= R I Q i l Q i
A p ( Q 2)
0.7
u P2
Qz
^ a k R
P' GU
Pz Pi
Rys. 1. Układ bocznica - wentylator - model o stałych skupionych Fig. 1. L a g -b y - fan system. Model with concentrated constants
144 Jerzy Krawczyk
Przy pom inięciu depresji n a tu ra ln e j i założeniu, że w sta n a c h nieustalo
nych powietrze podlega przem ianie adiabatycznej, przepływ opisują równa
nia:
W pracy [3] zlinearyzowano powyższy opis, co pozwoliło n a zastosowanie k ry terium H urw itza do bad an ia stabilności w otoczeniu p u n k tu pracy i poda
no dwa k ry te ria stabilności - statyczne i dynam iczne. Gdy je s t spełnione k ry terium statyczne, to układ m a p u n k t równowagi dla
Qstat; Pstat
i Jest ono równoważne w arunkow i, by nachylenie charakterystyki w entylatora było mniejsze niż nachylenie krzywej wyrażającej spadek naporu n a oporze bocznicy.Drugie z kryteriów , nazw ane dynamicznym , przy spełnieniu pierwszego zapew nia d odatnią w artość współczynnika tłu m ien ia d rgań okresowych c,.
Znajomość rozw iązań analitycznych dla m ałych odchyleń od sta n u równo
wagi posłużyła do wstępnej oceny poprawności rozw iązań num erycznych nie
liniowego układu. Stwierdzono duże podobieństwo przebiegów startujących z Q0 nieznacznie różniącego się od Qstat - w ydatku w punkcie pracy.
W niestabilnych pun ktach pracy rozw iązania rów nań liniowych zmierzają do nieskończoności. Jeśli uwzględnim y nieliniowość oporu i charakterystyki w entylatora, to w sposób bardziej wiarygodny możemy przeprowadzić symu
lację niestabilnego (wg k ry teriu m H. Bystronia) u k ład u bocznica - w entyla
tor.
N iestabilne p u n k ty pracy w ystępują w niektórych układ ach bocznica - w entylator osiowy. N a ry su n k u 2 przedstaw iono charak tery sty k i układu, który m a trz y p u nk ty pracy, środkowy je s t niestabilny statycznie. Zależnie od w artości param etrów układu poszczególne p u n k ty pracy m ogą być niestabilne dynamicznie. W dalszej części arty k u łu rozpatrzono przypadki dynamicznej niestabilności wszystkich lub niektórych z punktów pracy.
P = A p(Q 2)
~P*C ak^ r = [ Q 2 - Q i (P*)]
(2)
(3)
Cak = ~2 > c - prędkość dźwięku. (4)
a
Rys. 2. Układ bocznica - wentylator o trzech punktach pracy, punkt II niestabilny statycznie Fig. 2. Lag-by - fan system w ith three working points
2. WYNIKI SYMULACJI KOM PUTEROW EJ
Przeprowadzono obliczenia dla trzech modeli m atem atycznych:
— model z m asą akustyczną (1) — rozw iązanie analityczne dla załączania w entylatora o płaskiej ch arakterystyce Ap = const i num eryczne dla dowol
nych wartości w ydatku dla t = 0 i ch arak tery sty k i w en ty lato ra opisanej wielomianem;
— liniowy model uw zględniający m asę i pojemność aku sty czn ą (wg H. Bystro- nia) — otrzymujemy rozw iązania num eryczne i analityczne;
— nieliniowa odm iana poprzedniego m odelu (2) — tu ta j m am y do dyspozycji jedynie rozw iązania num eryczne lub m etodą graficzną [9],
146 Jerzy Krawczyk
Istniejąca w ersja program u pozwala zadaw ać dowolne w artości wydatków ustalonego przepływu w chwili t = 0; zakłada, że w chwili początkowej boczni
ca zostaje połączona jednym końcem z atm osferą, a drugim z pracującym w entylatorem o zadanej charakterystyce. Założono, że depresja w entylatora w sta n a c h nieustalonych w sposób w zajem nie jednoznaczny je s t powiązana z w ydatkiem płynącym przez w entylator i że zależność t a je s t zgodna ze staty
czną c h a rak tery sty k ą w entylatora.
Modele z m asą i pojemnością ak ustyczną w pewnych w a ru n k ach pozwalają n a przedstaw ienie oscylacji w sieci. N a ry su n k u 3 przedstaw iono porównanie przebiegu załączania w entylatora opisanych m odelam i nieściśliwym (1) i ści
śliwym (2). W praw ym dolnym rogu ry su n k u zamieszczono przebieg zmian w ydatków w czasie, ponad nim w ykres n a płaszczyźnie fazowej, w lewym dolnym rogu charak tery sty k ę bocznicy i w entylatora, a ponad n ią informację o w artości w ydatków w p un k tach pracy i ich stabilności statycznej i dynami
cznej.
Nieliniowy model daje możliwość obserwacji przebiegów w przypadku nie
stabilnych punktów pracy. N a rys. 4 widzimy, ja k rozw iązanie przez chwilę pozostaje w niestabilnym statycznie punkcie pracy, a n astęp n ie zm ierza do
P U N K T Y P R O C Y « . d y n B . a t a t 0 = 3 3 . 1 8 7 0 4 k g / » T T C h a r a k t a r y a t y k » s t a t y c z n a c l i n l a n l a t P i l
0 . 0
w y d a t a k t k g / s 1
■R - O o o r b o c z n i c y A p S o l a t r z a n i a w a n t .
d 0 1 / d t = f ( Q I >
d Q 2 / d t = f < Q 2 >
M V D A T E K C k g / a 3
CZAS C a l
Rys. 3. Załączenie wentylatora - wpływ pojemności akustycznej. Qi, Qi - wydatki dla mo
delu ściśliwego
Fig. 3. Influence of acoustic capacity on switching on and off fans motor
d O l / d t = f < Q l >
d Q 2 / d t = f < Q 2 >
P U N K T Y P P A C Y ■ .dyn s . a t a t 0 = 1 2 . 2 9 3 7 4 k * 3 / u T T Q = 2 4 . 9 4 0 1 0 k n / ł T F Q = 3 0 . 0 0 7 0 7 k g / i T T C h i r i k t i r y i t y k i a t a t y c z n a c t a n l a n Ła C P a J
0.00
w y d a t a k lk g / i l K - O n ó r b o c z n i c y A p - S o l f t r z a n l a w a n t .
30.7 2
WYDATEK C k g / a l
CZAS C a ]
Rys. 4. Porównanie przebiegów dla modeli linearyzowanego i nieliniowego, przy trzech punktach pracy wentylatora
Fig. 4. Comparison of functions for linearized and nonlinear models for three fan working points
jednego ze stabilnych punktów pracy. Przy dwóch niestabilnych dynam icznie p u n k tac h pracy rozwiązanie zm ierza do najniższego, stabilnego p u n k tu pracy.
Po starcie z p u n k tu pracy, jeśli je s t on n iestabilny, rozw iązanie zm ierza do stabilnego dynamicznie p u n k tu pracy (rys. 5).
Je śli układ bocznica-w entylator nie m a stabilnych dynam icznie punktów pracy, to - ja k widać na rys. 6 - obserw ujem y oscylacje charakteryzujące się cyklem granicznym - niezależnie od p u n k tu startow ego rozw iązanie zm ierza do okresowego.
148 Jerzy Krawczyk
d O i / d t r f < Q i ) d02/'dt = f < 02 >
P U N K T Y P R A C Y « . d y n a . a t a t Q = 2 7 . 0 2 3 3 9 k g / a T T 0 = 4 2 . 3 9 3 2 3 k g / a F F 0 = 6 4 . 2 3 1 3 7 k g / a F T C h a r a k t a r y a t y k a a t a t y c z n a e l a n i a n i a IPal
M V D A T E K [ k g / a 3
u y d a t a k [ k g / a ] R - D o o r b o c z n i c y
¿ p - S o l a t r z a n i a w a n t .
Rys. 5. Dwa niestabilne dynamiczne punkty pracy. Rozwiązanie zmierza do trzeciego, sta
bilnego statycznie i dynamicznie punktu pracy
Fig. 5. Two unotable Dynamie working points. Solution is going to third, static and dynamic stable working point
P U N K T Y P R A C Y a .d y n a . a t a t 0 = 4 1 . 0 4 0 7 2 k g / a F T 0 = 6 7 . 0 2 6 9 1 k g / a F F 0 = 9 3 . 3 0 4 4 7 k g / a F T C h a r a k t a r y a t y k a a t a t y c z n a c l a n l a n l a C PaJ
d O l / d t s f < 0 1 >
d Q 2 / d t = f <Q2 >
W Y D A T E K [ k g / a 1
- 3 . 9 w y d a t a k C k g / a J H - O n o r b o c z n i c y A p “ S o l a t r z a n l a w a n t .
Rys. 6. Układ bocznica - wentylator o trzech, niestabilnych dynamicznie punktach pracy.
Rozwiązanie zmierza do cyklu granicznego
Fig. 6. Lay-by-fan system for three unotable dynamic working points. Solution is going to limiting cycle
LITERATURA
[1] W acławik J., Białas S., B ranny M., Roszczynialski W.: Algorytm y i program y wentylacji i klim atyzacji kopalń. Wyd. “Ś ląsk”, Katowice 1983.
[2] N um erical Recipes. The A rt if Scientific Com puting. Cam bridge U niver
sity Press, 1986.
[3] Bystroń H .: Analityczna m etoda bad an ia stabilności pracy w entylatorów głównych w kopalnianych sieciach w entylacyjnych traktow anych jako układy o stałych skupionych. Prace GIG, K om unikat n r 576, Katowice
1973, s. 54.
[4] Longson I., Trutw in W., Tuck M.A. an d B undred S.I.: Booster fans - Prediction and m easurem ent of th e v en tilation system response to stop
ping and re -s ta rtin g , with consideration of th e im pact on u nderground envirom ental safety. Fifth M ine Vent. Congr., Technical P apers, The Mine Vent. Society of South Africa, Jo h a n n esb u rg 1992.
[5] T rutw in W.: On Transients of Airflow in M ine W orkings. Science and Technology, 6 (1988), pp. 247-254.
[6] Tracz J.: Zastosowanie metod częstotliwościowych do b a d a n ia własności dynamicznych kopalnianej sieci wentylacyjnej. P ra ca doktorska. IMG PAN, 1990.
[7] Tracz J.: On th e Applicability of M athem atical Models of Flow of A ir and Gases due to an O utburst in th e Mine V entilation N etw ork. Archiwum Górnictwa, vol. 32, pp. 3-10, (1987).
[8] T rutw in W.: Use of Digital C om puters for th e Study of N on -S tead y S tates and Autom atic Control Problem s in M ine V entilation N etworks.
Int. J. Rock. Mech. Min. Sci., vol. 9, pp. 289-293.
[9] Kozakiewicz W.: O pompaże w kom presorach. DAN SSSR, t. 115, (4), 1957. pp. 677-680.
[10] Litwiniszyn J.: A problem of dynam ics of flow in conduit netw orcs, Bull.
Acad. Polon. Sci. Lett. Ser. M ath. 1,(3), pp. 325-339 (1951).
[11] Litw iniszyn J.: Flow Stability in Pipe N etw orks, Bull. Acad. Polon. Sci.
Lett. Ser. Techn. 7,(10), pp. 599-608 (1959).
A b stra ct
The paper presen ts results of th e com puter sim ulation of u nsteady b ran c h -fa n system states while s ta rtin g th e fan, considering th e influence of a ir compressibility. The b ran ch -fan system w as rep resen ted by lin ear and
150 Jerzy Krawczyk
n o n -lin e ar m athem atical models w ith convergent constants, and solutions w ere presen ted in th e form of num eric integration. The description of the phenom enon of a ir com pressibility and a ir in e rtia enabled th e p resen tatio n of th e operating of system s w ith one or more un stead y work te s t-s ta n d s and the possibility of th e lim it cycle emergence. The re su lts confirm th e adequacy of applying th e stab ility criterion proposed by H. Bystron.
F igure 3 illu strate s th e com parison betw een th e course of sw itching on the fan by m eans of the described incom pressible mode (1) and compressible model (2). The changes of expenses in tim e are illu stra te d in th e rig h t bottom com er of illu stratio n 3, and th e phase diagram is shown ju s t above it, the branch and fan ch aracteristics is placed on th e left bottom corner of the illustration , and ju s t above th ere is inform ation on th e values of expenses at th e positions and th e ir static and dynam ic stability.
T h anks to th e n o n -lin e a r model th e courses of u n stead y w ork te st-sta n d s m ay be observed. Illu stratio n 4 presen ts th e solution a t th e statically unstable w ork te s t-s ta n d and next it is approaching one of th e steady stan d s. A fter two dynam ically unsteady stan d s th e solution approaches th e lowest steady work sta n d (see illu stratio n 5).
