Wielokryterialne problemy rozdziału zasobów ciągłych w kompleksie operacji niezależnych

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚL4SKIEJ

SariasAUTOMATYKA z. 94 Nr k o l . 970

Jan W ęglarz

P o lite c h n ik a P oznańska

WIELOKRYTERIALNE PROBLEMY ROZDZIAŁU ZASOBÓW CIĄGŁYCH W KOMPLEKSIE OPERACJI NIEZALEŻNYCH

S t r e s z c z e n i e . W p ra c y r o z p a t r u j e s i ę problem y r o z d z i a ł u zasobów c ią g ły c h , p o d w ó jn ie o g ra n ic z o n y c h między o p e r a c je n i e z a l e ż n e , o p i­

s a n e n ie lin io w y m i rów naniam i w iążącym i p rę d k o ś ć i c h wykonywania z chwilowymi p r z y d z ia ła m i zasobów . Sform ułow ano problem y o p ty m a li­

z a c j i w e k to ro w e j, w k tó r y c h o p ró cz k r y te r ió w T ( c z a s wykonywania z b io ru o p e r a c j i ) i Ltnax (maksymalne o p ó ź n ie n ie w ykonania o p e r a c j i ) , uw zg lęd n ia s i ę poziomy chw ilow ej d o s tę p n o ś c i i sum arycznego z u ż y c ia zasobów .

1. Wstęp

P ro b lem aty k a s te r o w a n ia ro z d z ia łe m zasobów c ią g ły c h pomiędzy o p e r a c je 0 m odelach w p o s t a c i rów nań ró żn ic zk o w y ch : p rę d k o ś ć wykonywania - i l o ś c i zasobów p r z y d z ie lo n y c h w d a n e j c h w ili,u p ra w ia n a j e s t ju ż od ponad dwu­

d z ie s tu l a t ( p o r . [4] ) . Z a in te re s o w a n ie t ą p ro b le m a ty k ą wynika z dwóch fak tó w . Po p ie r w s z e , w w ie lu s y tu a c ja c h p ra k ty c z n y c h mamy do c z y n ie n ia z zasobam i p o d z ie ln y m i w sp o só b c ią g ły ( n p . moc, in te n sy w n o ść in w e s to ­ w ania, d z ie n n a l i c z b a ro b o o z o g o d z in ) lu b ta k im i, k tó r e z n a tu ry s ą p o - d z ie ln e w sp o só b d y sk re tn y ., a l e z uwagi na d u żą l i c z b ę możliwych p r z y ­ d ziałów mogą b y ć w p r z y b l i ż e n i u tra k to w a n e ja k o c i ą g ł e ( n p . s tr o n y w spólnej p a m ię c i o p e r a c y jn e j w w ie lo p ro c e so ro w y c h sy ste m ach kom putero­

wych). Po d r u g i e , wspomniane modele o p e r a c j i p o z w a la ją na zb ad an ie podstawowych w ła s n o ś c i s te ro w a ń optym alnych w z a le ż n o ś c i od k ry te riu m

o p ty m ałn o śo i, praw ych s t r o n m o d eli o p e r a c j i , o g ra n ic z e ń zasobowych

1 k o le jn o ś c io w y c h , co j e s t n a s tę p n ie w ykorzystyw ane do ja k n a je fe k ty w n ie j­

szego w y zn aczan ia t y c h s te ro w a ń , w s z c z e g ó ln o ś c i w sposób a n a lity c z n y . Ważna j e s t ró w n ież p ra k ty c z n a ła tw o ś ć budowy rozw ażanych modeli^ np.

wtedy, gdy p rę d k o ś ć wykonywania o p e r a c j i z a le ż y od n a tę ż e n ia p rą d u e le k try c z n e g o ( w s z e lk ie maszyny z s i l n i k a m i e le k tr y c z n y m i, wanny e l e k t r o ­ lity c z n a ) lu b w sy ste m a c h kom puterow yoh, gdy z a le ż y cna od p rz y z n a n e j lic z b y s t r o n p a m ię c i o p e r a c y jn a j.

J e ś l i c h o d z i o sfo rm u ło w an ie d e te r m in is ty c z n e i zasoby g łów nie c i ą g ł e , to podstawowe w y n ik i z o s t a ł y podsumowane w • N ie k tó re u o g ó ln ie n ia z a w ie ra ją p ra o e [ 6 ] , [_?] , [_8] . P ro b le n y , w k tó r y c h o p e ra c je o pow yż- łzych m odelach o p ró cz zasobów c ią g ły c h ż ą d a ją do swego wykonania ta k ż e

zasobów d y s k re tn y c h ,ro z p a try w a n o s z e r z e j w r o z d z i a l e 7 p ra o y , pod­

sumowując tam s z e re g w c z e ś n ie js z y c h wyników. Zdeoydowana w ię k sz o ść wy­

m ienionych wyników d o ty c z y ła m in im a liz a c ji c z a su wykonania kom pleksu o p e r a c ji} je d y n ie w [7 » 8 3 ro z p a try w a n o ta k ż e k ry te riu m c ałk o w e. W ¡[133 sform ułow ano i ro z w iąza n o pro b lem sz e re g o w a n ia o p e r a c j i p rz e d lin ia m i k ry ty c z n y m i, m ający sz o z e g ó ln e z n a c z e n ie w wypadku o p e r a c j i p ro d u k c y j­

n y ch .

Wspomnijmy ta k ż e l i c z n e p r a c e pośw ięcone sfo rm u ło w an iu p ro b a b ilisty c z ­ nemu, n p . [ 2 , 3 ] .

W szystkie powyższe p r a c e b y ły p o św ięcone problemom je d n o k ry te ria ln y n . W .o g ó ln o ści je d n a k c h o d z i o op ty m aln y , w określonym s e n s i e , kompromis między wieloma k r y t e r i a m i , 00 p ro w a d z i do w i e l o k r y t a r i a l n e g o podejmowa­

n ia d e c y z j i . Dla d y s k r e tn y c h żąd ań zasobow ych problem y w ie lo k r y te r ia ln e b y ły rozw ażane w [ 9 , 1 0 ] » n a to m ia s t d l a ż ą d a ń c ią g ły c h i zasobów odna­

w i a l n y c h ^ . p o d le g a ją c y c h t y l k o o g r a n ic z e n iu chw ilow ej dostępnośoj)w [l4].

W t e j p racy sform ułujem y problem y o p ty m a liz a c ji w ek to ro w ej d l a zasobów c i ą g ły c h , podw ójnie o g ra n ic z o n y c h , t o znaczy t a k i c h , d la k tó r y c h ogra­

n ic z o n e s ą zarówno ohwilowa d o s tę p n o ś ć , j a k i sum aryczne z u ż y c ie . Je st t o k a te g o r ia zasobów n a j o g ó l n i e j s z a z p u n k tu w id z e n ia o g ra n ic z e ń zaso­

bowych, a ro z p a try w a n ie obu o g r a n ic z e ń (c h w ilo w e j d o s tę p n o ś a i i-su m a­

ry czn eg o z u ż y c ia ) j e s t s z c z e g ó ln ie i s t o t n a w p ro b lem ach s y n te z y , gdy c h o d z i o w y z n a c z e n ie .ilo ś c i zasobów z a p e w n ia jąc y c h w ykonanie danego kom pleksu o p e r a c j i p rz y z a d a n e j j a k o ś c i . W s z c z e g ó ln o ś c i wym ienione na p o c z ą tk u p rz y k ła d y zasobów c ią g ły c h s ą typowymi zasobam i p odw ójnie

o g ra n ic z o n y m i, d l a k tó r y c h w o g ó ln o ś c i s ą o g ra n ic z o n e o d p ow iednio;

e n e r g i a , łą c z n e n a k ła d y , łą c z n a l i c z b a ro b o c z o g o d z in .

W r o z d z i a l e 2 podamy m atem atyczne sfo rm u ło w an ie p ro b le m u . Rozdziały 3 i 4 z a w ie ra ją sfo rm u ło w an ie problem ów o p ty m a liz a c ji w ek to ro w ej,o d p o ­ w ie d n io d la c z a su wykonania kom pleksu o p e r a o j i i maksymalnego o późnie­

n i a o p e r a o j i , ja k o składow ych w e k to ra k r y te r ió w obok poziomów chwilowej d o s tę p n o ś c i i sum aryoznego z u ż y c ia zasobów . Uwagi końcowe s ta n o w ią t r e ś ć r o z d z i a ł u 3»

2 . Sform ułow anie problem u

R ozpatrzm y n n ie z a le ż n y c h o p e r a c j i o m odelach

9 i . [ i i 2 ( t ) , . . . , n i s ( t ) ] , ^ ( 0 5 = 0 , s i f C j . ) * ^ (1) g d z ie : x ^ ( t ) j e s t stanem o p e r a o j i i w c h w ili t ,

U ik ( t) j e s t i l o ś c i ą zasobu k p rz y d z ie lo n e g o do o p e r a o j i i w c h w ili t , k= 1, 2 , . . . , s ; 8 j e s t l i c z b ą zasobów ,

j e s t f u n k c ją c i ą g ł ą , n ie m a łe ją a ą ,

352

, , - ..

.

f i e l o k r y t e r i a l n e problem y r o z d z i a ł u . . 553

j e s t ( n i e znanym z g ó ry ) momentem z a k o ń c z en ia wykonywania o p e r a c j i i ,

j e s t stan em końcowym o p e r a c j i i .

W artość x ^ ( t ) j e s t o b iek ty w n ą m ia rą p ra o y z w ią z a n ej z r e a l i z a c j ą ope­

r a c j i i do c h w i l i t . l u b , w wypadku o p e r a c j i p ro d u k c y jn y c h , i l o ś c i ą p ro d u k tu p o w s ta ją o ą w wyniku r e a l i z a c j i t e j o p e r a c j i do c h w ili t . Odpowiednio j e s t o b iek ty w n ą m ia rą p ra o y z w ią z a n ej z r e a l i z a c j ą ope­

r a c j i i lu b żąd an ą i l o ś c i ą p ro d u k tu p o w s ta ją c ą w wyniku r e a l i z a c j i t e j o p e r a c j i .

Zasoby s ą p o d w ó jn ie o g ra n ic z o n e , t o znaczy p o d le g a ją og ran iczo n io m Chwilowym ( d l a każdego t )

J T U i t ( t ) ć k= 1, 2 , . . . , s (2 )

i=1 oraz całkowym

n . Ci

Gik ( t;) d t ć Mjj, 3ł= 1 , 2 , . . . ,b (5 )

g d zie NjjjlSi,. o z n a c z a ją odpow iednio poziom chw ilow ej d o s tę p n o ś c i i c a ł ­ kow itego z u ż y c ia zasobu k .

J e ś l i poziom y k = 1 , 2 , . . . , s , s ą zn a n e , t o pro b lem p o le g a na w yznaczaniu odcinkam i c ią g ły c h f u n k c j i w ektorow ych u i ( t ) = [ u p ^ t ) , u 12 ( t ) , . » * , U is( t } j , Ujj^( t ) ^ O i , 2 , . , . ,n ; k u l , 2 , . . . , s , spe ł n i a j ący eh.

( 1 ) , ( 2 ) i ( 3 ) o ra z e w e n tu a ln ie dodatkow e w a ru n k i, n p . d i t 1= 1 ,2 , . . . , n , g d z ie d^ s ą z a d a n e , j e ś l i t a k i e fu n k c je i s t n i e j ą . Z b ió r ty c h f u n k c j i d la w s z y s tk ic h i nazywać będziem y stero w an iem dopuszczalnym . Hożns ró w n ież p o szu k iw a ć s te ro w a n ia opty m aln eg o , t o znaczy ta k ie g o s t e ­ row ania d o p u s z c z a ln e g o , k tó r e e k s tr e m a liz u je p r z y j ę t e k ry te riu m oceny wykonania kom pleksu o p e r a c j i Q. O g ó ln ie jsz y pro b lem otrzymujemy je d n a k , j g ś l i p rzy jm iem y , że poziom y NjjjMję n ie s ą zn a n e , a le s ą tra k to w a n e ( łą o z n ie z k ry te riu m 'Q ) ja k o k r y t e r i a w p ro b le m ie o p ty m a liz a c ji w ie lo - k r y t e r i e l n e j . W dwóch k o le jn y c h r o z d z i a ł a c h chcemy sform ułow ać p r o b l e - ny o p ty m a liz a c ji w ektorow ej z k r y t e r i a m i k = 1 , 2 , . . . , s o ra z

<ł = S = max-[ C i} lu b Q = = m |x { C i - d t } .

Tak ogólny p ro b lem J e s t tru d n y do r o z w ią z a n ia , gdyż b ez dodatkowych z a ło ż e ń n ie można udowodnić p r a k ty c z n ie żadnych w ła s n o ś c i s te ro w a ń optym alnych d la u s ta lo n y c h poziomów k = 1 , 2 , , . . , s . D la te g o w d a l ­ szym c ią g u p rzy jm ie m y , żo zasoby u c z e s tn ic z ą w wykonywaniu p o s z c z e g ó l­

nych o p e r a c j i w znan y ch p r o p o r c ja c h , t o znaczy

Uj Vr{ t ) = O-S V ( t ) . 1= 1,2 , < < . , U{ k = 1 , 2 , . » . j S ( ’ł ) gdzie K j ( t ) c [ o sl]] t C aą dana, Ł=1c2 , . . . , u | k s ! , 2 s . . . . s .

354 J.W ę g la rz

Założeni© t o j e s t c z ę s to d o b rze u z a sa d n io n e w p r a k ty c e , gdy p r o p o r c je między zasobam i w y n ik a ją ze względów te c h n o lo g ic z n y c h lu b n p . ze związku»

między s i ł ą ro b o c z ą a n ak ład am i finansow ym i ( p ł a c e , k o s z t s ta n o w is k p ra ­ cy i t d . ) . Hawet je d n a k w te d y , gdy t a k n i e j e s t , można ro z w ią z a ć odpo­

w ie d n i problem d l a ró ż n y c h w a r to ś c i o^y- i w ybrać n a j b a r d z i e j s a t y s f a k ­ c jo n u ją c e ro z w ią z a n ie .

B io rą c pod uwagę ( 4 ) , możemy z a p is a ć ( 1 ) w p o s t a c i

S E i i l ł - ^ [ u ^ t ) ] , X i(0 ) = O, Ł f C i ) = Wi (5 )

dt

g d z ie ^ [ U i ( t ) 3 = t p i [ o i 1 U i ( t ) , C i 2 U i ( t ) , . . . t oi a ui ( t ) J , i = 1 , 2 , . . . , u , n a to m ia s t ( 2 ) i ( 3 ) w p o s t a c i

a /

° l k u i ( t ) £ Hjj. d la każdego t , k = i , 2 , . . . , s (6 )

i*1

n

Wystarczy zatem poszukiwać f o n k o jis k a la rn y o h U i(t) zamiast fu n k c ji wektorowych u ^ t ) , i = 1 , 2 , . . . , n .

3 . Problem y o p ty m a liz a c ji w ek to ro w ej z k r y te r iu m T

Łaoznijmy od przypomnienia wyniku uzyskanego d la ustalonych pozio­

mów Bjj, Jljj, k = 1 ,2 ,...',s (p o r. C

) . W tym celu oznaczmy przez R^

z b ió r w szystkich punktów u * (a i,U

» . . . , n n ) ,

[ 0 ,1 ] , i = 1 , 2 , . . . , n , w a-wyniarowoj rzeczy w istej p r z e s trz e n i Euklidesow ej, sp e łn ia ją c y c h nierówność

y ° i k ° i ^ Bk ( 8)

i»1

o rss prze* 7k z b ió r w szystkich punktów v * (▼

»T

»**»»T0 ) zdefinicraa-

nyah następująco ”

w Ć Tk<1=,>£ £ Bdzie Ti * i l ( r i ) t i » 1 , 2 , . . . , n (9) przy ezym są funkcjami z ( 5 ) , eo oznaoza, to (9) j e s t p rz e k sz ta łc e ­ niem wzajemnie jednoznacznym.

Łatwo zauważyć, t e R* i V* s ą zbioram i dopuszczalnych, unormowanych przydziałów zaaobu k z pominięciem ( 7 )

odpowiednio

okładzie

J u±( t ) d t 1 ^ , k * 1 , 2 , , (7 )

W le lo k r y te r ia l n e p roblem ? r o z d z i a ł u . . . 355

rz ę d n y c h r i v . B io rą c pod uwagę c a ły z b ió r o g ra n ic z e ń ( 6 ) , otrzymujemy

" - s s

odpow iednie z b io ry R = O Rj, o ra z V = O Vv .

k=1 *=1

Wynik, k tó r y chcemy p rz y p o m n ie ć , j e s t n a s tę p u ją c y .

T w ie rd z e n ie 1 _ _ ____ —

Dla u s ta lo n y c h N^, Mj., k = 1 , 2 , . . . , s o ra z d la s p e łn io n y c h o g ra n ic z e ń ( 7 ) , m inim alny c z a s w ykonania kom pleksu o p e r a c j i n ie z a le ż n y c h , ja k o fu n k c ja stanów końcowych o p e r a c j i w = (w-| ,w2 , . . . >wn ), może b yć zawsze wyrażony wzorem

Tffli n (w) = T* (w) = m i n ^ T > 0 : w /T £ conv V j g d z ie conv V j e s t pow łoką w ypukłą z b io r u 7 .

K o rz y s ta ją c z te g o wyniku, można w ykazać p o n iż s z e t w ie r d z e n ia , u o g ó ln ia ­ ją c odpow iednie tw ie r d z e n ia podane w [ 1 1 ] d la je d n eg o ro d z a ju zaso b u . T w ierd zen ie 2

Dla u s ta lo n y c h poziomów N^, k = 1 , 2 , . . . , s , i d la w k lę s ły c h f i , i = 1 , 2 , . . . , n , s te r o w a n ie optym alne i s t n i e j e wtedy i t y l k o w ted y , gdy

n

lim Tk 2 ° i k / Tk^ ' Mk* J f e 1 » 2 , . . . fs (10}

Tt- ~ i=1

g d z ie f j" ' j e s t f u n k c ją odw rotną do f ^ , p rz y czym n ie ró w n o ść j e s t o s tr a d la ś c i ś l e w k lę s ły c h f ^ , i = 1 , 2 , . . . , n .

T w ie rd z e n ie 3

J e ś l i poziomy N^, Mk , k = 1 , 2 , . . . , s , s ą u s t a l o n e , f ^ s ą w k lę s łe , 1 = 1 , 2 , . , . , . . , n , o ra z n ie ró w n o ść (1 0 ) j e s t s p e łn io n a ( zyd*dla f ^ ś c i ś l e w k lę s ły c h ) , to zawsze i s t n i e j e s te ro w a n ie o p ty m a ln e, w którym w s z y s tk ie o p e ra c je s ą wykonywane w p e ł n i ró w n o le g łe , w y k o rz y s tu ją c s t a ł e i l o ś c i zasobów

= c i v ( w ^/ T ) , i= 1 , 2 , . . . ,n ; k = 1 , 2 , . . . , s (1 1 ) I* » BgX £ *£ }

g d z ie Tj,. * j e s t jedynym d o d atn im p ie r w ia s tk ie m rów nania

n n

Tk X ° l k X i1 (w i/T k ) » Uk , j e ś l i X Oikf I 1 ( » i / Tk > ś Hk (1 2 )

1=1 i=1

lub rów nania

a \

£^1 ( T j / Tk ) » Nk ,

w

356. J .W ę g la rz

Zauważmy, że w y zn aczen ie s te ro w a n ia optym alnego wymaga w tym wypadku ro z w ią z a n ia co n a jw y żej 2 s rów nań ty p u (1 2 ) lu b (1 5) , i że rów nania te mogą by ć n ie k ie d y ro z w iąza n e w sp o só b a n a l i t y c z n y , w s z c z e g ó ln o ś c i d la

1 / b i r -i

£^ = s j. ui , ^*i^ \ ^ « 2 , 1 , 4j , 1 = 1 ,2 ,. . . , n .

Dowody tw ie r d z e ń 2 i 5 o p ara j ą s i ę na f a k c i e , że d l a w k lę s ły c h f i t 1 = 1 , 2 , . . . , n , z b i ó r V j e s t w ypukły, c z y l i V = conv 7 , a s t ą d p u n k t p rz e ­ c i ę c i a p r o s t e j v = w / T z b rzeg iem t e g o z b io r u j e s t zawsze d o p u sz c z a l­

nym, '.unormowanym p rz y d z ia łe m zasobów ( w u k ła d z ie w sp ó łrz ę d n y c h v ) . 0 o g ó ln o ś c i n i e s t e t y t a k n i e j e s t , a tym samym n i e możemy w ykazać t a k o g ó ln y ch i a tr a k c y jn y c h o b lic z e n io w o wyników. I s t n i e j e je d n a k k i l k a ważnych podprzypadków , w k tó r y c h można w y k o rz y sta ć znajom ość a p r i o r i p c s t a o i z b io ru oonv 7 . B odaj n a jw a ż n ie js z y z n ic h j e s t p rz y p a d e k fu n k o ji f i , 1 = 1 ,2 ,* .. , n , w ypukłych i t a k i c h , że V C S , g d z ie S j e s t sym- plek sam ro z p ię ty m na p u n k ta c h ( 0 , 0 , . . . , 0 , f Ł ( u£ ) , 0 , 0 , . . . , 0 ) , przy czym

» i = min ^ Hk / c ^ } (14)

z n a jd u je s i ę n a i - t e j p o z y o ji ( p o r . r y s .1 d l a n=&=2).

•Bys«1. .Przykładow e z b io ry 7 i oonv7 S d l a o=s=2 F i g . 1 . E sam ples o f ■ s e t a 7 and conW = S f o r n=s=2

Si t e j s y t u a c j i mamy o c z y w iśc ie conv7 = S i k o r z y s t a j ą c z to g o można wy- k e a a ć k o le jn e dwa tw ie r d z e n ie .

g ff le rd z e a ie 4

Dla u s ta lo n y c h poziomów Hk , a k , k = 1 , 2 , . . . , e , i d l a w ypukłych £±, i= 1 ,2 ,.

• » , n , t a k i c h , że 00077 = S , s te ro w a n ie optymalne, i s t n i e j e w tedy i ty lk o s t a d y , g i j ^ a

*Hk 2 ) ^ i ^ “ ! i ° i ia*1 , 2 , » . ,sb (15)

• . ' i - 1 ' - ' . .

gSslo Hijjd Ui* cą zdefiniowano wzór en (14) i

W ie lo k r y te r ia l n e problem y r o z d z i a ł u . . . 537

T w ie rd z e n ie 5

J e ś l i poziomy Hjj., M^, k = 1 , 2 , . . . , s , s ą u s t a l o n e , s ą w ypukłe, 1 = 1 , 2 , . , . . . , n , i t a k i e , że convV = S , a p o n a d to z a c h o d z i (1 5 )» t o optym alna j e s t szeregow e wykonywanie o p e r a c j i i l o ś c i a m i zasobów u ^ zdefiniow anym i w tw ie r d z e n iu 4 .

Na p o d s ta w ie pow yższych tw ie r d z e ń możemy sform ułow ać odpow iednie p r o ­ blemy o p ty m a liz a c ji w ektorow ej w s y t u a c j i , gdy poziomy Nj_,

k = 1 , 2 , . . . , s , n i e s ą u s t a l o n e . P ró b ie m_1_

Dla fj_t i = 1 , 2 , . . . , n , w k lę s ły c h i s p e ł n i a j ą c y c h (1 0 ) d la każdego M ^ > 0 , k = 1 , 2 , . . . , s , p ro b lem o p ty m a liz a c ji w ektorow ej d l a Q = T ma p o s t a ć

min N^ ,N2, . . . ,NB; Ii] »Lig »• • * >^s * ^ l p rz y o g r a n ia z e n ia c h

T = max $ Tjj j"

g d z ie , f c = 1 , 2 , . . . , s , j e s t jedynym dodatnim p ie r w ia s tk ie m r ts s n a n ia (1 2 ) lu b (1 5 ) ( p o r . tw .5 )

^ 0 , k= 1, 2 , . . . , s . P roblem 2

Dla f i f i = 1 , 2 , . . . , n , w ypukłych i t a k i c h , żo convV = S , pro b lem opSyyma- l i z a o j i w ek to ro w ej d l a Q = T ma p o s ta ć

D in LH1',N2, . . . , N s ; H-j ,122, • • * j^s? ^ 3 p rz y o g r a n ic z e n ia c h

' ^ 4

T = 2 _ ® i/ f i ( “i ^ 1=1

Ujj- T ^ •¥- f21 • • • f s g d z io a i j o s t dcna u z o ro n ( 1 4 ) , = c$x

^ 0 f lfc1, 2 , © • » ,s •

358 J,W ęg larz

4 . Problem ? o p ty m a liz a c ji w ektorow ej z k r y te r iu m Lma-r

Załóżmy o b e c n ie , że d la o p e r a c j i i z d e fin io w an y J e s t pożądany te rm in za k o ń c z en ia wykonywania d ^ , i= 1 , 2 , . . . , n . Uporządkujmy te rm in y dj_ t a k , że d>] ird g - . . . i d n_ą - dn i oznaozmy p r z e z > O c z ę ś ć o p e r a c j i i ( c z y l i o z ę ść w ^), wykonywaną w p r z e d z i a l e £d-j_ą, d j ) , j= 1 , 2 , . . . ,n ; d 0 = 0 . P rz e z d o p u szcz aln y p o d z i a ł o p e r a c j i na c z ę ś c i re a liz o w a n e w pow yższych p r z e d z ia ła o h rozumiemy c ią g n ie ujemny oh l i c z b rz e c z y w is ty c h

£3^ ^ , t a k i c h , że i = J , J=1

d la k tó r y c h s p e łn io n e s ą o g ra n ic z e n ia zasobow e. Można w ykazać n a s tę p u ­ ją c e tw ie r d z e n ie [ i 3 3 t b ędące u o g ó ln ie n ie m tw ie r d z e n ia 1 z £12 " ].

T w ie rd z e n ia 6

D la u s ta lo n y c h poziomów k = 1 , 2 , . . . , n , s te r o w a n ie , w którym d la o p e r a o j i i , i = 1 , 2 , . . . , n , i s t n i e j e w tedy i t y l k o w te d y , gdy i s t n i e j e d o p u sz c z a ln y p o d z i a ł o p e r a o j i na c z ę ś c i wykonywane w p r z e d z ia ­ ła c h £ d j _ 1 t d j ) , J = 1 , 2 , . . . , n j d 0 = 0 , d la k tó re g o

Td ^ { ^ d l l Nk\ k=i’ J-Udk ^ L i ^ - dj - d j - i » d=1 »2 , •••-,“ » do=°

g d z ie T j J e s t minimalnym czasem wykonywania c z ę ś c i o p e r a c j i | ^ i j j i f j ' u Jk d e s t z uiyoiem zaso b u k

w

P o s łu g u ją c s i ę powyższym tw ierdzenia^m ożem y w y k o rz y sta ć w y n ik i p rz e d s ta w io n e w tw ie r d z e n ia c h 2 -5 d la sfo rm u ło w an ia n a s tę p u ją c y c h problemów o p ty m a liz a c ji w e k to ro w e j, gdy poziom y k = 1 , 2 , . . . , s , nie e ą u s t a l o n e .

E*£.bląą_3_

Dla i e 1 , 2 , . . . , n , w k lę s ły c h i s p e ł n i a j ą c y c h (1 0 ) d la każdego MŁ > 0 , k » 1 , 2 , . . . , s , pro b lem o p ty m a liz a c ji w ek to ro w ej d l a Q = 1 ^ ^ - ma p ó s ta ć

przy ograniczeniach

*1 ( ^ Zi1 ^ L i * { Hk l t a l » W } L l ^ d1 + Lmax

X ij B Wi t 1*1, 2 , . . . , n i

2 ^ ^ i j = wi» i = 1 » 2 , . . . , n , d=i

W ie lo k ry te ria ln e problem y r o z d z i a ł u , . 359

n

^ j k ś %c, k = 1 , 2 , « . . , s d=i

^k> Mk> ^ j k i ' k=1 , 2 , . . . , s ; j=1 , 2 , •• • , n g d z ie

X- C * 7 ^

T j = mjpc-^Tjjj-r , Tjjj. j e s t jedynym dodatnim p ie r w ia s tk ie m

rów nania

_-i ^5, —i x

^ j k X , ° i k ^ ( Xi j / Tjk^ = u k> d06 1 i . 2 ci k f i ( x i j / ~ j k 3 ¿ ^ k

¿=3 i= j

lu b rów nania n

Z cl k f i (^i^/CDjj,) = w przeciw nym r a z i e . i - j

Problem _4

Dla f ^ , i = 1 , 2 , . . . , n , w ypukłych i t a k i c h , że conv Y = S , problem o p ty ­ m a l i z a c j i w ek to ro w ej d la Q = Lmax aa p o s ta ć

min ^N/| ,K2, « . • ,NS j lij jMg, . ■. »13^5 ^ 3 x 3 p rz y o g r a n ic z e n ia c h

■2— Wj / ( Uj ) dj_ + Ljaa^» i = 1 , 2 , . . . , n d ^ i

n

* ' y *

ujjk wi / f i ( *>i ) ~ Mi.» h = 1 » 2 ,.» « » 8

i= 1 . 1

¥ * *

g d z ie . j e s t dane wzorem ( 1 4 ) , upjj- = oŁlc uŁ dijj., ^ O, 3 ti1 , 2 ,

5» Uwagi końcowe

P rz e d s ta w iliś m y sfo rm u ło w a n ia problemów o p t y n a l i z s o j i w ektorow ej d la n a j o g ó l n i e j s z e j k a t e g o r i i zasobów p odw ójnie o g ran iczo n y o h , gdy poziomy i c h chw ilow ej d o s tę p n o ś c i i sum arycznego z u ż y c ia n ie s ą u s t a l o ­

ne, a kryterium

lub maksymalna opóźnienie

o p e ra c ji.

360 J . Węglarz

wanych problemów można z a sto so w a ć ró ż n e p o d e j ś c i a , m .in . o p is a n e w ¡^5^].

Możliwe s ą b a r d z i e j lu b m niej b e z p o ś re d n ie u o g ó ln ie n ia p rzed staw io n eg o p o d o jś o ia . Do ty c h p ie rw s z y c h n a l e ż ą n p . problem y o p e r a c j i z a le ż n y c h d i s Q=T, gdy można w y k o rz y sta ć znane p o d e jś c ie z porządkow aniem w ie rz - ohołków s i e c i o p e r a c j i ( p o r .n p . [1 1 ~\ ) , czy problem y o p e r a c j i n ie z a ­ le ż n y c h d la Q = I>maxt momenty g o to w o śo i o p e r a c j i do wykonywania są różne. ( p o r . [ 1 2 ,1 3 ^ ] ) . Do d r u g ic h można z a l i c z y ć m .in .'p r o b le m y operacji z a le ż n y o h d la Q = Lmaxi wymagające k o m b in a c ji wspom nianych p o d e jś ć . Podkreślm y j e s z c z e , że s to s o w a n ie m o d e li c ią g ły c h j e s t o b lic z e n io w o uza­

s a d n io n e w te d y , gay można w ykazać i w y k o rz y sta ć pewno w ła s n o ś c i s te r o ­ wań, j a k t o p o k a z a liśm y w t e j p r a c y . Gdy t a k n i e j e s t , p r o s t s z e o b licze­

niow o problem y otrzym ujem y d y s k r e ty z u ją o p rz e d s ta w io n y m odel.

LITERATURA

C e lla r y W., S ło w iń s k i R . , W ęglarz J . j S cheduling Under R eso u rce C o n s tr a in ts - D e te r m in is tic M odels, J .C .B a ltz e r , B a s e l, 1986.

£ 2 3 B u b n io k i Z .t M u l t i l e v e l o p tim iz a tio n o f t h e com plex o f operations, P r o c . IFAC/ IFORS Workshop on S ystem s A n a l y s i s , P e r g a m o n P re ss,

O xford, 197? .

Bubnicki Z.t Two-level optim ization and oontrol of the complex of operations, Proo. VI IFAC Congress, Pergamon P ress, Oxford, 1978.

[ 4 ] Burków W.N. 1 Raapiisdialenija resursów kak zadafia optimalnogo bystrodbjatw ija, Aptomat. i Telemeh. 27, Mo.7., 1966.

£ '5 3 Bwang C .L .} Hasud A .S .I i.i M u ltip le O b je c tiv e D e c is io n Making - M ethods and A p p l i c a t i o n s . A S t a t e o f th e A rt S u rv e y , L e c tu re H otea i n Econom ics and M a th e m a tic a l S c i e n c e s , S p r in g e r V erlag , B e r l i n , 19 7 9 .

£'6 3 Janiak A., Stankiewicz A.: The equivalence of lo c al and global time-optimal control of a eesgilex of operations, I n t . J . Control 53, 3o.6, 1981.

r 7 3 Hoaioki S ., Zdrzałka S .t Cptiaal oontrol of a complex of Indepen­

dent operations. I n t . J* Systems S oi. 12, Ho.1 , 1931.

f o 3 Howioki S ., Sdrsałka S.* Optimal oontrol p o lic ie s f o r resource

allo c a tio n in an a c tiv ity network, Enrop. J . Dpi. Res. 16, Ho.2,

W ie lo k r y te r ia ln e problem y r o z d z i a ł u . . 361

[ 9 ] S ło w iń s k i R .j M u l t io b je c tiv e n etw o rk s c h e d u lin g w ith e f f i c i e n t use o f ren e w a b le and n onrenew able r e s o u r c e s , E u ro p . J . O pl. R es.

7, No.3, 1981.

[ 1 0 ] S ło w iń s k i R . , W ęglarz J . s An i n t e r a c t i v e a lg o r ith m f o r m u l t i - o b j e c t i v e p re c e d e n c e and r e s o u r c e c o n s tr a in e d s c h e d u lin g p ro b le m s, P r o c . 8 World C ongress on P r o j e c t Management INTERNET185, N o rth - H o lla n d , Amsterdam, 1985«

[_11] W ęglarz J . : M o d ellin g and c o n t r o l o f dynamic re s o u r c e a l l o c a t i o n p r o j e c t s c h e d u lin g s y s te m s , c h a p te r 3 w: S .G .T z a f e s ta s ( e d . ) :

O p tim iz a tio n and C o n tro l o f Dynamic O p e r a tio n a l R ese arch M odels, N o rth -H o lla n d , Amsterdam, 1 9 8 2 .

[ 1 2 ] W ęglarz J . : S te ro w a n ie ro z d z ia łe m zasobćw c ią g ły c h w c e lu 7/ykone- n i a o p e r a c j i p rz e d l i n i a m i k ry ty c z n y m i, Z eszyty Naukowo P o l i t . Ś lą s k ie f i, s.A u to m a ty k a , z . 7 4 , 19 8 4 ,

[ 13] W ęglarz J . : A llo c a tin g c o n tin u o u s , doubly c o n s tr a in e d re s o u r c e s among, p a r a l l e l p r o d u c tio n a c t i v i t i e s t o meet d e a d l i n e s , R .A .I.R .O . A P II 1 9 , 1 9 8 5 .

[14] W ęglarz J . : M u l t i c r i t e r i a s c h e d u lin g problem s u nder c o n tin u o u s a c t i v i t y m o d els; p r o a e s s in g speed v s . re s o u r c e am ounts, P ro c . 2nd I n t e r n a t , C o n feren ce on P ro d u c tio n S y ste m s, INRIA, P a r i s , 1986

.

R e c e n z e n tsD o c .d r h a b . i n ż . J.K lsm ka Wpłynęło do R ed ak cji do 1988-04-30.

MHOrOKPHTEPKAJIEHHE UPOBJIS,® PAGHPEJiEIiMH NRITPKPWBHHI PEC7FC0B B KCMHEKSE HE3ABKCiS;5JX OUEPAOjffl

4

P 8 S B U 8

B p ad o T e paccuowpeHH n p o d h e a a paonpeie^eH H H HenpepsBHHx

ssa&HH orpa-

EH^eEHHs: paoypcoB ueimy HesaBECBMHMB onepannHMa, oiiecshhhmh sejEHefiEHMH

ypaBHQHHEMK, oBssBBasffijEMs cKopoora BHnojiEQHHH 9tex onepaitEfl o pacnpese-

aenseti pecypooB a onpedeueEHOM KOMeHTO. OjpopMyjmpoBaHH npo&nessH bsktophoA

oamcsaanHH ,

kotophx Kpoaa KpHrepaeB

Bpeas BHnameHiiH c030KynH0o?a

oaepauBt ) e ( wxowsain,wx sanepsxa bhuoxhsehh onapaqES ) , yroTEBa-

wca ypoBHH uooTyimocTE pecypooB s jjaHHHfi uouear

cyisiapHoe sspaoxosoBa-

SZ3 peoypoos.

362 J .W ę g la rz

MULTICRIIERIA RESOURCE ALLOCATION PROBLEMS IN A COMPLEX OP INDEPENDENT OPERATIONS

S u m m a r y

I n t h i s p a p e r we c o n s id e r problem s o f a l l o c a t i n g c o n tin u o u s , doubly c o n s tr a in e d r e s o u r c e s among in d e p e n d e n t o p e r a tio n s / i . e . a c t i v i t i e s / d e s c r ib e d by n o n lin e a r e q u a tio n s : p r o c e s s in g s p e e d s v s . r e s o u r c e amounts a l l o t t e d a t a g iv e n moment. V e o to r - o p tim iz a tio n p roblem s a r e fo rm u lated i n w hich a p a r t from s c h e d u le l e n g th T o r maximum l a t e n e s s 1 ^ ,^ » le v e ls o f r e s o u r c e a v a i l a b i l y t y and co nsum ption a r e ta k e n i n t o a c c o u n t.