Problem modułu odkształcenia w mechanice gruntów

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLISKIEJ Seria: BUDOWNICTWO z. 61

1985 Nr kol. 842

Maciej GRYCZMAKISKI

Wyższa Szkoła Inżynierska w Opolu

PROBLEM MODUŁU ODKSZTAŁCENIA W MECHANICE GRUNTÓW

S t re sz cz en ie. Bezkrytyczne stosowanie prawa Hooke'a Jest często przyczynę nierealistycznej prognozy deformacji gruntów pod obcięże- niem. Wpro wa dz an ie różnych modeli nieliniowych implikuje uogólnie

nia modułu odkształcenia i konieczność ich specyfikacji. Przybliżo

na analiza liniowo-sprężysta wymaga wyznaczenia modułu z respekto

waniem realnych historii naprężenia. Problemami tymi zajmuje się przedstawiona praca.

1. ROZWAŻANIA WSTĘPNE

Moduł Younga E, występujący w obliczeniach deformacji konstrukcj i, trak

towany Jest zwykle Jako stała określajęca odkształcalność użytego do bu

dowy materiału. Często umyka uwadze fakt, że nie Jest to w istocie cha

rakterystyka samego materiału, lecz parametr liczbowy, identyfikujęcy je

go liniowo sprężysty, izotropowy, a więc najprostszy model konstytutywny, świadomość ta staje się niezbędna w przypadku gruntów, które ze względu na swe cechy strukturalne (porowatość, t r ój fa zo wo ść, brak silniejszych więzi) zasadniczo odbiegaję od metali, tworzyw sztucznych, a nawet beto

nu. W skali makroskopowej odmienność ta manifestuje się występowaniem de

formacji niesprężystych już przy bardzo małych obciężeniach (ze ws zystki

mi konsekwencjami tego zjawiska), a także zależności? odkształceń od dy- sypacji ciśnienia wody w porach itp. Typowe trójosiowe charakterystyki”na- prężenie - odkształcenie" (rys. l) wykazuję silnę nieliniowość i zależ

ność od mniejszego naprężenia głównego, a także innę niesprężystę reakcję gruntu na odciężanie i powtórne obciężanie.

Postępujęc tak jak w przypadku innych materiałów, trzeba by zdefinio

wać moduł jako nachylenie stycznej do charakterystyki ”q - Sj", odpowie- dajęcej 6 j = c o n s t , w punkcie (q. fij) « (0,0), czyli EQ il q / £J , przy

— O (rys. la). Wobec częściowej nieodwracalności jest on okre

ślany mianem modułu odkształcania (zamiast "sprężystości") i oznaczany symbolem Eq .

Łatwo zauważyć, że tak określony parametr umożliwia realistycznę pro

gnozę tylko małych deformacji gruntu, towarzyszęcych naprężeniom ścinaję- cym, bardzo niewielkim w porównaniu z naprężeniem granicznym, a przy tym nie jest stałę, zależy bowiem wydatnie od Współczesne badania doświad-

(2)

Rys. 1. Trójoslowe charakterystyki "naprężenle-odkształcenie" dla gruntu a) krzywe "q - Bj^". b) schemat obciążeń, c) schemat odkształceń

czalne pokazuję, że moduł Eq Jest zależny także od stopnia prekonsolidacji, czyli od historii obciążenia gruntu w przeszłości, jak również od ścieżki w przestrzeni naprężeń, po której przebiega obciążenie danego punk

tu podłoża gruntowego budowlę, w trakcie Jej wznoszenia i eksploatacji (por. np. [i], [2], [3], [4]). Dodać do tego należy zmienność w czasie, zwięzanę z procesami konsolidacji i pełzania.

W świetle przytoczonych faktów fizycznych bezkrytyczne stosowanie do gruntów modelu liniowo sprężystego może prowadzić do istotnych, niekiedy drastycznych, odchyleń obliczonych wartości ich deformacji od wyników po

miarów. Niestosowne wydaje się zwłaszcza prognozowanie na podstawie śred

nich wartości modułów odkształcenia, wyznaczonych dla poszczególnych wa rs tw podłoża, zgodnie z podanę poprzednio definicję. Konieczne sę nowe podejścia uogólniające pojęcie modułu, a przynajmniej zbliżające Jego o- kreślanle do realnych warunków naprężeniowych w podłożu.

2. MODUŁ ODKSZTAŁCENIA W NIELINIOWYCH MODELACH GRUNTU

Najwłaściwszą drogą do realistycznego przewidywania wartości odkształ

ceń gruntów, a co za tym idzie - osiadań podłoża budowli. Jest stosowanie bardziej wyrafinowanych modeli konstytutywnych niż wspomniany izotropowy ośrodek liniowo sprężysty. Mają one ujmować obok nieliniowości fizycznej, także inne, wymienione wyżej, cechy mechaniczne gruntów.

Do najprostszych zaliczają się modele deformacyjne rozwijane w ramach teorii Iliuszyna-Nadaia-Hencky'ego, które dostarczają związków fizycznych o strukturze prawa Hooke'a dla ośrodków izotropowych:

fijl • £— “ ^ k k ^ j l j ' (J*1 “ 1,2,3) (l)

gdzie jest deltą Kroneckera, a 6^ » 6 ^ * 6 22 *6j3 oznacza pierw

szy niezmiennik tensora naprężenia. Innowacja w stosunku do prawa Hooke'a

(3)

Problem modułu odkształcenia. 15

tkwi w definicji modułu odkształcenia i współczynnika Poissona, będących tu funkcjami materiałowymi. Interesujący nas moduł odkształcenia jest w tym przypadku określony jako tzw. moduł s i e c z n y :

czyli nachylenie dowolnej siecznej charakterystyki “q - fij ” dla dowolne

go £3 = const (rys. 2a).

Rys. 2. Mo du ły odkształcenia w modelach nieliniowo sprężystych a) moduł sieczny EQ S . b) moduł styczny Eot

Przykładem deformacyjnego modelu gruntu jest hiperboliczny model Kond- nera [5], w którym moduł sieczny opisany jest wyrażeniem:

Zależność modułu początkowego Eq1 od 6 3 opisana została przez Danbu, a związek między 6 3 a granicznym oporem ścinania może być określony za pomocą warunku Coulomba-Mohra. jest stałą materiałową modelu, po

dobnie jak «0 . Model hiperboliczny umożliwia poprawną ocenę ostatecznych małych deformacji luźnych piasków oraz glin normalnie skonsolidowanych lub słabo pr ze ko ns o l i d o w a n y c h , w przypadku monotonicznego obciążenia prostego.

Dla uwzględnienia wpływu ścieżek naprężenia konieczna jest przyrostowa analiza deformacji gruntu, wymagająca przyrostowych związków "naprężenie- -odkształcenie". Najwygodniejsze są odpowiedniki równań (l):

63 « const

(

²

)

(3)

d6j 1 = § - |\l + - O d ó j ! - «>iój 1 <tók k j. (j,1 = 1 , 2 , 3 ) (4)

(4)

reprezentujące Izotropowe modele hiposprężyste. W odróżnieniu od (2) mo

duł odkształcenia Jest w tym przypadku zdefiniowany Jako tzw moduł stycz-

czyli nachylenie dowolnej stycznej do charakterystyki "q - £1 " dla dowol

nego 6 j = const (rys. 2b).

Przykładem tego rodzaju modelu jest dobrze znane rozwinięcie propozy-

zależności Oanbu i Coulomba-Mohra uzyskali oni dla modułu stycznego w y r a żenie :

gdzie K, n, R f , $, c sę stałymi materiałowymi [6], [4], a Pa ” ciśnie

niem jednostkowym. Model Duncana-Changa umożliwia poprawnę prognozę osta

tecznych małych odkształceń piasków luźnych oraz glin normalnie skonsoli

dowanych lub słabo prze ko ns ol id ow an ych, Jeśli obciężenie(w ogólności zło

żone) jest dostatecznie odległe od granicznego, a proces nie ma charakte

ru cyklicznego.

Kiedy obciężenie zmienia się w szerszych granicach, lepiej stosować przyrostowe modele sprężysto-plastyczne ze wzmocnieniem izotropowym będź kinematycznym [7] (to ostatnie w przypadku silnej prekonsolidacji gruntu, a także dla obciężeń cyklicznych). Jeśli chce się uwzględnić narastanie odkształceń w późnym stadium procesu, należy wprowadzić odpowiadajęce mo

dele sprężysto-lepkoplastyczne £ 7~j . Aby obliczyć odkształcenia poczętko-

*e, trzeba ponadto uwzględnić redukcję naprężenia on ie zn an ę nadwyżkę ciś

nienia wody w porach i skorzystać z dodatkowego warunku braku jej filtra

cji. Wreszcie analiza wczesnego stadium deformacji wymaga rozbudowy wy

mienionych wyżej modeli do ośrodków dwu- lub trójfazowych i stosowania teorii konsolidacji. We wszystkich tych rozwięzaniach pojęcie modułu od

kształcenia traci Jednoznaczność. Z jednej strony specyfikuje się moduł Younga E (w ogólności s t y c z n y ) . który ma identyfikować tylko sprężysty składnik przyrostu odkształcenia, opisany równaniami typu (4). Z drugiej , wprowadza się tzw. styczny moduł sprężysto-plastyczny Eep Mówięc ściślej, w zwięzku z anizotropię wtórnę formuje się macierz D ep określa- Jęcę zależność między przyrostami naprężenia dó i odkształcenia d6(dj£ =

* d£e + d£p ^), która zawiera styczne moduły sprężysto p l as ty cz ne. W y r a żenia opisujęce elementy Dep sę skomplikowane. Wyznacza się Ję z reguły jako produkt pewnych operacji macierzowych (por. np. [4]).

n*r

(5)

cji Kondnera, podane przez Duncana i Changa [ć]. Wprowadzając wspomniane

E o " Eo t ( p '63 ) = Kpa (?1) a 1 *

Rf(l - sin $ )

(6) 2(6jSin$ + c co8$)^

(5)

3. MODUŁ ODKSZTAŁCENIA W PRZYPADKU LINEARYZACDI Z W I Ą Z K Ó W "NAPRĘŻENIE - ODKSZTAŁCENIE"

Stosowanie coraz bardziej złożonych modeli konstytutywnych zwiększa a- dekwatność obliczeniowych prognoz deformacji obciężonego masywu gruntowe

go dla szerokiej klasy warunków poczętkowo-brzegowych. Odejście od modelu liniowo sprężystego oznacza jednak potrzebę estymacji większej liczby stałych materiałowych, a co nie mniej ważne - konieczność indywidualnej a- nalizy numerycznej każdego zadania geomechaniki z zastosowaniem iteracyjnych albo przyrostowo-iteracyjnych procedur MES lub MEB. W przypadku ty

powych zagadnień fundamentowania traci się możliwość prognozy osiadań przy użyciu prostych rozwięzań parametrycznych dla półprzestrzeni lub war

stwy, a więc nomogramów (tablic) odpowiadajęcych różnym wymiarom i kształ

tom podstaw fundamentów oraz intensywnościom obciężenia.

W tej sytuacji próby linearyzacji zwięzków " 6 - fi" dla gruntów, w od

niesieniu do małych deformacji występujących w podłożu poprawnie zapro

jektowanych fundamentów budowli, można uznać za usprawiedliwione. Moduł odkształcenia powinien być jednak wyznaczony w takim przypadku,w punktach podłoża, w których zlokalizowane są badania odkształcalności gruntu. Jako przybliżona wartość skomplikowanej funkcji historii naprężenia w tych punktach, od najdalszej przeszłości, aż po zakończenie obciążania budowlą

(por. p. i).

To alternatywne dla tworzenia wyrafinowanych modeli konstytutywnych po

dejście jest dynamicznie rozwijane od lat kilkunastu w USA, Au st ra li i, Ja

ponii i w krajach Europy Zachodniej [ l ] , [2], [3]. Dego istotą Jest wyma

ganie, by w testach doświadczalnych prowadzących do wyznaczenia modułu by

ły możliwie wiernie odtworzone:

1° konsolidacja pierwotna, wywołana w interesujących punktach przez czyn

niki geologiczne w przeszłości,

2° ścieżki naprężeń wywołanych przez nacisk budowlą w tych punktach, 3° warunki konsolidacji i prędkość obciążania.

Pierwsze z wymagań spełnione Jest w sposób naturalny w badaniach in situ, zwłaszcza w testach presjometrem typu "self-boring” , w których nie dochodzi do odprężenia gruntu. W przypadku badań laboratoryjnych (w apa

racie trójosiowego ściskania lub w edometrze) konieczna jest, wobec cał

kowitego odprężenia próbek, ich wstępna rekonsolidacja obciążeniami typu K 0 . występującymi w danych miejscach podłoża przed pobraniem gruntów do cylindra NNS [i], [3].

Znacznie trudniejsze jest spełnienie drugiego wymagania. Przede ws zy

stkim dokładne wyznaczenie ścieżek naprężeń w podłożu budowli wymagałoby analizy numerycznej z zastosowaniem złożonego modelu nieliniowego.Aktual

nie określa się je Jako ścieżki proste wychodząc ze znanych rozkładów przy

rostów naprężeń głównych A6j . A6 2'<^Ó)3 wywołanych w klasycznej półprze-

(6)

strzeni lub warstwie przez obciężenie fundamentami budowli. Motywuje się to uproszczenie nieznacznym wpływem niespręZystości na rozkład napręże

nia, gdy dystans do stanu granicznego Jest odpowiednio duży. Dokonujęc w danym badaniu pomiaru A f ^ i A £ 3< odpowiadaj ęcych ścieżce (A 6 j . A ś 2>

A 6 3) można wyznaczyć moduł ze wzoru:

. f (A6.

-® A 6 ,)(

^a

6,

+ A Ó , ) 1

Eo “ T

^e

I |_AÓ1 " -0AÓJ + 11 - 0jiAÓ2 + Aó3 J t7)

gdzie ® « A ć j / A i j .

Nawet ta "wyprostowana" ścieżka może być ściśle zrealizowana tylko w apa

racie tzw. prawdziwego trójosiowego ściskania. Zadowalajęce przybliżenie, zwłaszcza w przypadku fundamentów o kształcie zbliżonym do kwadratu, moż

na uzyskać w konwencjonalnych badaniach trójosiowych. Przy założeniu Aó2 « A ó j » q ■ A ó j “ A ó j otrzymuje się:

Eo “ A ^ j^1 ' 2(1 - ® )&ó3 - ® A q J* (8)

ścieżki naprężenia możliwe do zrealizowania w e d o m e t r z e , a także w bada

niach presjometrycznych i podczas próbnych obciężeó stemplem wyraźnie od- biegaję od dróg występujęcych w podłożu fundamentów. Dlatego przyjmowanie modułu odkształcenia obliczonego na podstawie pomiaru parametrów "robo

czych", takich Jak edometryczny moduł ściśliwości, moduł pres jo me tr yc zn y, czy nawet moduł próbnego o b c i ę ż e n i a , może prowadzić do mniej lub bardziej istotnych odchyleń prognozowanych osiadań od wyników pomiaru. Najlepsze rezultaty oslęga się w badaniach trójosiowych. Pewne problemy pozostaję oczywiście Jeszcze do rozwięzania, choćby wspomniana sprawa warunków kon

solidacji i prędkości obciężenia.

LITERATURA

[lj Davis E.H. , Poulos H.F.: The use of elastic theory for settlement prediction under three-dimensional conditions. Geotechnique, 18,1968, 64-91.

[2] Lambe T.W. , Whitman R . V . : Mechanika gruntów. T. I, II, Arkady, W a r szawa 1978 (tł. z eng.).

[3J Poulos H.F.: Limited deformation problems with static loading. W o r k shop on experimental research in soil engineering, Virginia State Univ. , Blacksburg 1983.

[4] Gryczmański M . : O konstytutywnych modelach gruntów. Inżynieria i Bu

downictwo, 1985, 2.

[5j Kondner R.L.: Hyperbolic stress-strain response: cohesive soils. 0.

Soil Mech. Found. Div. A S C E , 89, 1963, 1, 115-143.

(7)

[ć] Duncan D.M. , Chang C . Y . : Nonlinear analysis of stress and strain in soil. 0. Soil Mech. Found. Div. A S C E , 96, 1970, 5, 1629-1653.

[7] Gryczmański M. : Sprężysto-lepkoplastyczne modele szkieletu gruntowe

go. Wyd. WSI Opole, Studia i monografie, 2, Opole 1983.

nPOEJIEMA MO/i,yjK ABtOPMAUHH

B

MEXAHUKE

TPyHTOB

P

e 3 B m e

H e ic p H iw ie c K H e n p H M eH eH H e aaK O H a T y n a H B j i a e i c a n a c i o n p H m m o a H e p e a jiH - O T H ie c K o r o n p o r H 0 3 a A e $ o p M a u a H r p y m o B n p a H a rp y sc e H H H . O c y m e C T B jie H u e p a s H O - o Ö p a s H tö c H e a a H e ä H H x M O flejieii B jie a e T 3 a c o ö o ä o S o d m eH H H n o H Ä T a a M O A yjia A e O o p - M a u a a a H e o S x o A a M o o ib e r o c n e n a $ a p o B a H a a . IIpK Ö JiH iceH H iiii jia a e H H o y n p y r a a a H a - jia 3 T p e d y e i o n p e A e jie H a a M o a y Jia c y a e i o u A e ftc iB H T e jib H H x a o T o p a ß H a n p a K e a a a . IIp e Ä O T a B a e H a a C T a t s a 3 a H H M a e T c a s t h m h n p o ö a e u a u a .

THE DEFORMATION MODULUS PROBLEM IN SOIL MECHANICS

S u m m a r y

Uncritical application of the Hooke's law is often a cause of unreali

stic predictions of soil deformations under loading. Introduction of v a rious nonlinear constitutive models implies deformation modulus generali

zations and their specification necessity. The modulus evaluation with ac

counting for real stress histories is required when using the approximate linear elastic approach. The paper deals with those problems.