Ein beitrag zur bestimmung der koeffizienten der hydrodynamischen kräfte in den gleichungen der tauch- und stampf-bewegungen eines schiffes

Ein Beitrag zur Bestimmung der Koeffizienten

der hydrodynamischen Kräfte in den Gleichungen

der Tauch- und Stampfbewegungen eines Schiffes

S. IL Sp h a i e r

TZCNSCHE UT&T

Laboratoilum voor cheepshydromechanl Archief Mekelweg 2, 2628 CD Detft 1. Einleitung s: O1 - 786Bì - Fa 015 V812

Die Formulierung des Problems der T a u c h - und S t a m p f

-bewegungen eines Schiffes an der freien Wasseroberfläche führt auf

eine nichtlineare, dreidimensionale Randwertaufgabe. Zur Behandlung dieser Randwertaufgabe sind wegen der Schwierigkeit der exakten Lösung verschiedene Näherungstheorien entwickelt worden, insbeson-dere die Streifenmethode (strip theory) und die Theorie schlanker Körper (slender body theory).

Die S t r e i f e n m e t h o d e wurde von Korvin-Kroukovsky

(1957) in die Schiffshydrodynamik eingeführt ('ursprüngliche Strei-fenmethode"). 1-herbei wird die Schiffsoberfläche gedanklich in

schmale Querstreifen aufgeteilt, und es werden die in diesen Strei-fen wirkenden Kräfte bestimmt. Bei der StreiStrei-fenmethode nimmt man an, daß sich die periodisch veränderlichen Umströmungen der

einzel-nen Querstreifen gegenseitig nicht beeinflussen, so daß das Problem

in jedem Streifen zweidimensional betrachtet werden darf.

Auf der Basis physikalischer und formaler Überlegungen hat Grim

(1957, 1960) Verbesserungen an der Theorie angebracht. Seine Schluß-folgerungen sind später von Newman (1964) mit der Theorie schlanker Schiffe bestätigt worden.

Obwohl die Streifenmethode nach Korvin-Kroukovsky nicht auf einer

mathematisch exakten Analyse beruht und die Kopplungskoeffizienten

in der Bewegungsgleichung die Symmetriebedingung von Timman und

Newman (1962) nicht erfüllen, stimmen die Vorhersagen nach dieser

Methode mit experimentellen Ergebnissen in vielen Fällen gut über-ein.

Salvesen, Tuck und Faltinsen (1970) haben die Streifenmethode dann explizit aus dem vollständigen, dreidimensionalen Randwertproblem

mit folgenden vereinfachenden Annahmen hergeleitet: Das Schiff

wird als schlanker Körper betrachtet, ferner wird davon ausgegangen, daß die Amplituden der Bewegungen klein im Vergleich zu den

Abmes-sungen der Querschnitte sind und daß de Frequenz der Tauch- und

Stampfbewegungen sehr hoch ist.

Unter diesen Voraussetzungen Ist die Länge der aus den Tauch- und

Stampfbewegungen entstehenden Wellen von derselben Größenordnung

Kurzfassung einer vom Fachbereich Verkehrswesen der Technischen

Universität Berlin genehmigten Dissertation (Berichter: Prof. Dr.-Ing. H. Nowacki, Prof. Dr.-Ing. E. Wolf)

Coppe/UFRJ - Coordcnaço dos Programas de Poís-Graduao em

wie die Schiffsbreite. Die dreidimensionale Randwertaufgabe kann

dann linearisiert und auf eine zweidimensionale Randwertaufgabe

zu-rückgeführt werden. Die gekoppelten Koeffizienten für das Tauchen und Stampfen, die dabei entstehen, erfüllen die Symmetriebedingung

von Timman und Newman (1962). Ähnliche Ergebnisse haben Söding (1969), Tasai und Takaki (1969) und Borodai und Netsvetayev (1969) erreicht.

Die heute in der Version von Salvesen, Tuck und Faltinsen - sowie entsprechend von den gerade erwähnten Autoren - vorliegende fenmethode wird in der Literatur mitunter als "modifizierte Strei-fenmethode" bezeichnet. Im folgenden wollen wir unter "Streifen-methode" immer diese Version verstehen.

In der Theorie s c h i a n k e r Körper wird durch das Verhält-nis Breite/Länge ein Parameter £ eingeführt. Mit einer

Störungs-methode wird dann eine asymtotische Lösung bestimmt, in der der

Störungsparameter - der Schlankheitsparameter - als klein voraus-gesetzt wird.

Auf der Basis der Theorie schlanker Körper, angewandt auf Schiffe,

haben Ogilvie und Tuck (1969) die Frequenz als hoch, die Bewegungen

als klein im Vergleich zur Schiffsbreite und die Froudesche Zahl als groß angenommen. Mit Hilfe der Annahme hoher Frequenz ist es mög-lich, das allgemeine Randwertproblem auf eine im Sinne der Störungs-theorie konsequente Weise auf die Streifenmethode zurückzuführen. Die Ergebnisse weichen von der Streifenmethode bei endlicher

Froudescher Zahl in den Kopplungsgiiedern durch ein Integrai über

die freie Oberfläche ab.

Die Theorie schlanker Schiffe und die Streifenmethode in

kartesi-schen Koordinaten setzen voraus, daß die Geschwindigkeitsänderungen

in Längsrichtung kleiner als die Änderungen in Querrichtung sind. Im Mittelteil eines langgestreckten Schiffes sind in der Tat die Geschwindigkeitsänderungen in Längsrichtung vernachlässigbar

gegen-über den Änderungen in der dazu senkrechten Ebene. Dies trifft an

den Enden nicht mehr zu, besonders, wenn das Schiff stumpf ist. Statt dessen wollen wir nunmehr annehmen, daß überall in unmittel-barer Nähe des Schiffes die Geschwindigkeitsänderungen parallel

zur Schiffsoberfläche klein sind im Vergleich zu den Änderungen in Richtung der Normalen zur Schiffsoberfläche. Durch geeignete Wahl

krummiiniger Koordinaten kann dann das dreidimensionale Problem

unter Umständen auch bis weit zu den Enden hin mit guter Genauig-keit auf ein zweidimensionales Problem zurückgeführt werden.

In der vorliegenden Arbeit wird der Einfluß der Wahl von

Ellipsoid-koordinaten auf die hydrodynamischen Kraftkoeffizienten in der

Be-wegungsgieichung eines Schiffes untersucht, das Tauch- und Stampf-bewegungen ausföhrt. Wir benutzen im folgenden den Ausdruck Sphäro-idkoordinaten. Darunter sind Ellipsoidkoordinaten zu verstehen,

die Sphäroide (worunter wir hier - wie insbesondere im Englischen

üblich - langgestreckte Rotations-Ellipsoide verstehen wollen) als eine ihrer Koordinatenflächen erzeugen.

Sphäroidkoordinaten werden in der vorliegenden Untersuchung deshalb gewählt, weil sie besser als kartesische Koordinaten die Aussicht bieten, daß die Näherungsannahme relativ kleiner Geschwindigkei.ts-änderungen von Streifen zu Streifen bis weit an die Körperenden

heran zutrifft.

-2. Die Randwertaufgabe eines tauchenden und stampfenden Körpers an der freien Oberfläche mit konstanter Fortschrittsgeschwindigkeit Für die Darstellung der Randwertaufgabe führt man folgende verschie-dene Koordinatensysteme ein, die sich mit konstanter Geschwindig-keit U bewegen;

- kartesische Koordinaten (x, y, z), mit z = O in der glatten Was-seroberfläche und der positiven z-Achse nach oben zeigend,

- Sphäroidkoordinaten ₍ , , ) , wobei die Koordinatenflächen sind: einmal die von dér x-Achse ausgehenden Halbebenen ( e = konst.), dann die zweischaligen Hyperboloide, deren Symmetrie-achse die x-Achse ist (j.c= konst.) und die Sphäroide (langge-streckte Rotationsellipsoide) , deren große Achse die x-Achse Ist

= konst.) . F und F' sind die Brennpunkte der Sphäroide und Hyperboloide und 2 ihr Abstand voneinander (s. Abb. 1). Ferner

gilt - i j.. 1, _{- í<} G il und Z _> O. Für = O wird die

Koordinatenfläche = konst. auf die Strecke zwischen den Brenn-punkten zurückgeführt. Das Schiff wird mit konstanter Geschwindig-keit U in Richtung der negativen x-Achse angeströmt (s. Abb. 2). - Es Ist manchmal zweckmäßiger, mit den Zylinderkoordinaten (x, r,

9

zu arbeiten (Abb. 1). Außerdem definiert man ein schiffsfestes, rechtshändiges Koordinatensystem (x', y', z') In der

Schiffs-ruhelage stimmen die Koordinatensysteme (x, y, z) und (x' , y',

z') überein und liegen die entsprechenden Ursprünge O und O' in der Schíffsmitte.

Zwischen diesen Systemen bestehen folgende Beziehungen:

X =

1t2

y = r sinO z = -r sine

r =

=T

=1+1

j r ( (rZ4 x2) 4

J(i

4 i

_{i t}

-

-p 1J 1M i1

-

rA (+xL)1

_Z\Z

4r

1 /

Tz JJ

= arc tg (-h)

Wir betrachten nun die unter Wirkung der Schwerkraft stattfindenden

wirbeifreien Bewegungen einer homogenen, inkompressiblen und idea-_., len Flüssigkeit. Unter diesen Annahmen kann die Geschwindigkeit V durch eine harmonische Potentialfunktion dargestellt werden, so daß = _{Ist, und es gilt in der Flüssigkeit (nach der} Kontinuitäts-gleichung) die Laplacesche Gleichung in folgender Form:

+1

L

= o

Es sei

wobei

- Störungspotential,

Li - Strömungsgeschwindigkeit in Richtung x für x =

-00,

LI)1-- Störungspotential der stationären Bewegung infolge der Anwesenheit des Schiffes,

L9 - Störungspotentiai durch die oszillierenden Bewegungen

des Schiffes.

lije von dem Störpotent ial (f zu erfüllende Randbedingung auf der Schiffsoberfläche ist nach Timman und Newman (1962):

= +

x(Ç

(.J7))] +

O(e)

₍₄₎

wo r i n

=

V()

n = innere Normale, von der Flüssigkeit in den Körper weisend,

R(t)

()

ist der Ortsvektor eines Punktes auf der Schiffsoberfläche in bezug auf das Koordinatensystem (x', y', z'),

ist der Ortsvektor eines Punktes auf der Schiffsoberflache in

bezug auf das in der freien Wasseroberfläche befestigte

Koordinaten-system (x, y, z) (s. Abb. 2).

Gleichung (4) bezieht sich auf die Mittellage des Schiffes. Ferner

werden die Bewegungen als klein gegenüber der Schiffsbreite voraus-gesetzt.

Sei

st = U (x + '1 das Potential der Strömungshewegung in der Rich tung der x-Achse um das Schiff bei reiner Fortschrittsbewegung. Dami

gilt auf der Schiffsoberfläche.

Daraus folgt

/=_X/aM

= - cos(n,x) auf der Schiffsoberfläche.

Das erste Glied auf der rechten Seite ì (4) stellt die Randbedin-gung der rein oszillierenden BeweRandbedin-gung dar, das zweite Glied in der eckigen Klammer den Einfluß der Fortschrittsbewegung auf das Potential.

In dem Fall eines Körpers, der taucht und stampft, ist

' - Ç (5)

wobei

Schiffstechnik Bd. 28 - 1981 178

-_>

j und k die Einheitsvektoren in Richtung y bzw. z.

Durch Einsetzen von (5) in (4) folgt

(x ')]

- _{x [(} x _{) x y} . O (

) (6)

Da in der Mittellage = R ist, wurde in (6) i' durch ersetzt.

Man definiert jetzt m3 und m5 (siehe Ogilvie und Tuck (1969))

[('.)].z [x(>x c')]

. (7a)

(7b) und m5 beziehen sich auf die Änderungen des Vektors V auf der Schiffsoberfläche.

Setzen wir (7) in (6) ein, so folgt

-- ± U

_(e)

(8)

auf der Schiffsoberfläche, worin

-'43

und i-).

('

Z) = - ( x

T)

_. sind.

Es wird angenommen, daß

A M = o ist. Dann kann man die Bernoullische Gleichung wie folgt schreien:

+ +

I

= - UJ

(9)

Es sei

¿-

_{) -}

(p

(&) ₍₁₀₎

die Gleichung der freien Oberfläche, wobei

die Erhebung infolge der stationären Bewegung und

o(die Erhebung infolge der oszillierenden Bewegung des Körpers sind.

Daraus folgt:

und die Verschiebung in Richtung z (positiv nach oben)

bzw. die Rotation um die y-Achse (positiv = Bug nach oben) sind,

z +

)Z(

--FJ--)Z7 U I

t

2

H1

a)

e _J

2

wobei R. H k- =

¿ (

z

( ± +

¡

2 2

-4

1(2 (

4_)

1/

-H

-(

i ¿) 4 'z

(1»2)

/

und stellen auch die Beziehungen zwischen dem Linienelement cLs. entlang einer Koordinatenlinie a. und dem Koordinaten differential

dar:

xz

_t

yz d2

₍

)Z(

J

1)

H &13

rt

Schiffsechnik Bd. 28 1981 - 180 -/ 3 I k-/

der Lamsche Koeffizient der Koordinaten ist:

r

d-an der freien Oberfläche.

Mit Hilfe der Taylorschen Reihe

F=

+

+

9- 2. e_(,/..

kann die Erfüllung der Randhedingung auf z - ( f + ) = O auf die

Erfüllung der Randbedingung an der Fläche z = O zurückgeführt

wer-den; z = O bedeutet O = ±'1/2, aber wegen der Symmetrie wird die

Randbedingung nur für O = (/2 abgeleitet. Es wird angenommen, daß = O und ¿ = O sind; die Verschiebung ist dann entlang einer -Linie, so daß

F =

F

9 +

!

+ ...

.2

ist, worin

L=

und, zö-

sind.

Damit folgt aus der Taylorschen Reihe

F F

(12) Da 0L und von kleiner Ordnung gegenüber i sind, wie man beweisen

kann, genügt es, die ersten beiden Glieder der Taylorschen Reihe zu berücksichtigen.

Durch Einsetzen von (12) und (3) in Eli) folgt für die dynamische Randbedingung folgender Ausdruck:

+

{

\U4'

f -+

[4

(u+ +u)

__

3

J9

) u

+

u)

.

L i v?i

(«TL/)

/ +

(u)

33 39 ¿' 4

L

+ do1M

14

eJi)

(u)

Dtt J

ae

I ç

i

An der freien Oberfläche

F1

(3)

-muß die kinematische Randbedingung

Dt

erfüllt werden. Das bedeutet

fr

Die Ableitung D/Dt z = stellt genau die Komponente der Gesc digkeit der Flüssigkeit in Richtung z dar, die gleich der Abi tung der Potentialfunktion nach z ist.

W O

f(LJ

u)

j /4 çp 1' Ø d O S =

t4c

o A tA J1t4 4 Schiffstechnik Ed. 28 - 1981 182

-o

IL

)

c7c=o

hwin-

ei-Setzt man (17) in (16) ein, erhält man

-

V=O

₍₁₉₎

auf F = O.

Mit Hilfe der Taylorschen Reihe (12) läßt sich die Randbedingung

in der Ebene z = O ausdrücken. Wenn man jedes Glied von (19) nach

(12) entwickelt, d.h.: \ \

¿

-erhält man

t

_j G?2 __;

u+3u:

e 2

ut)

_e

[u

-3-

u

ae

+

u1

-

/V4+

I

&).

-

_f

JuVu}.

I

f)

/2 :1j .

à9

eY

ò9à&

(2oa)

(2oD)

(2oc)

(2od)

í1 ao I a &

5;,;e

(4f)(

u)}

(t)

v.

} =

o

d9 I

(21)

Die Ansätze liefern erst eine eindeutige Lösung, wenn noch eine Be-dingung im Unendlichen berücksichtigt wird.

3. Berücksichtigung der Schlankheitsbedingung, die Randwertaufgahe im Nahfeld

Um die Randwertaufgabe im Nahfeld zu bestimmen, führt man einige

vereinfachende Annahmen ein. Dadurch kann man die Randwertaufgabe im

Nahfeld, mit _{£ >} darstellen.

Die Schiffsbreite sei klein im Vergleich zur Schiffslänge, und

zwar so, daß die Schiffsquerschnitte in Längsrichtung keine starken Änderungen erleideî.

- oder I

i O (e). Venn E -, O, dann B/L ,O und

O

Die Amplitude der Bewegungen sei klein im Vergleich zur Schiffs-breite. Man definiert einen Parameter für dieses Verhältnis

und fordert gleichzeitig, daß die Schwingungsbewegung immer klein

bleibt, auch wenn E endlich ist

Die Länge der durch die oszillierende Bewegung erzeugten Wellen

sei von derselben Ordnung wie die Schiffsbreite. Solche kurzen

Wellen werden bei hoher Frequenz erzeugt und breiten sich vom

Schiff in Querrichtung aus. Man nimmt an, daß O

Die Froudesche Zahl F =

U/f

sei von der Ordnung i im Vergleich

zu E.

Unter diesen Annahmen betrachtet man in diesem Kapitel die

Beschrei-bung des Problems im Nahfeld. Es ist üblich, um einen Einblick in

die Randwertaufgabe im Nahfeld zu gewinnen, daß der Raum (, ,, , 9 )

bei z _{= o}

(e.) , durch Einführung einer neuen Koordinate "vergrößert

wird:

3 = , wo = 0 (1) ist.

Das Randwertproblem wird dann in den Koordinaten (, fi, ) beschrie

ben. Diese Beschreibung bezweckt, Breite und Tiefgang endlich, d.h. von der gleichen Ordnung wie ç zu machen (Koordinatenstreckung)

die Ausstrahlungsbedingung verliert ihre Bedeutung. Ferner erhält ma

-so daß

Q(E)

_gilt.

₍₂₃₎

Laplacesche Gleichung im Nahfeld

Mit (23) kann man dann aus der allgemeinen _{dreidimensionalen}

Rand-wertaufgabe die Beschreibung des Problems im Nahfeld _herleiten,

in-dem man die Glieder höherer Ordnung vernachlässigt. Hiermit folgt für das Nahfeld aus der Laplaceschen Gleichung ₍₂₎

i

î.

i

'1

o

+ L

₍₂₄₎

o) o(E)

o(E

¿)

o((4/)

In dem Bereich, wo i

-

/4-=

O( ) mit '> O ist, kann man das

letzte Glied in (24) gegenüber den anderen vernachlässigen, und (24) nimmt die Form einer zweidimensionalen _{Laplaceschen Gleichung} an:

._4)

(22)

(25)

An den Schiffsenden, wo

i =

O(e) ist, müßte das letzte Glied

von (24) berücksichtigt werden. Obwohl dies nicht

_{ganz konsequent}

ist, nimmt man dennoch an, daß (25) auch an den Enden gilt. Die Be-schreibung der Strömung, die daraus folgt, _{ist wahrscheinlich}

dennoch besser als diejenige mit kartesischen _Koordinaten. Die Randbedingung auf der Schiffsoberfläche

Gleichung (8) stellt die Randbedingung auf der Schiffsoberfläche in der Mittellage dar.

3

f

s

+

o ()

(8)

worin

-,

1

----

(_ :!_ .Z +

f

-_J?

I /

(4

+ (f 4

z c)tA

ist, und 5 = h0

(pt, 9) -

_{= O die Schiffsoberfläche in der} Ruhe-lage darstellt. /

Damit die Randbedingung auf der Schiffsoberfläche _{durch die} Geschwin-digkeitskomponente in einer Ebene tangential _{zu einer Fläch,e}

»-= konst dargestellt wird, ist es zweckmäßiger, einen Vektor zu defi-nieren, so daß

ist. Nist tangential zu einer Fläche = konst.

Durch Einsetzen von (26) in (8) und unter Verwendung von N anstelle von 'ergibt sich folgende Randbedingung auf der Schiffsoberfläche:

t5

₎ +

o(e)

(27)

orin

='.'

n=(x)

T

m'- (V)'}.k'

m={(i'

. )

(RxT)}.T

Über die Annahme a, b, c und d bestimmt man die Ordnung von (27).

(Eingehendere Hinweise findet man in Sphaier (1976)):

= 0(1) (n von der Ordnung 1)

- Q.

pt n = O(i)

m = O(i)

m-

m-nL=O(1)

Ferner gilt für die Ableitung in Richtung N im Nahfeld

&(

₎

o()=

(1)

(28)

Damit folgt

+ u

+-(29)

o(fg)

o(E4)

6)

die erste und zweite Näherung für das Potential '

müssen

daher von

der O( E3/z ) und O( ) sein:

_i -;}y-

--'z

-i ; 9

Randbedingung an der freien Oberfläche

Gleichung (13) und (21) stellen die kinematische und dynamische Randbedingung in der Ebene z = O. dar. Für die Ableitung der

Randbe-dingung, die das Potential tp in der Ebene z = O erfüllen muß, muß

man erst von (13) und (21) die entsprechenden Randbedingungen ab-ziehen, dann den Ausdruck von ¡3 (aus der Behandlung der statio-nären Bewegung) und den aus der dynamischen Randbedingung

resultie-renden Ausdruck für ¡3 in die aus (21) resultierende kinematische

Randbedingung einführen und endlich die Annahmen a, b, c und d ein-führen. Unter Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung bestimm

(26)

(30)

-man die Randbedingung, die das Potential in der Ebene z = O er-Füllen muß: 4 4 4

U21

(Uu±.

I - L (31)

o(E1)

z

(4-)

Eingehende Hinweise über die Behandlung des Potentials der statio-nären Bewegung und über die Ableitung von (31) findet man in

;_w

2=_

i

{Z1t

g

j

g(1

y

₊

+ 2(1 jt 2 ₎ auf z = O (35c)

frt

Das Potential ')l' der stationären Bewegung des Schiffes erfüllt die

Randbedingung auf der Schiffsoberfläche in der ungestörten Lage. Bei der oszillierenden Bewegung müßte das Potentia1 _eine

Randbe-fk

Sphaier (1976).

Die hier dargestellte Randwertaufgabe enthält Glieder bis zur zwei-ten Ordnung. Es ist dann zweckmäßig, das Pozwei-tential O in drei ver-5chiedenen Potentiale aufzuteilen (s. Ogilvie und Tuck (1969)):

= f -

w

U . . &) / ç (32) J ci obei

= O in der Flüssigkeit _(33a)

=

n'

_{auf der Schiffsoberfläche}

(33b)

= O auf z = O (33c)

4_I1

= O in der Flüssigkeit _(34a)

= m auf der Schiffsoberfläche _(34b)

- _{= O}

au f z = O (34c)

_frta g

j

= O in der Flüssigkeit _(35a)

&w.

dingung auf einer von der Zeit abhängigen Oberfläche erfüllen. Das macht eine Korrektur erforderlich. Die Randbedingung, die dieses

Korrekturpotential erfüllen muß, läßt sich durch m und m in (27) ausdrücken, wodurch die gegenseitige Beeinflussung beider Bewegun-gen in Erscheinung tritt. Das Potential in (32) stellt gerade diese Wechselwirkung dar, indem es die Randbedingung (34b) erfüllt. In der Ebene z = O erfüllt das Potential die homogene Randbedingung

(34 c)

Bei der stationären Fortschrittsbewegung ist die freie Oberfläche anders als die durch Superposition der beiden Bewegungen resultie-rende freie Oberfläche, an der die entsprechende dynamische und kinematische Randbedingung angesetzt werden. Das Potential

er-füllt die Randbedingung nicht an der freien Oberfläche

2 +

sondern an der Fläche ₌

( ( i

die die freie Oberfläche bei der stationären Fortschrittsbewegung

ohne Schwingung darstellt, so daß eine Korrektur erforderlich ist.

Diese Korrektur wird durch die Potentiale Vsi ausgedrückt.

Um die vollständige Randwertaufgabe aufstellen zu können, müssen die asymptotischen Randbedingungen der Potentiale 4' , 'X und

im Nahfeld für großes dargestellt werden (äußere Entwicklung

des Nahfeldpotentials). Diese Bedingungen werden durch Anpassung (matching) von Fernfeldpotential und Nahfeldpotential geliefert.

Durch Analyse der Randwertaufgabe und unter einigen Annahmen

las-sen sich asymptotische Entwicklungen für

_4'

, ')( und aufstellen. Die Rechtfertigung dieser Entwicklungen wird durch

die Arassung

vollzogen. Bei und bei ' handelt es sich um ähnliche Probleme: Auf der Schiffsoberfläche werden der Flüssigkeit Geschwindigkeiten übertragen, und in der Ebene z = O muß eine linearisierte Randbe-dingung erfüllt werden. An der freien Oberfläche entstehen Wellen, die Energie abtransportieren. Da die Flüssigkeit zähigkeitsfrei ist, wird diese Energie mit den Wellen bis weit von dem Schiff

ent-fernt abtransportiert. Um diesen physikalischen Vorgang darzustel-len, wird angenommen, daß sich für großes fortschreitende Wellen

ergeben. Man nimmt daher an, daß die äußeren Entwicklungen von

und von der folgenden Form sind:

-i- 9) t

(jo)

J&)'-v a_L1)

- e- (35a)

(L4 _t

LJ

(35b)

Bei der Lösung für das Potential '/SJ wird das Problem komplizierter.

An der freien Oberfläche muß eine inhomogene Randbedingung erfüllt werden, die das Problem sehr kompliziert.

-Nach der Theorie schlanker Körper in kartesischen Koordinaten haben Ogilvie und Tuck (1969) eine der hier abgeleiteten

Randwertaufga-ben ähnliche Randwertaufgabe für die Bestimmung von erhalten.

Wenn man sich auf die Ogilvie-Tucksche Analyse stützt, erhält man

folgende asymptotische Entwicklung (Sphaier (1976)):

JZUidi.dfv .Ç4t) e

3 ô)

o £ e¿j)

-ue1 V1'(t4t)

t

J

4. Das Potential im Fernfeld, seine innere Entwicklung und die ent-sprechende Anpassung an das Nahfeld

Für die Darstellung der Randwertaufgabe im Fernfeld nimmt man an,

daß

o() und

1c (/,

) = o(e) (Gleichung der

Schiffs-oberfläche). Man strebt die Bestimmung einer asymptotischen Lösung

für L o _{an. Wenn aber ¿ - o} , wird - und das Schiff auf

eine Linie zurückgeführt. Die Randbedingung auf der Schiffsober-fläche verliert vom Fernfcld aus betrachtet ihre Bedeutung. Das Potential muß folgende Bedingungen erfüllen:

auf der freien Oberfläche

- - und

bt

(38) f

Q

Man setzt (3) in der kinematischen und in der dynamischen Randbe-dingung (38) ein, zieht die Ausdrücke der entsprechenden BeRandbe-dingung für das Potential der stationären Bewegung davon ab und kombiniert

für

e ,t

(57)

für o

Mit (35) und (36) und unter Vernachlässigkung von Gliedern ah Ord-nung

Q(zj)

_{erhält man für das Gesamtpotential die asymptotische} äußere Entwicklung:

wobei

ten dier Bewegungsgleichung

SchiffsechnikBd.28-1981 190

-Das ist d:ic innere Entwicklung des Potentials im Fernfeld für

- O ( ) . Sie niuß der äußeren Entwicklung des Potentials im

Nahfeld angepaßt werden. Die innere Entwicklung des Fernfeldes

(41) und die äußere Entwicklung des Nahfeldes (37) müssen identisch sein. Mit

=

j--411t

ist die geforderte Anpassung erfolgt.

5. berechnung der hydrodynamischen Kräfte und Momente -

Koeffizien-Um die hydrodynamischen vertikalen Kräfte und die Stampfmomente zu berechnen, die auf das Schiff wirken, bestimmt man zuerst den Druck

dann die resultierenden Gleichungen. Nach Linearisierung erhält

man im Fernfeld die Randbedingung, die das Potential auf der Ebene

z = 0 erfüllen muß:

Die gesuchte Lösung für das Potential im Fernfeld ist dann

(s. Ogilvie und Tuck (1969)).

(k2

-(40)

w ori n

z

dic Fourier-Transformation der Queliverteilung Gb) ist.

Aus dieser Lösung kann man folgende asymptotische Entwicklung in

Sphäroidkoordinaten für

o () bestimmen:

( 9

(41)

auf der Schiffsoberfläche aus dem Potential des Nahfeldproblems. Der Druck wird mit den Richtungskosinus n3 bzw. n5 multipliziert und dann entlang des Schiffes integriert.

Infolge der periodischen Bewegung ändert sich der Druck mit der Zeit. Mit Hilfe der Taylorschen Reihe kann man den Druck in bezug auf die Ruhelage des Schiffes entwickeln.

( (t)) =

(;')

¿(t)

+

( ₎ + - (t)

){r+

(42)

wobei der Ortsvektor eines Punktes auf der Schiffsoberfläche

in bezug auf die Mittellage Ist.

Nach der Bernoullischen Gleichung gilt

r a _¿

(u).

IvIL3

¿L

)

Wenn man (43) in (44) einsetzt und die zeitabhängigen Glieder höhe-rer Ordnung bis

O (2E3)

beibehält, erhält man den hydrodynami-schen :eitabhängigen Druck

_'k

-

(Ux+U).

(23)

j) 3t

Durch Integration dieser Druckverteilung über die Schiffsoberfläche erhält man die Vertikaikräfte

( und die

Stampfmomen-te (C5)

(45)

Nach Ogilvie und Tuck (1969)

1 ()=

(46)

so 30

worin C

die Wasserlinienkontur bedeutet und Vc7(x)

.

Ange-nommen, daß in Höhe der Schwimmwasserlinie die Schiffsoherfläche

senkrecht zur Ebene z = O steht, ist _o/3e

=

O . Daraus

folgt

't

_{o und für den Sonderfall der Tauch- und}

J()d-so

[orner folgt aus (46)

F.

-f

₎ -

fuc

_}

?'1;

su

(47)

Wenn man (32) in (47) einsetzt und Glieder höherer Ordnung kleiner

als

Q ( E) vernachlässigt, ergibt sich:

= -

f(Lw)Z[

±

E

j -

k

d

(48) so

Man führt folgende Abkürzungen ein

__(o)

-

(o) =

-f

()

Jí

-

f(U

T s',

f(LU î'

-Schiffstechnik Bd. 28 - 1981 192

-Daraus folgt:

F(t

T .

L)

wobei

(4)

-_()

1k + -j-- I4

1)ns Flächenelement d S ist (s. Sokolnikoff (1967))

)

;-_'

-

,

1r&

;8

j I

Auf der Schiffsoherfläche

o(t)

C

(49a)

(4 9b)

bestimmt man und damit

cs

II

Z i

1_

H

r'

_H

Aus der Schlankheitsannahme folgt

worin d

und d8

die Linienelemente entlang der - bzw. 9

-Linien sind.

Aus (51) ergibt sich entlang einer Linie C(0) , wobei

/4

= konst,

auf der Schiffsoberfläche d

_{=k,()/'g. Mit der}

Schlank-heitsannahme folgt aus (53)

auf der Schiffsoberfläche. Setzt man diesen Ausdruck, Gl. (53), in (49a) ein, erhält man

'1

I o)

f

r.

ff

Da 4E'

-

/-ist, folgt aus (56):

=

f

3 = c.(0) (53) (54) (SS) (56) so daß

¿()

_td

₍₅₂₎

Entlang des Schnittes

c0)

, den die Fläche ,frt= konst mit dem Schiff bildet, erhält man nach dem Satz von Pythagoras folgenden Ausdruck für das Linienelement ds

4,

}LAJ

'1 (o)

y(o)

(

-

j_l"J

(o) J d1 ₊ 4) -1

worin die Koeffizienten a und b

33 .1.)

+

f

p d s

c s0)

eingeführt wurden.

Ferner folgt aus (49b) und (49c)

1.

1)

-1

_c0)

'

-wobei

a auf der Schiffsoberfläche.

Um die Integrale .-L und bestimmen zu können, müßte man

die Randwertaufgaben (34) und (35) lösen, da sie die Potentiale zweiter Ordnung 'Xj

und W

enthalten. Sie hängen aber über die Randbedingungen von dem Potential erster Ordnung ab. Mit Hilfe des Greenschen Satzes entwickelt man die Integration der Potentiale

und VJ über die Ebene z = O, entlang c(íf.Oj , und einen

Kreis

c(S)

weit von dem Körper entfernt (s. Abb. 3), so daß

f

s(

.-')= -

-

(59)

J J . a a4t J

c2(f O.)

mit

bzw.

Durch Einsetzen der Randbedingungen auf der freien Oberfläche und

der asymjotischen Eitwicklung von , W.

, und ' in (59)

können I und in Abhängigkeit von alleirn dem Potential

erster Ordnung ausgedrückt werden. Hier werden sie nur durch die Ergebnisse gezeigt: 4) (4) 133 ₌

:O

(,

(4) ₍₄₎

-

f3

3

I

-()

(2) _

-

1ç3

(57b) (5 7c) Schiffstechnik Bd. 28 1981 - 194 -(57 d) (58)

wobei

und

Damit folgt aus (48)

4 Do

,dd-() [3

_3

'I L -1

die Gleichung der Schiffswasserlinie.

[(4)

rL

]j3s

'1 -_14 (60) Für

¿3

_À33 3 -

3 -

A3 335 Für < ,4ç5 -

- 4ç3

s wobei

3

₃ z _D3

43

+ ₁₃₃

I4[U

"I

3 -4 35 B35

-

A3

i [U

1

denjenigen in kartesischen Koordinaten unterscheiden. Bei der

Ent-wicklung von

I

und I

sind auch verschiedene

Integra-tionswege und verschiedene Ableitungen benutzt worden. Die hydro-dynamischen Koeffizienten der Bewegungsgleichungen haben aber in beiden Koordinatensystenien dieselbe Form. Infolge der verschiede-nen Konturen der Streifen, die durch die verschiedeverschiede-nen

Koordinaten-systeme erzeugt werden, werden jedoch bei Schiffen beliebiger Form unterschiedliche Randbedingungen an der Schiffsoberfläche definiert.

Ferner werden bei der Schlankheitsannahme verschiedene Näherungen für das Flächenelement und weitere geometrische Größen eingeführt. In kartesische Koordinaten (KK) wird das Flächenelement dadurch

dar-gestellt (Newman (1962)), daß cLS4= r-cO cLx d_ ist. Die

Li-nienelemente k&. und unterscheiden sich durch die verschie-denen Schnitte, die auf den Schiffsoberflächen definiert werden. In Längsrichtung sind

eJ

k k

Für einen Rotationskörper

(: o(-)

,

= r(') )

werden sowohl durch

Schnitte mit der Ebene x = konst als auch mit den Ilyperboloiden ,u-=

konst auf der Körperoberfläche Kreise erzeugt. Die Linienelemente en lang eines Schnittes C ( ) sind in beiden Koordinatensys temen

gleich.

cL6 = =

Zwischen den Linienelementen in Längsrichtung erhält man folgende Beziehung: - (x) )dx

(61)

A41 cL

f

oder k01 wobei

2'

z

d

-/

Im Fall eines Sphäroids, ₌ = konst, ist

k

(-)

Ferner muß darauf hingewiesen werden, daß im Fall eines Rotations-körpers sowohl in Sphäroidkoordinaten als auch in kartesischen

Koor-dinaten die bei de_r Theorie schlanker Körper sich ergebenden Rand-wertaufgaben für 4 äquivalent sind. Es handelt sich hierbei um

einen Kreis, der an der freien Oberfläche Tauchschwingungen ausführt Die Potentialfunktion, die die Flüssigkeitsteilchenbewegung beschrei muß in beiden Fällen die linearisierte Randbedingung in der Ebene

z = O erfüllen und derselben Körperbedingung genügen.

-I' =

5

a

555 J355

-ìi

t

l3

Re [

f

A

= -

_f

worin

A33 und B33 die Koeffizienten der hydrodynamischen Masse und Dämpfung beim Tauchen

A55 und B55 die Koeffizienten der hydrodynamischen Masse und Dämpfung beim Stampfen.

A, und B- bzw. A und B

53 53

die Kopplungs-Koeffizienten der hydrodynamischen Masse und Dämpfung des Stampfens und Tauchens sind. Sie er-füllen die Symmetriebedingungen von Trimman und

Newman C1962).

6. Vergleich der Theorie schlanker Körper in kartesischen Koordi-baten und in 5pharoidkoordinaten

Durch die Anwendung der Theorie schlanker Körper in Sphäroidkoordi-naten ist die dreidimensionale Randwertaufgabe auf viele zweidi-mensionalen Ranciwertaufgaben zurückgeführt worden, die sich von

(1

ct -1 Ii -Ç (7'-) -2.

L

2.ck

2)

kk L

Schiffstechnik Bd. 28 1981 198

-Obwohl die Defjnitjonsberejche des Problems für beide Koordinaten-Systeme verschieden sind, gibt es einen funktionellen

Zusammen-hang zwischen beiden Potentialfunktionen, so daß (A

(4)

ist, wo 4 und A

in Abb. 4 gezeigt werden.

Nach der Theorie schlanker Körper enthalten die

Kopplungskoeffizien-ten ein geschwindigkeitsabhängiges Integraiglied Ç (das

Ogil-vie - Tucksche Integral), das in der Streifenmethode nicht auftritt:

-f-- _e4-1

3]

((2)

-

L. 3 00 Jo _2CU s,

+f [(xo)-a

\)0(LJ')

worin KK, SK kartesische Koordinaten bzw. Sphäroidkoordinaten be-deuten und _-Ç (j....)

,

' (Ix') die Gleichungen der Wasserlinie in

Sphäroidkoordinaten bzw. kartesischen Koordinaten sind.

In diesen Ausdrücken sind die Integrale I

-- -

und _J

entlang verschiedener Strecken definiert. Sie liefern aber die glei-chen numerisglei-chen Ergebnisse,da die integranden gleich sind:

(A j

=

(ost)

4 ('

j

¡(o

ç Abb. 4)

(z)'

entlang

Durch die Beziehung - d,1- dx tritt aber ein Unterschied auf.

Bei einem Sphäroid .' = konst hängen die Beziehungen zwischen

den Ergebnissen für die Theorie schlanker Körper in Sphäroidkoordina-ten und in kartesischen KoordinaSphäroidkoordina-ten nur von l-- .

ab:

_4 /z A J

(+

) _i kk -3'a

(1

I( (<k (1 z

k

_ß3l

= ₃₃ I K K -k0 _:) 13ç A

7. Numerische Ergebnisse und Schlußfolgerungen

Die Koeffizienten der hydrodynamischen Kräfte sind für ein tauchen-des und stampfentauchen-des Sphäroid (mit L/B = 4,0) an der freien Ober-fläche mit Fortschrittsgeschwindigkeit Null ausgewertet worden. Für diesen Fall ist eine dreidimensionale Lösung (W.D. _{Kim (1965))} be-kannt. Kim hat eine Quellbelegung auf der Schiffsoberfläche

zugrun-degelegt und das linearisierte dreidimensionale Problem numerisch gelöst. Die Werte dieser Koeffizienten sind mit der Theorie schlan-ker Körper auf der Grundlage kartesischer Koordinaten _und Sphäroid-koordinaten ausgerechnet und in Abb. 5, 6, 7 und 8 aufgetragen

wor-den.

Außerdem sind auch die Werte der Koeffizienten nach Kim (1965) auf-getragen worden. Infolge der Symmetrie des Körpers sind die Kopplungs-glieder gleich Null.

Die Koeffizienten nach Kim sind für den Bereich hoher _Frequenzen nicht ausgewertet worden, aber die Tendenz der Kurven zeigt, daß mit zunehmender Frequenz der Unterschied zwischen den _Ergebnissen nach Kim und den hier ermittelten Näherungslösungen kleiner wird. Die Tendenz in den Dämpfungskoeffizienten bestätigt, daß _die Theo-rie schlanker Schiffe für den Bereich hoher Frequenzen geeignet ist. Bei hoher Frequenz entstehen kurze Wellen, die sich senkrecht zur Längsachse fortpflanzen. Daher ist die gegenseitige Beeinflus-sung zwischen den Streifen klein. Deshalb zeigt die Tendenz der Kurven gute Übereinstimmung zwischen Näherungs- und dreidimensio-naler Lösung.

Für unendlich große Frequenz muß das Potential an der freien Ober-fläche gleich Null sein. Das entspricht _{genau der Randbedingung für} einen symmetrischen, tief getauchten Körper, wofür die exakte Lösung bekannt ist. Wenn man für diesen Fall die Näherungslösung in karte-sischen Koordinaten und Sphäroidkoordinaten vergleicht, _{stellt man} fest, daß

Der Verlauf der Kurve der dreidimensionalen Lösung muß bei zunehmen-der Frequenz dem Wert für unendlich hohe Frequenz sich asymptotisch nähern und bei hoher Frequenz unterhalb der beiden anderen Kurven-verläufe liegen. In dem Frequenzbereich, _{wo die Theorie schlanker} Körper mit Erfolg anwendbar ist (hohe Frequenz), _{dürfte die}

Näherungs-theorie in Sphäroidkoordinaten die Massen und Momente besser erfas-sen als die kartesische Näherung.

In Abb. 6 und 8 liegen die Werte der Dämpfungskoeffizienten und

1355

nach der dreidimensionalen Theorie unter den Werten nach den verschiedenen Näherungstheorien. Da sich die Dämpfungsenergie nach einer zweidimensionalen Theorie relativ größer _{als nach einer} drei-dimensionalen Theorie ergibt, müssen die Werte der

Dämpfungs-koeffizienten nach der dreidimensionalen Theorie kleiner als die Werte nach den Näherungstheorien _{bleiben. Daß die Theorie schlanker} Körper in Sphäroidkoordinaten kleinere Werte als die Theorie in kar-tesischen Koordinaten liefert, zeigt, daß die Theorie in

Sphäroid-koordinaten auch hier zu verbesserten Ergebnissen führt.

Für einen bezüglich des Hauptspants asymmetrischen Rotationskörper (s. Tabelle 1) (L/B = ,O) sind die Koeffizienten der Bewegungs-gleichungen für verschiedene Werte der Froudeschen Zahl ausge-rechnet worden. Tabelle 2 zeigt die Ergebnisse nach der Theorie schlanker Schiffe auf der Grundlage von Sphäroid- und kartesischen Koordinaten. Man kann hieran für diese Körperform feststellen, daß der Unterschied zwischen den Ergebnissen nach der Theorie schlanker Körper in Sphäroid- und in kartesischen Koordinaten unter 2,5 %

bleibt. Insbesondere bei A-.._ und B_ ist die Differenz kleiner als

i q

U.

Die Abbildungen 9 bis 13 zeigen die hydrodynamischen Koeffizienten nach der Theorie schlanker Körper und der Streifenmethode. Abb. 14

zeigt den Einfluß des Ogilvie-Tuckschen Integrals auf die Kopplungs-koeffizienten. Dieses Glied wird in der Streifenmethode vernachläs-sigt. Der Beitrag des Ogilvie-Tuckschen Integrals ist für alle

un-tersuchten Frequenzen nicht vernachlässigbar. Bei ' =

L/

zwischen 4,0 und 5,0 ist der Beitrag dieses Integrals zu B35 und B53 sehr klein, aber zu A3 und i\53 so groß wie(U/L)B33. Bei kleineren Frequenzen nimmt sein influß auf A35 und A53 ab, aber auf B35 und

B5_ zu. Ferner ist der Phasenwinkel eine Funktion der

Fre-qunz. Die Abbildungen 12 und 13 lassen die Rolle dieses Integrals

bei der Bestimmung der Kopplungskoeffizienten erkennen.

Die Verbesserung in den hydrodynamischen Koeffizienten der Bewegungs-gleichungen sind zwar absolut klein, jedoch war dies - zumindest im Bereich hoher Frequenz und für recht schlanke Körperenden - auch

nicht anders zu erwarten, da hier die kartesische Streifenmethode bekanntlich bereits sehr zuverlässige, mit Messungen gut

übereinstim-mende Ergebnisse liefert.

Es ist ein Koeffizient , der das Verhältnis zwischen den

ver-schiedenen Näherungen des Flächenelements in Sphäroid - und in kar-tesischen Koordinaten angibt, eingeführt worden. Für einen

Rotations-körper ist ,-/dv(Gl.4 61) und insbesondere für ein Sphäroid

k.0 ₍ 'J + . Bei einem Schiff mit hohem

Block-koeffizienten ähneln die Enden jedoch nicht einem Sphäroid, dessen

Verhältnis L/B gleich dem des Schiffes ist, sondern stumpferen

Sphä-roiden. In diesem Fall zeigt der Faktor (Abb. 15), daß der

Unterschied zwischen den Ergebnissen aus der Theorie schlanker Schif-fe in Sphäroidkoordinaten und in kartesischen Koordinaten erheblich sein kann. Bei einem Sphäroid mit L/B = 2,50 erhält man z.B.

k

= 0,917. Diese Unterschiede sind u.a. für die Bestimmung des Biegemo-ments im lIauptspant von Bedeutung, da die Kräfte an den Enden mit

großen Ilebelarmen multipliziert werden.

Die Ergebnisse der Arbeit zeigen somit einerseits, wie sich die bei der Streifenmethode unvermeidlichen Fehler in der Nähe der Schiffs-enden durch Wahl geeigneter krummliniger Koordinaten verringern las-sen, und sie geben andererseits Hinweise, in welcher Größenordnung und Tendenz sich die hierdurch erzielbaren Korrekturen bewegen.

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5090 Leverkusen

Anschrift Name/Firma

Prof. Dr.-Ing. W.-H. Isay

KAVITATION

Schiffahrts-Vcrlag ,,Hansa" C. Schroedter GmbH & Co. KG

Schiffstechnik Bd. 28 - 1981 202

-NEUERSCHEINUNG

KAVITATION

von Dr-Ing. W.-H. I s a y,

Professor für Strömungsmechanik

am Institut für Schibau der

Universität Hamburg.

322 Seiten mit 166 Abbildungen,

DM 40 inkl. MWSt zuzüglich

Versand-kosten.

Kavitation bedeutet Hohiraumbildung durch Verdampfung des Wassers bei Absinken des örtlichen

Strö-mungsdruckes auf oder unter den Dampfdruck. Diese Erscheinung ist insbesondere den mit der Entwick-lung von Schifispropellern befaßten Ingenieuren und Forschern seit langem ein Begriff.

Kavitationserstheinusigen bleiben nicht ohne Auswirkungen auf das Strömungsfeld; so können die hydro-dynamischen Eigenschaften, insbesondere die Druckverteilung, von Propellerflügeln und anderen Strö-mungskörpern durch Kavitation erheblich beeinflußt werden. Durch die beim Zusammenfall von Blasen und Kavitationsschichten entstehenden Druckwellen werden häufig Materialschäden an Strömungskörpern hervorgerufen. Besonders bekannt ist die Flügelbiatterosion bei Propellern. Kavitationsvorgänge rufen ferner an benachbarten Bauteilen (zum Beispiel der Außenhaut eines Schiffes in der Umgebung des Pro-pellers) starke Vibrationsbelastungen hervor und führen außerdem zu einer erheblichen Geräuschabstrah-lung.

Es ist daher verständlich, daß die Probleme der Kavitation und insbesondere die mit der Übertragung von Modellversuchsergebnissen auf die Großausführung verbundenen Fragen international Gegenstand einer intensiven Forschung sind. Gerade im vergangenen Jahrzehnt wurden beachtliche Fortschritte erreicht. Auch im Rahmen des von den Universitäten Hamburg und Hannover sowie der Hamburgischen Schiff-bauversuchsanstalt und dem Germanischen Lloyd getragenen Sonderforschungsbereichs ,,Schiffstechnik

und Schiffbau" wurden unter Leitung des Verfassers Fragen der Kavitation bearbeitet.

Das Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die der Verfasser seit mehreren Jahren an der Univer-sität Hamburg für Studenten des Schiffbaus und der Physik abhält und die ein erfreuliches Interesse ge-funden haben. Das dabei seit 1976 herausgegebene Vorlesungsmanuskript wurde nunmehr unter Berück-sichtigung des gegenwärtigen Standes der internationalen Kavitationsforschung und der entsprechenden Originalarbeiten einer völligen Neubearbeitung unterzogen und in die Form eines Buchesgebracht.

Zunächst werden die strömungsmechanischen und thermodynamischen Grundlagen der Kavitation in einer Keime enthaltenden Zwei-Phasen- und Zwei-Komponenten-Strömung sowie Fragender Stabilität, des Wachstums und Zusammenfalls von Keimen und Blasen behandelt. Weitere Kapitel sind den Problemen des Kavitationseinsatzes und dem Einfluß der Strömungsgrenzschicht und der Turbulenz gewidmet sowie der Vorausberechnung der Kavitationserscheinungen an Strömungskörpern, insbesonderePropellerflügeln. Die Bedeutung der Kavitation (u. a. auch in Spitzenwirbeln) für die von Propellern an der

Schiffsaußen-haut indu.zierte Vibrationsbelastung und die verschiedenartigen Maßstabseffekte zwischen

Modeilver-suchen mit Propellern und den Originalbedingungen werden abschließend erörtert.

BESTELLSCHEIN

an Schiffahrts-Verlag ,,Hansa" C. Schroedter GmbH & Co. KG, Postfach 11 03 29, 2000 Hamburg 11

Ich/Wir bestelle(n) Exemplar(e) ,,KAVITATION" zum Einzelpreis von DM 40, inkl. MWSt.

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Datum

LIT E RAT U RV E R Z EI CHN IS

BORODAI, I.K./NETSVETAYEV, Y.A.

"Ship Motion in Ocean Waves" (russ.) Sudostroenie, Leningrad 1969.

GRIM, O.

"Durch Wellen an einem Schiffskörper erregte Kräfte", Symposium of Ships in a Seaway, Wageningen 1957.

GRIM, O.

"A Method for a More Precise Computation of Heaving and Pitching Motions Both in Smooth Water and in Waves",

Third Symposium on Naval Hydrodynamics, Scheveningen/Nether-lands 1960.

KIM, W.O.

"On the Harmonic Oscillations of a Rigid Body on a Free Surface",

J. Fluid. Mech. , Vol. 21, part 3, 1965.

KORVIN-KROUKOVSKY, B.V./JACOBS, W.R.

"Pitching and heaving Motions of a Ship in Regular Waves", Trans. SNAME, Vol. 65, 1957.

NEWMAN, J.N.

"A Slender Body Theory for Ship Oscillations in Waves", J. Fluid. Mech., Vol. 8, part 4, 1964.

OGILVIE, T.F./TUCK, E.O.

"A Rational Strip Theory of Ship Motions: Part 1" Report No. 013, University of Michigan, 1969.

SALVESEN, N/TUCK, E.O./FALTINSEN, O.M.:

"Ship Motions and Sea Loads", Trans. SNAME, Vol. 78, 1970. St5DING, H.:

"Eine Modifikation der Streifenmethode", Schiffstechnik, Bd. 16, Heft 80, 1969. SOKOLNIKOFF, I.S.

"Tensor Analysis"

John Wiley & Sons, Inc., 2nd ed., New York, 1964 SPHAIER, S.H.

"Näherungsweise Bestimmung von hydrodynamischer Masse und Dämpfung in verschiedenen Koordinatensystemen",

TASAI, F./TAKAKI, M.:

"Theory and Calculation of Ship Responses in Regular Waves

(j ap. )

Symposium on Seaworthiness of Ships, Japan Society of Naval Architects, 1969.

TIMMAN, R./NEWMAN, J.N.:

"The Coupled Damping Coefficients of Symmetric Ships", J. Ship Research, Vol. 5, No. 4, 1962.

Tabelle 1: Form des Sphäroids und des Rotationskörpers IL/B = 8,0)

Schiffstechnik Bd. 23 - 1981 204 -x Sphäroid Rotationskörper + r = f(- x) r = f(x) r = f(-x) 0 0,12500 0,12500 0,1250 0,1 0,12437 0,12447 0,12427 0,2 0,12247 0,12267 0,12228 0,3 0,11924 0,11953 0,11896 0,4 0,11457 0,11493 0,11420 0,5 0,10825 0,10868 0,10782 0,6 0,10000 0,10048 0,09952 0,7 0,08927 0,08976 0,08877 0,8 0,07500 0,07547 0,07452 0,9 0,05449 0,05487 0,05410 0,95 0,03903 0,03932 0,03874 0,96 0,03500 0,03527 0,034732 0,97 0,03039 0,03062 0,030153 0,98 0,02487 0,02507 0,024680 0,99 0,01763 0,01777 0,01749 1 0 0 0

Tabelle 2: Koeffizienten der hydrodynamischen Massen, Massenmomente

und Dämpfung des tauchenden und stampfenden

Rotationskör-pers (L/B = 8,0) nach der Theorie schlanker Körper

£33 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 a 0,942 a 0,753 b 0,759 a 0,651 b 0,656 a 0,606 b 0,611 a 0,599 b 0,604 a 0,616 b 0,621 a 0,646 b 0,652 L_¡ B33 A55 55 0,949 a - Sphäroidkoordinaten b - Kartesische Koordinaten A LS

-

VL _{- Volumen}

" _ILt

S3 LS

-2,628 0,0515 0,140 2,649 0,0527 0,143 2,616 0,0409 0,143 2,637 0,0419 0,147 2,455 0,0347 0,139 2,474 0,0355 0,142 2, 196 0,0313 0,129 2,213 0,0320 0,132 1,888 0,0299 0,115 1 ,903 0,0306 0, 118 1,571 0,0298 0,100 1,584 0,0306 0,103 1,274 0,0306 0,085 1,284 0,0314 0,087

I

z

r+

r

X 1+72

y r sn e L

i -2

Abb. I

Sphroid -, Zylinder - und

kartesische Koordinoten

Schifistechnik Bd. 28 - 1981 206 -rA

Lt/1M

Z/-i

cos e F, F' - Brennpunkte FF 2 L sin e L

2i

2' /kL

z

-r cose

-

i_2

cose 2_ 1

r Z

J2'

freie Oberfiöche

C ( f.O.)

Abb. 2 - Kortesische Koordinaten

-

-.'--- -

-- -

--- ---.

/

Def mit io ns be reich

in _{Kart. Koord.}

-Abb. 4 X Abb. 2 Abb. 3 Definition von C(S0), C(f.O-),CR

-

-- -.-Definitionsbereich in Sphdroidkoord.

-

-.- -'-'- --X

Abb. 2, 3, 4

Abbildungen

433 o

/

/

/

/

/

I.

/

L-Abb. 5

/

/

dreidimensionale LÖSUng W. O. Kim) Theorie schLanker Körper 1 2 Schiffstechnik Bd. 28 1981 208

-All

A33 - Volumen

Hydrodynamische Mosse beim Tauchen

Sphroid L/B

4,0, FO

/

3 4

0,5 B33 B33

f

b33 dt B33=

Abb. 6

Theorie schl.anker

-

_-.

Sphäroidkoord. Korper

/

./

\\\

/

/

_\

/

/

dredrnensionale Lösung W. D. Km

V:: Volumen

ii:

Koeffizienten der hydrodynomischen Dmpfung beim Tauchen,

Sphroid, L/B

4,0) F

O

/

_{Kart. Koordinaten} 2 133 1,5 2 _{3 4}

o,lSt 0,10 0,05

i

/

/

/

A55 a33 df A55 551

Ç) V L2

-

_Sphroidkoord

/

/

/

Schiffstechnik Bd. 28-1981 210 -= L/g V - Volumen dreidirnensioraLe Lösung

-W.D.Kim)

/

7,

/

- -

,L Kart. Koord.

/

Theorie schlanker Körper

/

/

/

/

/

/

1 2 3 L 17

Abb. 7 Hydrodynomisches Trgheitsmoment beim Stompfen,

B55 0,10 - U,05,-B55 = B55

55J)L2\17

/

w\/L/g

- Vowmen

/..

_{dredimensionae Usuny}

/

(W.D.Kìm) Theorie schtanker

N

K3rper

N

Koeffizienten der hydrodynamischen Dimpfun _{beim Stompfen,}

Abb. 8

Sphroid L/B

4,0

, F,. O

A33 B33 2 1,5 l'o 0,5 o

N

Abb. 9

A33= B33 Schiffstechnik Bd. 28 1981 33dJt 33djz I 4 2 3 4 5 lic - 212 -A33 B33 Dmp A33 B33

çr7ii

L/g

V - VoIumen

Masse A33

Koeffizienten der hydrodynamischen Mosse und Dmpfung beim

0,075

-

_A55

\

\ \ F037\

\\/

\

'(

F1,0,25

\\

0,20

\'\V\

\ <ç'

\\\N

_{N NN}

NNN

0,025 -Ti)e Abb. IO

Stretenmeth de

'ker 1_.T

-

- --- S-.-

-"or

_Per -- -..

-5----. A55

32

¡j. a33d A A55 - Vo'umen Sreifenmethode 1

Hydrodynomisches Trgheitsmoment beim Stampfen,

Rotationskrper L/B

8)0 ( Tabelle I

2

Theorie schlank er Kärper

0j

-f-- -t- _f

B55 B55

r2 g/

Q,2Oç

-

i\JL/g

N

_F030

N

methode

N

Streifen - Volumen

F0,25 N

N

T F 0,20 -

N

N

__.__±n0,15

N

0,15 -

N

N

TheOre _SChLanker jr..

0,10-Theone schlanker Körper

Streifenmethode

0,05--Schiffstechnik Bd. 28 1981 214 -b33 d1j. 3/L2b33d

_{fA+_-2}

u2 ₃₃

N

F F 2 3 4 5

Koeffizienten der hydrodynamischen Dmpfung beim Stompfen,

Abb. II

Rototionskrper L/B

8,0

( Tabelle I

B55 =

Streifenmethode -

0,10-i-L.

Theorie schlank

Körper O 2 3 Theorie schlanker Körper

_._.L.

7f

/

A53 0,10-

-1bb. 12 Str&fenrnethode B1

-VL/g

--

.

7- -7-B

fLV'7L

A j 'cf L - VoWmen

-53 K o ppl un g s k 0e f f z ¡ e n ten,

Rotohonskrper LIB 8,0 (Tobelle I), F

0,20

Streifenmethode Theorie schlanker

N

/B35

Körper

A-ftua33dj fu-

B33 A35=

fa.1i

_{+_} B

_im{2

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B3-f.ib33dp

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f

£)A b33dp. - U A33 Re 2 U

f

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f

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f

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U

ARe{2fUfcdS}

g 0,20 B A1

N

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0,20--0,30 0,20 N

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435 0,10-N -0,20

\

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N

N

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N Abb. 13 B1 N

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-0,10-453

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V

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3

-7

z

St reif enmethode =

_fadr.

- B. B35 = - b., dy. - U 433

-

f

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B=- fbd+ U 433

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PVL

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Rotationskrper L/B

8,0 (Tabelle

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5 B35

Theorie schlanker K6rper

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i 0 -£A35 ¿B35 0,5 0 2 3 Abb. 14 StrefenmeTh ode Theorie sch1.nker Krper

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bd - U A

L

[A35=-f £)A a33 dj 833_{- _____}2p U

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_{dS }} dS}

EinfIu des InteQrols on

der freien Oberflche

auf die Kopplungsglieder

- 0,5

3 15

L/B

Abb..15

Faktor KOR ois

Funktion von LIB fr ein Sphroid

-Diskussion

Prof. Dr.-Ing. Horst Nowacki, TU Berlin

Die vorliegende Arbeit ist eine interessante _{Studie zu den}

ÎR5glich-keiten und Grenzen der modernen Streifenmetbode und der mit ihr

ver-wandten NäTherungsverfahren auf der _{Grundlage der Theorie schlanker}

Körper. Es ist bekannt, daß diese _{Verfahren, abgesehen von}

Linea-risierungen hinsichtlich von Bewegungsamplituden und Höhe der ein-fallenden Wellen, auch auf vereinfachenden Annahmen beruhen, um die

streifenweise Behandlung der dreidimensionalen Strömung _am

schwin-genden Schiff zu rechtfertigen, _{nämlich u.a. einer expliziten}

oder

impliziten Schlankheitsannahme _{(kleine Schiffsbreite im Verhältnis}

zur Länge) und der Voraussetzung hoher _{Schwingungsfrequenz (kleine}

Wellenlänge der durch die _{Bewegung entstehenden Wellen im Vergleich}

zur Schiffslänge). Der durch die Schlankheitsnäherung _verursachte

Fehler, d.h. die Vernachlässigung von Strömungskomponenten

senk-recht zum Streifen, hängt _{aber von der Wahl des Koordinatensystems} ab; Ziel der Arbeit ist _{es, diesen Fehler durch Einführung}

krumm-liniger Koordinaten, hier von Eilipsoidkoordinaten, zu verringern,

indem der "Streifen" (in diesen Koordinaten eine gekrümmte

Raum-fläche) so gelegt wird, daß _{er - auch an den Schiffsenden - die}

Richtung normal zur Schiffsoberfläche _{besser annähert.}

Zu diesem Zweck wird in der Arbeit _{in konsequenter Weise mittels}

der Methode der "matched asymptotic _{expansions" eine Lösung für}

die Theorie schlanker Körper in _{Ellipsoidkoordinaten entwickelt.}

Die Beispielrechnungen _{lassen die Folgerung zu, daß die so}

gewon-nene Korrektur in der richtigen Richtung _{liegt, da vor allem bei}

hohen Frequenzen eine gegenüber dem Verfahren in kartesischen

Ko-ordinaten verbesserte übereinstimrnun _{mit dreidimensionalen}

Rechen-ergebnissen (W.D. Kim) erzielt wird. _{Allerdings ist bei hohen}

Fre-quenzen die Zuverlässigkeit der Streifenmethoden _{ohnehin erwiesen.}

Bei niedrigen Frequenzparametern _{dagegen, wo zwischen den}

Ergebnis-sen dreidimensionaler Berechnungen und solchen nach der

Streifen-methode erhebliche Unterschiede _{auftreten, verbessert die}

Korrek-tur die Übereinstimmung nicht entscheidend, _{sondern es bestätigt}

sich die Vermutung, daß hier die _{Voraussetzung kleiner}

Wellenlän-gen und damit vorwieWellenlän-gend quer zum Schiff sich _{ausbreitender Wellen}

die maßgebliche Fehlerursache _{darstellen dürfte.}

Die Beispielrechnungen zeigen ferner, daß bei Verwendung der (kar-tesichen) Streifenmethode besonders im Falle stumpfer Körperenden

"Endeffekte" unberücksichtigt bleiben, _{die eigentlich nicht ohne}

weiteres vernachlässigbar sind. _{Solange die Berücksichtigung}

die-ses Einflusdie-ses durch exakte Rechnungen für Schiffe _{zu aufwendig}

er-scheint, kann man u.U. eine überschlägige _{Korrektur anhand von}

Er-satzrotationskörpern entwickeln ähnlich _{derjenigen, die von F.M.Lewis}

für elastische Schiffsschwingungen _{unter Bezug auf tiefgetauche}

Ellipsoide eingeführt wurde. Dafür _{liefert vorliegende Arbeit die}

W. Blenderrnann, Institut für Schiffbau, Hamburg

Herr Sphaier kommt zu dem Ergebnis, daß sich die hydrodynamischen Koeffizienten für ein tauchend und stampfend bewegtes Schiff in

Sohäroidkoordinaten - wenn auch nur geringfügig - genauer berech-nen lassen als in kartesischen Koordinaten. Dies gilt, wie er auch sagt, streng nur für hohe Frequenzen. Als Vergleich dient ihm die dreidimensionale Lösung von Kim (1965) für ein Sphäroid mit Breite zu Länge B/L = 1/4, wiewohl Kim, um den Rechenaufwand zu begrenzen, seine Berechnungen nicht für so hohe Frequenzen durchgeführt hat, daß ein unmittelbarer Vergleich möglich wäre. Im unteren Frequenz-bereich wird die Anpassung für Masse und Trägheitsmoment (Bild 5 und 7) sogar schlechter. Die Aussage, daß die hydrodynamischerL

Drücke an den Enden realer Schiffe in geeigneten krummlinigen Koor-dinaten genauer zu erfassen seien, trifft daher wohl nur bedingt zu.

Es wäre interessant, wenn Herr Sphaier Ergebnisse seiner Rechrung mit Meßwerten vergleichen und sie Ergebnissen anderer

Berechnungs-methoden gegenüberstellen könnte. Von Lee und Paulling (1966) sind beispielsweise Meßwerte für ein tauchend und stampfend fortbeweg-tes Sphäroid mit B/L = 1/6 bekannt. Yeung und Kim (1981), Bild 4 ebenda, haben sie mit Rechenergebnissen verglichen. Wie fügen sich Ergebnisse nach dem vorgestellten Verfahren ein ? Im interessieren-den Frequenzbereich im ganzen wohl nicht besser als nach der her-kömmlichen Methode.

Lee, C..M., und J.R. Paulling. 1966. Measurements of pressures on a heaving prolate spheroid. University of California, Berkeley, Cal., U.S.A., Bericht Nr. NA-66-4.

Yeung, R.W., und S.-H. Kim. 1981. Radiation forces on ships with forward speed. Proceedings, Third International Conference on Numerical Ship Hydrodynamics, Paris, F., Vortrag VII-4.

S tel lunnahme des Autors

Zunächst möchte ich Herrn Blendermann und Herrn Prof. Nowacki für ihre Diskussionen danken. Herrn Prof. Nowacki danke ich ebenfalls für seine Betreuung der Arbeit, aus der die

Veröf-fentlichung hervorgegangen ist, und für seine Anregungen und stets konstruktive Kritik. Seine Diskussion erläutert nochmals das Ziel der Arbeit und spricht im übrigen für sich selbst.

Um Herrn Biendermann zu antworten, ist zunächst einiges zu er-klären. Seit der Veröffentlichung der Streifenmethode von

Korvin-Kroukovky (1957) hat man für die danach berechneten hydrodynamischen Massen- und Dämpfungskräfte im Tauchen und im

Stampfen zumindest im höheren Frequenzbereich stets gute tiber-einstimmung mit Experimenten feststellen können. Neuere Formen der Streifenmethode nach 1957, ausgehend von der Theorie

schlan-ker Körper, haben zwar zu gewissen Verbesserungen geführt, aber

nicht zu großen Differenzen, da die tibereinstimmung mit Versu-chen im oberen Frequenzbereich schon vorher gut war. Andererseits steht grundsätzlich auch fest, daß die Methode von Korvin-KroU-koisky keine mathematisch konsistente Grundlage hat. Vielmehr

-läßt sich nach der Theorie schlanker Körper zeigen (Ogilvie,

1974) , daß die Annahme hoher Schwingungsfrequenz eine wichtige Voraussetzung für die mathematische Gültigkeit von

Streifenmetho-den ist. Daß mitunter auch bei niedrigeren Frequenzen

brauch-bare Ergebnisse für die Bewegungsprognose erzielt werden können, liegt daran, daß in diesem Fall hydrostatische Rückstellkraft-effekte dominieren (Tuck, Faltinseri, Salvesen, 1970).

Da sich vorliegende Arbeit mit der überprüfung der Streifenme-thoden bezüglich von Endeffekten befaßt, kann nur die Genauig-keit der hydrodynamischen Koeffizienten im oberen Frequenzbereich Kriterium für den Erfolg sein, denn bei niedrigeren Frequenzen unterliegen die Streifenmethoden grundsätzlich anderen Fehler-einflüssen. Ein Vergleich mit Versuchen im gesamten Frequenzbe-reich würde daher nichts Schlüssiges über die bessere Erfassung von Endeffekten aussagen. Da jedoch weder mir, noch Herrn Blen-dermann für hohe Frequenz direkte Vergleichsdaten vorlagen, kann ich die Grundlage seiner Aussage nicht verstehen, daß die Ergeb-nisse nach dem neuen Verfahren im interessierenden Frequenzbereich wohl nicht besser seien als nach der herkömmlichen Methode.

In jedem Fall hat meine Arbeit gezeigt, daß für das Sphäroid bei sehr hoher Frequenz die Streifenmethode in krummlinigen Ko-ordinaten (SphäroidkoKo-ordinaten) zwangsläufigdichter an der exak--ten Lösung liegt als diejenige in kartesischen Koordinaexak--ten. Bei unendlich hoher Frequenz gilt bekanntlich an der freien Oberflä-che die Bedingung ₀ = O und die hydrodynamische Masse wird genau

halb so groß wie für das voll getauchte Sphäroid, für das eine geschlossene Lösung bekannt ist. Bezeichnet man die exakte Lö-sung mit m und die Näherungen in Sphäroid- bzw.kartesischen Ko-ordinaten mit m5 bzw. _kk , so erhält man (Sphaier, 1976 ) mit

den Koeffizienten R1 , , a , a msk = mkk = m m ' 2 R1 1+ i ; ai L/B a1

Die Tabelle zeigt einige Ergebnisse: a2

Wegen a1 _a ist stets

_mkkmsk.m.

Bei Schiffen dürfte dieser Effekt wegen der Völligkeit der Enden größer sein als beim Sehäroid.

Den Hinweis auf weitere Vergleichsmöglichkeiten mit Versuchen und dreidimensionalen Berechnungen nehme ich dankend entgegen, hatte jedoch bisher noch nicht Gelegenheit zu diesen Verq]eichen. In jedem Fall erscheint eine verbesserte Behandlung von Endeffek-ten in Streifenmethoden möglich und grundsätzlich auch wünschens-wert, selbst wenn bei bestimmten, niedrigeren Frequenzen die Streifenmethoden auch noch durch andere, u.U. wichtigere Fehler-quellen verfälscht werden.

m m 8.48 0.956 0.949

R1 a2

Hanbbuth

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