Multifractal Continuous-Time Random Walk on financial markets

37  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Multifractal Continuous-Time Random Walk on financial markets

Ryszard Kutner

Wydział Fizyki, Uniwersytet Warszawski

Seminarium z Dynamiki Układów Złożonych Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska

Warszawa, 10.12.2007

(2)

Zespoły badawcze

Wydział Fizyki, UW:

Andrzej Kasprzak - doktorant RK

Dept. de Fisica Fonamental, Univ. Barcelona:

Josep Perelló Jaume Masoliver

(3)

Plan seminarium

1. Sukcesy tradycyjnego modelu

'Continuous-Time Random Walk' (CTRW)

2. 'Multifractal Continuous-Time Random Walk' (MCTRW) 3. Heurystyczne rozszerzenie modelu MCTRW

4. Od MCTRW do termodynamiki 5. Konkluzje i co dalej?

(4)

Transport dyspersyjny w materiałach amorficznych

(5)
(6)
(7)
(8)

Giętkie wyświetlacze OLED

(9)

Założenia tradycyjnego modelu CTRW

1. Energetic landscape:

ρ(ε) ~ exp(- ε /<ε >)

2. Poisson, conditional Pausing-Time Distribution (PTD):

ψ(t|ε ) ~ exp(- t/τ(ε )) 3. Arrhenius law:

Γ(ε ) ~ 1/τ(ε ) ~ exp(- ε/kT)

(10)

Random-trap or random-valley model

M. Kozłowska, R.K., Anomalous transport and diffusion versus extreme value theory, Physica A 357 (2005) 282-304

(11)
(12)
(13)

Pełna PTD oraz

prawdopodobieństwa skumulowane

Pełna PTD, dla t → ∞:

ψ(t) = ∫ ψ(t|ε) ρ(ε) dε ~ 1/t1+α , α = kT/< ε > < 1 0

Prawdopodobieństwa skumulowane:

 t∣=

t  t '∣ dt '

 t =

t t '∣  dt ' =

t t ' dt '

(14)

Momenty czasowe dowolnego rzędu

tq∣ 〉=

0 tqt∣dt~ 1qexpq kT

tq 〉=

0 tq∣ 〉 d ~ 1−/q1 , q ,

tq 〉~∞ , q≥

(15)

Pełen sukcesów kierunek badawczy oparty na wykładniczej postaci ρ(ε)

obejmujący:

hierarchiczność, samopodobieństwo i samopowinowactwo,

relacje skalowania, RG, singularność, bezskalowość, DSI i log-periodyczność,

poszerzone rozkłady (grube ogony), rzadkie i ekstremalne zdarzenia

...

(16)

'Multifractal Continuous-Time Random Walk' podejście oparte na 'stretched exponential' ρ(ε)

Izomorfizm pomiędzy 'random-trap (random-valley) model' a strukturą obrotów kontraktami futures

(17)

Prawdopodobieństwo skumulowane: zagadka

F. Mainardi, M. Raberto, R. Gorenflo, E. Scalas, Physica A 287 (2000) 486

(18)

MCTRW: formula based on 'stretched exponential' ρ(ε)

Moment rzędu q (using 'saddle-point approximation'(SPA)):

L jest naturalną skalą zjawisk ekonomicznych związanych z obrotem kontraktami futures

tq

 1q~L qq /−1 , 1, q≥0,

~exp

12

−

,1

L=expb , b=2

1

−1 −1

 

−1 ,= b

(19)

Heuristic extension of MCTRW

Two requirements:

(i) for q → 0 formulas of the MCTRW and its heuristic extension should give the same formulas,

(ii) for q → ∞ heuristic extemsion of the MCTRW should give an unifractal

General multifractal formula

tq

 1q~ L

 b sgnq 1b1 [1−exp−b1q∣ / −1]∣q∣

(20)

Dane empiryczne: kontrakty na kurs wymiany US/DEM (na Forex)

(21)

Dane empiryczne: kontrakty na kurs wymiany US/DEM (na Forex), powiększenie

(22)

Dane empiryczne: kontrakty na kurs wymiany US/DEM (na Forex), unifraktale

(23)

Dane empiryczne: kontrakty na kurs wymiany US/DEM (na Forex)

powiększenie i unifraktale

(24)

Dane empiryczne: kontrakty na WIG (GPW)

(25)

Dane empiryczne: kontrakty na WIG (GPW), powiększenie

(26)

Dane empiryczne: kontrakty na WIG (GPW) unifraktale

(27)

Dane empiryczne: kontrakty na WIG (GPW) powiększenie, unifraktale

(28)

Formal relation MCTRW - thermodynamics

Scaling form of partition function (within the 'SPA'):

Scaling exponent τ(q)

Formal Rényi dimensions

Z q~

i piq~

dt

d [t∣ ]q~〈tQ〉~L−q ,

Q=1−q q1/

q=q−1 Dq ,

Dq=

1−qq

sgn1−q , = 1

−1

(29)
(30)

Exists Legendre transformation

Spectrum of local exponents (singularities)

We have unrestricted, unlimited multifractal(!)

q=q q− f q ,= d 

dq , q= df d 

q=1−q

q1 q sgn1−q

f q=1

1−qq

sgn1−q

= f 

1− 1

− f 

(31)
(32)

Specific heat

cV =

∂E /V T

V=−2

2 ∂ F /V 2

V=−q '2 d2dq 'q ' 2 =cLq '  ,

cLq ' ≡cq ' =11−q '−1 q '

(33)

Formal relation between

multifractality and thermodynamics

(34)

Równości termodynamiczne

Definicja energii swobodnej

Definicja temperatury

F = E − 1

S 

= dS  E  dE

(35)
(36)
(37)

General conclusions

1. Multifractal version of the CTRW was constructed.

2. Well agreement between empirical data (intertrasaction time-intervals for some futures) and predictions of MCTRW was found.

3. Left-sided, unrestricted and unlimited spectrum of local exponents was found.

4. Higher-order phase transition, e.g. between multi- and unifractal was found.

Co dalej? Badanie: statystyk oraz transmisji informacji pomiędzy różnymi skalami.

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :