Potęga potęgi

95  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Potęga potęgi

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak

Instytut Matematyki i Informatyki, Politechnika Wrocławska

grudzień 2013

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(2)

Dzielenie jabłka

Jabłko kroimy na połówki, po czym

wybieramy jedną z nich i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

itd. Czy możemy tak zrobić 30 razy?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(3)

Dzielenie jabłka

Jabłko kroimy na połówki, po czym

wybieramy jedną z nich i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

itd. Czy możemy tak zrobić 30 razy?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(4)

Dzielenie jabłka

Jabłko kroimy na połówki, po czym

wybieramy jedną z nich i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

itd. Czy możemy tak zrobić 30 razy?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(5)

Dzielenie jabłka

Jabłko kroimy na połówki, po czym

wybieramy jedną z nich i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

itd. Czy możemy tak zrobić 30 razy?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(6)

Gra w 20 pytań

Dawno, dawno temu, był w TVP teleturniej „20 pytań”.

Prowadzący grę wybierał (lub losował) dowolny rzeczownik w mianowniku liczby pojedynczej a zadaniem gracza było odgadnięcie tego wyrazu. Gra polegała na zadawaniu kolejnych pytań, tak sformułowanych, aby można było na nie odpowiedzieć TAK – NIE.

Po zadaniu maksymalnie 20 pytań należało odgadnąć ten wyraz.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(7)

Gra w 20 pytań

Strategie graczy bywały rozmaite:

1. ustalić rodzaj gramatyczny

2. ustalić, czy chodzi o rzecz żywą

3. ustalić, czy jest to spotykane (używane) na co dzień 4. itp, itd, Niestety, zwykle nie udało się odgadnąć tego wyrazu ...

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(8)

Gra w 20 pytań

Strategie graczy bywały rozmaite:

1. ustalić rodzaj gramatyczny 2. ustalić, czy chodzi o rzecz żywą

3. ustalić, czy jest to spotykane (używane) na co dzień 4. itp, itd, Niestety, zwykle nie udało się odgadnąć tego wyrazu ...

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(9)

Gra w 20 pytań

Strategie graczy bywały rozmaite:

1. ustalić rodzaj gramatyczny 2. ustalić, czy chodzi o rzecz żywą

3. ustalić, czy jest to spotykane (używane) na co dzień

4. itp, itd, Niestety, zwykle nie udało się odgadnąć tego wyrazu ...

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(10)

Gra w 20 pytań

Strategie graczy bywały rozmaite:

1. ustalić rodzaj gramatyczny 2. ustalić, czy chodzi o rzecz żywą

3. ustalić, czy jest to spotykane (używane) na co dzień 4. itp, itd, Niestety, zwykle nie udało się odgadnąć tego wyrazu ...

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(11)

Gra w 20 pytań

Pewnego razu pojawiło się dwóch panów, stosujących bardzo nietypową strategię.

Ich pierwsze pytanie brzmiało:

Czy szukany wyraz znajduje się w słowniku języka polskiego za wyrazem „metys”?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(12)

Gra w 20 pytań

Oto kilka pytań, które tylko wydają się niezwiązane z naszym zadaniem:

Co jest szczególnego w wyrazie „metys”? I w jakim sensie

„szczególnego”?

Ile jest haseł w typowym słowniku języka polskiego? Jak to policzyć?

Jeśli nie potrafimy podać dokładniej liczby haseł, to jak oszacować ich liczbę szybko oraz dość dokładnie?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(13)

Gra w 20 pytań

Oto kilka pytań, które tylko wydają się niezwiązane z naszym zadaniem:

Co jest szczególnego w wyrazie „metys”? I w jakim sensie

„szczególnego”?

Ile jest haseł w typowym słowniku języka polskiego?

Jak to policzyć?

Jeśli nie potrafimy podać dokładniej liczby haseł, to jak oszacować ich liczbę szybko oraz dość dokładnie?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(14)

Gra w 20 pytań

Oto kilka pytań, które tylko wydają się niezwiązane z naszym zadaniem:

Co jest szczególnego w wyrazie „metys”? I w jakim sensie

„szczególnego”?

Ile jest haseł w typowym słowniku języka polskiego?

Jak to policzyć?

Jeśli nie potrafimy podać dokładniej liczby haseł, to jak oszacować ich liczbę szybko oraz dość dokładnie?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(15)

Gra w 20 pytań

Oto kilka pytań, które tylko wydają się niezwiązane z naszym zadaniem:

Co jest szczególnego w wyrazie „metys”? I w jakim sensie

„szczególnego”?

Ile jest haseł w typowym słowniku języka polskiego?

Jak to policzyć?

Jeśli nie potrafimy podać dokładniej liczby haseł, to jak oszacować ich liczbę szybko oraz dość dokładnie?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(16)

Gra w 20 pytań

Strategia matematyka (stosowana do rozwiązywania niemal wszystkich zadań i problemów) polega na:

Dogłębnym zrozumieniu, o co tak naprawdę chodzi w zadaniu.

Przetłumaczeniu, o ile się da, zadania na język ściśle matematyczny (liczby, figury, wykresy funkcji). Tę fazę nazywamy matematyzacją, zwykle jest ona najtrudniejsza, dlatego uczniowie najbardziej obawiają się ...

... „zadań z treścią”.

Jeśli zadanie dotyczy zbyt dużych wielkości (tu: 20 pytań i dowolne hasło ze słownika), należy spróbować rozwiązać je dla mniejszych wielkości, wówczas problem łatwiej zrozumieć, często można wypisać wszystkie możliwości itp. Może znajdziemy jeden z 10 wyrazów? Albo dwóch? Ile pytań wówczas wystarczy?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(17)

Gra w 20 pytań

Strategia matematyka (stosowana do rozwiązywania niemal wszystkich zadań i problemów) polega na:

Dogłębnym zrozumieniu, o co tak naprawdę chodzi w zadaniu.

Przetłumaczeniu, o ile się da, zadania na język ściśle matematyczny (liczby, figury, wykresy funkcji). Tę fazę nazywamy matematyzacją, zwykle jest ona najtrudniejsza, dlatego uczniowie najbardziej obawiają się ...

... „zadań z treścią”.

Jeśli zadanie dotyczy zbyt dużych wielkości (tu: 20 pytań i dowolne hasło ze słownika), należy spróbować rozwiązać je dla mniejszych wielkości, wówczas problem łatwiej zrozumieć, często można wypisać wszystkie możliwości itp. Może znajdziemy jeden z 10 wyrazów? Albo dwóch? Ile pytań wówczas wystarczy?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(18)

Gra w 20 pytań

Strategia matematyka (stosowana do rozwiązywania niemal wszystkich zadań i problemów) polega na:

Dogłębnym zrozumieniu, o co tak naprawdę chodzi w zadaniu.

Przetłumaczeniu, o ile się da, zadania na język ściśle matematyczny (liczby, figury, wykresy funkcji). Tę fazę nazywamy matematyzacją, zwykle jest ona najtrudniejsza, dlatego uczniowie najbardziej obawiają się ...

... „zadań z treścią”.

Jeśli zadanie dotyczy zbyt dużych wielkości (tu: 20 pytań i dowolne hasło ze słownika), należy spróbować rozwiązać je dla mniejszych wielkości, wówczas problem łatwiej zrozumieć, często można wypisać wszystkie możliwości itp. Może znajdziemy jeden z 10 wyrazów? Albo dwóch? Ile pytań wówczas wystarczy?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(19)

Gra w 20 pytań

Strategia matematyka (stosowana do rozwiązywania niemal wszystkich zadań i problemów) polega na:

Dogłębnym zrozumieniu, o co tak naprawdę chodzi w zadaniu.

Przetłumaczeniu, o ile się da, zadania na język ściśle matematyczny (liczby, figury, wykresy funkcji). Tę fazę nazywamy matematyzacją, zwykle jest ona najtrudniejsza, dlatego uczniowie najbardziej obawiają się ...

... „zadań z treścią”.

Jeśli zadanie dotyczy zbyt dużych wielkości (tu: 20 pytań i dowolne hasło ze słownika), należy spróbować rozwiązać je dla mniejszych wielkości, wówczas problem łatwiej zrozumieć, często można wypisać wszystkie możliwości itp. Może znajdziemy jeden z 10 wyrazów? Albo dwóch? Ile pytań wówczas wystarczy?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(20)

Strategia rozwiązywania zadań

Jeśli nie umiemy sobie poradzić z zadaniem, spróbujmy rozwiązać bardzo podobne, ale łatwiejsze (na przykład dotyczące mniejszej liczby danych).

A może rozwiązywaliśmy już kiedyś podobne zadanie i da się tamto rozwiązanie zmodyfikować tak, aby było też

rozwiązaniem naszego zadania? (matematycy nazywają to sprowadzeniem do poprzedniego zadania)

OSTRZEŻENIE: Uwaga na „Zasadę czajnika!”

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(21)

Strategia rozwiązywania zadań

Jeśli nie umiemy sobie poradzić z zadaniem, spróbujmy rozwiązać bardzo podobne, ale łatwiejsze (na przykład dotyczące mniejszej liczby danych).

A może rozwiązywaliśmy już kiedyś podobne zadanie i da się tamto rozwiązanie zmodyfikować tak, aby było też

rozwiązaniem naszego zadania? (matematycy nazywają to sprowadzeniem do poprzedniego zadania)

OSTRZEŻENIE: Uwaga na „Zasadę czajnika!”

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(22)

Strategia rozwiązywania zadań

Jeśli nie umiemy sobie poradzić z zadaniem, spróbujmy rozwiązać bardzo podobne, ale łatwiejsze (na przykład dotyczące mniejszej liczby danych).

A może rozwiązywaliśmy już kiedyś podobne zadanie i da się tamto rozwiązanie zmodyfikować tak, aby było też

rozwiązaniem naszego zadania? (matematycy nazywają to sprowadzeniem do poprzedniego zadania)

OSTRZEŻENIE: Uwaga na „Zasadę czajnika!”

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(23)

Gra w 20 pytań

Zastosujmy strategię uproszczenia: a gdyby były 3 wyrazy do odgadnięcia? Nazwijmy je A, B i C.

Jakie byłoby nasze pierwsze pytanie?

Czy zawsze wystarczy jedno? A dwa?

A co w przypadku czterech wyrazów: A, B, C i D? Jak to jest w przypadku pięciu wyrazów: A, B, C, D i E? Dla ilu maksymalnie wyrazów wystarczą trzy pytania? Dlaczego najefektywniejszy sposób polega na podziale zbioru na dwie części o możliwie równych liczbach elementów?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(24)

Gra w 20 pytań

Zastosujmy strategię uproszczenia: a gdyby były 3 wyrazy do odgadnięcia? Nazwijmy je A, B i C.

Jakie byłoby nasze pierwsze pytanie?

Czy zawsze wystarczy jedno?

A dwa?

A co w przypadku czterech wyrazów: A, B, C i D? Jak to jest w przypadku pięciu wyrazów: A, B, C, D i E? Dla ilu maksymalnie wyrazów wystarczą trzy pytania? Dlaczego najefektywniejszy sposób polega na podziale zbioru na dwie części o możliwie równych liczbach elementów?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(25)

Gra w 20 pytań

Zastosujmy strategię uproszczenia: a gdyby były 3 wyrazy do odgadnięcia? Nazwijmy je A, B i C.

Jakie byłoby nasze pierwsze pytanie?

Czy zawsze wystarczy jedno?

A dwa?

A co w przypadku czterech wyrazów: A, B, C i D? Jak to jest w przypadku pięciu wyrazów: A, B, C, D i E? Dla ilu maksymalnie wyrazów wystarczą trzy pytania? Dlaczego najefektywniejszy sposób polega na podziale zbioru na dwie części o możliwie równych liczbach elementów?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(26)

Gra w 20 pytań

Zastosujmy strategię uproszczenia: a gdyby były 3 wyrazy do odgadnięcia? Nazwijmy je A, B i C.

Jakie byłoby nasze pierwsze pytanie?

Czy zawsze wystarczy jedno?

A dwa?

A co w przypadku czterech wyrazów: A, B, C i D?

Jak to jest w przypadku pięciu wyrazów: A, B, C, D i E? Dla ilu maksymalnie wyrazów wystarczą trzy pytania? Dlaczego najefektywniejszy sposób polega na podziale zbioru na dwie części o możliwie równych liczbach elementów?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(27)

Gra w 20 pytań

Zastosujmy strategię uproszczenia: a gdyby były 3 wyrazy do odgadnięcia? Nazwijmy je A, B i C.

Jakie byłoby nasze pierwsze pytanie?

Czy zawsze wystarczy jedno?

A dwa?

A co w przypadku czterech wyrazów: A, B, C i D?

Jak to jest w przypadku pięciu wyrazów: A, B, C, D i E?

Dla ilu maksymalnie wyrazów wystarczą trzy pytania? Dlaczego najefektywniejszy sposób polega na podziale zbioru na dwie części o możliwie równych liczbach elementów?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(28)

Gra w 20 pytań

Zastosujmy strategię uproszczenia: a gdyby były 3 wyrazy do odgadnięcia? Nazwijmy je A, B i C.

Jakie byłoby nasze pierwsze pytanie?

Czy zawsze wystarczy jedno?

A dwa?

A co w przypadku czterech wyrazów: A, B, C i D?

Jak to jest w przypadku pięciu wyrazów: A, B, C, D i E?

Dla ilu maksymalnie wyrazów wystarczą trzy pytania?

Dlaczego najefektywniejszy sposób polega na podziale zbioru na dwie części o możliwie równych liczbach elementów?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(29)

Gra w 20 pytań

Zastosujmy strategię uproszczenia: a gdyby były 3 wyrazy do odgadnięcia? Nazwijmy je A, B i C.

Jakie byłoby nasze pierwsze pytanie?

Czy zawsze wystarczy jedno?

A dwa?

A co w przypadku czterech wyrazów: A, B, C i D?

Jak to jest w przypadku pięciu wyrazów: A, B, C, D i E?

Dla ilu maksymalnie wyrazów wystarczą trzy pytania?

Dlaczego najefektywniejszy sposób polega na podziale zbioru na dwie części o możliwie równych liczbach elementów?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(30)

Kolejne potęgi dwójki

Obliczmy w pamięci

22 = 2 × 2 = 4, 23 = 4 × 2 = 8

24 = 8 × 2 = 16, 25 = 16 × 2 = 32 26 = 32 × 2 = 64, 27 = 64 × 2 = 128 28 = 128 × 2 = 256, 29= 256 × 2 = 512

210= 1024 (informatyczne kilo np. kB to 1024 bajty) 220=??? (informatyczne mega)

220= 1 048 576

giga to 230= 1 073 741 824 ≈ 109 tera to 240= 1 099 511 627 776 ≈ 1012

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(31)

Kolejne potęgi dwójki

Obliczmy w pamięci

22 = 2 × 2 = 4, 23 = 4 × 2 = 8 24 = 8 × 2 = 16, 25 = 16 × 2 = 32

26 = 32 × 2 = 64, 27 = 64 × 2 = 128 28 = 128 × 2 = 256, 29= 256 × 2 = 512

210= 1024 (informatyczne kilo np. kB to 1024 bajty) 220=??? (informatyczne mega)

220= 1 048 576

giga to 230= 1 073 741 824 ≈ 109 tera to 240= 1 099 511 627 776 ≈ 1012

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(32)

Kolejne potęgi dwójki

Obliczmy w pamięci

22 = 2 × 2 = 4, 23 = 4 × 2 = 8 24 = 8 × 2 = 16, 25 = 16 × 2 = 32 26 = 32 × 2 = 64, 27 = 64 × 2 = 128

28 = 128 × 2 = 256, 29= 256 × 2 = 512

210= 1024 (informatyczne kilo np. kB to 1024 bajty) 220=??? (informatyczne mega)

220= 1 048 576

giga to 230= 1 073 741 824 ≈ 109 tera to 240= 1 099 511 627 776 ≈ 1012

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(33)

Kolejne potęgi dwójki

Obliczmy w pamięci

22 = 2 × 2 = 4, 23 = 4 × 2 = 8 24 = 8 × 2 = 16, 25 = 16 × 2 = 32 26 = 32 × 2 = 64, 27 = 64 × 2 = 128 28 = 128 × 2 = 256, 29= 256 × 2 = 512

210= 1024 (informatyczne kilo np. kB to 1024 bajty) 220=??? (informatyczne mega)

220= 1 048 576

giga to 230= 1 073 741 824 ≈ 109 tera to 240= 1 099 511 627 776 ≈ 1012

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(34)

Kolejne potęgi dwójki

Obliczmy w pamięci

22 = 2 × 2 = 4, 23 = 4 × 2 = 8 24 = 8 × 2 = 16, 25 = 16 × 2 = 32 26 = 32 × 2 = 64, 27 = 64 × 2 = 128 28 = 128 × 2 = 256, 29= 256 × 2 = 512

210= 1024 (informatyczne kilo np. kB to 1024 bajty)

220=??? (informatyczne mega) 220= 1 048 576

giga to 230= 1 073 741 824 ≈ 109 tera to 240= 1 099 511 627 776 ≈ 1012

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(35)

Kolejne potęgi dwójki

Obliczmy w pamięci

22 = 2 × 2 = 4, 23 = 4 × 2 = 8 24 = 8 × 2 = 16, 25 = 16 × 2 = 32 26 = 32 × 2 = 64, 27 = 64 × 2 = 128 28 = 128 × 2 = 256, 29= 256 × 2 = 512

210= 1024 (informatyczne kilo np. kB to 1024 bajty) 220=??? (informatyczne mega)

220= 1 048 576

giga to 230= 1 073 741 824 ≈ 109 tera to 240= 1 099 511 627 776 ≈ 1012

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(36)

Kolejne potęgi dwójki

Obliczmy w pamięci

22 = 2 × 2 = 4, 23 = 4 × 2 = 8 24 = 8 × 2 = 16, 25 = 16 × 2 = 32 26 = 32 × 2 = 64, 27 = 64 × 2 = 128 28 = 128 × 2 = 256, 29= 256 × 2 = 512

210= 1024 (informatyczne kilo np. kB to 1024 bajty) 220=??? (informatyczne mega)

220= 1 048 576

giga to 230= 1 073 741 824 ≈ 109 tera to 240= 1 099 511 627 776 ≈ 1012

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(37)

Kolejne potęgi dwójki

Obliczmy w pamięci

22 = 2 × 2 = 4, 23 = 4 × 2 = 8 24 = 8 × 2 = 16, 25 = 16 × 2 = 32 26 = 32 × 2 = 64, 27 = 64 × 2 = 128 28 = 128 × 2 = 256, 29= 256 × 2 = 512

210= 1024 (informatyczne kilo np. kB to 1024 bajty) 220=??? (informatyczne mega)

220= 1 048 576

giga to 230= 1 073 741 824 ≈ 109

tera to 240= 1 099 511 627 776 ≈ 1012

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(38)

Kolejne potęgi dwójki

Obliczmy w pamięci

22 = 2 × 2 = 4, 23 = 4 × 2 = 8 24 = 8 × 2 = 16, 25 = 16 × 2 = 32 26 = 32 × 2 = 64, 27 = 64 × 2 = 128 28 = 128 × 2 = 256, 29= 256 × 2 = 512

210= 1024 (informatyczne kilo np. kB to 1024 bajty) 220=??? (informatyczne mega)

220= 1 048 576

giga to 230= 1 073 741 824 ≈ 109 tera to 240= 1 099 511 627 776 ≈ 1012

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(39)

Gra w 20 pytań

Ponumerujmy uporządkowane alfabetycznie wszystkie wyrazy języka polskiego lub weźmy dowolny słownik języka polskiego.

Mając do dyspozycji

1 pytanie możemy odgadnąć jeden z 2 wyrazów;

2 pytania możemy odgadnąć jeden z 4 wyrazów; 3 pytania możemy odgadnąć jeden z 23 = 8 wyrazów; 4 pytania możemy odgadnąć jeden z 24 = 16 wyrazów; ...

20 pytań możemy odgadnąć jeden z 220= 1 048 576 wyrazów. TAK = 1, NIE = 0 czyli każdy wyraz słownika zakodowany jest układem 20 bitów (a nawet 17, bo 217= 131 072). Spróbujmy zagrać – proszę wybrać liczbę naturalną od 1 do 1 000 000

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(40)

Gra w 20 pytań

Ponumerujmy uporządkowane alfabetycznie wszystkie wyrazy języka polskiego lub weźmy dowolny słownik języka polskiego.

Mając do dyspozycji

1 pytanie możemy odgadnąć jeden z 2 wyrazów;

2 pytania możemy odgadnąć jeden z 4 wyrazów;

3 pytania możemy odgadnąć jeden z 23 = 8 wyrazów; 4 pytania możemy odgadnąć jeden z 24 = 16 wyrazów; ...

20 pytań możemy odgadnąć jeden z 220= 1 048 576 wyrazów. TAK = 1, NIE = 0 czyli każdy wyraz słownika zakodowany jest układem 20 bitów (a nawet 17, bo 217= 131 072). Spróbujmy zagrać – proszę wybrać liczbę naturalną od 1 do 1 000 000

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(41)

Gra w 20 pytań

Ponumerujmy uporządkowane alfabetycznie wszystkie wyrazy języka polskiego lub weźmy dowolny słownik języka polskiego.

Mając do dyspozycji

1 pytanie możemy odgadnąć jeden z 2 wyrazów;

2 pytania możemy odgadnąć jeden z 4 wyrazów;

3 pytania możemy odgadnąć jeden z 23 = 8 wyrazów;

4 pytania możemy odgadnąć jeden z 24 = 16 wyrazów; ...

20 pytań możemy odgadnąć jeden z 220= 1 048 576 wyrazów. TAK = 1, NIE = 0 czyli każdy wyraz słownika zakodowany jest układem 20 bitów (a nawet 17, bo 217= 131 072). Spróbujmy zagrać – proszę wybrać liczbę naturalną od 1 do 1 000 000

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(42)

Gra w 20 pytań

Ponumerujmy uporządkowane alfabetycznie wszystkie wyrazy języka polskiego lub weźmy dowolny słownik języka polskiego.

Mając do dyspozycji

1 pytanie możemy odgadnąć jeden z 2 wyrazów;

2 pytania możemy odgadnąć jeden z 4 wyrazów;

3 pytania możemy odgadnąć jeden z 23 = 8 wyrazów;

4 pytania możemy odgadnąć jeden z 24 = 16 wyrazów;

...

20 pytań możemy odgadnąć jeden z 220= 1 048 576 wyrazów. TAK = 1, NIE = 0 czyli każdy wyraz słownika zakodowany jest układem 20 bitów (a nawet 17, bo 217= 131 072). Spróbujmy zagrać – proszę wybrać liczbę naturalną od 1 do 1 000 000

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(43)

Gra w 20 pytań

Ponumerujmy uporządkowane alfabetycznie wszystkie wyrazy języka polskiego lub weźmy dowolny słownik języka polskiego.

Mając do dyspozycji

1 pytanie możemy odgadnąć jeden z 2 wyrazów;

2 pytania możemy odgadnąć jeden z 4 wyrazów;

3 pytania możemy odgadnąć jeden z 23 = 8 wyrazów;

4 pytania możemy odgadnąć jeden z 24 = 16 wyrazów;

...

20 pytań możemy odgadnąć jeden z 220= 1 048 576 wyrazów. TAK = 1, NIE = 0 czyli każdy wyraz słownika zakodowany jest układem 20 bitów (a nawet 17, bo 217= 131 072). Spróbujmy zagrać – proszę wybrać liczbę naturalną od 1 do 1 000 000

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(44)

Gra w 20 pytań

Ponumerujmy uporządkowane alfabetycznie wszystkie wyrazy języka polskiego lub weźmy dowolny słownik języka polskiego.

Mając do dyspozycji

1 pytanie możemy odgadnąć jeden z 2 wyrazów;

2 pytania możemy odgadnąć jeden z 4 wyrazów;

3 pytania możemy odgadnąć jeden z 23 = 8 wyrazów;

4 pytania możemy odgadnąć jeden z 24 = 16 wyrazów;

...

20 pytań możemy odgadnąć jeden z 220= 1 048 576 wyrazów.

TAK = 1, NIE = 0 czyli każdy wyraz słownika zakodowany jest układem 20 bitów (a nawet 17, bo 217= 131 072). Spróbujmy zagrać – proszę wybrać liczbę naturalną od 1 do 1 000 000

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(45)

Gra w 20 pytań

Ponumerujmy uporządkowane alfabetycznie wszystkie wyrazy języka polskiego lub weźmy dowolny słownik języka polskiego.

Mając do dyspozycji

1 pytanie możemy odgadnąć jeden z 2 wyrazów;

2 pytania możemy odgadnąć jeden z 4 wyrazów;

3 pytania możemy odgadnąć jeden z 23 = 8 wyrazów;

4 pytania możemy odgadnąć jeden z 24 = 16 wyrazów;

...

20 pytań możemy odgadnąć jeden z 220= 1 048 576 wyrazów.

TAK = 1, NIE = 0 czyli każdy wyraz słownika zakodowany jest układem 20 bitów (a nawet 17, bo 217= 131 072).

Spróbujmy zagrać – proszę wybrać liczbę naturalną od 1 do 1 000 000

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(46)

Gra w 20 pytań

Ponumerujmy uporządkowane alfabetycznie wszystkie wyrazy języka polskiego lub weźmy dowolny słownik języka polskiego.

Mając do dyspozycji

1 pytanie możemy odgadnąć jeden z 2 wyrazów;

2 pytania możemy odgadnąć jeden z 4 wyrazów;

3 pytania możemy odgadnąć jeden z 23 = 8 wyrazów;

4 pytania możemy odgadnąć jeden z 24 = 16 wyrazów;

...

20 pytań możemy odgadnąć jeden z 220= 1 048 576 wyrazów.

TAK = 1, NIE = 0 czyli każdy wyraz słownika zakodowany jest układem 20 bitów (a nawet 17, bo 217= 131 072).

Spróbujmy zagrać – proszę wybrać liczbę naturalną od 1 do 1 000 000

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(47)

Gra w 20 pytań z kłamcą

Znakomity polski matematyk Stanisław Ulam w swojej autobiografii Przygody Matematyka zasugerował dodanie

następującej reguły do gry w 20 pytań: osoba odpowiadająca TAK – NIE może jeden raz skłamać.

Ile wówczas pytań potrzeba, aby odgadnąć liczbę naturalną pomiędzy 1 i 1 000 000?

A gdy skłamać można dwa razy?

Oczywiście, gdy skłamać można za każdym razem, odgadnięcie nie jest możliwe.

Przy jednym kłamstwie wystarcza 25 pytań (1987). Gdy wolno skłamać dwa razy wystarcza 29 pytań (1988). Po co matematycy stawiają takie pytania? Czy to tylko zabawa?

Czy ktoś kiedykolwiek użył rozwiązań takiego problemu? Kody samonaprawiające się przy przesyłaniu danych.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(48)

Gra w 20 pytań z kłamcą

Znakomity polski matematyk Stanisław Ulam w swojej autobiografii Przygody Matematyka zasugerował dodanie

następującej reguły do gry w 20 pytań: osoba odpowiadająca TAK – NIE może jeden raz skłamać.

Ile wówczas pytań potrzeba, aby odgadnąć liczbę naturalną pomiędzy 1 i 1 000 000?

A gdy skłamać można dwa razy?

Oczywiście, gdy skłamać można za każdym razem, odgadnięcie nie jest możliwe.

Przy jednym kłamstwie wystarcza 25 pytań (1987). Gdy wolno skłamać dwa razy wystarcza 29 pytań (1988). Po co matematycy stawiają takie pytania? Czy to tylko zabawa?

Czy ktoś kiedykolwiek użył rozwiązań takiego problemu? Kody samonaprawiające się przy przesyłaniu danych.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(49)

Gra w 20 pytań z kłamcą

Znakomity polski matematyk Stanisław Ulam w swojej autobiografii Przygody Matematyka zasugerował dodanie

następującej reguły do gry w 20 pytań: osoba odpowiadająca TAK – NIE może jeden raz skłamać.

Ile wówczas pytań potrzeba, aby odgadnąć liczbę naturalną pomiędzy 1 i 1 000 000?

A gdy skłamać można dwa razy?

Oczywiście, gdy skłamać można za każdym razem, odgadnięcie nie jest możliwe.

Przy jednym kłamstwie wystarcza 25 pytań (1987). Gdy wolno skłamać dwa razy wystarcza 29 pytań (1988). Po co matematycy stawiają takie pytania? Czy to tylko zabawa?

Czy ktoś kiedykolwiek użył rozwiązań takiego problemu? Kody samonaprawiające się przy przesyłaniu danych.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(50)

Gra w 20 pytań z kłamcą

Znakomity polski matematyk Stanisław Ulam w swojej autobiografii Przygody Matematyka zasugerował dodanie

następującej reguły do gry w 20 pytań: osoba odpowiadająca TAK – NIE może jeden raz skłamać.

Ile wówczas pytań potrzeba, aby odgadnąć liczbę naturalną pomiędzy 1 i 1 000 000?

A gdy skłamać można dwa razy?

Oczywiście, gdy skłamać można za każdym razem, odgadnięcie nie jest możliwe.

Przy jednym kłamstwie wystarcza 25 pytań (1987).

Gdy wolno skłamać dwa razy wystarcza 29 pytań (1988). Po co matematycy stawiają takie pytania? Czy to tylko zabawa?

Czy ktoś kiedykolwiek użył rozwiązań takiego problemu? Kody samonaprawiające się przy przesyłaniu danych.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(51)

Gra w 20 pytań z kłamcą

Znakomity polski matematyk Stanisław Ulam w swojej autobiografii Przygody Matematyka zasugerował dodanie

następującej reguły do gry w 20 pytań: osoba odpowiadająca TAK – NIE może jeden raz skłamać.

Ile wówczas pytań potrzeba, aby odgadnąć liczbę naturalną pomiędzy 1 i 1 000 000?

A gdy skłamać można dwa razy?

Oczywiście, gdy skłamać można za każdym razem, odgadnięcie nie jest możliwe.

Przy jednym kłamstwie wystarcza 25 pytań (1987).

Gdy wolno skłamać dwa razy wystarcza 29 pytań (1988).

Po co matematycy stawiają takie pytania? Czy to tylko zabawa?

Czy ktoś kiedykolwiek użył rozwiązań takiego problemu? Kody samonaprawiające się przy przesyłaniu danych.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(52)

Gra w 20 pytań z kłamcą

Znakomity polski matematyk Stanisław Ulam w swojej autobiografii Przygody Matematyka zasugerował dodanie

następującej reguły do gry w 20 pytań: osoba odpowiadająca TAK – NIE może jeden raz skłamać.

Ile wówczas pytań potrzeba, aby odgadnąć liczbę naturalną pomiędzy 1 i 1 000 000?

A gdy skłamać można dwa razy?

Oczywiście, gdy skłamać można za każdym razem, odgadnięcie nie jest możliwe.

Przy jednym kłamstwie wystarcza 25 pytań (1987).

Gdy wolno skłamać dwa razy wystarcza 29 pytań (1988).

Po co matematycy stawiają takie pytania? Czy to tylko zabawa?

Czy ktoś kiedykolwiek użył rozwiązań takiego problemu? Kody samonaprawiające się przy przesyłaniu danych.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(53)

Gra w 20 pytań z kłamcą

Znakomity polski matematyk Stanisław Ulam w swojej autobiografii Przygody Matematyka zasugerował dodanie

następującej reguły do gry w 20 pytań: osoba odpowiadająca TAK – NIE może jeden raz skłamać.

Ile wówczas pytań potrzeba, aby odgadnąć liczbę naturalną pomiędzy 1 i 1 000 000?

A gdy skłamać można dwa razy?

Oczywiście, gdy skłamać można za każdym razem, odgadnięcie nie jest możliwe.

Przy jednym kłamstwie wystarcza 25 pytań (1987).

Gdy wolno skłamać dwa razy wystarcza 29 pytań (1988).

Po co matematycy stawiają takie pytania? Czy to tylko zabawa?

Czy ktoś kiedykolwiek użył rozwiązań takiego problemu?

Kody samonaprawiające się przy przesyłaniu danych.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(54)

Gra w 20 pytań z kłamcą

Znakomity polski matematyk Stanisław Ulam w swojej autobiografii Przygody Matematyka zasugerował dodanie

następującej reguły do gry w 20 pytań: osoba odpowiadająca TAK – NIE może jeden raz skłamać.

Ile wówczas pytań potrzeba, aby odgadnąć liczbę naturalną pomiędzy 1 i 1 000 000?

A gdy skłamać można dwa razy?

Oczywiście, gdy skłamać można za każdym razem, odgadnięcie nie jest możliwe.

Przy jednym kłamstwie wystarcza 25 pytań (1987).

Gdy wolno skłamać dwa razy wystarcza 29 pytań (1988).

Po co matematycy stawiają takie pytania? Czy to tylko zabawa?

Czy ktoś kiedykolwiek użył rozwiązań takiego problemu?

Kody samonaprawiające się przy przesyłaniu danych.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(55)

Kodowanie

Podstawowe (tzn. ROW) zdjęcie cyfrowe z aparatu z matrycą 16 megapikseli jest ogromne, bo ma około 16 MB. Jeśli chcemy zrobić odbitkę fotograficzną rozmiaru 10 × 15 cm, tak wielka

rozdzielczość nie jest nam potrzebna. A cóż dopiero, gdy chcemy przesłać takie zdjęcie mailem. Na czy może polegać kompresja?

Na przykład moglibyśmy połączyć piksele tworzące kwadracik 4 × 4 i zakodować je jednym bajtem.

To zmniejsza rozmiar zdjęcia szesnastokrotnie i mamy już (tylko?) 1 MB. Ale możemy utracić wiele szczegółów! Jest wiele rodzajów kompresji, np. do formatów gif czy jpg. JPEG – algorytm działa na kwadracikach rozmiaru 8 × 8 i stosując dyskretną transformatę cosinusową wybiera „istotne współrzędne”.

W ten sposób dostaniemy zdjęcie dużo mniejszego rozmiaru (np. 450 kB). Jeszcze czytelne, ale już małe i łatwiejsze do przesyłania.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(56)

Kodowanie

Podstawowe (tzn. ROW) zdjęcie cyfrowe z aparatu z matrycą 16 megapikseli jest ogromne, bo ma około 16 MB. Jeśli chcemy zrobić odbitkę fotograficzną rozmiaru 10 × 15 cm, tak wielka

rozdzielczość nie jest nam potrzebna. A cóż dopiero, gdy chcemy przesłać takie zdjęcie mailem. Na czy może polegać kompresja?

Na przykład moglibyśmy połączyć piksele tworzące kwadracik 4 × 4 i zakodować je jednym bajtem.

To zmniejsza rozmiar zdjęcia szesnastokrotnie i mamy już (tylko?) 1 MB. Ale możemy utracić wiele szczegółów!

Jest wiele rodzajów kompresji, np. do formatów gif czy jpg. JPEG – algorytm działa na kwadracikach rozmiaru 8 × 8 i stosując dyskretną transformatę cosinusową wybiera „istotne współrzędne”.

W ten sposób dostaniemy zdjęcie dużo mniejszego rozmiaru (np. 450 kB). Jeszcze czytelne, ale już małe i łatwiejsze do przesyłania.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(57)

Kodowanie

Podstawowe (tzn. ROW) zdjęcie cyfrowe z aparatu z matrycą 16 megapikseli jest ogromne, bo ma około 16 MB. Jeśli chcemy zrobić odbitkę fotograficzną rozmiaru 10 × 15 cm, tak wielka

rozdzielczość nie jest nam potrzebna. A cóż dopiero, gdy chcemy przesłać takie zdjęcie mailem. Na czy może polegać kompresja?

Na przykład moglibyśmy połączyć piksele tworzące kwadracik 4 × 4 i zakodować je jednym bajtem.

To zmniejsza rozmiar zdjęcia szesnastokrotnie i mamy już (tylko?) 1 MB. Ale możemy utracić wiele szczegółów!

Jest wiele rodzajów kompresji, np. do formatów gif czy jpg.

JPEG – algorytm działa na kwadracikach rozmiaru 8 × 8 i stosując dyskretną transformatę cosinusową wybiera „istotne współrzędne”.

W ten sposób dostaniemy zdjęcie dużo mniejszego rozmiaru (np. 450 kB). Jeszcze czytelne, ale już małe i łatwiejsze do przesyłania.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(58)

Kodowanie

Podstawowe (tzn. ROW) zdjęcie cyfrowe z aparatu z matrycą 16 megapikseli jest ogromne, bo ma około 16 MB. Jeśli chcemy zrobić odbitkę fotograficzną rozmiaru 10 × 15 cm, tak wielka

rozdzielczość nie jest nam potrzebna. A cóż dopiero, gdy chcemy przesłać takie zdjęcie mailem. Na czy może polegać kompresja?

Na przykład moglibyśmy połączyć piksele tworzące kwadracik 4 × 4 i zakodować je jednym bajtem.

To zmniejsza rozmiar zdjęcia szesnastokrotnie i mamy już (tylko?) 1 MB. Ale możemy utracić wiele szczegółów!

Jest wiele rodzajów kompresji, np. do formatów gif czy jpg.

JPEG – algorytm działa na kwadracikach rozmiaru 8 × 8 i stosując dyskretną transformatę cosinusową wybiera „istotne współrzędne”.

W ten sposób dostaniemy zdjęcie dużo mniejszego rozmiaru (np. 450 kB). Jeszcze czytelne, ale już małe i łatwiejsze do przesyłania.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(59)

Kodowanie

Podstawowe (tzn. ROW) zdjęcie cyfrowe z aparatu z matrycą 16 megapikseli jest ogromne, bo ma około 16 MB. Jeśli chcemy zrobić odbitkę fotograficzną rozmiaru 10 × 15 cm, tak wielka

rozdzielczość nie jest nam potrzebna. A cóż dopiero, gdy chcemy przesłać takie zdjęcie mailem. Na czy może polegać kompresja?

Na przykład moglibyśmy połączyć piksele tworzące kwadracik 4 × 4 i zakodować je jednym bajtem.

To zmniejsza rozmiar zdjęcia szesnastokrotnie i mamy już (tylko?) 1 MB. Ale możemy utracić wiele szczegółów!

Jest wiele rodzajów kompresji, np. do formatów gif czy jpg.

JPEG – algorytm działa na kwadracikach rozmiaru 8 × 8 i stosując dyskretną transformatę cosinusową wybiera „istotne współrzędne”.

W ten sposób dostaniemy zdjęcie dużo mniejszego rozmiaru (np. 450 kB). Jeszcze czytelne, ale już małe i łatwiejsze do przesyłania.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(60)

Dzielenie jabłka

Jabłko kroimy na połówki, po czym

wybieramy jedną z nich i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

itd. Czy możemy tak zrobić 30 razy?

Jak wielki jest kawałek jabłka po 30 takich podziałach? Policzmy: za każdym razem zmniejszaliśmy jabłko dwukrotnie,a 230 ≈ 109, czyli otrzymaliśmy

... nanocząsteczkę! Ma wielkość kilku(dziesięciu) atomów. Czy można coś takiego uzyskać zwykłym nożem???

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(61)

Dzielenie jabłka

Jabłko kroimy na połówki, po czym

wybieramy jedną z nich i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

itd. Czy możemy tak zrobić 30 razy?

Jak wielki jest kawałek jabłka po 30 takich podziałach? Policzmy: za każdym razem zmniejszaliśmy jabłko dwukrotnie,a 230 ≈ 109, czyli otrzymaliśmy

... nanocząsteczkę! Ma wielkość kilku(dziesięciu) atomów. Czy można coś takiego uzyskać zwykłym nożem???

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(62)

Dzielenie jabłka

Jabłko kroimy na połówki, po czym

wybieramy jedną z nich i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

itd. Czy możemy tak zrobić 30 razy?

Jak wielki jest kawałek jabłka po 30 takich podziałach? Policzmy: za każdym razem zmniejszaliśmy jabłko dwukrotnie,a 230 ≈ 109, czyli otrzymaliśmy

... nanocząsteczkę! Ma wielkość kilku(dziesięciu) atomów. Czy można coś takiego uzyskać zwykłym nożem???

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(63)

Dzielenie jabłka

Jabłko kroimy na połówki, po czym

wybieramy jedną z nich i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

itd. Czy możemy tak zrobić 30 razy?

Jak wielki jest kawałek jabłka po 30 takich podziałach? Policzmy: za każdym razem zmniejszaliśmy jabłko dwukrotnie,a 230 ≈ 109, czyli otrzymaliśmy

... nanocząsteczkę! Ma wielkość kilku(dziesięciu) atomów. Czy można coś takiego uzyskać zwykłym nożem???

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(64)

Dzielenie jabłka

Jabłko kroimy na połówki, po czym

wybieramy jedną z nich i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

itd. Czy możemy tak zrobić 30 razy?

Jak wielki jest kawałek jabłka po 30 takich podziałach?

Policzmy: za każdym razem zmniejszaliśmy jabłko dwukrotnie,a 230 ≈ 109, czyli otrzymaliśmy

... nanocząsteczkę! Ma wielkość kilku(dziesięciu) atomów. Czy można coś takiego uzyskać zwykłym nożem???

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(65)

Dzielenie jabłka

Jabłko kroimy na połówki, po czym

wybieramy jedną z nich i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

itd. Czy możemy tak zrobić 30 razy?

Jak wielki jest kawałek jabłka po 30 takich podziałach?

Policzmy: za każdym razem zmniejszaliśmy jabłko dwukrotnie,a 230 ≈ 109, czyli otrzymaliśmy

... nanocząsteczkę! Ma wielkość kilku(dziesięciu) atomów. Czy można coś takiego uzyskać zwykłym nożem???

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(66)

Dzielenie jabłka

Jabłko kroimy na połówki, po czym

wybieramy jedną z nich i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

wybieramy jeden z dwóch najmniejszych kawałków i kroimy na połówki,

itd. Czy możemy tak zrobić 30 razy?

Jak wielki jest kawałek jabłka po 30 takich podziałach?

Policzmy: za każdym razem zmniejszaliśmy jabłko dwukrotnie,a 230 ≈ 109, czyli otrzymaliśmy

... nanocząsteczkę! Ma wielkość kilku(dziesięciu) atomów. Czy można coś takiego uzyskać zwykłym nożem???

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(67)

Składanie kartki papieru

Bierzemy dużą kartkę papieru (np. formatu A0) i składamy ją na pół, po czym

otrzymany format A1 składamy na pół,

otrzymany format A2 składamy na pół,

otrzymany format A3 składamy na pół (otrzymując format A4 rozmiaru 210 na 297 mm);

otrzymany format A4 składamy na pół,

Czy można tak złożyć 30 razy kartkę formatu A0? I jaki rozmiar ma format A0?

Po 30 złożeniach otrzymalibyśmy wieżę o wysokości (grubość jednej kartki × 109) metrów czyli

... 0,1 mm razy 109 = 0,0001 m razy 109 = 10−4× 109 = 109−4= 105 metrów czyli 100 km!

Dlaczego wybrano takie dziwne wymiary dla A0 (a więc i dla A4)? 210 mm to „okrągła” liczba, ale skąd 297 mm?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(68)

Składanie kartki papieru

Bierzemy dużą kartkę papieru (np. formatu A0) i składamy ją na pół, po czym

otrzymany format A1 składamy na pół, otrzymany format A2 składamy na pół,

otrzymany format A3 składamy na pół (otrzymując format A4 rozmiaru 210 na 297 mm);

otrzymany format A4 składamy na pół,

Czy można tak złożyć 30 razy kartkę formatu A0? I jaki rozmiar ma format A0?

Po 30 złożeniach otrzymalibyśmy wieżę o wysokości (grubość jednej kartki × 109) metrów czyli

... 0,1 mm razy 109 = 0,0001 m razy 109 = 10−4× 109 = 109−4= 105 metrów czyli 100 km!

Dlaczego wybrano takie dziwne wymiary dla A0 (a więc i dla A4)? 210 mm to „okrągła” liczba, ale skąd 297 mm?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(69)

Składanie kartki papieru

Bierzemy dużą kartkę papieru (np. formatu A0) i składamy ją na pół, po czym

otrzymany format A1 składamy na pół, otrzymany format A2 składamy na pół,

otrzymany format A3 składamy na pół (otrzymując format A4 rozmiaru 210 na 297 mm);

otrzymany format A4 składamy na pół,

Czy można tak złożyć 30 razy kartkę formatu A0? I jaki rozmiar ma format A0?

Po 30 złożeniach otrzymalibyśmy wieżę o wysokości (grubość jednej kartki × 109) metrów czyli

... 0,1 mm razy 109 = 0,0001 m razy 109 = 10−4× 109 = 109−4= 105 metrów czyli 100 km!

Dlaczego wybrano takie dziwne wymiary dla A0 (a więc i dla A4)? 210 mm to „okrągła” liczba, ale skąd 297 mm?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(70)

Składanie kartki papieru

Bierzemy dużą kartkę papieru (np. formatu A0) i składamy ją na pół, po czym

otrzymany format A1 składamy na pół, otrzymany format A2 składamy na pół,

otrzymany format A3 składamy na pół (otrzymując format A4 rozmiaru 210 na 297 mm);

otrzymany format A4 składamy na pół,

Czy można tak złożyć 30 razy kartkę formatu A0? I jaki rozmiar ma format A0?

Po 30 złożeniach otrzymalibyśmy wieżę o wysokości (grubość jednej kartki × 109) metrów czyli

... 0,1 mm razy 109 = 0,0001 m razy 109 = 10−4× 109 = 109−4= 105 metrów czyli 100 km!

Dlaczego wybrano takie dziwne wymiary dla A0 (a więc i dla A4)? 210 mm to „okrągła” liczba, ale skąd 297 mm?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(71)

Składanie kartki papieru

Bierzemy dużą kartkę papieru (np. formatu A0) i składamy ją na pół, po czym

otrzymany format A1 składamy na pół, otrzymany format A2 składamy na pół,

otrzymany format A3 składamy na pół (otrzymując format A4 rozmiaru 210 na 297 mm);

otrzymany format A4 składamy na pół,

Czy można tak złożyć 30 razy kartkę formatu A0? I jaki rozmiar ma format A0?

Po 30 złożeniach otrzymalibyśmy wieżę o wysokości (grubość jednej kartki × 109) metrów czyli

... 0,1 mm razy 109 = 0,0001 m razy 109 = 10−4× 109 = 109−4= 105 metrów czyli 100 km!

Dlaczego wybrano takie dziwne wymiary dla A0 (a więc i dla A4)? 210 mm to „okrągła” liczba, ale skąd 297 mm?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(72)

Składanie kartki papieru

Bierzemy dużą kartkę papieru (np. formatu A0) i składamy ją na pół, po czym

otrzymany format A1 składamy na pół, otrzymany format A2 składamy na pół,

otrzymany format A3 składamy na pół (otrzymując format A4 rozmiaru 210 na 297 mm);

otrzymany format A4 składamy na pół,

Czy można tak złożyć 30 razy kartkę formatu A0? I jaki rozmiar ma format A0?

Po 30 złożeniach otrzymalibyśmy wieżę o wysokości (grubość jednej kartki × 109) metrów czyli

... 0,1 mm razy 109 = 0,0001 m razy 109 = 10−4× 109 = 109−4= 105 metrów czyli 100 km!

Dlaczego wybrano takie dziwne wymiary dla A0 (a więc i dla A4)? 210 mm to „okrągła” liczba, ale skąd 297 mm?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(73)

Składanie kartki papieru

Bierzemy dużą kartkę papieru (np. formatu A0) i składamy ją na pół, po czym

otrzymany format A1 składamy na pół, otrzymany format A2 składamy na pół,

otrzymany format A3 składamy na pół (otrzymując format A4 rozmiaru 210 na 297 mm);

otrzymany format A4 składamy na pół,

Czy można tak złożyć 30 razy kartkę formatu A0? I jaki rozmiar ma format A0?

Po 30 złożeniach otrzymalibyśmy wieżę o wysokości (grubość jednej kartki × 109) metrów czyli

... 0,1 mm razy 109 = 0,0001 m razy 109 = 10−4× 109 = 109−4= 105 metrów czyli 100 km!

Dlaczego wybrano takie dziwne wymiary dla A0 (a więc i dla A4)? 210 mm to „okrągła” liczba, ale skąd 297 mm?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(74)

Składanie kartki papieru

Bierzemy dużą kartkę papieru (np. formatu A0) i składamy ją na pół, po czym

otrzymany format A1 składamy na pół, otrzymany format A2 składamy na pół,

otrzymany format A3 składamy na pół (otrzymując format A4 rozmiaru 210 na 297 mm);

otrzymany format A4 składamy na pół,

Czy można tak złożyć 30 razy kartkę formatu A0? I jaki rozmiar ma format A0?

Po 30 złożeniach otrzymalibyśmy wieżę o wysokości (grubość jednej kartki × 109) metrów czyli

... 0,1 mm razy 109 = 0,0001 m razy 109 = 10−4× 109 = 109−4= 105 metrów czyli 100 km!

Dlaczego wybrano takie dziwne wymiary dla A0 (a więc i dla A4)? 210 mm to „okrągła” liczba, ale skąd 297 mm?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(75)

Czy wszyscy jesteśmy spokrewnieni?

Mamy:

dwoje rodziców,

czworo dziadków, ośmioro pradziadków, 24 prapradziadków itp.

20 pokoleń temu (czyli 20 × 25 = 500 lat temu) mieliśmy 220= ... czyli mniej więcej milion przodków,

a 30 pokoleń temu (750 lat, czyli mniej więcej w czasach bitwy pod Legnicą) mieliśmy 230 czyli około miliarda

przodków! Ale wówczas na całej Ziemi żyło dużo mniej ludzi (tylko około 400 milionów)!

Zasada szufladkowa Dirichleta: jeśli do n szuflad włożymy więcej niż n przedmiotów, to w co najmniej jednej szufladzie są dwa (lub więcej) przedmioty. Stąd wniosek, że wielu z nas (a może i wszyscy?) ma wspólnych przodków.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(76)

Czy wszyscy jesteśmy spokrewnieni?

Mamy:

dwoje rodziców, czworo dziadków,

ośmioro pradziadków, 24 prapradziadków itp.

20 pokoleń temu (czyli 20 × 25 = 500 lat temu) mieliśmy 220= ... czyli mniej więcej milion przodków,

a 30 pokoleń temu (750 lat, czyli mniej więcej w czasach bitwy pod Legnicą) mieliśmy 230 czyli około miliarda

przodków! Ale wówczas na całej Ziemi żyło dużo mniej ludzi (tylko około 400 milionów)!

Zasada szufladkowa Dirichleta: jeśli do n szuflad włożymy więcej niż n przedmiotów, to w co najmniej jednej szufladzie są dwa (lub więcej) przedmioty. Stąd wniosek, że wielu z nas (a może i wszyscy?) ma wspólnych przodków.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(77)

Czy wszyscy jesteśmy spokrewnieni?

Mamy:

dwoje rodziców, czworo dziadków, ośmioro pradziadków,

24 prapradziadków itp.

20 pokoleń temu (czyli 20 × 25 = 500 lat temu) mieliśmy 220= ... czyli mniej więcej milion przodków,

a 30 pokoleń temu (750 lat, czyli mniej więcej w czasach bitwy pod Legnicą) mieliśmy 230 czyli około miliarda

przodków! Ale wówczas na całej Ziemi żyło dużo mniej ludzi (tylko około 400 milionów)!

Zasada szufladkowa Dirichleta: jeśli do n szuflad włożymy więcej niż n przedmiotów, to w co najmniej jednej szufladzie są dwa (lub więcej) przedmioty. Stąd wniosek, że wielu z nas (a może i wszyscy?) ma wspólnych przodków.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(78)

Czy wszyscy jesteśmy spokrewnieni?

Mamy:

dwoje rodziców, czworo dziadków, ośmioro pradziadków, 24 prapradziadków itp.

20 pokoleń temu (czyli 20 × 25 = 500 lat temu) mieliśmy 220= ... czyli mniej więcej milion przodków,

a 30 pokoleń temu (750 lat, czyli mniej więcej w czasach bitwy pod Legnicą) mieliśmy 230 czyli około miliarda

przodków! Ale wówczas na całej Ziemi żyło dużo mniej ludzi (tylko około 400 milionów)!

Zasada szufladkowa Dirichleta: jeśli do n szuflad włożymy więcej niż n przedmiotów, to w co najmniej jednej szufladzie są dwa (lub więcej) przedmioty. Stąd wniosek, że wielu z nas (a może i wszyscy?) ma wspólnych przodków.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(79)

Czy wszyscy jesteśmy spokrewnieni?

Mamy:

dwoje rodziców, czworo dziadków, ośmioro pradziadków, 24 prapradziadków itp.

20 pokoleń temu (czyli 20 × 25 = 500 lat temu) mieliśmy 220= ... czyli mniej więcej milion przodków,

a 30 pokoleń temu (750 lat, czyli mniej więcej w czasach bitwy pod Legnicą) mieliśmy 230 czyli około miliarda

przodków! Ale wówczas na całej Ziemi żyło dużo mniej ludzi (tylko około 400 milionów)!

Zasada szufladkowa Dirichleta: jeśli do n szuflad włożymy więcej niż n przedmiotów, to w co najmniej jednej szufladzie są dwa (lub więcej) przedmioty. Stąd wniosek, że wielu z nas (a może i wszyscy?) ma wspólnych przodków.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(80)

Czy wszyscy jesteśmy spokrewnieni?

Mamy:

dwoje rodziców, czworo dziadków, ośmioro pradziadków, 24 prapradziadków itp.

20 pokoleń temu (czyli 20 × 25 = 500 lat temu) mieliśmy 220= ... czyli mniej więcej milion przodków,

a 30 pokoleń temu (750 lat, czyli mniej więcej w czasach bitwy pod Legnicą) mieliśmy 230 czyli około miliarda

przodków! Ale wówczas na całej Ziemi żyło dużo mniej ludzi (tylko około 400 milionów)!

Zasada szufladkowa Dirichleta: jeśli do n szuflad włożymy więcej niż n przedmiotów, to w co najmniej jednej szufladzie są dwa (lub więcej) przedmioty. Stąd wniosek, że wielu z nas (a może i wszyscy?) ma wspólnych przodków.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(81)

Czy wszyscy jesteśmy spokrewnieni?

Mamy:

dwoje rodziców, czworo dziadków, ośmioro pradziadków, 24 prapradziadków itp.

20 pokoleń temu (czyli 20 × 25 = 500 lat temu) mieliśmy 220= ... czyli mniej więcej milion przodków,

a 30 pokoleń temu (750 lat, czyli mniej więcej w czasach bitwy pod Legnicą) mieliśmy 230 czyli około miliarda

przodków! Ale wówczas na całej Ziemi żyło dużo mniej ludzi (tylko około 400 milionów)!

Zasada szufladkowa Dirichleta: jeśli do n szuflad włożymy więcej niż n przedmiotów, to w co najmniej jednej szufladzie są dwa (lub więcej) przedmioty. Stąd wniosek, że wielu z nas (a może i wszyscy?) ma wspólnych przodków.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(82)

Jak obliczyć pierwiastek równania trzeciego stopnia?

Zadanie: Oblicz pierwiastek równania x3+ x + 1 = 0 z dokładnością:

a) 0,125, b) 0,01, c) 0,000001.

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(83)

Czy równanie trzeciego stopnia zawsze musi mieć pierwiastek?

Równanie kwadratowe ax2+ bx + c = 0 ma pierwiastki rzeczywiste (dwa różne lub jeden podwójny) wtedy i tylko wtedy ...

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(84)

Czy równanie trzeciego stopnia zawsze musi mieć pierwiastek?

Równanie kwadratowe ax2+ bx + c = 0 ma pierwiastki rzeczywiste (dwa różne lub jeden podwójny) wtedy i tylko wtedy ∆ ­ 0.

A jak to zobaczyć na wykresie?

A jak to jest dla równań trzeciego stopnia?

A parzystego stopnia? A nieparzystego stopnia?

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(85)

Wzory na pierwiastki równań wielomianowych

Takie wzory istnieją dla wielomianów stopnia 3 (tzw. wzory Cardano) oraz dla wielomianów stopnia 4.

Dla równań wyższych stopni takich wzorów nie ma i NIE MOGĄ ONE ISTNIEĆ.

Jak wykazać, że czegoś zrobić się NIE DA?

Zadanie o szachownicy

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(86)

Jak obliczyć pierwiastek równania trzeciego stopnia?

Zadanie: Oblicz pierwiastek równania x3+ x + 1 = 0 z dokładnością: a) 0,125, b) 0,01, c) 0,000 001.

Zbadajmy wartości funkcji f (x ) = x3+ x + 1 w kilku różnych punktach (mądrze wybranych).

f (1) = 3, f (0) = 1, f (−1) = −1. Stąd wniosek, że to równanie musi mieć pierwiastek w przedziale ...

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

(87)

Jak obliczyć pierwiastek równania trzeciego stopnia?

Podzielmy przedział [−1, 0] na połowy i obliczmy

f



1 2



=



1 2

3

+



1 2



+ 1 = 1 21

8 > 0, a stąd wynika, że pierwiastek jest w przedziale ...

Tomasz Żak www.im.pwr.wroc.pl/∼zak Potęga potęgi

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :