Definicja funkcji

Funkcje

Definicja funkcji

Załóżmy, że zbiory X i Y są niepuste. Mówimy, że w zbiorze X została określona funkcja, jeżeli każdemu elementowi

zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru Y. Fakt, że w zbiorze X została określona funkcja f o wartościach w zbiorze Y zapisujemy jako

f : X → Y albo jako

y = f(x), x ∈ X, y ∈ Y .

Zbiór X nazywamy, dziedziną — Y przeciwdziedziną f.

Definicja funkcji

Elementy x dziedziny X funkcji f nazywamy jej argumentami.

Element y przeciwdziedziny Y nazywamy wartością funkcji, jeśli istnieje argument funkcji f, któremu przyporządkowany jest element y.

Szczególnym przypadkiem funkcji są funkcje o argumentach i wartościach liczbowych.

W dalszym ciągu zajmować będziemy się tylko takimi funkcjami. Ze względu na różne własności tych funkcji przedstawimy ich klasyfikację.

Funkcje monotoniczne

Określeniem funkcje monotoniczne obejmujemy następujące rodzaje funkcji:

∙ f : X → Y jest rosnąca, gdy dla dowolnych x₁, x₂ ∈ X jeśli x₁ < x₂,  to f(x₁) < f(x₂) .

∙ f : X → Y jest malejąca, gdy dla dowolnych x₁, x₂ ∈ X jeśli x₁ < x₂,  to f(x₁) > f(x₂) .

∙ f : X → Y jest niemalejąca, gdy dla dowolnych x₁, x₂ ∈ X jeśli x₁ < x₂,  to f(x₁) ⩽ f(x₂) .

∙ f : X → Y jest nierosnąca, gdy dla dowolnych x₁, x₂ ∈ X jeśli x₁ < x₂,  to f(x₁) ⩾ f(x₂) .

Przykład

f(x) = 1

x² , x ∈ (0, + ∞) .

Niech x₁, x₂ ∈ (0, + ∞) i x₁ < x₂ .  Wtedy f(x₂) − f(x₁) = 1

x₂² − 1

x₁² = x₁² − x₂²

x₁²x₂² = (x₁ − x₂)(x₁ + x₂)

x₁²x₂² < 0.

Stąd

f(x₂) < f(x₁) .

Zatem funkcja f jest malejąca w przedziale (0, + ∞) .

Funkcje parzyste i nieparzyste

Funkcję f : X → Y nazywamy parzystą, jeśli dla dowolnego  x ∈ X również  − x ∈ X oraz f(−x) = f(x) .

Funkcję f : X → Y nazywamy nieparzystą, jeśli dla dowolnego  x ∈ X również  − x ∈ X oraz f(−x) = − f(x) .

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi

rzędnych (osi y), a wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych (punktu (0,0)).

Funkcje „na” i funkcje różnowartościowe

Mówimy, że funkcja f przekształca zbiór X na zbiór Y, gdy każdy element przeciwdziedziny Y jest wartością funkcji f dla pewnego argumentu x.

jeśli x₁ ≠ x₂,  to f(x₁) ≠ f(x₂) .

Mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa, gdy różnym argumentom odpowiadają różne wartości funkcji f, tzn.

Geometrycznie, f jest funkcją „na”, gdy każda prosta y = c, gdzie c jest elementem Y, ma co najmniej jeden punkt

wspólny z wykresem funkcji f; natomiast f jest

różnowartościowa, gdy taki punkt wspólny jest zawsze tylko jeden.

Funkcja odwrotna

Załóżmy, że funkcja f przekształca zbiór X na zbiór Y i że

jest różnowartościowa. Wtedy dla każdej wartości y ze zbioru Y istnieje dokładnie jedna wartość x ze zbioru X taka, że

y = f(x) .

W ten sposób na zbiorze Y mamy określoną funkcję x = f ⁻¹(y), y ∈ Y, x ∈ X,

którą nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f.

Z powyższej definicji wynika, że wykres funkcji odwrotnej jest symetryczny do wykresu funkcji f względem prostej y = x.

Funkcja złożona

Załóżmy, że mamy dwie funkcje

f : X → Y, g : Y → Z .

Dla każdego elementu x ze zbioru X istnieje dokładnie jeden element taki element z ze zbioru Z, że

z = g(f(x)) . Funkcje f i g wyznaczają nową funkcję

Funkcję h nazywamy funkcją złożoną, g — funkcją zewnętrzną, f — funkcją wewnętrzną.

h : X → Z określoną następująco

h(x) = g(f(x)), x ∈ X .

Funkcja liniowa

f(x) = ax + b, x ∈ ℝ .

tg α = a .

Funkcja kwadratowa

f(x) = ax² + bx + c = a (x + b

2a )

2 − Δ

4a , x ∈ ℝ .

Funkcje wielomianowe

f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, x ∈ ℝ .

Funkcje wymierne

f(x) = P(x)

Q(x) , x ∈ D_f, D_f = {x ∈ ℝ : Q(x) ≠ 0}, Niech P i Q będą wielomianami.

Funkcja homograficzna

f(x) = ax + b

cx + d , x ≠ − d c .

Funkcje potęgowe

f(x) = x^α, x ∈ D_α .

Funkcje potęgowe

f(x) = x^α, x ∈ D_α .

Funkcje wykładnicze

f(x) = a^x, x ∈ ℝ .

Funkcje logarytmiczne

f(x) = log_a(x), x ∈ (0, + ∞) .

Logarytm naturalny

f(x) = ln(x) = log_e(x), x ∈ (0, + ∞) .

Przykłady funkcji

stosowanych w badaniach

ekonomicznych

Funkcje popytu jako funkcje dochodu konsumenta

18 Funkcje Jednej zmie711lej

TWIERDZENIE 6. istnieje granica lim g (x)

=

,;-xo

f(t) jest ^w pu.nkcie ^t₀ =g, to ^lim /(g{x)) =/(lim g (x))=/(g).

x-.xo ^,;t. x,

Uwaea. Ostatnie twierdzenie powstaje prawdziwe dla ^granic jednostron- nyc;h ora.z dla x --i- ..:... oo lub x ^--i- oo.

3. w ^zbiorze R funkcji

f(x)= { (x+ 1)4

3x+5

dla

dla x> ^-1.

Oddzielne badanie w purikcie x₀

=

dla argumentów zarówno funkcja jak 'i

1) f(-1)=(-1+1)⁴ =0,

2) ^{lim f(x)= lim {x+1)4}

=.o;

_-c-t - 1 - >< - -1-

lim f(x)= lim 3x+⁵ =3⁴ =8L

.x-+ -1 · ^{x--1 ...}

zachodzi tylko

f( -1) = lim ^f(x),

x- - 1 ...

w ^punkcie x= -1 funkcja jest tylko lewostronnie

1.4. funkcji stosowanych. w ^badaniach

ekonomicznych

W badaniach ekonomicznych staramy funkcje popytu,

w których argumentem jest · a) dochód konsumenta,

b) cena nabywanego dobra:

a funkcji popyt na to dobro.

·} '

t

·i

:}

.·;

funkcji stosowanych w badaniach ekonomicznych 19

popytu jako funkcji dochodu konswnenta

y ^y

a

o

D

y-a+t>x, x.,,O, a>O i b>O y=a+l> lnx, x;;ioe ^-i;, a>O ⁱ b>O

y T 1a :> 1 y

k

X Ol -.; _X

c

y =k·x^0, a>O i k>O a<O ⁱ k>O

Dobra nabywane przez konsumentów na trzy grupy:

a) dobra podstawowe, tj . dobra nabywane nawet przy bardzo niskich

dochodach, b) dobra

c) dobra luksusowe.

wydatkami na zakup dóbr a dochodów, szwedzki ekonomista Tornquist ^do \vyni..lców obserwacji trzy typy

funkcji popym.

X .

a) y=a ---.::• a>O i b>O, x>O d1a dóbtpodstawowych.

x +u ·

2'

I

Funkcje popytu jako funkcje dochodu konsumenta

18 Funkcje Jednej zmie711lej

TWIERDZENIE 6. istnieje granica lim ^{g (x)}

=

,;-xo

f(t) jest ^w pu.nkcie ^t₀ =g, to ^lim /(g{x)) =/(lim g (x))=/(g).

x-.xo ^,;t. x,

Uwaea. Ostatnie twierdzenie powstaje prawdziwe dla ^granic jednostron- nyc;h ora.z dla x --i- ..:... oo lub x ^--i- oo.

3. w ^zbiorze R funkcji

f(x)= { (x+ 1)4

3x+5

dla

dla x> ^-1.

Oddzielne badanie w purikcie x₀

=

dla argumentów zarówno funkcja jak 'i

1) f(-1)=(-1+1)⁴ =0,

2) ^{lim f(x)= lim {x+1)4}

=.o;

_-c-t - 1 - >< - -1-

lim f(x)= lim 3x+⁵ =3⁴ =8L

.x-+ -1 · x--1 ...

zachodzi tylko

f( -1) = lim ^f(x),

x- ^{- 1 ...}

w ^punkcie x= -1 funkcja jest tylko lewostronnie

1.4. funkcji stosowanych. w ^badaniach

ekonomicznych

W badaniach ekonomicznych staramy funkcje popytu,

w których argumentem jest · a) dochód konsumenta,

b) cena nabywanego dobra:

a funkcji popyt na ^to dobro.

·} '

t

·i

:}

.·;

funkcji stosowanych w badaniach ekonomicznych 19

popytu jako funkcji dochodu konswnenta

y ^y

a

o

D

y-a+t>x, x.,,O, a>O ⁱ b>O y=a+l> ^lnx, x;;ioe ^-i;, a>O ⁱ b>O

y T 1a :> 1 y

k

X Ol -.; _X

c

y =k·x^0, a>O i k>O a<O i k>O

Dobra nabywane przez konsumentów ^na trzy grupy:

a) dobra podstawowe, tj . dobra nabywane nawet przy bardzo niskich

dochodach, b) dobra

c) dobra luksusowe.

wydatkami na zakup dóbr a dochodów, szwedzki ekonomista Tornquist ^do \vyni..lców obserwacji trzy typy

funkcji popym.

X .

a) y=a ---.::• a>O i b>O, x>O d1a dóbtpodstawowych.

x +u ·

2'

I

Funkcje Törnquista

Szwedzki ekonomista Törnquist zaproponował, by każde

dobro zaliczyć do jednej i tylko jednej z trzech grup: grupy dóbr podstawowych (pierwszej potrzeby), grypy dóbr

wyższego rzędu oraz grupy dóbr luksusowych. Postawił on

hipotezę, że funkcje popytu jako funkcje dóbr mają w każdej z powyższych grup inną postać.

Na podstawie tych funkcji prognozuje się popyt w każdej z trzech grup dóbr, wyznaczając parametry a, b, względnie c występujące we wzorze funkcji.

Funkcja popytu jako funkcja ceny dóbr podstawowych

fi

1.

[!.

..

P' _f'

i

!( ';

'».:

r

["

ri

20 ^Fwikcje jednej v11iennej

O , X

Z wykresu ^ie przy dochodach popyt na podstawowe zmienia bardzo nieznacznie przy ^dochodu i nie przekracza

pewnego

b) y=r=a -,-b", i a > O, b>O oraz y = O, ^gdy dla dóbr

x+ •

sz.ego

y

o ^c

x

Z wykresu widzimy - ^{podo bnie jak w przypadku} dóbr podstawowych - ^ze wzrostem dochodów popyt zmienia sie bardzo nieznacznie przy

dochodach. ^popyt na dobra ^-wy-

stepuje dopiero od ^pewnego poziomu dochodu.

.,1 j

't '

l

I

."{:

funkcji stosowmzych w bada11iach ekonomicznych 21

>1:-C

c) ^{y == aX} i a> O, b>O ^oraz y=O, ^{gdy dla dóbr} luksusowych

y•

o ^{c b + c X}

Widzimy, dobra l oksusowe nabywane przy odpowiednio wysokiego dochodu, a wzrost ^popytu na te ^dobra nieograniczenie wraz ^ze

wzrostem dochodu. W do dwóch poprzedruch przypadków ^nie

ma tutaj górnego

popytu jako ^funkcji ceny dobra

y

Yt

a

o

y =a +b.-(, a>O, b<O y =k· x", k>O. a<O

y = a x

x + b , a > 0, b > 0, x > 0.

Funkcja popytu jako funkcja ceny dóbr wyższego rzędu

y = 0 x ∈ ⟨0, c)

a _{x + b}^{x − c} , x ∈ ⟨c, + ∞)

fi

1.

[!.

..

P' f'

r-·

i

!( ';

'».:

r

["

ri

20 ^Fwikcje jednej v11iennej

O , X

Z wykresu ^ie przy dochodach popyt na podstawowe zmienia bardzo nieznacznie przy ^dochodu i nie przekracza

pewnego

b) y=r=a -,-b", i a > O, b>O oraz y = O, ^gdy dla dóbr

x+ •

sz.ego

y

o ^c

x

Z wykresu widzimy - ^{podo bnie jak w przypadku} dóbr podstawowych - ^ze wzrostem dochodów popyt zmienia sie bardzo nieznacznie przy

dochodach. ^popyt na dobra ^-wy-

stepuje dopiero od ^pewnego poziomu dochodu.

.,1 j

't '

l

I

."{:

funkcji stosowmzych w bada11iach ekonomicznych 21

>1:-C

c) ^{y == aX} i a> O, b>O ^oraz y=O, ^{gdy dla dóbr}

luksusowych

y•

o ^{c b + c X}

Widzimy, dobra l oksusowe nabywane przy odpowiednio wysokiego dochodu, a wzrost ^popytu na te ^dobra nieograniczenie wraz ^ze

wzrostem dochodu. W do dwóch poprzedruch przypadków ^nie

ma tutaj górnego

popytu jako ^funkcji ceny dobra

y

Yt

a

o

y =a +b.-(, a>O, b<O y =k· x", k>O. a<O

Funkcja popytu jako funkcja ceny dóbr luksusowych

y = 0 x ∈ ⟨0, c)

ax _{x + b}^{x − c} , x ∈ ⟨c, + ∞)

fi

1.

[!.

..

P' f'

i

1:

'».:

r

["

ri

20 _Fwikcje jednej v11iennej

O , X

Z wykresu _ie przy dochodach popyt na podstawowe zmienia bardzo nieznacznie przy _dochodu i nie przekracza

pewnego

b) y=r=a -,-b", x+ i a > O, b>O oraz y = O, gdy dla dóbr •

sz.ego

y

o

x

Z wykresu widzimy - podo bnie jak w przypadku dóbr podstawowych - ze

wzrostem dochodów popyt zmienia sie bardzo nieznacznie przy

dochodach. _popyt na dobra _-wy-

stepuje dopiero od _pewnego poziomu dochodu.

.,1 j

't '

l

I

."{:

funkcji stosowmzych w bada11iach ekonomicznych 21

>1:-C

c) y == aX i a> O, b>O _oraz y=O, gdy dla dóbr luksusowych

y•

o ^{c b + c X}

Widzimy, dobra l oksusowe nabywane przy odpowiednio wysokiego dochodu, a wzrost popytu na te dobra nieograniczenie wraz ze wzrostem dochodu. W do dwóch poprzedruch przypadków _nie

ma tutaj górnego

popytu jako _funkcji ceny dobra

y

Yt

a

o

y =a +b.-(, a>O, b<O y =k· x", k>O. a<O

Funkcje Törnquista

Jak widać z wykresów, wydatki na dobra dwóch pierwszych grup dóbr są rosnącymi funkcjami dochodów, przy czym

wzrost ich jest coraz wolniejszy. Popyt tych grup stabilizuje się wraz ze wzrostem dochodów, osiągając pewien poziom nasycenia a. Dobra pierwszej potrzeby nabywa klient już

przy najniższych dochodach, natomiast dobra wyższego rzędu dopiero wtedy, gdy jego dochody osiągną odpowiednio wysoki poziom c. Podobie dobra luksusowe nabywane są przy

osiągnięciu odpowiednio wysokiego dochodu, ale wzrost popytu na te dobra jest nieograniczony.

Krzywa logistyczna

Krzywą logistyczną nazywamy wykres funkcji

y = a

1 + be^−cx , a, c > 0, b > 1, x ⩾ 0.

Opisuje ona procesy produkcji, podaży i popytu na tzw.

dobra trwałego użytkowania (telewizory, pralki itp.).

Funkcja gęstości rozkładu normalnego (Gaussa)

Jest to funkcja określona wzorem y = 1

2π e^{−12 x2}, x ∈ ℝ .

Ma ona duże znaczenie praktyczne, w szczególności w statystyce.

Funkcje wielu

zmiennych

Funkcja n zmiennych

Powyżej rozpatrywaliśmy funkcje, w których wartości y

zależały od wartości tylko jednej zmiennej x. Funkcje takie

zwane są funkcjami jednej zmiennej. Jednak w rzeczywistości spotykamy się z o wiele bardziej skomplikowanymi

zależnościami, gdy do opisu wartości y nie wystarczy tylko jedna zmienna. W takich przypadkach można posłużyć się funkcjami, w których liczba zmiennych jest równa liczbie

naturalnej n większej od 1. Ogólnie funkcja wielu zmiennych, to funkcja

y = f(x₁, …, x_n), (x₁, …, x_n) ∈ X, gdzie X jest podzbiorem przestrzeni ℝⁿ .

Przykład

Funkcja f, za pomocą której opisuje się zależność między produkcją y a nakładami czynników produkcji, jest funkcją wielu zmiennych

y = f(x₁, …, x_n), gdzie x1,…,xn są czynnikami produkcji.

W badaniach ekonomicznych najczęściej bierze się pod uwagę dwa czynniki — nakłady zatrudnienia x i nakłady majątku produkcyjnego y wiążące produkcję z następującą zależnością

z = Ax^ay^b,

gdzie a, b, A są parametrami dodatnimi. Funkcja tej postaci nosi nazwę funkcji produkcji Cobba-Douglasa.

Przykład

x

y z