Analiza II, ISIM Lista zada« nr 10
1. Oblicz pochodne kierunkowe podanych funkcji:
• f(x, y) = x4+ y4+ 2xy + 1w punkcie (1, 2) w kierunku wektora u = (3, −1);
• g(x, y) = ln(x2+ y2) w punkcie (1, 1) w kierunku wektora u = (1, 1);
• h(x1, x2, .., xn) = x21+x22+..+x2nw punkcie (1, 2, .., n) w kierunku wektora u = (1, 1, .., 1);
2. Zbadaj rózniczkowalno±¢ funkcji na R2 f (x, y) =√
x2+ y2, f (x, y) =√
x4+ y4,
f (x, y) =
{ xy(x+y)
x2+y2 dla (x, y) ̸= (0, 0)
0 dla (x, y) = (0, 0) f (x, y) =
{ x4+y4
x2+y2 dla (x, y) ̸= (0, 0) 0 dla (x, y) = (0, 0) 3. Poka», »e funkcja f(x, y) =√3
xy nie ma pochodnej w (0, 0).
4. Poka», »e funkcja f(x, y) =√3
x3+ y3 nie ma pochodnej w (0, 0).
5. Niech ϕ : R 7→ R b¦dzie funkcj¡ ró»niczkowaln¡ w 0. Udowodnij, »e funkcja f(x, y, z) = ϕ(xyz)jest ró»niczkowalna w punkcie (0, 0, 0).
6. Znajd¹ równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = f(x, y) w punkcie (x0, y0) a) f(x, y) = x2+ y2− xy; (x0, y0) = (1, 2)
b) f(x, y) = sin xy; (x0, y0) = (−π/2, 1) 7. Oblicz gradient dla podanych funkcji
a) f(x, y, z) = xe−(x2−y2−z2), b) f(x, y, z) = x2+yxyz2+z2, c) f(x, y, z) = z2excos y.
8. Dla funkcji f(x, y, z) = x2+ y2+ z2 oblicz ∇f(0, 0, 1).
9. Dla funkcji f(x, y, z) = log(x2+ y2+ z2) oblicz ∇f(1, 0, 1).
10. Funkcje f, g : R3 → R s¡ ró»niczkowalne. Poka», »e
∇(fg) = f∇g + g∇f.
11. Kapitan Ralf znalazª si¦ w kªopotach w pobli»u sªonecznej planety Merkury. Temperatura powierzchni statku, gdy znajduje si¦ on w punkcie (x, y, z) wynosi T (x, y, z) = exp(−x2− 2y2− 3z2), gdzie x, y, z mierzone s¡ w metrach. Statek znajduje si¦ obecnie w punkcie (1, 1, 1).
a) W którym kierunku kapitan powinien skierowa¢ statek, aby temperatura zmniejszyªa si¦
jak najszybciej?
b) Je±li statek porusza si¦ w tempie e8 metrów na sekund¦, jak szybko temperatura b¦dzie spadaªa je±li statek poleci w kierunku wyznaczonym w a)?
c) Niestety metal z którego wykonana jest powªoka statku p¦knie je±li chªodzenie b¦dzie szyb- sze ni» √
14e2 stopni na sekund¦. Opisz mo»liwe kierunki, w których statek mo»e si¦ porusza¢, aby obni»y¢ temperatur¦ w tempie nie przekraczaj¡cym podanej liczby.
12. Znajd¹ punkty krytyczne podanych funkcji. Zdecyduj, które z tych punktów krytycznych s¡ lokalnymi maksimami, lokalnymi minimami lub punktami siodªowymi
f (x, y) = x2+ 2y2− 6x + 8y − 1, f (x, y) = x2+ 6xy + 2y2− 6x + 10y − 2, f (x, y) = x2− xy − 2y2+ 6x− 10y + 5, f (x, y) = x2y− 2xy + 2y2− 15y,
f (u, v) = u3+ v3− 6uv, f (x, y) = x1 +1y + xy, f (x, y) = sin x + sin y, f (x, y) = (y− 2) log xy
13. Znajd¹ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji w podanym zbiorze.
f (x, y) = x2− y2, x2+ y2 ≤ 1, f (x, y) = ye−x, 0≤ x ≤ log 2, 0 ≤ y ≤ 3 f (x, y) = 2 sin x + 3 cos y, 0≤ x ≤ π, −π2 ≤ y ≤ π2, f (x, y) = e−x2−y2,12 ≤ x2+ y2 ≤ 2 14. Znajd¹ trzy dodatnie liczby o sumie 48 i najwi¦kszym mo»liwym iloczynie.
15. Znajd¹ trzy dodatnie liczby o iloczynie 48 i najmniejszej mo»liwej sumie.
16. Poka», »e prostopadªo±cian o najwi¦kszej obj¦to±ci wpisany w sfer¦ ma ksztaªt sze±cianu.
17. Otwarte od góry pudeªko w ksztaªcie prostopadªo±cianu ma mie¢ obj¦to±¢ 32m3. Znajd¹ wymiary pudeªka o najmniejszej powierzchni.
18. Znajd¹ punkt w Rno sumie wspóªrz¦dnych równej 48, którego odlegªo±¢ od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych jest najmniejsza.
19. Poka», »e je»eli funkcja f ma punkt krytyczny w (x0, y0) oraz ∂∂x2f2 > 0, ∂∂y2f2 < 0, to (x0, y0) jest punktem siodªowym.
20. W trapezie równoramiennym suma mniejszej podstawy i dwóch ramion wynosi 3l. Poka»,
»e trapez o najwi¦kszym polu ma podstaw¦ równ¡ l oraz k¡t pomi¦dzy podstaw¡ i ramieniem wynosi 2π/3.
21. Poka», »e funkcja f(x, y) = (x − y2)(2x− y2) ma w (0, 0) ±cisªe minimum lokalne wzdªu»
ka»dej prostej, ale nie ma ±cisªego minimum lokalnego w tym punkcie.
22. Znajd¹ ekstrema warunkowe przy podanych ograniczeniach a) f(x, y, z) = x − y + z, x2+ y2+ z2 = 2 b) f(x, y) = x − y, x2− y2= 2
c) f(x, y) = x10+ y10, x + y = 2 d) f(x, y, z) = x2+ y2+ z2,x2
a2 +y2 b2 +z2
c2 = 1 e) f(x, y, z) = x + y + z,1
x + 1 y + 1
z = 1
f) f(x1, .., xn) = xp1+ .. + xpn, x1+ .. + xn= a > 0 g) f(x, y, z) = x + y + z, x2− y2= 1, 2x + z = 1 h) f(x, y, w, z) = xw + yz, x2+ y2 = 1, w2+ z2 = 1
i) f(x, y) = Ax2+ 2Bxy + Cy2, x2+ y2 = 1
23. Na elipsie x42 +y92 = 1 znajd¹ punkty najbli»sze i najdalszy od prostej 3x + y − 9 = 0.
24. Znajd¹ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ podanych funkcji w kole jednostkowym, tzn. w zbiorze {(x, y) : x2+ y2 ≤ 1}.
a) f(x, y) = x2+ y2− x − y + 1 b) f(x, y) = x2+ xy + y2
c) f(x, y) = xy − y2
25. Pudeªko w ksztaªcie prostopadªo±cianu otwarte od góry ma powierzchni¦ 16 m2. Znajd¹ wymiary, przy których obj¦to±¢ jest najwi¦ksza.
26. Poczta w USA wymaga, aby wymiary paczki byªy takie, »e suma dªugo±ci, podwojonej szeroko±ci i podwojonej wysoko±ci nie przekraczaªa 108 cali. Jaka jest obj¦to±¢ najwi¦kszej obj¦to±ciowo paczki jak¡ poczta mo»e dostarczy¢?
27. Namiot, bez podªogi, ma ksztaªt cylindra ze sto»kowym daszkiem. Jakie musz¡ by¢ wymiary namiotu o ustalonej obj¦to±ci V , aby u»y¢ jak najmniej materiaªu na jego budow¦?
28. Znajd¹ minimum funkcji f(x, y, z) = xyz przy warunkach x2+ y2+ z2 = 4, x − 2y = 0
29. Niech n b¦dzie liczb¡ caªkowit¡. Znajd¹ n liczb, których suma wynosi 8n, a suma kwadratów jest tak maªa jak to mo»liwe.
30∗. Poka», »e je»eli pochodne cz¡stkowe funkcji f s¡ ograniczone w otoczeniu punktu x0, to funkcja f jest ci¡gªa w punkcie x0
31∗.Znajd¹ przykªad funkcji f na R2 takiej, »e ∂x∂y∂2f jest funkcj¡ ci¡gª¡, ale ∂f∂x nie istnieje.
32∗. Niech f : Rn → R b¦dzie funkcj¡ ró»niczkowaln¡ na Rn. Zaªó»my, »e istnieje funkcja ró»niczkowalna h taka, »e
∇f(x) = h(x)x.
Poka», »e funkcja f jest staªa na sferze o promieniu r i ±rodku w punkcie 0.
33∗.Poka» zadanie odwrotne do powy»szego, tzn. »e je»eli f(x) = g(r) gdy r = |x|, to
∇f(x) = g′(r)x/r
34∗.Zadanie Huygensa. Pomi¦dzy liczby a, b wstaw liczby x1, .., xn tak, aby uªamek f (x1, .., xn) = x1x2..xn
(a + x1)(x1+ x2)..(xn−1+ xn)(xn+ b) miaª warto±¢ najwi¦ksz¡.
35∗.Znajd¹ warto±ci ekstremalne funkcji f (x1, ..xn) = x1+x2
x1
+x3
x2
+· · · + xn
xn−1 + 2 xn
, x1, x2, ..xn> 0.
Szczegóªowo uzasadnij Twój wynik.
36∗.Udowodnij nierówno±¢ Höldera
∑n i=1
xiyi ≤ (∑n
i=1
xpi )1
p(∑n i=1
yiq )1
q
,
gdzie p > 1, 1p + 1q = 1, xi, yi ≥ 0. Wskazówka: Znajd¹ minimum prawej strony nierówno±ci przy warunku∑n
i=1xiyi= A.
37∗.Udowodnij nierówno±¢ pomi¦dzy ±redni¡ geometryczn¡, a arytmetyczn¡:
√n
x1x2..xn≤ x1+ x2+ ... + xn
n ,
gdzie xi ≥ 0 dla i = 1, .., n. Wskazówka: Oblicz maksimum funkcji f(x1, .., xn) = x1· ... · xn
przy warunku x1+ x2+ .. + xn= A.
38∗.Dla jakich liczb rzeczywistych a wszystkie pierwiastki wielomianu W (t) = t4+ t3+ a
s¡ rzeczywiste?
39∗.Udowodnij nierówno±¢ Hadamarda: niech A = (aij)ni,j=1 b¦dzie macierz¡ n × n, wtedy
| det A|2≤
∏n i=1
(∑n
j=1
a2ij )