Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2014/2015
Strona 1 z 2
KONKURS MATEMATYCZNY KLUCZ ODPOWIEDZI ETAP WOJEWÓDZKI
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
D C A D B C B A D B A C
13. 14. 15. 16. 17. 18.
F P P P P P F P P F P F P P F F F F
Zad.19
Przekształcenie liczby z tezy do postaci: 2(a5 –a) + 10(2a – 1) 2 pkt Skorzystanie z założenia a5 –a = 10p (p -liczba całkowita) i przekształcenie otrzymanej liczby
do postaci: 10(2p + 2a – 1) 1 pkt
uzasadnienie, że powyższa postać wskazuje na podzielność przez 10, ponieważ wyrażenie
w nawiasie jest całkowite dla a i p – całkowitych 1 pkt
Zad.20
Załóżmy, że Bartek dał x zł, Maciek y zł, Tomek z zł. Zatem z treści zadania wynika , że :
2 2 2
330
y z x
x y z
z x y
z y x
, a stąd dalej kolejno :
y z x
z y x
z x y
z y x
2 2
2 330
2 2
330
z x y
z x y
z y x
2pkt
Udowodnienie równości:
2 z
x y (lub warunku równoważnego x=y=z) 2pkt
Podanie i uzasadnienie odpowiedzi: x = 110. 1pkt
Zad.21
24a·25b·27c·30d = (23·3)a·(52)b·(33)c·(2·3·5)d = 23a·3a·52b·33c·2d·3d·5d = 23a+d·3a+3c+d·52b+d. 2pkt Aby to wyrażenie było równe 1, wykładniki potęg powinny się zerować jednocześnie,
zatem 3a+d = 0 i a+3c+d = 0 i 2b+d = 0 dla a, b, c, d będących liczbami całkowitymi różnymi od zera.
Stąd a = - 3
1d i b = - 2
1d i c = - 9
2d. 2pkt
Zatem przyjmując np. d = -18, mamy a = 6 i b = 9 i c = 4, czyli istnieją liczby całkowite opisane
w treści zadania. 1pkt
Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2014/2015
Strona 2 z 2 Zad.22
5 13 48 2 3 5 (2 3 1) 2 3 5 2 3 1 3
2 2 2pkt
5 2 3 1 2 3 4 2 3 2 3 ( 3 1)2 3
2 1pkt
3 1 2 3 3 1 2 2 3 3
2 1pkt
2 3 2 ( 3 1)2 4
2 1pkt
2 6 ) 1 3 ( 2 1 3
2 1pkt
UWAGI:
Zadania otwarte wymagają przedstawienia szczegółowego rozumowania.
Za rozumowanie błędne lub niekompletne uczeń nie może otrzymać kompletu punktów.
Każda w pełni poprawna metoda rozwiązania zadania nie zawarta w kluczu oceniana jest na komplet punktów.