M arek M . K am iński
N e w Y ork U niversity
PROBLEM ROSZCZEŃ*
Artykuł wprowadza do analizy problemu roszczeń, ilustrując go przykładem „kontraktu małżeńskiego” z Talmudu, definiuje najważniejsze metody podziału i aksjomaty wystę
pujące w kontekście roszczeń oraz przedstawia reprezentację parametryczną metod po
działu.
Główne pojęcia: podział, roszczenia, wybór społeczny, sprawiedliwość dystrybutywna.
Wprowadzenie
Łączne długi zmarłego człowieka przekraczają w artość pozostawionego m ajątku. J a k podzielić ten m ajątek pom iędzy wierzycieli?
Powyższy dylem at został sform ułow any jak o problem m atem atyczny przez O ’Neilla (1982). O ’Neill zauważył jednocześnie, że T alm ud Babiloński, będący kolekcją reguł decyzyjnych żydowskiego praw a cywilnego, karnego i religij
nego, zawiera wiele ciekawych rozw iązań tego problem u. M ałą sensacją stała się w krótce publikacja następnego artykułu. A um ann i M aschler (1985) pokazali w nim , ja k pewne m etody z T alm u d u m ożna uzasadnić używając koncepcji dobrze znanych we współczesnej kooperacyjnej teorii gier.
„Podział spadku ” jest tylko jed n ą z możliwych interpretacji empirycznych dla problem u m atem atycznego postaw ionego przez O ’Neilla. Inne możliwe interpretacje to podział podatków , gdy celem jest zebranie określonej sumy (Y oung 1987), podział strat n a podstaw ie w kładu wspólników do pewnego przedsięwzięcia, podział wierzytelności w sytuacji bankructw a, alokacja sub
wencji dokonyw anych przez agencję m iędzynarodow ą n a bazie potrzeb, sfinan-
D epartm ent o f Politics, N Y U , 715 Broadw ay, N e w Y ork , N Y 10003, U S A ; e-mail: m arek.kaminski
@ nyu.edu, web: w w w .nyu.edu/projects/kam inski.
’ W trakcie pisania artykułu autor b y ł stypendystą O pen Society Institute Individual Project F ellow ships Program . Z a uw agi autor dziękuje G rzegorzow i L issow skiem u, M on ice N alepie, Piotrow i Św istakow i i A ndrzejow i W ieczorkow i.
198 M AREK K. KAMIŃSKI
sowanie w ydatków uczestników konferencji, gdy grant jest zbyt m ały, aby każdem u zapewnić zwrot kosztów itp. Problem roszczeń (claims) reprezentuje więc wiele różnych sytuacji empirycznych, w których podejm owane są decyzje społeczne oparte n a inform acjach o jednostkach. Ponieważ informacje te nie są tożsam e z preferencjam i lub funkcjami użyteczności jednostek, problem rosz
czeń stanow i przykład niewelfarystycznego (non-welfańst) m odelu w yboru społecznego.
Problem roszczeń studiują głównie ekonomiści zainteresowani teorią gier i teorią w yboru społecznego, a w nieco mniejszym stopniu politolodzy, m atem atycy, socjologowie i prawnicy. A rtykuły związane tematycznie z rosz
czeniami publikow ane są przede wszystkim przez pismo „M athem atical Social Sciences” , a także „Econom etrica” , „International Journal o f Gam e T heory” ,
„Journal o f Econom ic T heory” , „Social Choice and W elfare” oraz „Theory and D ecision” . Najpełniejszy przegląd literatury zawiera artykuł Thom sona (1995).
Zadaniem niniejszego tekstu jest nieform alne wprowadzenie Czytelnika do problem u roszczeń oraz przygotowanie go do lektury artykułu „Racjonow anie
»hydrauliczne«” (Kam iński 2000). Problem racjonow ania przedstawiony w tym artykule jest ogólniejszy od problem u roszczeń i dopuszcza informację o jed no stkach obszerniejszą niż pojedyncza liczba reprezentująca roszczenia, dochód czy potrzeby.
D alsza część artykułu w prow adza przykład „k o n trak tu małżeńskiego”
z Talm udu oraz podstaw owe pojęcia. N astępnie zdefiniowane są najważniejsze m etody podziału, występujące w literaturze oraz pokazane ich zastosowanie do przykładu z Talm udu. Dalej przedstaw ione są najważniejsze aksjom aty wy
stępujące w kontekście problem u roszczeń, tzn. symetria, anonimowość, m ono- toniczność, spójność i ciągłość. O statnia część w prow adza pojęcie reprezentacji param etrycznej m etody.
Sformułowanie problemu roszczeń
Jed n a z historii z T alm udu Babilońskiego (K ethubot 93a) opisuje konflikt w okół trzech różnych kontraktów małżeńskich (A um ann i M aschler 1985).
Trzy żony zmarłego zgłaszają pretensje do pozostawionego m ajątku. R osz
czenia każdej z nich udokum entow ane są w jej kontrakcie małżeńskim.
Ja k podzielić spadek, jeśli nie wystarcza on na pełne pokrycie wszystkich roszczeń?
W Talm udzie jednym ze znaczeń słowa M ishna jest „przepis n a rozstrzyg
nięcie konkretnego problem u praw nego” . Odpow iednia M ishna dla problem u k o n trak tu m ałżeńskiego zaleca podział odpow iadający trzem różnym sytuac
jom , dla w artości spadku równej 100, 200 i 300.
Rozwiązanie zaproponow ane przez rabbiego N athana, au to ra wymienionej M ishny, wzbudzało przez stulecia silne emocje u badaczy Talm udu. Różni się ono bowiem od najbardziej intuicyjnych rozwiązań, czyli podziału równego oraz proporcjonalnego. D la spadku o wartości 100, rozwiązanie z T alm udu jest tożsam e z równym podziałem , dla 300 zaś jest tożsam e z podziałem p roporc
jonalnym . D la spadku o w artości 200, rekom endacje Talm udu różnią się od obydwu m etod. W skazanie idei stojącej za rekom endaq'am i rabbiego przez całe wieki wydawało się niemożliwe (rys. 1).
Tabela 1. Podział majątku dla trzech wartości spadku przy użyciu różnych metod Wartość spadku
Wysokość roszczenia
100 200 300
100 200 300 100 200 300 100 200 300 Metoda podziału równego 33% 33% 33% 66% 66% 66% 100 100 100 Metoda proporcjonalna 162/3 33% 50 33% 662/b 100 50 100 150
Metoda z Talmudu 33‘/3 33% 33% 50 75 75 50 100 150
D alsza analiza problem u k o n trak tu małżeńskiego przedstaw iona jest w a r
tykule „R acjonow anie hydrauliczne” w tym numerze „Studiów Socjologicz
nych” . Obecnie przykład ten posłuży nam do zdefiniowania podstawowych pojęć.
Roszczenie Cj>0 jest d o d atn ią liczbą rzeczywistą, zaś wektor roszczeń (c^Cjj.-.jCjj) jest n-tką liczb dodatnich. Indeksy roszczeń Ι,.,.,η oznaczają, w zależności od różnych interpretaq'i empirycznych, osoby, agentów, p o d a t
ników, w spólników itp. Poniżej posłużymy się interpretacją bankructw a i bę
dziemy m ówić o wierzycielach. Problem roszczeń jest zdefiniowany form alnie jak o p a ra (cj,c2,...,cn;g), gdzie c l 5c2,...,cn są roszczeniami, zaś g > 0 jest ilością d o b ra do podziału. Zakładam y, że ilość dobra do podziału jest nie większa niż sum a roszczeń, tzn. g^EjCj. D la g^XjCj problem jest trywialny, gdyż wszystkie roszczenia m ożna wówczas zaspokoić w całości; przypadek g = X icł dopuszcza
m y ze względu n a wygodę zapisu.
D opuszczalną alokacją dla (cj,c2,...,cn;g) jest w ektor (g1,g2,...,gn) taki, że
| 1(gi) = g oraz O ^ g j^ C j dla każdego i. M etodą podziału (rule o f allocation) jest funkq'a F , k tó ra przyporządkow uje każdem u problem owi roszczeń dopuszczal
n ą alokaq’ę. Porcja przypisana wierzycielowi i przez m etodę F oznaczana będzie F (c1,c2,...,cn;g)i lub, jeśli problem i m etoda są ustalone, przez gj.
W Tabeli 1 w ystępują trzy różne problem y roszczeń: (100,200,300; 100), (100,200,300;200) oraz (100,200,300;300), a także alokacje wyznaczone dla każdego z tych problem ów przez trzy różne m etody. A by m etodę podziału zdefiniować form alnie, należy określić, jakie wartości przyjmuje ona dla dowolnego w ektora roszczeń oraz dla wszystkich możliwych ilości dobra, czyli
200 M AREK K. KAMIŃSKI
dla wszystkich możliwych problem ów. N astępna część artykułu zawiera defini
cje pięciu różnych m etod. (Czytelnik m oże przed lekturą dalszej części tekstu spróbow ać zrekonstruow ać logikę rozw iązania z T alm udu, tzn. zdefiniować m etodę A M dla roszczeń 100, 200 i 300 oraz 0 < g < 6 0 0 ).
Najważniejsze metody podziału
Dwie pierwsze m etody podziału są najprostsze i najbardziej intuicyjne.
Me t o d a Pr o p o r c j o n a l n a: P R (c1,c2 , . . . ,c i v 8 ) k = g ^ r -c t ,? ii
Me t o d a Ró w n e g o Po d z i a ł u Z Og r a n i c z e n i e m ( Co n s t r a i n e d Eq u a l Aw a r d): R PO (cj,c2,...,cn;g)k = min{ck,X}, gdzie λε[0, + o o ) oraz λ je s t dobrane tak, aby Σ πύη{^,λ} = g .
M etod a PR dzieli dobro proporcjonalnie do wielkości roszczenia. M eto da RPO , zaproponow ana przez M ajm onidesa (A um ann i M aschler 1985), przy
dziela każdem u tyle samo, ale nie więcej niż wysokość roszczenia. Powody zastosow ania param etru λ występującego w definicji m etody RPO zostaną om ówione dokładniej w ostatniej części artykułu, poświęconej reprezentacji param etrycznej m etody. Użycie tego param etru m ożna interpretow ać na
stępująco: przy stopniowym zwiększaniu łącznej ilości d o b ra od 0 do g wszyscy otrzym ują równe porcje aż do ewentualnego pełnego zaspokojenia roszczeń niektórych wierzycieli, którzy następnie zostają wyłączeni z dalszego podziału.
M e t o d a R ó w n y c h S t r a t Z O g r a n i c z e n i e m ( C o n s t r a i n e d E q u a l
LOSS): RSO (cj,c2,...,cn;g)k = max{0,ck + X}, gdzie λ«=(-αο;0] oraz λ jest dobrane tak, aby gm axiOjCj+Jl} = g .
N astępna m etoda przypom ina nieco RPO , ale w odniesieniu do strat: każdy wierzyciel ponosi rów ne straty z zastrzeżeniem, że nie może ponieść d o d at
kowych kosztów oraz nie m oże dostać więcej niż wynoszą jego roszczenia.
W istocie, m etody R P O i RSO są w pewien sposób symetryczne, tzn. jedna z nich traktuje zyski tak ja k druga straty. Sytuacja tak a nosi nazwę dualności.
Aby zdefiniować dualność, weźmy dowolny ustalony wektor roszczeń (ci,c2,...,cn), pew ną ilość d o b ra g, oraz dwie m etody: F i G. Liczba „g” stanowi łączny zysk wierzycieli względem sytuacji wyjściowej, gdy każdy z nich posiada zero. Z kolei liczba h = .i;Cj-g oznacza łączną stratę wierzycieli względem sy
tuacji pełnego zaspokojenia roszczeń. M etody F i G są dualne, gdy F przyznaje dow olnem u wierzycielowi tyle d o b ra z łącznej ilości g, ile G przyznaje straty, gdy łączna ilość d o b ra wynosi h. Oznacza to, że F(Cj,c2,...,cn;g)k = ck - G (c1,c2,...,cn;h)k. W arunek dualności m ożem y więc form alnie zapisać jak o F (c l 5c2,...,cn;g)k + G (cj,c2,..,,cn; Σ Cj- g)k = ck dla wszystkich problem ów (cj,c2,...,cn;g) oraz k = l,...,n . Łatw o sprawdzić, że m etoda P R , a także m etoda
Rysunek 1. Pięć metod podziału w problemie „kontraktu małżeńskiego” z Talmudu, tzn. dla roszczeń równych 100,200 i 300 oraz dla wartości majątku ge[0,600].
Wartość gj oznacza porcję wierzyciela i jako funkcję wartości majątku.
Ca = 30 0
c2 = 200
c, = 100
PR
RPO
C3 = 300
Cj = 200
c, = 100
R S O
202 MAREK K. KAMIŃSKI
AM zdefiniow ana poniżej, są dualne względem samych siebie, tzn. spełniają warunki + PR (c1^ 2,...,c ^ j1q -g )^ = c*. oraz
+ A M (Cl,c2,...,cn; Z c r g)k = ck.
M etody R PO i RSO m o g ą zostać użyte do zdefiniowania m etody z T alm udu zrekonstruow anej przez A um anna i M aschlera n a podstaw ie cząstkowych zaleceń pojaw iających się w różnych Mishnach.
Me t o d a Au m a n n a- Ma s c h l e r a ( Z Ta l m u d u):
D la ilości d o b ra nie przekraczającej połowy łącznej sumy roszczeń m etoda AM jest identyczna z m etodą R P O zastosow aną do w ektora roszczeń zmniej
szonych o połowę. D la większej ilości do b ra m etoda AM przydziela każdem u połowę jego roszczenia, po czym resztę dzieli identycznie jak m etoda RSO zastosow ana do w ektora roszczeń zmniejszonego o połowę. M etoda AM jest więc pewnego rodzaju kom prom isem pomiędzy zasadam i równego podziału dostępnego d ob ra i równego podziału koniecznej straty: najpierw dzieli równo zyski, a potem straty.
Me t o d a Le k s y k o g r a f i c z n a W z g l ę d e młWs p ó ł r z ę d n y c h:
LW (cj ,c2,... ,cn;g)k = m ax{0,min{ck, ck + g - |: ici}}.
W m etodzie LW wierzyciele posiadają różne priorytety będące funkcją m iejsca zajm owanego przez ich roszczenie w wektorze (cj,c2,...,cn). Wierzyciel otrzym uje swoją porcję dopiero po zaspokojeniu roszczeń wierzycieli o wyż
szym priorytecie. W podanej definicji współrzędna o niższym indeksie wyzna
cza wyższy p rio ry tet1.
Rysunek 1 ilustruje wyniki zastosowania pięciu zdefiniowanych m etod do problem u k o n trak tu małżeńskiego z T alm udu przy wartości spadku od
W literaturze występuje wiele innych m etod, np. kolejna m etoda z T alm udu autorstw a Pinilesa (A um ann i M aschler 1985) oraz m etoda do niej dualna.
Wiele m etod występujących w rzeczywistości jest pewnego rodzaju m ieszanką zdefiniowanych powyżej m etod prostych. Progresywny podatek dochodowy jest m etodą „przedziałow o” rów ną PR . P odatek pogłówny jest wersją RPO.
K odeksy regulujące podział m ajątk u bankrutującej firmy definiują natom iast zazwyczaj m etody łączące własności LW i PR.
1 M eto d a L W zdefiniow ana powyżej jest tylko jedną z dużej rodziny m etod wykorzystujących porządek leksykograficzny ja k o zasadę przydziału dóbr. W artykule „R acjonow anie »hydraulicz
n e«” występują inne m etod y leksykograficzne, które wykorzystują bardziej złożoną informację o roszczeniach albo wyznaczają priorytet na bazie w ielkości roszczeń.
dla g ^ ł j c j
0 do 600.
Aksjomaty i podejście aksjomatyczne
„A ksjom aty” w teorii w yboru społecznego form ułują zazwyczaj własności m etod w yboru i m ogą być interpretow ane dwojako. W myśl pierwszej inter
pretacji dany aksjom at wyznacza pewien podzbiór m etod, a więc pewną ogólną zasadę. W myśl drugiej interpretacji aksjom at jest cząstkowym zapisem definicji konkretnej m etody. Charakteryzacja aksjom atyczna danej m etody jest rów no
w ażna „rozłożeniu” jej definicji n a koniunkq'ę pewnych cząstkowych własności lub, alternatywnie, na wyrażeniu jej jak o jedynej spełniającej jednocześnie kilka zasad ogólnych. Czasem dany zestaw aksjom atów jest spełniany równocześnie przez pewien szczególny zbiór m etod, np. łatwych do scharakteryzow ania w sposób liczbowy. T a k a charakterystyka zostanie przedstaw iona w ostatniej części artykułu. Niekiedy m oże też okazać się, jak w twierdzeniu A rrow a, że nie istnieje m etoda, k tó ra spełnia dany zestaw aksjom atów.
Wyżej wymienione przykłady, tzn. charakterystyka konkretnej m etody lub zbioru m etod oraz twierdzenie o niemożliwości (impossibility theorem), stanowią typowe zastosowania podejścia aksjomatycznego w teorii wyboru społecznego.
Podejście to pozwala na bardziej precyzyjne porównanie różnych m etod i lepsze zrozumienie relacji między zasadami ogólnymi konstytuującymi daną metodę.
Poniżej przedstaw ione są najważniejsze aksjom aty występujące w problemie roszczeń i problem ach pokrewnych.
Symetria jest jednym z najprostszych aksjom atów i wymaga, aby wierzyciele o identycznych roszczeniach byli traktow ani tak samo.
Anonim owość staw ia nieco wyższe wymagania. Jeśli dokonam y dowolnej perm utacji współrzędnych, tzn. zmienimy num erację roszczeń, wówczas za
stosowanie m etody do nowego w ektora m a przynieść identyczną zmianę num eracji przydzielonych porcji.
S Y M E T R IA (SYM): M etoda F jest symetryczna, jeśli dla wszystkich prob
lemów (c1,c2,...,cn;g) i dla wszystkich par wierzycieli c ^ e c , jeśli Cj=Cj wówczas F (c 1,c2,...,cn;g)i = F (c 1,c2,...,cn;g)j .
A N O N IM O W O Ś Ć (AN): M etoda F jest anonimowa, jeśli dla wszystkich problemów (cj,c2,...,cn;g) oraz dla dowolnego wektora (d j,d 2,...,dn) będącego permutacją σ wektora (cj,c2,...,cn), tzn. równego (c1,c2,...,cn)°a, zachodzi
F (d 1,d2,...,dn;g) - F (c l 5c2,...,cn;g)°a.
A nonim ow ość im plikuje symetrię, lecz nie n a odwrót. Przykład m etody symetrycznej, ale nieanonimowej m ożna utworzyć następująco: jeśli w wektorze (cj,c2,...,cn) występują choć dwa identyczne roszczenia, m etoda działa tak jak RPO; w przeciwnym przypadku m etoda działa tak jak LW. M etody symetrycz
ne, ale nieanonim ow e są dość „patologiczne” , tzn. przy założeniu innych prostych aksjom atów (np. zdefiniowanych poniżej M O N i SP), obydwa aksjom aty stają się równoważne.
204 M AREK K. KAMIŃSKI
A ksjom aty symetrii i anonimowości form alizują w kontekście roszczeń dwie wersje zasady równości wobec praw a.
K olejny aksjom at, m onotoniczność, wymaga, aby zwiększenie ilości d o b ra nie zmniejszało żadnej porcji. Ponieważ łączna ilość d o b ra w zrasta, wszystko zaś zostaje rozdzielone, porcja przynajmniej jednego wierzyciela m usi wzrosnąć.
M O N O T O N IC Z N O Ś Ć ( M O N ) : M etoda F je s t monofoniczna, jeśli dla wszyst- ■ kich par problemów (c1,c2,...,cn;gI) oraz (cj,C2,...,cn;gn), jeśli g1 > gn wówczas F(c1,c2,...,cn;gI)i> F (c1,c2,...,cn;gil)i dla i= l,2 ,...,n .
W kontekście np. bankructw a m onotoniczność posiada następujące uzasa
dnienie. Przyjmijmy, że m ajątek bankrutującej firmy został podzielony pom ię
dzy wierzycieli. Tymczasem likw idator odnalazł nieznane do tąd dodatkow e aktyw a firmy. M onotoniczność wymaga, aby żaden wierzyciel nie m usiał w konsekwencji zwracać części otrzym anych wierzytelności.
Przykładem m etody niem onotonicznej jest m etoda działająca tak ja k LW, gdy g ^ l oraz tak ja k RPO , gdy g > l .
Spójność m etody (consistency) odnosi się do sposobu działania m etody przy różnych zbiorach wierzycieli. Załóżm y, że nastąpił podział d o b ra w zgodzie z d ana m etodą, po czym wierzyciele z pewnego podzbioru dokonują porów n an ia otrzym anych porcji oraz obliczają ich sumę. Spójność wym aga, aby m etoda zastosow ana do tego podzbioru oraz łącznej ilości dobra, jak ą otrzym a
li, przyniosła taki sam podział jak przy wcześniejszym jej zastosowaniu do większego zbioru. A ksjom at ten możemy interpretow ać jak o następującą ogólną zasadę sprawiedliwości dystrybutywnej: jeśli dla całego zbioru wierzycie
li podział jest sprawiedliwy, wówczas jest on również sprawiedliwy dla każdego podzbioru.
W ystępujące w poniższej definicji pojęcie „projekcji” w ektora roszczeń (cj,c2,...,cn) oznacza w ektor (d j,d 2,...,dk) powstały po usunięciu niektórych współrzędnych spośród Cj,c2,...,cn. Jeśli roszczenie Cj zostało zachowane w wek
torze (d j,d 2,...,dk) i odpow iada m u roszczenie dm, wówczas piszemy Cj->dm.
SP Ó JN O Ś Ć (SP): M etoda F je s t spójna, jeśli dla wszystkich problemów (cj,c2,...,cn;g) oraz dla wszystkich wektorów roszczeń (d |,d 2,...,dk) będących projekcją (c ^ C j,...^ ) , jeśli Cj-»dm, wówczas F(cl3c2,...,cn;g)j = F ( d 1,d2,...,dk:
i L J F C c ^ - . ^ i g ) ^ .
Przykładem m etody niespójnej jest m etoda określona inaczej na różnych podzbiorach wierzycieli, np. taka, k tó ra dla dwóch wierzycieli dzieli dobro proporcjonalnie, a dla większej ich liczby dzieli d obro w zgodzie z m etodą RPO.
Ciągłość oznacza, że m etoda nie wykonuje „skoków ” w przydzielaniu dobra. R ozpatrzm y problem (cl 5c2,...,cn;g) i zobaczmy, jakie porcje m eto d a F przydziela wierzycielowi i w problem ach podobnych. Weźmy ciąg problem ów, w których w artość do b ra dąży do g oraz wartości wszystkich
roszczeń dążą do wartości roszczeń w wektorze ( c j,^ ,...,^ ) . W ówczas wierzy
ciel i powinien w granicy otrzym ać identyczną ilość dobra ja k w problem ie (cj,c2,...,cn;g). Z pewnym przybliżeniem m ożna przyjąć, że ciągłość wyraża własność „niewielkie zm iany roszczeń oraz ilości d o b ra prow adzą do niewiel
kich zmian w alokacji d o b ra” .
C IĄ G Ł O Ś Ć ( C I ) : M etoda F jest ciągła, jeśli dla dowolnego problemu (cj,c2,...,cn;g) oraz dowolnego ciągu problemów (c1k,c2k,...,cnk;gk) takiego, że Cjk dąży do Cj oraz gk dąży do g, wówczas F(c1k,c2k,...,cnk;gk) dąży do F (cl 5c2,...,cn;g).
Przykładem m etody nieciągłej jest m etoda, dla której gj = 1 gdy Cj — 1 oraz g = 1, zaś k tó ra jest rów na R PO dla pozostałych problem ów.
Sprawdźmy, które aksjom aty są spełnione przez m etody zdefiniowane w poprzedniej sekcji. Okazuje się, że jedynie m etoda LW nie spełnia niektórych aksjom atów: są to aksjom aty SYM, A N oraz SP2.
Reprezentacja parametryczna metod podziału
A ksjom aty reprezentują ogólne zasady wyboru, lecz nie nad ają się do definiowania m etod lub ich zwięzłego przedstawienia. M etoda podziału jest pew ną funkcją przypisującą każdem u problem owi dopuszczalną alokację.
Definicja tej funkcji m oże jednak stanowić kłopot. Przykładowo definicja m etody przypisującej w jakiś arbitralny, eklektyczny sposób alokacje p ro b lemom m oże być niesłychanie skom plikowana, wręcz niemożliwa do sfor
m ułow ania inaczej niż poprzez wyliczenie wszystkich uporządkow anych p ar
„problem -alokacja” . Problem ów roszczeń jest jednak nieskończenie wiele, więc sposób definiowania poprzez wyliczenie jest niemożliwy do praktycznego zastosow ania z oczywistych względów.
Okazuje się, że kłopoty ze sformułowaniem zwięzłej definicji formalnej m ają miejsce również w przypadku większości m etod opartych na prostych zasadach, ja k te zdefiniowane w niniejszym artykule. Z naszych pięciu m etod jedynie PR m ożna zdefiniować form alnie stosunk owo prosto. R ozpatrzm y przykład m eto dy RPO. M eto d a ta wyraża p ro stą zasadę: „K ażdem u równo, ale nie więcej niż jego roszczenie” . D la ustalonego w ektora roszczeń ilość d o b ra przyznawanego wierzycielowi jest prostą, choć dość niezgrabną funkcją łącznej ilości d ob ra (zob. rys. 1). D la problem u k o n trak tu małżeńskiego m etodę R PO m ożna zdefiniować następująco:
( (4g, ig , ag) dla g<0,300]
R P O (100,200,300;g) = < (100,i(g-100),i(g-100)), dla ge(300,500]
l (100,200,g-300) dla g<500,600]
2 LW spełnia wersję aksjom atu SP opartą na nieco innej definicji m etody podziału. W ątek ten został pom inięty w niniejszym artykule.
206 M AREK K. KAMIŃSKI
Przy zmiennym zbiorze wierzycieli sytuacja się niesłychanie kom plikuje i tru dn o otrzym ać zwięzłą definicję form alną m etody R PO bez pom ocy dodatkow ego param etru. Bez takiej definicji niemożliwa jest jednak precyzyjna analiza m etod podziału ani też napisanie algorytm u podziału. Czytelnik m oże łatwo zweryfikować powyższe stwierdzenie i spróbow ać zdefiniować form alnie m etodę R P O bez pom ocy dodatkow ego param etru.
Poszukiwanie pojedynczego param etru, który ułatwiłby zdefiniowanie m e
tod z jak najszerszej klasy stanowiło motywację artykułu Y ounga (1987).
W artykule tym Y oung zdefiniował form alnie postać param etryczną (param et
ric representation) m etody podziału. M etoda param etryczna może zostać przedstaw iona w taki sposób, że ilość dobra otrzymywanego przez wierzyciela jest funkcją jego roszczenia oraz dodatkow ego param etru λ, przy nałożeniu prostego ograniczenia związanego z całkow itą ilością dobra. Ograniczenie to mówi, że p aram etr λ jest w ybrany tak, aby suma porcji otrzym anych przez wierzycieli była rów na łącznej ilości dobra. „Sparam etryzow anie” m etody rozwiązuje zatem problem jej zwięzłego przedstawienia.
Form alnie, niech ί(χ,λ) będzie funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych x i λ, gdzie x > 0 , zaś λε[ή,ή] dla pewnych acbelH . D odatkow o, dopusz
czamy możliwość a = -oo oraz b = + oo. Zakładam y, że dla każdego ustalone
go x, f jak o funkcja λ jest niemalejąca oraz ciągła; ponadto, f(x,a) = 0 oraz
f(x,b) = x. n
Łatwo wykazać, że dla każdego wektora roszczeń (cj,c2,...,cn) suma Zf(cj,X) jest funkcją ciągłą oraz^dla ta[a,b] jest niemalejąca, a na krańcach przedziału przyjm uje wartości 0 i Σ ^ . Sum a Σ ^ ί^ ,λ ) przyjm uje więc wraz ze zm ianą λ każdą w artość z przedziału [Ο,Σ Cj]. N astępująca definicja określa klasę funkcji wyróżnionych ze względu n a możliwość ich przedstawienia przy użyciu funkcji param etrycznej.
M e t o d a P a r a m e t r y c z n a : F jest metodą parametryczną, jeśli dla pewnej fu n kcji parametrycznej f zachodzi: F (cj,c2,---,cn;g )i — fjCpF) dla dowolnego
λ takiego, że %i f c iX ) = g.
Y oung scharakteryzow ał w swoim artykule zbiór wszystkich m etod p a ra metrycznych. M ianowicie, ciągła m etoda podziału jest param etryczna wtedy, i tylko wtedy, gdy jest symetryczna i spójna.
Zauważmy, że skonstruow anie funkcji param etrycznej jest niemal tożsame z otrzym aniem prostej definicji funkcji F. W ystarczy bowiem tylko podstawić tę konk retn ą funkcję na miejsce ,/(ο ;,λ)” w definicji m etody param etrycznej, aby otrzym ać w artość F dla wszystkich możliwych problem ów. Co więcej, ponieważ niemal wszystkie ważniejsze m etody alokacji są symetryczne, spójne i ciągłe, twierdzenie Y ounga mówi, że praw ie wszystkie najważniejsze m etody m ożna zdefiniować param etrycznie.
Powróćm y do przykładu k o n trak tu małżeńskiego oraz zdefiniowanych wcześniej m etod podziału. Cztery spośród tych m etod są param etryczne (rys. 2).
(Czytelnik m oże spróbow ać wykazać, że LW nie jest param etryczna w sensie definicji podanej powyżej).
Rysunek 2. Reprezentacje parametryczne czterech metod podziału w problemie „kon
traktu małżeńskiego” z Talmudu dla roszczeń równych 100, 200 i 300
f<xA)
λ
f(x,A)
RSO : a=-°°, b=0
ί(Χ .λ)
i
RPO: a—0, b—+<*>
.W»*·'·»
i
AM: a=0, b=400
F unkcja param etryczna dla m etody RPO jest rów na f κρο(χ,λ) = m in {χ,λ}.
Jest to więc dokładnie to samo wyrażenie, które występuje w definicji m etody RPO. Podobnie rzecz się przedstaw ia z m etodą RSO.
F unkcja param etryczna dla m etody AM jest nieco bardziej skom pli
kow ana ze względu na fakt, iż m etoda A M rozdziela nieco inaczej dobro w dwóch przypadkach, tzn. gdy jego ilość jest mniejsza versus większa od połowy sumy roszczeń. N a rysunku 2 wykres dla tej m etody dla u p ro szczenia odnosi się do problem ów z nałożonym górnym ograniczeniem n a wysokość roszczeń, tzn. dla każdego i, 0 < C j ^ c m a x = 4 0 0 . (Czytelnik m oże spróbow ać skonstruow ać funkcję f dla m etody A M bez ograniczenia wysokości roszczeń: m ożna w tym celu wykorzystać przedział [a,b] = [0,1]
oraz funkcję tg λπ).
208 M AREK K. KAMIŃSKI
O ile k ażda funkcja f wyznacza m etodę podziału jednoznacznie, o tyle dla dowolnej m etody param etrycznej m ożna znaleźć nieskończenie wiele funkcji param etryzujących. Jeśli np. ί(χ,λ) zdefiniowana n a przedziale [a,b] jest funkcją param etryczną dla m etody F , to również funkcja ή(χ,λ) = ί(χ,λ-1) zdefiniowana n a przedziale [ a + l , b + 1] param etryzuje F.
P aram etr λ m ożna sobie wyobrazić jako »poziom dostępności« dobra zależny od wszystkich roszczeń oraz ilości dobra. Liczba f(cj,X) jest porcją wierzyciela z roszczeniem Cj n a poziomie dostępności λ. N a najniższym poziom ie dostępności λ = a porcja wierzyciela n a m ocy definicji funkcji f wynosi 0, a na poziom ie najwyższym λ = b porcja ta wynosi Cj. Jeśli poziom dostępności do b ra w zrasta, wówczas porcja wierzyciela również rośnie lub pozostaje stała, bowiem z założenia funkcja f jest niemalejąca dla każdego ustalonego Cj.
D la klasy problem ów ze stałym wektorem roszczeń poziomem dostępności do b ra (param etrem λ) m oże być po prostu łączna ilość dobra do podziału, czyli g (patrz rys. 1). Niestety, zmienna ta nie daje się użyć do zdefiniowania m etody podziału dla wszystkich możliwych problemów.
Zakończenie: problemy mikrosprawiedliwości
Intensywny rozwój aksjomatycznego badania m etod podziału dóbr w proble
m ie roszczeń datuje się od lat osiemdziesiątych, a więc od niedawna. Problem roszczeń, a także ogólniejszy problem racjonow ania, są przykładam i m odeli formującej się dyscypliny niewelfarystycznego wyboru społecznego, nazywanej też mikrosprawiedliwością (microjustice) i sprawiedliwością lokalną {localjustice). D o jej ufundow ania przyczyniły się najbardziej książki socjologa Jo n a Elstera (1992) i ekonom isty H . Peytona Y ounga (1994). Połączenie podejścia socjologicznego z ekonomicznym jest w ażną cechą charakterystyczną nowej dyscypliny.
Z problem em m ikrosprawiedliwości m am y do czynienia wówczas, gdy jakiś rzadki zasób lub nieuniknione obciążenia (np. podatki) należy rozdzielić drogą nierynkow ą pom iędzy zainteresowane strony. Problem taki różni się od klasycznego problem u w yboru społecznego tym, że inform acja używana do podjęcia decyzji społecznej m oże zawierać inne dane, niż preferencje lub użyteczności jednostek. Zadaniem dla socjologa, a również politologa i p ra wnika, jest zrekonstruow anie kontekstu społecznego problem u oraz m etod podziału stosow anych w rzeczywistości. Zadaniem dla ekonom isty i m atem aty
k a jest analiza własności różnych m etod oraz stworzenie m odeli i pojęć ułatwiających opis, a także generujących pożyteczne wskazówki dla praktyków .
Przykłady sytuacji empirycznych, w których dokonyw ane są pow tarzalne wybory społeczne oparte n a informacji niewelfarystycznej są niezliczone.
O prócz wym ienionych ju ż problem ów bankructw a, podatków , spadku, likwi
dacji firmy itp., do typowych problem ów mikrosprawiedliwości należy podział
m andatów przy ordynacji proporcjonalnej, podział organów do przeszczepu po
między oczekujących pacjentów, przydział miejsc w akadem ikach, żłobkach lub na studiach, m asowe zwolnienia, mobilizacja do wojska w czasie wojny, adopcja.
W Polsce problem atyka mikrosprawiedliwości jest słabo znana i praktycznie nieobecna w pism ach naukow ych i program ach badawczych. Przedm iot jej badania zaznacza jed n ak swoją obecność w życiu społecznym niesłychanie silnie. Transform acja systemu polityczno-ekonomicznego wywarła, i wciąż wywiera, oczywisty wpływ na m etody alokacji zasobów w rozm aitych sytuac
jach społecznych. M etody prywatyzacji, nowe ustawy regulujące podział zaso
bów, praktyka przydziału organów do przeszczepów itp. czekają jednak wciąż n a polskiego socjologa, k tóry je opisze oraz polskiego ekonom istę lub m atem a
tyka, który przeprow adzi analizę form alną i którzy wspólnie, być może, zaproponują ulepszenia instytucji rozdzielających polskie rzadkie zasoby i nie
uniknione obciążenia.
Literatura
A um ann, R o b ert J. i M ichael M aschler. 1985. Game Theoretic Analysis o f a Bankruptcy Problem fro m the Talmud. „Journal o f Econom ic T heory”
36(2): 195-213.
Elster, Jon. 1992. Local Justice. How Institutions Allocate Scarce Goods and Necessary Burdens. New York: Russell Sage F oundation.
K am iński, M arek M . 2000. »Hydraulic« Rationing. „M athem atical Social Sciences” (w druku). Polskie tłumaczenie: Racjonowanie »hydrauliczne« (w obecnym num erze „Studiów Socjologicznych”).
O ’Neill, Barry. 1982. A Problem o f Rights Arbitration fro m the Talmud.
„M athem atical Social Sciences” 2: 345-371.
Thomson, William. 1995. Axiomatic Analyses o f Bankruptcy and Taxation Problems:
A Survey. R ochester Center for Econom ic Research W orking Paper N o. 413.
Y oung, H . Peyton. 1987. On Dividing an Am ount According to Individual Claims or Liabilities. „M athem atics o f O perations Research” 12(3): 398-414.
Y oung, H . Peyton. 1994. Equity in Theory and Practice. Princeton: Princeton University Press.
Claims Summary
The article introduces to the problem of claims settlement on the basis of an example of a „marriage contract” from the Talmud, defines most important allocation rules and axioms, that appear in the context of claims, and presents the concept of a parametric representation of an allocation rule.
Key words: division, claims, social choice, distributive justice.
