Lista 7: Dziaªania macierzowe. Wyznacznik macierzy. Macierz odwrotna. Ukªady Cramera.

Lista 7: Dziaªania macierzowe. Wyznacznik macierzy. Macierz odwrotna. Ukªady Cramera.

1. Obliczy¢:

(a)

 1 3

−2 1



+ 2  2 1 0 4



; (b) 3  1 0 1 0 2 1



−  3 1 0 1 1 −1



;

(c)





3 −4 5 2 −3 1 3 −5 −1



 ·





3 29 2 18 0 −3



 ; (d)

 1 −1 1 −1

−1 1 −1 1



·







 0

−1 2

−3







 ;

(e)





3 −1 0 1 2 −2

5 0 1



·





−4 1 1 2 0 −2 1 1 −1



 ; (f)  1 5 3 2 −3 1



·





2 −3 5

−1 4 −2

3 −1 1



 . 2. Obliczy¢ wyznacznik macierzy:

   

3 5 5 8

    ,

   

1 + √

2 2 − √ 3 2 + √

3 1 − √ 2

    ,

     

1 1 1 1 2 3 1 3 6

      ,

     

1 2 3 5 1 4 3 2 5

      .

3. Stosujac rozwiniecie Laplace' a obliczy¢ podane wyznaczniki:

       

3 −2 0 5

−2 1 −2 2 0 −2 5 0

5 0 3 4

        ,

         

3 2 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 3 2 2 0 0 0 3

          ,

         

2 7 −1 3 2

0 0 1 0 1

−2 0 7 0 2

−3 −2 4 5 3

1 0 0 0 1

          .

4. Stosujac operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych wyznaczników (powodujace obni»enie ich stopni) obliczy¢:

(a)        

2 1 −1 2

−1 2 1 4

1 0 1 −1

3 −1 4 0

       

, (b)          

1 0 1 2 12

2 0 1 1 4

2 1 1 −1 3 3 2 −1 1 8

1 1 1 0 6

          .

5. Znale¹¢ macierze odwrotne do podanych:

(a)  1 2 2 5

 , (b)





1 2 −3 0 1 2 0 0 1



 , (c)









2 1 0 0 3 2 0 0 1 1 3 4 2 −1 2 3







 , (d)









1 1 1 1

1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1







 .

6. Rozwiaza¢ podane równanie macierzowe:

(a)  1 3 1 2



· X =  1 1 1 1



, (b)  3 1 2 1



· X ·  1 3 1 2



=  3 3 2 2

 ,

1

(c)

 4 2

−1 4



· X = 4X +  −2 0 0 −1

 , (d) X +  1 0 0

0 2 0



=

¹₂

(X −  0 0 2 0 4 0

 ),

(e) X

^T

·





1 1 −1

2 1 0

1 −1 1



 =  1 −1 3 4 3 2

 .

7. Korzystajac ze wzoru Cramera znale¹¢ rozwiazania podanych ukªadów równa«:

(a)  5x − 2y = 6 3x + y = 4 , (b)







x + 2y + 3z = 1 2x + 3y + z = 3 3x + y + 2z = 2

, (c)



 



 



x + y − z + t = 2 2x − y + z + t = 1 x + 2y + 3z − t = 0 3x − y + 2z − t = 1 .

8. Stosujac wzór Cramera obliczy¢ niewiadoma y z podanych ukªadów równa« liniowych:

(a)



 



 



3x + 7y + 2z + 4t = 0 2y + z = 0 x + 4y + z = 1 5x + 3y + 2z = 0

, (b)



 



 



x + 3y + 3z + 3t = 1 3x + y + 3z + 3t = 1 3x + 3y + z + 3t = 1 3x + 3y + 3z + t = 1

.

9. Dla jakich warto±ci parametru p ∈ R podane ukªady równa« sa ukªa- dami Cramera?

(a)

 (p + 1)x − py = 1 2x + (p − 1)y = 3p , (b)







px + 3y + pz = 0

−px + 2z = 3 x + 2y + pz = p

.

2