Lista 4: Podprzestrze´ n
(1) Czy podany zbi´ or W jest podprzestrzeni¸ a R
3? Odpowied´ z uza- sadnij.
(a) W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1= 0};
(b) W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R3; x
1· x
2= 0};
(c) W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
26= 0};
(d) W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1+ x
2= 0};
(e) W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1+ x
2+ x
3= 0};
(f) W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1+ x
2= 1}.
(2) Czy podany zbi´ or W jest podprzestrzeni¸ a R
3? Odpowied´ z uza- sadnij.
(a) W = {(x
1, 0, x
3) | x
1, x
3∈ R};
(b) W = {(x
1, x
2, 4) | x
1, x
2∈ R};
(c) W = {(a, b, a + 2b) | a, b ∈ R};
(d) W = {(s, s − t, t) | s, t ∈ R};
(e) W = {(x
1, x
2, x
1· x
2) | x
1, x
2∈ R};
(f) W = {(x
1,
x11
, x
3) | x
1, x
3∈ R, x
16= 0};
(3) W zbiorze E = {f ; f : [0, 1] → R} okre´slamy dzia lania do- dawania i mno˙zenia funkcji przez liczb¸e rzeczywist¸ a nast¸epuj¸ aco
(f + g)(x) = f (x) + g(x), (λf )(x) = λf (x).
Zbada´ c, czy zbi´ or W jest podprzestrzeni¸ a E:
(a) W = {f ∈ E; f (x) = ax
2+ bx + c ∧ a 6= 0}, (b) W = {f ∈ E; 2f (0) = f (1)},
(c) W = {f ∈ E; ∀
x∈[0, 1]f (x) > 0}, (d) W = {f ∈ E; f (
12) = 0}.
(4) Kt´ ory z podzbior´ ow V
1, V
2jest podprzestrzeni¸ a R
4? (a) V
1= {x ∈ R
4; x
1∈ Z},
(b) V
2= {x ∈ R
4; x
1= 0 ∨ x
2= 0}.
(5) Czy W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1= −2x
3∧ x
2∈ Q} jest podprzestrzeni¸ a R
3?
(6) Czy A, B s¸ a podprzestrzeniami przestrzeni V , gdzie:
(a) V = R
4, A = {(x, x + 1, 0, 1); x ∈ R},
(b) V = R
4, B = {(x, y, x + y, x − y}; x, y ∈ R}.
(7) Zbada´ c, kt´ ore z poni˙zszych zbior´ ow s¸ a podprzestrzeniami wek- torowymi V :
(a) {x ∈ R
2; x
21− 1 = 0}, V = R
2, (b) {x ∈ R
2; x
1− 4x
22= 0}, V = R
2,
(c) {x ∈ R
2; x
1− 2x
2= 2}, V = R
2,
1
2