ANALIZA I 12 grudnia 2014 Semestr zimowy
Lista XIV
Funkcje pierwotne i Reguła de L’Hôspitala Javier de Lucas
Zadanie 1. Korzystając ze znajomości pochodnych, znaleźć funkcję pierwotną dla na- stępujących funkcji (nie mamy jeszcze symbolu R ) xa, √
x,√1x, x2, x12, x1, cos x, cos12x,
√ 1
1−x2, 1+x1 2, sinh x, cosh(x)1 , √1+x1 2, √x12−1.
Zadanie 2. Korzystając z własności pochodnych, znaleźć funkcję pierwotną dla nastę- pujących funkcji: f (x) = 5x2− 6x + 3 − 2x +x52, f (x) = (x2−1)x 3, h(x) = 1+xx2,
f (x) =
√x−2√3 x2+4√4
5x3 6√3
x .
Zadanie 3. Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej policzyć funkcję pier- wotną dla następujących funkcji: f (x) = √
3x + 1, f (x) = √
a + bx, f (x) = x√
1 + x2, f (x) = 3−5xx 2, f (x) = √5x2
x3+1, f (x) = xe−x2, f (x) = e
1x
x2, f (x) = cos xesin x, f (x) = costg x2x, f (x) = cos2(xx23+1).
Zadanie 4. Obliczyć granice limx→0 ex−ex−x, limx→0 √ln x
x2−1, limx→0 (exx2−ecos x−x)2, limx→+∞ axln xc , limx→π
4
tg x−1
sin x−cos x, limx→0 x−sin xx3 , limx→+∞ x2sin
1 x
2x−1 , limx→αtg πx2α (esin α−esin x), limx→+∞ ln ln xx , limx→1 1
ln x− ln xx , limx→+∞(π − 2 arctg x) ln x, limx→0−(1 − x) ln(1 − x)
Zadanie 5. Obliczyć granice: limx→0 x12 − ctg2x, limx→1 x22−1 −x−11 , limx→0 x13 − sin x1 , limx→+∞x1x, limx→0+ 1xsin x
, limx→1x1−x1 , limx→0 tg xx 1
x2
Zadanie 6. Obliczyć granicę: limx→0x−arc sin x x3
Zadanie 7. Obliczyć granice: limx→1arctg
x2−1 x2+1
x−1 , limx→+∞
ax−1 x(a−1)
1x
, a > 0, a 6= 1.
Zadanie 8. Czy mozna zastosować regułe de l’Hospitala do obliczenia następujących granic? limx→+∞ 2x+sin xx−sin x, limx→+∞ 2x+sin(2x)+1
(2x+sin(2x))(sin x+3)2, limx→0+ 2 sin√ x +√
x sinx1x
.
Zadanie 9. Udowodnić, że prawdziwa jest nierówność (Jensen dla f (x) = 1x):
n2
x1+···+xn ≤ x1
1 + · · · + x1
n, x1, . . . , xn> 0
1
