(za 3 pkt.) Wykaza´c, ˙ze je´sli f, f0

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 23.11.2010

Zad. 1. (za 4 pkt.) Wiedz ˛ac, ˙ze:

X+∞

n=1

1 n² = π²

6 wyznaczy´c warto´s´c Γ⁰⁰(1).

Zad. 2. (za 3 pkt.)

Wykaza´c, ˙ze je´sli f, f⁰, . . . , f⁽ⁿ⁾ s ˛a bezwzgl ˛ednie całkowalne na R, to F£

f⁽ⁿ⁾(t)¤

(ω) = (iω)ⁿF (ω), gdzie F oznacza transformat ˛e Fouriera, F = F [f].

Zad. 3. (za 4 pkt.)

Stosuj ˛ac transformat ˛e Laplace’a znale´z´c rozwi ˛azanie układu równa´n

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩

f1(x) = exp (x)− Zx

0

f1(t) dt + 4 Zx

0

f2(t) exp (x− t) dt

f2(x) = 1− Zx

0

f1(t) exp (t− x) dt + Zx

0

f2(t) dt

.

Zad. 4. (za 4 pkt.)

Stosuj ˛ac transformat ˛e Laplace’a rozwi ˛aza´c zagadnienie Cauchy’ego:

y⁰⁰+ 9y = 30 cosh t, y¡ 0⁺¢

= 3, y⁰¡ 0⁺¢

= 0 Zad. 5.* (zast ˛epuje dowolne inne zadanie)

Wykaza´c, ˙ze

X+∞

n=1

1 n² = π²

6 .