4. Wykład 4: Pierścień wielomianów.
Definicja 4.1. Niech (R, +,·) będzie dowolnym pierścieniem.
(1) Element x∈ R taki, że
∃y ∈ R \ {0}(x · y = 0)
nazywamy dzielnikiem zera. Zbiór wszystkich dzielników zera oznaczamy D(R).
(2) Element x∈ R taki, który nie jest dzielnikiem zera, nazywamy elementem regularnym.
Przykłady:
(1) Rozważmy dowolny pierścień (R, +,·). Element 0 jest zawsze dzielnikiem zera, nazywamy go nie- właściwym dzielnikiem zera. Każdy inny dzielnik nazywać będziemy właściwym dzielnikiem zera.
(2) Rozważmy pierścień Z6. Wówczas elementy 0, 2, 3, 4 są dzielnikami zera, a elementy 1, 5 są regu- larne.
(3) Rozważmy pierścień Z× Z. Wówczas elementy (1, 0) i (0, 1) są dzielnikami zera.
Twierdzenie 4.2. Niech (R, +,·) będzie dowolnym pierścieniem, niech x, y, z ∈ R. Wówczas:
(1) x· y = 0 ⇒ x ∈ D(R) ∨ y ∈ D(R);
(2) jeśli x jest regularny, to
x· y = 0 ⇒ x = 0;
(3) jeśli x jest regularny, to
x· y = x · z ⇒ y = z.
Przykład:
(4) Rozważmy pierścień Z6. Wówczas 3· 2 = 3 · 4, ale 2 ̸= 4.
Definicja 4.3. Pierścień bez właściwych dzielników zera nazywamy pierścieniem całkowitym (lub dziedziną całkowitości).
Przykład:
(5) Przykładami pierścieni całkowitych są Z, Z5, czy ogólnie Zp, gdzie p jest liczbą pierwszą.
Uwaga 4.4. Niech (R, +,·) będzie dowolnym pierścieniem. Wielomianem zmiennej x o współczynni- kach w pierścieniu R będziemy nazywali wyrażenie o postaci
a0+ a1x + . . . + anxn, gdzie n∈ N oraz a0, . . . , an ∈ R.
Dwa wielomiany uważamy za równe wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się tylko o składniki postaci 0· xi, gdzie i∈ N.
Będziemy mówili, że wielomian f = a0+ a1x + . . . + anxn jest stopnia n, gdy an ̸= 0. Umowa ta nie określa stopnia wielomianu 0, przyjmiemy więc dodatkowo, że stopniem wielomianu 0 jest −∞. Stopień wielomianu f będziemy oznaczać przez deg(f ).
Wielomiany stopnia 1 będziemy nazywać liniowymi, a wielomiany stopnia 2 kwadratowymi.
Dla wielomianu f = a0+a1x+. . .+anxnwspółczynnik annazywamy najstarszym (lub największym) współczynnikiem. Jeżeli najstarszy współczynnik równy jest 1, to wielomian f nazywamy unormowa- nym.
W zbiorze wszystkich wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia R definiujemy do- dawania + i mnożenie ·, kładąc dla dowolnych wielomianów f = a0 + a1x + . . . + anxn oraz g = b0+ b1x + . . . + bmxm
f + g =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(a0+ b0) + (a1+ b1)x + . . . + (an+ bn)xn+ bn+1xn+1+ . . . + bmxm, gdy m > n, (a0+ b0) + (a1+ b1)x + . . . + (an+ bn)xn, gdy m = n,
(a0+ b0) + (a1+ b1)x + . . . + (am+ bm)xm+ am+1xm+1+ . . . + anxn, gdy m < n, f · g = c0+ c1x + . . . + cn+mxn+m,
gdzie
ci =
%i
k=0
ai−kbk,
dla i∈ {0, . . . , n + m}. Ponadto wyróżniamy wielomian 0 jako element neutralny dodawania oraz wielo- mian 1 jako element neutralny mnożenia. Wówczas zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x o współ- czynnikach z pierścienia R z tak określonymi działaniami i wyróżnionymi elementami jest pierścieniem przemiennym z jedynką. Pierścień ten będziemy nazywali pierścieniem wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia R i będziemy oznaczali przez R[x].
Uwaga 4.5. Przy liczeniu stopni wielomianów przyjmujemy następującą umowę notacyjną:
• ∀n ∈ N(n > −∞),
• (−∞) + (−∞) = −∞,
• ∀n ∈ N(−∞ + n = −∞).
Uwaga 4.6. Niech (R, +,·) będzie dowolnym pierścieniem, (R[x], +, ·) pierścieniem wielomianów zmien- nej x o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto
f = a0+ a1x + . . . + anxn ∈ R[x] oraz g = b0+ b1x + . . . + bmxm ∈ R[x].
Wówczas:
(1) deg(f + g)≤ max{deg(f), deg(g)};
(2) jeśli
deg(f )̸= deg(g), to
deg(f + g) = max{deg(f), deg(g)};
(3) deg(f g)≤ deg(f) + deg(g);
(4) jeśli
f ̸= 0 ∧ g ̸= 0 ∧ (an jest regularny ∨ bm jest regularny) , to
deg(f g) = deg(f ) + deg(g);
(5) jeśli
f ̸= 0 ∧ g ̸= 0 ∧ R jest pierścieniem całkowitym, to
deg(f g) = deg(f ) + deg(g).
Dowód. (1) Niech h = f + g =&∞
k=0ckxk, przy czym ck = 0 dla prawie wszystkich k ∈ N. Ustalmy k > max{n, m} = max{deg(f), deg(g)}. Wówczas:
ck = ak+ bk = 0 + 0 = 0.
Wobec tego deg(f + g)≤ max{deg(f), deg(g)}.
(2) Oczywiste.
(3) Niech h = f · g = &∞
k=0ckxk, przy czym ck = 0 dla prawie wszystkich k ∈ N. Ustalmy k >
n + m = deg(f ) + deg(g). Mamy
ck =
%k
i=0
ak−ibi.
Jeżeli i∈ {0, . . . , m}, to k − i ∈ {n + 1, . . . , k}, więc ak−i= 0. Podobnie, jeżeli i∈ {m + 1, . . . , k}, to bi = 0. Zatem ck = 0, a więc deg(f g)≤ deg(f) + deg(g).
(4) Niech h = f· g =&∞
k=0ckxk, przy czym ck = 0 dla prawie wszystkich k ∈ N. Mamy cn+m =
n+m%
i=0
an+m−ibi
= an+m
' () *
=0
b0+ an+m−1
' () *
=0
b1+ . . . + anbm+ an−1bm+1
' () *
=0
+ . . . + a0bn+m
' () *
=0
= anbm.
Ponieważ an lub bm jest regularny, więc cn+m̸= 0.
(5) Wynika wprost z (4).
! Wniosek 4.7. Niech (R, +,·) będzie dowolnym pierścieniem, (R[x], +, ·) pierścieniem wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto
f = a0+ a1x + . . . + anxn∈ R[x].
Wówczas:
(1) jeśli an jest regularny w R, to f jest regularny w R[x];
(2) każdy wielomian unormowany jest elementem regularnym w R[x];
(3) jeśli R jest całkowity, to R[x] jest całkowity.
Twierdzenie 4.8 (o dzieleniu wielomianów z resztą). Niech (R, +,·) będzie dowolnym pierścieniem, (R[x], +,·) pierścieniem wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto
f = a0+ a1x + . . . + anxn ∈ R[x] oraz g = b0+ b1x + . . . + bmxm ∈ R[x].
Wówczas istnieją liczba l∈ N ∪ {0} oraz wielomiany q, r ∈ R[x] takie, że aln· g = q · f + r
oraz deg(r) < deg(f ).
Dowód. Jeżeli deg(g) = m < n = deg(f ), to kładziemy l = 0, q = 0, r = g.
Jeżeli deg(g) = m = n = deg(f ), to l = 1, q = bm, r = ang− bmf . Istotnie, zauważmy że wówczas deg(r) < n = deg(f ).
Jeżeli deg(g) = m > n = deg(g), to dowód prowadzimy metodą indukcji względem deg(g) = m.
Załóżmy, że dla m1∈ {n + 1, . . . , m − 1} i dla wielomianów postaci g1= b′0+ b′1x + . . . + bm′xm′ ∈ R[x]
istnieją liczba l1∈ N ∪ {0} oraz wielomiany q1, r1∈ R[x] takie, że aln1· g1= q1· f + r1 oraz deg(r1) < deg(f ). Połóżmy
g1 = ang− bmxm−nf.
Wówczas
deg(g1)∈ {n + 1, . . . , m − 1}, zatem istnieją liczba l1∈ N ∪ {0} oraz wielomiany q1, r1∈ R[x] takie, że
aln1· g1= q1· f + r1 oraz deg(r1) < deg(f ), czyli
aln1 ·+
ang− bmxm−nf,
= q1· f + r1 oraz deg(r1) < deg(f ), lub równoważnie
aln1+1g =+
q1+ aln1bmxm−n,
· f + r1 oraz deg(r1) < deg(f ).
Tym samym kładąc l = l1+ 1, q = q1+ aln1bmxm−n oraz r = r1 otrzymujemy tezę. ! Wniosek 4.9. Niech (R, +,·) będzie dowolnym pierścieniem, (R[x], +, ·) pierścieniem wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto
f = a0+ a1x + . . . + anxn ∈ R[x] oraz g = b0+ b1x + . . . + bmxm ∈ R[x].
Wówczas:
(1) jeśli an = 1, to istnieją wielomiany q, r∈ R[x] takie, że g = q· f + r oraz deg(r) < deg(f );
(2) jeśli R jest ciałem, to istnieją wielomiany q, r∈ R[x] takie, że g = q· f + r
oraz deg(r) < deg(f );
Dowód. (1) Oczywiste.
(2) Jeżeli R jest ciałem, to istnieje element a−1n ∈ R, a więc taki, że a−1n an = 1. Wobec tego istnieją wielomiany q1, r1∈ R[x] takie, że
g1= q1· a−1n f + r1
oraz deg(r1) < deg(a−1n f ) = deg(f ). Zatem kładąc q = q1a−1n oraz r = r1 otrzymujemy tezę.
! Twierdzenie 4.10(o jednoznaczności dzielenia z resztą). Niech (R, +,·) będzie dowolnym pierścieniem, (R[x], +,·) pierścieniem wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto
f = a0+ a1x + . . . + anxn ∈ R[x] oraz g = b0+ b1x + . . . + bmxm ∈ R[x].
Jeśli an jest regularny, to istnieje co najwyżej jedna para takich wielomianów q, r∈ R[x], że g = q· f + r
oraz deg(r) < deg(f ).
Dowód. Niech
g = q1· f + r1, deg(r1) < deg f, q1, r1∈ R[x], g = q2· f + r2, deg(r2) < deg f, q2, r2∈ R[x].
Stąd
0 = (q1− q2)f + (r1− r2), lub równoważnie
r2− r1= (q1− q2)f.
Wobec Uwagi 4.6:
deg(f ) > max{deg(r1), deg(r2)} ≥ deg(r2− r1) = deg((q1− q2)f ) = deg(q1− q2) + deg(f ).
Tym samym deg(q1− q2) =−∞, a więc q1− q2= 0, skąd też r2= r1. ! Wniosek 4.11. Niech (R, +,·) będzie dowolnym pierścieniem, (R[x], +, ·) pierścieniem wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto
f = a0+ a1x + . . . + anxn ∈ R[x] oraz g = b0+ b1x + . . . + bmxm ∈ R[x].
(1) Jeżeli R jest całkowity, to istnieje co najwyżej jedna para takich wielomianów q, r∈ R[x], że g = q· f + r
oraz deg(r) < deg(f ).
(2) Jeżeli an = 1, to istnieje dokładnie jedna para takich wielomianów q, r∈ R[x], że g = q· f + r
oraz deg(r) < deg(f ).
(3) Jeżeli R jest ciałem, to istnieje dokładnie jedna para takich wielomianów q, r∈ R[x], że g = q· f + r
oraz deg(r) < deg(f ).
Definicja 4.12. Niech (R, +,·) będzie dowolnym pierścieniem, (R[x], +, ·) pierścieniem wielomianów zmiennej x o współczynnikach z pierścienia R. Niech ponadto
f = a0+ a1x + . . . + anxn ∈ R[x] oraz g = b0+ b1x + . . . + bmxm ∈ R[x].
Jeżeli istnieje dokładnie jedna para takich wielomianów q, r∈ R[x], że g = q· f + r
oraz deg(r) < deg(f ) to mówimy, że w pierścieniu R[x] wykonalne jest dzielenie z resztą wielomianu g przez f . Wielomian q nazywamy wówczas niepełnym ilorazem, a wielomian r resztą z dzielenia.
Uwaga 4.13. Niech (R, +,·) będzie dowolnym pierścieniem. Wielomianem zmiennych x1, . . . , xn o współczynnikach z pierścienia R będziemy nazywali wyrażenie postaci
%
i1,...,in≤m
ai1...inxi11. . . xinn,
gdzie m∈ N, wskaźniki i1, . . . , in∈ N przebiegają wszystkie liczby nie większe niż m oraz ai1...in ∈ R.
Dwa wielomiany uważamy za równe, gdy różnią się jedynie o składniki postaci 0· xi11. . . xinn, gdzie i1, . . . , in ∈ N.
Będziemy mówili, że wielomian f =&
i1,...,in≤mai1...inxi11. . . xinn jest stopnia r, gdy istnieje taki różny od zera współczynnik ai1...in, że i1 + . . . + in = r i aij...jn = 0 o ile j1+ . . . + jn > r. Umowa ta nie określa stopnia wielomianu 0, przyjmujemy więc dodatkowo, że stopniem wielomianu 0 jest−∞. Stopień wielomianu f będziemy oznaczać przez deg(f ).
Wielomiany stopnia 1 będziemy nazywali liniowymi, a wielomiany stopnia 2 kwadratowymi.
Wielomian postaci axi11. . . xinn, gdzie a∈ R oraz i1, . . . , in∈ N nazywamy jednomianem.
W zbiorze wszystkich wielomianów zmiennych x1, . . . , xno współczynnikach z pierścienia R definiujemy dodawanie + i mnożenie ·, kładąc dla dowolnych wielomianów f =&
i1,...,in≤mai1...inxi11. . . xinn oraz g =
&
j1,...,jn≤rbj1...jnxj11. . . xjnn:
f + g = %
k1,...,kn≤max{m,r}
ck1...knxk11. . . xknn,
gdzie
ck1...kn =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ak1...kn + bk1...kn, gdy k1, . . . , kn≤ max{m, r},
ak1...kn, gdy, dla pewnego wskaźnika ki(i∈ {1, . . . , n}), ki> r, ale k1, . . . , kn< m, bk1...kn, gdy, dla pewnego wskaźnika ki(i∈ {1, . . . , n}), ki> m, ale k1, . . . , kn< r, oraz
f · g = %
k1,...,kn≤m+r
ck1...knxk11. . . xknn,
gdzie
ck1...kn = %
0≤l1≤k1,...,0≤ln≤kn
ak1−l1,...,kn−lnbl1,...,ln.
Ponadto wyróżniamy wielomian 0 jako element neutralny dodawania oraz wielomian 1 jako element neutralny mnożenia. Wówczas zbiór wszystkich wielomianów zmiennych x1, . . . , xn o współczynnikach z pierścienia R z tak określonymi działaniami i wyróżnionymi elementami jest pierścieniem przemien- nym z jedynką. Pierścień ten będziemy nazywali pierścieniem wielomianów zmiennych x1, . . . , xn o współczynnikach z pierścienia R i będziemy oznaczali przez R[x1, . . . , xn].
5. Wykład 5: Konstrukcja ciał pn-elementowych.
Definicja 5.1. Niech (R, +,·) będzie pierścieniem. Podzbiór I ⊂ R nazywamy ideałem pierścienia R, co oznaczamy przez I ▹ R, jeżeli:
(1) ∀a, b ∈ I(a − b ∈ I), (2) ∀a ∈ I∀r ∈ R(ra ∈ I).
Przykład:
(1) Zbiór {n : 5|n} jest ideałem w pierścieniu Z.
(2) Zbiór {f : x|f} jest ideałem w pierścieniu R[x].
Definicja 5.2. Niech (R, +,·) będzie pierścieniem, a A ⊂ R pewnym zbiorem. Najmniejszy ideał pier- ścienia R zawierający zbiór A nazywamy ideałem generowanym przez A i oznaczamy (A). Jeśli I ▹ R, to każdy zbiór A o tej własności, że (A) = I nazywamy zbiorem generatorów ideału I. Jeśli A ={a1, . . . , an}, to piszemy po prostu
(a1, . . . , an) = (A).
Mówimy, że ideał jest skończenie generowany, gdy istnieją takie elementy a1, . . . , an∈ R, że I = (a1, . . . , an).
Mówimy, że ideał jest główny, gdy istnieje element a∈ R taki, że I = (a).
Mówimy, że pierścień R jest pierścieniem ideałów głównych, gdy każdy jego ideał jest ideałem głównym.
Twierdzenie 5.3 (o postaci elementów ideału generowanego przez zbiór). Niech (R, +,·) będzie pier- ścieniem, a A⊂ R pewnym zbiorem. Wówczas:
(A) ={r1a1+ . . . + rnan: n∈ N, r1, . . . , rn∈ R, a1, . . . , an∈ A}.
Dowód. Oznaczmy:
A1={r1a1+ . . . + rnan: n∈ N, r1, . . . , rn∈ R, a1, . . . , an ∈ A}.
Pokażemy, że A1 ▹ R. Istotnie, jeśli r1a1+ . . . + rnan, r1′a′1+ . . . + rm′ a′m ∈ A1, to r1a1+ . . . + rnan+ (−r′1)a′1+ . . . + (−rm′ )a′m ∈ A1. Ponadto dla r∈ R mamy r(r1a1+ . . . + rnan) = rr1a1+ . . . + rrnan∈ A1. Dalej, pokażemy, że A1= (A). Inkluzja (⊃) jest oczywista, pozostaje wykazać (⊂). Dowód prowadzimy przez indukcję względem n. Dla n = 1 niech a1∈ A. Wówczas r1a1należy do każdego ideału zawierającego a, w szczególności do (A). Dla n > 1 ustalmy a1, . . . , an∈ A, r1, . . . , rn∈ R i załóżmy, żr
r1a1+ . . . + rnan∈ (A).
Ustalmy an+1∈ A oraz rn+1∈ R. Wówczas
r1a1+ . . . + rnan
! "# $
∈(A)
+ rn+1an+1
!"#$
∈(A)
! "# $
∈(A)
∈ (A).
"
Przykłady:
(3) W pierścieniu Z mamy na przykład
(5) ={k · 5 : k ∈ Z}
oraz
(4, 6) ={k · 4 + l · 6 : k, l ∈ Z}.
(4) W pierścieniu R[x] mamy
(x) ={f · x : f ∈ R[x]}.
Twierdzenie 5.4. Niech (F, +,·) będzie ciałem. Wówczas pierścień wielomianów (F [x], +, ·) jest pier- ścieniem ideałów głównych.
Dowód. Ustalmy ideał I ▹ F [x]. Jeśli I = {0}, to I = (0) jest ideałem głównym. Jeśli I ̸= {0}, to istnieje niezerowy element f ∈ I. W szczególności zbiór
H ={f ∈ I : f jest możliwie najniższego stopnia oraz f ̸= 0}
jest niepusty. Ustalmy h∈ H.
Pokażemy, że I = (h). Inkluzja (⊃) jest oczywista, pozostaje wykazać (⊂). Ustalmy g ∈ I. Dzieląc z resztą g przez h otrzymujemy
g = qh + r dla q, r∈ F [x], 0 ≤ deg(r) < deg(h).
W szczególności r = g− qh ∈ I. Skoro deg(r) < deg(h), więc wobec wyboru wielomianu h otrzymujemy,
że r = 0. Zatem g = qh i tym samym g∈ (h). "
Definicja 5.5. Niech (R, +,·) będzie pierścieniem, a I ▹ R ideałem. Warstwą elementu a ∈ R względem ideału I nazywamy zbiór
a + I ={a + i : i ∈ I}.
Zbiór wszystkich warstw oznaczamy przez R/I.
Przykłady:
(5) W pierścieniu Z6 ideał główny generowany przez element 2∈ Z6ma postać:
(2) ={0, 2, 4}.
Warstwy tego ideału to:
0 + (2) = {0 + 0, 0 + 2, 0 + 4} = (2), 1 + (2) = {1, 3, 5} = W,
2 + (2) = {0, 2, 4} = (2), 3 + (2) = {1, 3, 5} = W, 4 + (2) = (2),
5 + (2) = W.
Zatem Z6/(2) ={(2), W }.
(6) W pierścieniu Z ideał główny generowany przez element 3∈ Z ma postać:
(3) ={0, 3, 6, 9, . . . , −3, −6, −9, . . .}.
Warstwy tego ideału to
0 + (3) = (3),
1 + (3) = {1, 4, 7, 10, . . . , −2, −5, −8, . . .} = W1, 2 + (3) = {2, 5, 8, 11, . . . , −1, −4, −7, . . .} = W2, 3 + (3) = (3).
Zatem Z/(3) ={(3), W1, W2}. Zauważmy ponadto, że warstwa W1składa się z tych liczb całkowi- tych, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1, a warstwa W2składa się z tych liczb całkowitych, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2. Tym samym Z/(3) można utożsamić z Z3.
(7) Kluczowa konstrukcja tego wykładu to przeniesienie pomysłu z przykładu (6) na pierścień wie- lomianów nad ciałem skończonym.
W pierścieniu Z2[x] ideał główny generowany przez wielomian x2+ x + 1 ma postać (x2+ x + 1) ={x2+ x + 1, x3+ x2+ x, x3+ x2+ x + x2+ x + 1, . . . , f· (x2+ x + 1)}.
Przykładowe warstwy tego ideału to:
0 + (x2+ x + 1) = (x2+ x + 1), 1 + (x2+ x + 1) = W1,
x + (x2+ x + 1) = W2, x + 1 + (x2+ x + 1) = W3.
Pokażemy, że dowolna inna warstwa tego ideału będzie równa (x2+ x + 1), W1, W2 lub W3. Istotnie, ustalmy warstwę f +(x2+x+1) i niech g∈ f +(x2+x+1). Wówczas g = f +q(x2+x+1).
Dzieląc f z resztą przez x2+ x + 1 otrzymujemy:
f = q1(x2+ x + 1) + r1 oraz 0≤ deg(r1) < deg(x2+ x + 1) = 2.
Jedyne możliwe wybory dla r1to:
0, 1, x, x + 1 a zatem jeżeli, na przykład, r1= x + 1, to wówczas:
g = f + q(x2+ x + 1) = q1(x2+ x + 1) + (x + 1) + q(x2+ x + 1)
= (x + 1) + (q1+ q)(x2+ x + 1)∈ W3.
Zatem Z2[x]/(x2+ x + 1) ={(x2+ x + 1), W1, W2, W3} i zbiór warstw Z2[x]/(x2+ x + 1) można utożsamiać z możliwymi resztami z dzielenia przez wielomian x2+ x + 1.
Twierdzenie 5.6. Niech (F, +,·) będzie ciałem, niech p ∈ F [x] będzie wielomianem nierozkładalnym, to znaczy takim, że jeśli
p = f· g, dla f, g ∈ F [x],
to deg(f = 0) lub deg(g) = 0. W zbiorze warstw F [x]/(p) definiujemy dodawanie (f + (p)) + (g + (p)) = (f + g) + (p)
oraz mnożenie
(f + (p))· (g + (p)) = (f · g) + (p).
Wówczas (F [x]/(p), +,·) jest ciałem.
Dowód. Pokażemy, dla przykładu, że dowolny element̸= (p) jest odwracalny. Ustalmy f +(p) ∈ F [x]/(p).
Ponieważ f + (p) ̸= (p), więc f /∈ (p) i tym samym p ! f. Ponadto p jest nierozkładalny, a więc NW D(f, p) = 1. Wobec algorytmu Euklidesa istnieją a, b∈ F [x] takie, że
af + bp = 1.
Wówczas af = 1− bp ∈ 1 + (p), a więc (a + (p)) · (f + (p)) = 1 + (p). ! Uwaga 5.7. Niech (F [x]/(p), +,·) będzie ciałem zdefiniowanym przez wielomian nierozkładalny p ∈ F [x], gdzie deg(p) = n + 1. Przyjmujemy oznaczenie:
anan−1. . . a1a0= anxn+ an−1xn−1+ . . . + a1x + a0+ (p).
Przykład:
(8) Zgodnie z powyższą notacją:
10 = x + (x2+ x + 1) w ciele Z2[x]/(x2+ x + 1).