Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu:

(1)

Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu:

Termodynamika techniczna

mgr inż. Agnieszka Sadłowska-Sałęga

(2)

(3)

Spis treści

Spis treści ... 3

1 Gaz jako czynnik termodynamiczny ... 5

1.1 Prawa gazowe ...6

1.1.1 Prawo Boyle'a-Mariotte'a...6

1.1.2 Prawo Gay-Lussaca ...7

1.1.3 Prawo Avogadra...7

1.2 Równanie stanu gazu doskonałego i półdoskonałego ...7

1.2.1 Ciepło właściwe ...7

1.2.2 Stała gazowa ...9

1.2.3 Równanie Clapeyrona – równanie stanu gazu doskonałego ... 10

2 Bilans energii. Pierwsza zasada termodynamiki... 13

2.1 Przemiany termodynamiczne ... 13

2.2 Energia wewnętrzna układu ... 14

2.3 Praca i ciepło przemiany... 16

2.3.1 Praca przemiany... 16

2.3.1.1 Praca bezwzględna ... 17

2.3.1.2 Praca użyteczna... 18

2.3.1.3 Praca techniczna... 19

2.3.2 Ciepło przemiany ... 22

2.4 Entalpia i entropia ... 23

2.4.1 Entalpia... 23

2.4.2 Entropia ... 23

2.5 Pierwsza zasada termodynamiki... 24

2.5.1 Bilans energii przemiany termodynamicznej... 24

2.5.2 Bilans energii maszyny przepływowej... 26

3 Przemiany charakterystyczne gazów doskonałych oraz półdoskonałych ... 27

3.1 Przemiany charakterystyczne ... 27

3.1.1 Izobara... 27

3.1.1.3 Ciepło przemiany ... 28

3.1.1.4 Przyrost entropii ... 29

3.1.2 Izochora ... 29

3.1.3 Izoterma... 31

3.1.4 Izentropa (adiabata) ... 34

3.1.5 Politropa ... 36

3.2 Napełnianie i opróżnianie zbiorników ... 38

3.2.1 Napełnianie zbiornika... 38

3.2.1.1 Opróżnianie zbiornika ... 40

4 Obiegi termodynamiczne. Druga zasad termodynamiki ... 41

4.1 Obiegi termodynamiczne ... 41

4.1.1 Obiegi prawo- i lewobieżne ... 42

(4)

4.1.1.2 Obiegi lewobieżne... 42

4.1.2 Praca obiegu i ciepło obiegu ... 42

4.1.2.1 Obieg prawobieżny ... 43

4.1.2.2 Obieg lewobieżny ... 44

4.1.3 Sprawność i efektywność obiegu ... 45

4.1.3.1 Obieg prawobieżny ... 45

4.1.3.2 Obieg lewobieżny ... 45

4.1.4 Typowe porównawcze obiegi gazowe ... 46

4.1.4.1 Obieg Carnota... 46

4.1.4.2 Obiegi silników spalinowych tłokowych ... 48

4.1.4.3 Obiegi silników spalinowych turbinowych ... 51

4.1.4.4 Gazowe obiegi chłodnicze ... 52

4.1.4.5 Sprężanie ... 53

4.2 Druga zasada termodynamiki... 58

5 Właściwości jednoskładnikowych par nasyconych...61

5.1 Przemiany fazowe ... 61

5.2 Energia cieplna i entalpia w procesie parowania ... 63

5.3 Przemiany charakterystyczne pary ... 69

5.3.1 Izoterma... 69

5.3.2 Izochora... 71

5.3.3 Izobara... 73

5.3.4 Izentropa (adiabata ) odwracalna... 75

5.3.5 Izentalpa ... 76

5.4 Parowe obiegi porównawcze... 76

5.4.1 Obieg Clausiusa-Rankine'a ... 76

5.4.2 Obieg Lindego ... 79

6 Powietrze wilgotne...81

6.1 Podstawowe parametry powietrza wilgotnego ... 81

6.1.1 Zawartość wilgoci ... 81

6.1.2 Ciśnienie cząstkowe pary wodnej... 81

6.1.3 Ciśnienie pary wodnej w stanie nasycenia ... 83

6.1.4 Wilgotność względna ... 83

6.1.5 Stopień nasycenia... 84

6.1.6 Temperatura punktu rosy... 84

6.1.7 Entalpia powietrza wilgotnego... 85

6.2 Wykres „i-x” Molliera... 86

6.2.1 Punkt nasycenia ... 88

6.2.2 Punkt rosy... 89

6.2.3 Temperatura termometru mokrego ... 89

7 Wymiana ciepła ...91

7.1 Podstawowe pojęcia ... 91

7.2 Podstawowe sposoby przenoszenia ciepła ... 91

7.2.1 Konwekcja... 91

7.2.2 Przewodzenie... 93

7.2.2.1 Przegroda jednowarstwowa ... 94

7.2.2.2 Przegroda wielowarstwowa ... 96

7.2.3 Promieniowanie ... 97

7.3 Przenikanie ciepła przez przegrody płaskie... 99

7.4 Przenikanie ciepła przez ścianę walcową... 103

7.5 Izolowanie przegród... 106

7.5.1 Przegroda płaska ... 107

7.5.2 Przegroda walcowa ... 107

Literatura...109

(5)

1 Gaz jako czynnik termodynamiczny

Gaz doskonały (idealny) jest to abstrakcyjny, matematyczny model gazu, spełniający na- stępujące warunki:

 brak oddziaływań międzycząsteczkowych z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząste- czek;

 objętość cząsteczek jest znikoma w stosunku do objętości gazu;

 zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste;

 cząsteczki znajdują się w ciągłym chaotycznym ruchu.

Gaz doskonały posiada stałe ciepło właściwe (niezależne od temperatury i ciśnienia), nie zmienia stanu skupienia. Można go traktować jako zbiór cząstek stanowiących punkty materialne. Ściśle podporządkowuje się następującym prawom gazowym:

1. Boyle’a i Mariotte’a;

2. Gay-Lussaca;

3. Avogadra.

Gaz półdoskonały stosuje się do wyżej wymienionych trzech praw, ale jego ciepło właściwe nie jest stałe i zależy od temperatury.

Gaz rzeczywisty – pojęcie termodynamiczne oznaczające gaz, który nie zachowuje się ściśle zgodnie z prawami ustalonymi dla gazu doskonałego. W praktyce są to wszystkie gazy istniejące w realnym świecie, aczkolwiek przybliżenie gazu doskonałego może być do nich w wielu warunkach z powodzeniem zastosowane. Przybliżenie to zawodzi jednak w skrajnych warunkach, oraz gdy istnieje potrzeba dokonania bardzo dokładnych obliczeń w warunkach zbliżonych do normal- nych. Należy zwrócić uwagę na to, że gazy rzeczywiste znajdujące się pod niezbyt dużymi ciśnie- niami i w temperaturach znacznie wyższych od temperatur, w których mogłyby być bez zmiany ciśnienia zmienione w ciecz, a zarazem niższych od tych, w których dysocjacja odgrywałaby dużą rolę, mają własności bardzo zbliżone do własności gazów półdoskonałych. Stosując do nich prawa Boyle'a i Mariotte'a, Gay-Lussaca, Avogadra i wynikające z tych praw wzory popełniamy tylko nieznaczne błędy. Stosowanie zaś omawianych praw gazowych bardzo ułatwia obliczenia.

(6)

Jako gazy półdoskonałe można traktować np. suche powietrze, azot, tlen, hel, metan i wiele innych gazów znajdujących się pod ciśnieniem nie przekraczającym 4 MPa w temperaturach panu- jących u nas zwykle w zimie i w lecie, a tym bardziej temperaturach wyższych. Natomiast nie wol- no traktować jako gazów półdoskonałych np. tlenu zawartego w butli pod ciśnieniem 15 MPa (za wysokie ciśnienie), pary wodnej wytworzonej w kotle parowym (w kotłach niskoprężnych temperatura tej pary jest często równa lub niewiele wyższa od temperatury, w której można zamienić ją w ciecz, zaś para wyprodukowana w nowoczesnych kotłach wysokoprężnych ma za duże ciśnienie) itd. [3].

Jeżeli w rozpatrywanym przez nas zagadnieniu ciepło właściwe gazu zmienia się w niewiel- kim stopniu lub jeżeli chodzi nam tylko o obliczenia orientacyjne, to często nie tylko stosujemy omawiane tu prawa gazowe, ale zakładamy jeszcze dodatkowo, że ciepło właściwe danego gazu jest niezmienne – czyli traktujemy gaz jako doskonały.

1.1 Prawa gazowe

1.1.1 Prawo Boyle'a-Mariotte'a¹

Prawo Boyle'a-Mariotte'a dotyczy zachowania gazu doskonałego w przemianie izotermicznej:

„Jeżeli temperatura gazu nie zmienia się, to iloczyn jego ciśnienia bezwzględnego i objętości jest wielkością stałą”.

Gdy T = const:

const.



V

p _(1.1)

1 Prawo Boyle'a-Mariotte'a, zwane też (głównie w krajach anglosaskich) prawem Boyle'a, a prawem Mariotte'a we Francji, zostało podane w1662 r. przez irlandzkiego naukowca Roberta Boyle'a, a niezależnie od niego w 1676 r.

przez Francuza Edme Mariotte'a.

Rys.1.1. Graficzna interpretacja prawa Boyle'a-Mariotte'a

(7)

1.1.2 Prawo Gay-Lussaca²

Prawo Gay-Lussaca opisuje przemianę izobaryczną gazu doskonałego: „Jeżeli ciśnienie gazu jest stałe, to jego objętość zmienia się wprost proporcjonalnie do temperatury wyrażonej w kelwinach”.

Gdy p = const:

const.

T 

V (1.2)

1.1.3 Prawo Avogadra

Prawo Avogadra (hipoteza Avogadra) głosi,. że: „W tych samych warunkach fizycznych tj.

w takiej samej temperaturze i pod takim samym ciśnieniem, w równych objętościach różnych gazów znajduje się taka sama liczba cząsteczek”.

Prawo Avogadra jest prawem przybliżonym, którego zakres stosowalności zależy od podo- bieństwa porównywanych gazów rzeczywistych do gazu doskonałego.

Rys.1.3. Graficzna interpretacja prawa Avogadra

1.2 Równanie stanu gazu doskonałego i półdoskonałego

1.2.1 Ciepło właściwe

Pojemność cieplna (C) jest to różniczkowa ilość ciepła zaabsorbowanego przez układ (dQ), niezbędna do zmiany temperatury układu, która jest proporcjonalna do tej zmiany temperatury (dT).

. dT

C dQ [JK^¹] (1.3)

2 Prawo to odkrył J.A. Charles na podstawie doświadczeń rozpoczętych w 1787 r. a ostatecznie sformułował Rys.1.2. Graficzna interpretacja prawa

Gay-Lussaca

(8)

Pojemność cieplna przypadająca na jednostkę masy to ciepło właściwe (zwane również kilogramo- wym ciepłem właściwym), a na 1 mol to molowe ciepło właściwe.

Ciepłem właściwym (c) nazywamy ilość ciepła potrzebną do ogrzania 1 kg ciała o 1 stopień.

W układzie jednostek SI ma ono wymiar J·kg^-1·K^-1.

Molowym ciepłem właściwym (Mc) nazywamy ilość ciepła potrzebną do ogrzania 1 mol cia- ła o 1 stopień. W układzie jednostek SI ma ono wymiar J·mol^-1·K^-1.

Pojemność cieplna C jest związana z ciepłem właściwym oraz molowym ciepłem właściwym poprzez proste zależności:

];

K J [  ^¹



c m

C ^(1.4)

 

^ ^[^J^^K^¹^];

 Mc n

C ^(1.5)

gdzie:

m – masa substancji, [kg];

n – liczba moli substancji, [mol].

Molowe ciepło właściwe (zwane czasem molową pojemnością cieplną) łączy z ciepłem właściwym zależność opisana następującym wzorem:



^Mc



^^M^^c^[J^^mol^¹^^K^¹^]; ^(1.6)

gdzie:

M – masa molowa substancji, [kg·mol^-1].

Ściśliwość gazów powoduje, że inną ilość ciepła należy dostarczyć ogrzewając gaz o 1 K przy niezmiennym ciśnieniu, a inną przy niezmiennej objętości. Z tego powodu, dla gazów, należy roz- różnić ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu (c_p) i ciepło właściwe przy stałej objętości (c_v).

Ciepło właściwe gazów doskonałych nie zależy od temperatury.

Analogicznie do ciepła właściwego, w przypadku gazów, rozróżniamy molowe ciepło wła- ściwe przy stałym ciśnieniu (Mc_p) oraz molowe ciepło właściwe przy stałej objętości (Mc_v).

Ciepło właściwe przemiany realizowanej przy stałym ciśnieniu jest większe, niż ciepło wła- ściwe przemiany realizowanej przy stałej objętości. Stosunek obu tych wielkości nazywany jest wykładnikiem adiabaty (κ):

 



^Mc



^.

Mc c

c

v p v

p 

  (1.7)

(9)

W tabeli 1.1. podano średnie wartości molowego ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu oraz stałej objętości dla gazów doskonałych.

Tab.1.1. Molowe ciepło właściwe gazów doskonałych [3]

Gazy (Mcp)

[J·kmol^-1·K^-1]

(Mcv)

[J·kmol^-1·K^-1] 

1-atomowe 20 800 12 500 1,7

2-atomowe 29 100 20 800 1,40

3- i więcej atomowe 33 300 24 900 1,33

1.2.2 Stała gazowa

Uniwersalna stała gazowa (RM) jest to stała fizyczna równa pracy wykonanej przez 1 mol gazu doskonałego podgrzewanego o 1 K podczas przemiany izobarycznej. Wartość uniwersalnej stałej gazowej nie zależy od rodzaju gazu, dla każdego gazu jest jednakowa i wynosi:



^RM



^⁸^,³¹⁴⁴⁷²^⁰^,⁰⁰⁰⁰¹⁵^J^^mol^¹^^K^¹^. ^(1.8)

Dla gazu doskonałego, uniwersalna stała gazowa jest równa różnicy molowego ciepła właściwego przy stałej objętości oraz przy stałym ciśnieniu:



^RM



^



^Mc_p



^



^Mc_v



^[J^^mol^¹^^K^¹^]. ^(1.9)

gdzie:

(Mcp) – molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, [J·mol^-1·K^-1];

(Mcv) molowe ciepło właściwe przy stałej objętości, [J·mol^-1·K^-1].

Indywidualna stała gazowa (R) jest to stała fizyczna równa pracy wykonanej przez 1 kg ga- zu podgrzewanego o 1 K podczas przemiany izobarycznej. Wartość indywidualnej stałej gazowej jest zależna wyłącznie od masy molowej gazu i można ją wyliczyć z zależności:

 

].

K kg [J

 ^¹ ^¹

 M

R RM (1.10)

gdzie:

M – masa molowa substancji, [kg·mol^-1].

Uwaga!

W literaturze można spotkać również inne oznaczenia ciepła właściwego oraz stałych gazowych:

 molowe ciepło właściwe: Cm, C;

 uniwersalna stała gazowa R  indywidualna stała gazowa r.

(10)

W tabeli 1.2 Podano wartości indywidualnej stałej gazowej dla wybranych gazów.

Tab.1.2. Wartości indywidualnej stałej gazowej dla niektórych gazów [4]

cp cv

Rodzaj gazu Wzór M

[kg·kmol^-1]

R

[J·kg^-1·K^-1] [kJ·kg^-1·K^-1]

Acetylen C2H2 26,038 319,31 1,610 1,289

Amoniak NH3 17,031 488,19 2,056 1,560

Azot N2 28,013 296,80 1,039 0,742

Azot powietrzny — 28,150 295,36 1,030 0,737

Dwutlenek siarki SO2 64,063 129,78 0,607 0,477

Dwutlenek węgla CO2 44,010 188,92 0,815 0,626

Etan C2H6 30,070 276,50 1,647 1,371

Etylen C2H4 28,054 296,37 1,460 1,163

Hel He 4,0026 2077,2 5,234 3,161

Metan CH4 16,043 518,25 2,165 1,647

Para wodna H2O 18,015 461,52 1,859 1,398

Powietrze — 28,967 287,03 1,004 0,716

Tlen O2 31,999 259,83 0,915 0,655

Tlenek węgla CO 28,011 296,82 1,040 0,743

Wodór H2 2,0159 4124,36 14,195 10,071

Znając indywidualną stałą gazową oraz wykładnik adiabaty można obliczyć wartości ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu oraz stałej objętości również z następujących zależności:

];

K kg [J 1

1

1 

 



 

 R

c_p



 (1.11)

];

K kg [J 1

1 _₁ _₁



 

 R

c_v

 ^(1.12)

1.2.3 Równanie Clapeyrona – równanie stanu gazu doskonałego

Na podstawie praw Boyle’a i Mariotte’a oraz Gay-Lussaca zostało wyprowadzone równanie stanu gazu³ opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujące gazy rzeczywiste:

; T R m V

p    (1.13)

; T R v

p   _(1.13a)

3 Równanie stanu gazu zostało sformułowane w 1834 roku przez Benoîta Clapeyrona.

(11)



^RM



^T^;

n V

p    (1.13b)

gdzie:

m – masa gazu, [kg];

n – liczba moli gazu, [mol];

p – ciśnienie gazu, [Pa];

R – indywidualna stała gazowa, [J·kg^-1·K^-1];

RM – uniwersalna stała gazowa (RM = 8,314 J·mol^-1·K^-1);

T – temperatura gazu, [K];

V – objętość gazu, [m³];

v – objętość właściwa gazu, [m³·kg^-1].

(12)

(13)

2 Bilans energii. Pierwsza zasada termodynamiki

2.1 Przemiany termodynamiczne

Układ termodynamiczny to dowolnie wybrana część wszechświata, której zachowanie jest rozpatrywane na podstawie zasad termodynamiki. Pozostały świat to otoczenie termodynamiczne.

Rys.2.1. Układ termodynamiczny (wyodrębnienie układu ciał za pomocą osłony kontrolnej)

Dzięki ograniczeniu danego zjawiska do układu można osobno rozpatrywać procesy we- wnątrz układu i procesy wymiany energii między układem i otoczeniem, o którym dzięki temu nic nie musimy wiedzieć.

Przemiana termodynamiczna jest to zmiana stanu układu polegająca na przejściu układu od jednego stanu zwanego początkowym do drugiego zwanego końcowym poprzez conitnuum sta- nów pośrednich.

Przemiana jest odwracalna, jeśli od jej stanu końcowego do początkowego można powróci w taki sposób, że również otoczeniu zostanie przywrócony stan pierwotny.

Odwzorowaniem przemiany w przestrzeni jest linia ciągła, łącząca kolejne punkty od stanu początkowego do stanu końcowego. Równanie linii przemiany nazywamy równaniem przemiany.

Pomiędzy dwoma stanami czynnika termodynamicznego można zrealizować nieskończenie wiele przemian termodynamicznych. Pośród nich wyróżniamy przemiany charakterystyczne: przemiana przy stałym ciśnieniu (izobaryczna), przemiana przy stałej objętości (izochoryczna), przemiana przy stałej temperaturze (izotermiczna), przemiana politropowa (patrz rozdział 3).

Gdy do układu nie dopływa ani nie odpływa substancja to przemiany, którym poddawany jest czynnik termodynamiczny nazywamy zamkniętymi. Jeśli podczas przemian układ pobiera lub oddaje na zewnątrz substancje to przemiany te nazywamy otwartymi.

(14)

2.2 Energia wewnętrzna układu

Jeśli do układu doprowadzimy energię (Ed) część z niej pozostaje w układzie (Eu) zmieniając jego energię wewnętrzną, a część jest odprowadzana na zewnątrz układu (E_z). Opierając się na zasadzie zachowania energii można więc napisać równanie bilansu energii:

z;

u

d E E

E   (2.1)

gdzie:

Ed – energia doprowadzona do układu;

E_u – przyrost energii układu;

Ez – energia odprowadzona z układu.

Rys.2.2. Wykres Sankey’a bilansu energii.

Bilans energii jest często przedstawiany w postaci wykresu Sankeya (rys.2.2).

W urządzeniach technicznych najczęściej spotyka się cztery sposoby przekazywania energii:

za pomocą prądu elektrycznego, przez wykonanie pracy mechanicznej, przez przepływ ciepła, za pomocą strugi czynnika.

Energia każdego ciała jest sumą jego energii potencjalnej, kinetycznej i wewnętrznej. Ener- gia wewnętrzna (U) ciała fizycznego jest więc równa różnicy między jego energią całkowitą a ze- wnętrzną energią mechaniczną. Energia wewnętrzna ciał stałych, cieczy oraz gazów i par zależy tylko od ich temperatury (doświadczenie Gay-Lussaca).

(15)

Doświadczenie Gay-Lussaca

Dwa zaizolowane zbiorniki połączono ze sobą rurką, na której umieszczono zawór (rys. 2.3). W zbiorniku A znajdował się gaz o temperaturze t1 pod ciśnieniem p1. W zbiorniku B była natomiast zupełna próżnia. Po otwarciu zaworu ciśnienia i temperatury w obu zbiornikach wyrów- nały się. Okazało się, że ciśnienie p2 panujące w obu zbior- nikach jest mniejsze od ciśnienia p1 panującego przedtem w zbiorniku A.

Jeżeli obydwa zbiorniki otoczymy osłoną kontrolną i

rozpatrzymy tak wyodrębniony układ, to przekonamy się, że energia wewnętrzna gazu nie uległa zmia- nie, gdyż żadnej energii do niego nie doprowadzono ani też od niego nie odprowadzono. Widzimy więc, że pomimo zmiany ciśnienia i objętości nie zmieniła się energia wewnętrzna czynnika, chociaż zmieniła się jego egzergia.

Jeżeli znajdujący się na początku doświadczenia w zbiorniku A gaz miał takie parametry, że moż- na go było traktować jak gaz doskonały lub półdoskonały, to wspólna temperatura t2, która ustaliła się w obu zbiornikach po otwarciu zaworu, jest równa temperaturze t1, która panowała w zbiorniku A przed otwarciem zaworu. Zatem zmiana energii wewnętrznej gazu zależna jest jedynie od zmiany temperatury gazu.

Jeżeli przyjmiemy, że energia wewnętrzna gazu doskonałego w temperaturze 0 K wynosi zero, to energia wewnętrzna tego gazu o dowolnej temperaturze T K równa jest ilości ciepła, które musimy do- prowadzić, aby ogrzać ten gaz od 0 K do T K.

Rys.2.3. Doświadczenie Gay-Lussaca

Zmianę energii wewnętrznej dla ciał stałych i cieczy obliczyć można na podstawie następują- cej zależności:



^Mc



^ΔT^[^J];

n ΔT c m

ΔU       (2.2)

gdzie:

c – ciepło właściwe substancji, [J·kg^-1·K^-1];

m – masa substancji, [kg];

(Mc) – molowe ciepło właściwe substancji, [J·mol^-1·K^-1];

n – ilość moli substancji, [mol];

T – przyrost temperatury substancji, [K].

W przypadku gazów i par wzór do obliczania przyrostu energii wewnętrznej przyjmuje postać:

(16)



^Mc



^ΔT^[^J];

n ΔT c m

ΔU   _v    _v  (2.3)

gdzie:

c_v – ciepło właściwe przy stałej objętości, [J·kg^-1·K^-1];

(Mcv) – molowe ciepło właściwe przy stałej objętości, [J·mol^-1·K^-1].

Postać powyższego wzoru wynika z faktu, że wnioski wyciągnięte z doświadczenia Gay-Lussaca są prawdziwe jedynie, gdy doprowadzone lub odprowadzone ciepło jest zużywane tylko do zmiany energii wewnętrznej czynnika (a nie np. do wykonania pracy). Zatem ogrzewanie/chłodzenie musi odbywać się przy stałej objętości.

W zagadnieniach technicznych posługujemy się głównie przyrostami energii wewnętrznej.

W związku z tym przyjęcie parametrów, przy których energia wewnętrzna ma wartość zero, może być dowolne.

2.3 Praca i ciepło przemiany

2.3.1 Praca przemiany

Praca (L) w mechanice jest definiowana jako iloczyn skalarny siły i drogi, tj. jako iloczyn drogi przez rzut siły na kierunek przesunięcia. W termodynamice konieczne jest uogólnienie poję- cia pracy, gdyż oprócz pracy mechanicznej może również

wystąpić praca wykonana przez prąd elektryczny, pole magnetyczne itp. Mówiąc w termodynamice o pracy układu mamy na myśli wyłącznie pracę makroskopowych sił zewnętrznych, którą układ pobiera z zewnątrz lub oddaje na zewnątrz – wskutek oddziaływania z otoczeniem.

Praca przemiany jest przedstawiana graficznie jako pole pod wykresem przemiany w układzie p-V, dlatego

też układ ten nazywany jest układem pracy lub układem Clapeyrona (rys.2.4).

Znak pracy jest umowny: pracę wykonywaną przez układ uważamy (w termodynamice technicznej) za dodatnią, natomiast praca wykonywana na układzie ma znak ujemny.

Praca zewnętrzna przemiany zależy od rodzaju przemiany, a w celu jej obliczenia należy znać charakterystyczną dla tej przemiany zależność ciśnienia od objętości.

Typowym w termodynamice przykładem wykonania pracy jest oddziaływanie tłoka na czynnik termodynamiczny zamknięty w cylindrze.

Rys.2.4. Układ pracy (Clapeyrona)

(17)

2.3.1.1 Praca bezwzględna

Praca bezwzględna (absolutna, zewnętrzna) (L) jest definiowana jako praca przekazywana przez czynnik termodynamiczny na wewnętrzną stronę tłoka w zamkniętym cylindrze (rys.2.5a), przy założeniu, że ciśnienie otoczenia jest równe zero (pot = 0). Jest to praca związana ze zmianą objętości czynnika (rys.2.5b). Znak pracy bezwzględnej zależny jest od znaku zmiany objętości.

Praca ekspansji jest dodatnia, natomiast praca kompresji jest ujemna. Całkowita praca zmiany obję- tości przemiany miedzy stanami 1 i 2, równa w danym przypadku całkowitej pracy przemiany, jest określona przez całkę:

[J];

) (

2

1

2

1^ ^



V

dV V p

L _(2.4)

gdzie:

p – ciśnienie czynnika termodynamicznego, [Pa];

V – objętość czynnika termodynamicznego, [m³].

Zgodnie z interpretacją graficzną całki oznaczonej, pracę bezwzględną (pracę zmiany objęto- ści) można przedstawić na wykresie p-V za pomocą pola zawartego między liniami przemiany, jej skrajnymi rzędnymi oraz osią odciętych (rys.2.5c). Po przekształceniu równania 2.4, z uwzględnieniem równania stanu gazu doskonałego, przyjmuje ono następującą postać:

[J];

2 2 1

1 V

T V R m

L _     _(2.4a)

gdzie:

m – masa czynnika termodynamicznego, [kg];

R – indywidualna stała gazowa czynnika termodynamicznego, [J·kg^-1·K^-1];

T – temperatura czynnika termodynamicznego, [K];

V1 – objętość początkowa czynnika termodynamicznego, [m³];

V2 – objętość końcowa czynnika termodynamicznego, [m³].

(18)

2.3.1.2 Praca użyteczna

Jeżeli ciśnienie na zewnątrz cylindra jest większe od zera (p_ot > 0), to część pracy bezwzględ- nej zużywa się na pokonanie siły działającej na tłok pochodzącej od ciśnienia otoczenia (rys.2.6a,b). Zatem praca użyteczna (L_u) jest to praca bezwzględna pomniejszona o pracę kompresji otoczenia:



2 1



⁽ ⁾



2 1



^[J];

2 1 2 1

2

1

V V p dV V p V

V p L

L _ot

V

V ot

u ^  ^    



   ^(2.5)

gdzie:

L1-2 – praca bezwzględna przemiany, [J];

pot – ciśnienie otoczenia, [Pa];

Graficznie pracę użyteczną, można przedstawić w układzie p-V za pomocą pola zawartego między liniami przemiany, jej skrajnymi rzędnymi oraz osią odciętych pomniejszonego o pole powierzchni prostokąta zawartego między skrajnymi rzędnymi przemiany, osią odciętych oraz warto- ścią ciśnienia otoczenia (rys.2.6c).

Rys.2.5. Praca bezwzględna przemiany: a) i b) zmiana objętości czynnika termodynamicznego w cylin- drze z tłokiem, c) graficzna interpretacja w układzie p-V

(19)

2.3.1.3 Praca techniczna

Pracą techniczną (Lt) nazywamy sumę prac bezwzględnych wykonanych w jednym cyklu pracy maszyny przepływowej (maszyny, w których czynnik stale lub periodycznie do nich dopływa i dopływa, takie jak: silniki tłokowe, turbiny parowe, sprężarki, pompy), w której realizowana jest przemiana.

Jeden cykl pracy składa się z trzech kolejnych przemian odwracalnych:

1. Napełnianie cylindra (rys. 2.7a). Tłok przesuwa się z położenia początkowego A, w którym był dosunięty do dna cylindra, do położenia 1. Przez otwarty zawór wlotowy dopływa wtedy do cylindra czynnik z rurociągu, zatem jest to przemiana otwarta. Podczas tej przemiany ciśnienie w cylindrze nie zmienia się i jest ciągle równe ciśnieniu panującemu w rurociągu dolotowym.

2. Rozprężanie się czynnika (rys. 2.7b). Obydwa zawory są zamknięte zatem jest to przemiana zamknięta. Objętość czynnika rośnie, a ciśnienie jego maleje. Przemiana ta trwa aż do chwili, w której ciśnienie czynnika staje się równe ciśnieniu panującemu w rurociągu wylotowym. Ci- śnienie to osiąga czynnik w chwili, w której tłok znajduje się w położeniu zwrotnym (2) (tj.w położeniu, w którym kierunek jego ruchu zmienia się na przeciwny).

Rys.2.6. Praca użyteczna przemiany: a) i b) zmiana objętości czynnika termodynamicznego w cylindrze z tłokiem, c) graficzna interpretacja w układzie p-V

(20)

Rys.2.7. Praca idealnego silnika przepływowego: a) napełnianie, b) ekspansja, c) wydmuch, d) praca jednego cyklu

(21)

3. Wydmuch (rys. 2.7c). Tłok przesuwa się z położenia 2 do położenia końcowego B. Ponieważ zawór wylotowy jest wtedy otwarty, więc przemiana ta jest otwarta. Ciśnienie w cylindrze jest podczas tej przemiany stałe i równe ciśnieniu panującemu w rurociągu wylotowym. Przemiana ta kończy się, gdy tłok dotknie dna cylindra.

Podczas przemian A-l i 1-2 objętość zajmowana przez czynnik powiększa się, więc prace LA-1

i L1-2 mają wartości dodatnie. Natomiast podczas przemiany 2-B objętość zajmowana przez czynnik maleje, więc praca L2-B ma wartość ujemną (w celu usunięcia czynnika z cylindra trzeba pracę

„włożyć”).

Sumę algebraiczną trzech prac bezwzględnych: pracy napełniania, pracy rozprężania i pracy wydmuchu nazywamy pracą techniczną. W przypadku sprężarki będzie to suma algebraiczna pracy ssania, pracy sprężania i pracy tłoczenia.

Z rysunku 2.7d wynika, że praca techniczna, którą wykonał czynnik w idealnej maszynie przepływowej (podczas jednego cyklu pracy tej maszyny) przedstawiona jest polem FA-1-2-B-A. Za- tem graficznie pracę techniczną przemiany odwracalnej przedstawia na wykresie p-V pole zawarte pomiędzy linią obrazującą daną przemianę a rzutem tej linii na oś rzędnych (rys.2.8).

Rys.2.8. Graficzna interpretacja pracy technicznej w układzie p-V

Rys. 2.9. Zależność między pracą bezwzględną a techniczną

Praca techniczna ma wartość dodatnią, gdy ciśnienie czynnika obniża się; natomiast wartość ujem- ną, gdy ciśnienie czynnika wzrasta. Zatem wartość pracy technicznej przemiany można obliczyć z następującego wzoru:

(22)

[J];

) (

2

1

2

1^ ^^



p

t V p dp

L _(2.6)

gdzie:

Praca techniczna jest to iloczyn objętości elementarnego ubytku ciśnienia i nie zależy od rodzaju maszyny przepływowej.

Jak wynika z rysunku przedstawiającego zależność między pracą bezwzględną a pracą tech- niczną (rys.2.9) pomiędzy tymi dwoma wielkościami zachodzi następująca zależność

[J];

2

2 1 1 2 1 2

1 L p V p V

L_t _  _     (2.7)

gdzie:

Uwaga!

Wzory 2.4 ÷ 2.7 są prawdziwe dla przemian, w których nie występuje tarcie wewnątrz układu ani tarcie tłoka o gładź cylindra.

2.3.2 Ciepło przemiany

Jeżeli przez osłonę kontrolną jest przekazywana energia nie będąca pracą, czyli energia której przepływ jest wymuszony różnicą temperatur, to ten sposób przekazywania energii nazywamy cie- płem (Q). Ciepło pobrane w przemianie można obliczyć za pomocą wzoru:



2 1



^[J];

2

1 ²

1 2

1

T T c m dT c(T) m

Q

|

^T_T

T













 (2.8)

gdzie:

|

^T_T²₁

c – pojemność cieplna właściwa dla danego zakresu temperatur, [J·kg^-1·K^-1];

m – masa czynnika, [kg];

T1, T2 – temperatura początkowa i końcowa ciała, [K].

Przyjmuje się umownie, że ciepło doprowadzone do układu będziemy uważać za dodatnie, zaś ciepło wyprowadzone z układu za ujemne.

(23)

Ciepło można przedstawić graficznie jako pole pod wykresem przemiany w układzie T-S (entropia – patrz p.2.4.2), dlatego też układ ten nazywany jest ukła- dem ciepła lub układem Belpaire’a (rys.2.10).

2.4 Entalpia i entropia

2.4.1 Entalpia

Entalpia (I) (zawartość ciepła) jest to wielkość fizyczna będąca funkcją stanu, mająca wy- miar energii, będąca też potencjałem termodynamicznym, którą definiuje zależność:

[J];

V p U

I    (2.9)

gdzie:

U – energia wewnętrzna czynnika termodynamicznego, [J];

Entalpia jest równa sumie energii wewnętrznej (energii jaka jest potrzebna do utworzenia układu termodynamicznego gdy jest on tworzony w otoczeniu próżni) oraz iloczynu ciśnienia i objętości, który jest równy pracy jaką należy wykonać nad otoczeniem by w danych warunkach uzyskać miej- sce na układ.

Entalpia gazów doskonałych i półdoskonałych oraz powietrza wilgotnego zostanie omówiona w rozdziale 6.

2.4.2 Entropia

Entropia (S) jest to termodynamiczna funkcja stanu, określająca kierunek przebiegu proce- sów samorzutnych w odosobnionym układzie termodynamicznym. Entropia jest miarą stopnia nie- uporządkowania układu albo inaczej mówiąc, stopniem jego wyjątkowości. Entropia jest czynni- kiem całkującym dla temperatury aby otrzymać ciepło – nie da się jej zmierzyć:

[J];

dS T

Q_d ^



^ ^(2.10)

gdzie:

Q_d – ciepło doprowadzone do czynnika z zewnętrznego źródła, [J];

T – temperatura bezwzględna rozpatrywanego czynnika termodynamicznego, [K].

Rys.2.10. Układ ciepła (Belpiere’a)

(24)

zatem elementarny przyrost entropii ciała jest równy ilorazowi elementarnej ilości ciepła, którą po- chłonęło to ciało, przez temperaturę bezwzględną, jaką miało to ciało w momencie pochłaniania ciepła:

. ] K [J  ^¹

 T

dS dQ^d (2.11)

Na ogół w przemianach termodynamicznych nie interesuje nas entropia jako taka, ale jej zmiany. Poziom zerowy jest przyjmowany umownie. Przy założeniu, że czynnik ma temperaturę 0C i znajduje się pod ciśnieniem 0,1 MPa entropię właściwą można obliczyć z następujących za- leżności:

 dla ciał stałych i cieczy:

];

K kg [J 273

ln  ^¹ ^¹



 T

c

s (2.12)

gdzie:

c – ciepło właściwe ciała, [J·kg^-1·K^-1];

T – temperatura bezwzględna rozpatrywanego czynnika termodynamicznego, [K].

 dla gazów doskonałych

];

K kg [J 10 273 ln

ln    ^¹ ^¹



 T R p

c

s _p (2.13)

gdzie:

cp – ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, [J·kg^-1·K^-1];

p – ciśnienie bezwzględne, [MPa];

R – indywidualna stała gazowa, [J·kg^-1·K^-1].

2.5 Pierwsza zasada termodynamiki

Aby wyprowadzić równanie pierwszej zasady termodynamiki⁴ przyjrzyjmy się bilansowi energii przemiany termodynamicznej oraz maszyny przepływowej.

2.5.1 Bilans energii przemiany termodynamicznej

W poziomym cylindrze po jednej stronie tłoka, który porusza się bez tarcia, znajduje się ba- dany czynnik, a po drugiej jest próżnia. Przez osłonę kontrolną, którą otoczony jest tłok, doprowa- dzono pewną ilość ciepła Ed = Qd, pod wpływem którego objętość czynnika zwiększyła się, wsku-

4 Zasada ta, równoważna zasadzie zachowania energii, w zarysach sformułowana została w 1842 r. przez J.R. Mayera, zaś uściślona w 1847 r. przez H.L.F. de Helmholtza.

(25)

tek czego tłok przesunął się od położenia początkowego 1 (rys.2.11a) do położenia końcowego 2 (rys.2.11b).

Rys.2.11. Bilans energetyczny przemiany zamkniętej

Przy założeniu, że metal z którego zrobione są cylinder i tłok, nie zmienia podczas przemiany swej temperatury, energia potencjalna i kinetyczna czynnika nie zmieniła się. Przyrost energii ukła- du jest zatem równy tylko przyrostowi energii wewnętrznej czynnika Eu = U. Energia odprowadzona została z układu za pomocą drąga tłokowego, który wyniósł ją poza osłonę kontrolną. Ener- gia ta została zużyta na pracę L wykonywaną przez czynnik przeciwko sile, za pomocą której tłok naciska z zewnątrz na gaz. Z tego powodu praca ta, jak też każda praca, którą wykonuje czynnik przeciw sile działającej na niego z zewnątrz, nazywana bywa pracą zewnętrzną. W rozpatrywanym przykładzie praca ta jest równa energii odprowadzonej z układu: Ez = L. Podstawiając tak zdefi- niowane wartości do równania bilansu energii (2.1) otrzymamy następujące równanie:

[J];

L U

Q_d   (2.14)

gdzie:

L – praca bezwzględna przemiany, [J];

U – zmiana energii wewnętrznej czynnika, [J].

Wzór ten nosi nazwę pierwszej postaci równania pierwszej zasady termodynamiki dla przemia- ny termodynamicznej, która głosi, że: „Ciepło doprowadzone do układu jest zużywane na wykona- nie pracy bezwzględnej i przyrost energii wewnętrznej tego układu”.

Gdy stan czynnika na początku przemiany nazwiemy stanem 1, a na końcu stanem 2, to wzór 2.14 przyjmie następującą postać:

[J].

1

2 2

1 U U L

Q _    (2.14a)

(26)

2.5.2 Bilans energii maszyny przepływowej

Bilans ten przeprowadzimy dla jednego pełnego cyklu pracy silnika. Energia dopływająca w tym czasie do cylindra jest sumą entalpii doprowadzonego przez zawór wlotowy czynnika i ciepła doprowadzanego przez ścianki cylindra: E_d = I_d + Q_d. Ponieważ po każdym pełnym cyklu układ wraca do tego samego stanu, więc przyrost energii układu jest równy zeru: Eu = 0. Energia odprowadzana z układu jest sumą pracy technicznej przemiany 1-2 i entalpii czynnika odprowadza- nego przez zawór wylotowy: E_z = L_t + I_z. Po wstawieniu tych wartości do równania bilansu energii (2.1) otrzymuje się wyrażenie:

z;

t d

d Q L I

I    (2.15)

gdzie:

I_d – entalpia początkowa czynnika, [J];

I_z – entalpia końcowa czynnika, [J];

L_t – praca techniczna wykonana przez czynnik, [J];

Q_d – ciepło dostarczone do układu, [J];

a po przekształceniu:

[J];

t

d I L

Q   (2.15a)

gdzie:

I – przyrost entalpii czynnika, [J].

Wzór (2.15a) nosi nazwę drugiej postaci równania pierwszej zasady termodynamiki. Zatem pierwszą zasadę termodynamiki można również sformułować następująco: „Ilość ciepła doprowa- dzonego do czynnika podczas przemiany termodynamicznej równa się sumie przyrostu entalpii czynnika i pracy technicznej, którą czynnik wykonał”.

Uwaga!

Znane są również inne sformułowania pierwszej zasady termodynamiki:

1. „Energia wewnętrzna układu zamkniętego nie zmienia się, niezależnie od przemian zachodzących w tym układzie”.

2. „Niemożliwe jest skonstruowanie perpetuum mobile pierwszego rodzaju, czyli silnika pracującego bez zasilania energią z zewnątrz”.

3. „Zmiana energii wewnętrznej układu jest równa sumie pracy wykonanej przez układ bądź nad układem i ciepła dostarczonego lub oddanego przez układ”.

(27)

3 Przemiany charakterystyczne gazów doskonałych oraz półdoskonałych

Przemiany termodynamiczne można dzielić:

1) według zmian objętości:

 ekspansja – wzrost objętości,

 izochora – przemiana, podczas której objętość czynnika zachowuje wartość stałą,

 kompresja – zmniejszenie objętości;

2) według zmian ciśnienia:

 rozprężanie – zmniejszenie ciśnienia,

 izobara – przemiana, podczas której ciśnienie nie zmienia się,

 sprężanie – wzrost ciśnienia;

3) według doskonałości zachodzących przemian:

 odwracalne,

 nieodwracalne.

W rozdziale tym zajmiemy się odwracalnymi przemianami zamkniętymi gazów doskonałych.

Uwaga!

Idem oznacza niezmienny parametr podczas przebiegu procesu (wielkość niezmienna ale różniąca się wartością w zależności od np. warunków prowadzenia procesu).

Constant to niezmienność niezależnie od sytuacji, zawsze stała wartość, czyli np. „PI”, czy „e”.

3.1 Przemiany charakterystyczne

3.1.1 Izobara

Izobara jest to przemiana czynnika termodynamicznego zachodząca przy stałym ciśnieniu.

Cecha charakterystyczna przemiany izobarycznej jest równocześnie równaniem tej przemiany w układzie p-V (rys.3.1):

idem.



p (3.1)

(28)

Zależność między objętością a temperaturą gazu w czasie tej przemiany wynika z prawa Gay-Lussaca (wzór 1.2), zatem:

idem;

2 2 1

1  

 T

V T V T

V (3.2)

gdzie:

T1, T2 – temperatura czynnika przed i po przemianie, [K];

V1, V2 – objętość czynnika przed i po przemianie, [m³].

Praca bezwzględna tej przemiany równa jest wartości pola powierzchni prostokąta (rys.3.2) o wysokości p i podstawie (V2 – V1), zatem:



₂ ₁



^[J].

2

1 p V V

L_    (3.3)

Jak wynika z rysunku 3.2, po zrzutowaniu linii przedstawiającej przemianę na oś rzędnych, praca techniczna przemiany izobarycznej wynosi zero.

.

2 0

1_ 

Lt (3.4)

3.1.1.3 Ciepło przemiany

Ilość ciepła, jaką należy doprowadzić do gazu podczas tej przemiany, można obliczyć jako pole powierzchni powstałej w wyniku zrzutowania linii przemiany na oś odciętych w układzie T-S (rys.3.3) lub korzystając ze wzorów poniżej:

[J];

1

2 2

1 m c (T T )

Q_   _p  (3.5)

Rys.3.1. Izobara w układzie: a) p-V, b) T-S

(29)

[J];

1

2 2

1 I I

Q_   (3.6)

gdzie:

cp ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, [J·kg^-1·K^-1];

I1, I2 entalpia gazu przed i po przemianie; [J];

T1, T2 – temperatura czynnika przed i po przemianie, [K].

Rys.3.2. Praca bezwzględna izobary Rys.3.3. Ciepło izobary

3.1.1.4 Przyrost entropii

Przyrost entropii dla przemiany odbywającej się przy stałym ciśnieniu można wyrazić nastę- pującą zależnością:

].

K [J ln

ln ¹

1 2 1

1 2

2        

V c V T m

c T m S

S _p _p _(3.7)

gdzie:

S1, S2 – entropia czynnika przed i po przemianie, [K];

3.1.2 Izochora

Przemiana izochoryczna jest przemianą zachodzącą przy stałej objętości czynnika:

idem.



V (3.8)

Zależność pomiędzy temperaturą a ciśnieniem gazu podczas tej przemiany otrzymuje się poprzez podzielenie przez siebie stronami równanie stanu gazu dla stanu początkowego i końcowego przemiany:

;

2 1 2

1 2

2

1 1

T R m

T R m V p

V p T

R m V p

T R m V p



 



 















(30)

;

2 1 2 1

T T p

p  _(3.9)

gdzie:

p1, p2 – ciśnienie czynnika przed i po przemianie, [Pa];

R – indywidualna stała gazowa, [J·kg^-1·K^-1];

T1, T2 – temperatura czynnika przed i po przemianie, [K];

Równanie 3.9 jest matematycznym zapisem prawa Charlesa (czyt. Szarla): „Ciśnienie bezwzględne gazu doskonałego i półdoskonałego podczas przemiany izochorycznej zmienia się wprost propor- cjonalnie do temperatury wyrażonej w kelwinach”.

Graficzną interpretację przemiany izochorycznej w układzie p-V i T-S przedstawia rys. 3.4.

Rzutując odcinek przedstawiający izochorę na oś odciętych (rys.3.5) można się przekonać, że praca bezwzględna tej przemiany jest równa zeru:

.

2 0

1_ 

L (3.10)

Praca techniczna przemiany przy stałej objętości jest równa wartości pola powierzchni pro- stokąta o wysokości (p1 – p2) i podstawie V (rys.3.5), zatem:



₁ ₂



^[J].

2

1 V p p

Lt _    (3.11)

Rys.3.4. Izochora w układzie: a) p-V, b) T-S

(31)

Rys.3.5. Praca techniczna izochory 3.1.2.3 Ciepło przemiany

Ciepło dostarczone podczas zamkniętej przemiany izochorycznej, zgodnie z równaniem pierwszej zasady termodynamiki (ciepło dostarczone do czynnika w całości zostaje zużyte do po- większenia jego energii wewnętrznej), jest równe:

[J];

1

2 2

1 U U

Q_   (3.12)

gdzie:

U1, U2 – energia wewnętrzna czynnika przed i po przemianie, [J].

Dla gazów doskonałych i półdoskonałych do obliczenia ciepła dostarczonego do czynnika podczas przemiany izochorycznej można również użyć następującej zależności:



2 1



^[J];

2

1 m c T T

Q_   _v  (3.13)

gdzie:

c_v ciepło właściwe przy stałej objętości, [J·kg^-1·K^-1];

T1, T2 – temperatura czynnika przed i po przemianie, [K].

3.1.2.4 Przyrost entropii

Przyrost entropii dla izochory można wyrazić następującą zależnością:

].

K [J ln

ln ¹

1 2 1

1 2

2 









 p

c p T m

c T m S

S _v _v _(3.14)

3.1.3 Izoterma

Izoterma jest przemianą zachodzącą przy stałej temperaturze:

idem.



T ^(3.15)

(32)

Zatem stosuje się do niej prawo Boyle’a i Mariotte’a. Tak więc zależność pomiędzy ciśnie- niem a objętością dla tej przemiany ma postać:

2.

2 1

1 V p V

p    (3.16)

Równanie izotermy w układzie p-V jest równaniem hiperboli równobocznej (rys.3.6), której asymptotami są osie układu. Z równania Clapeyrona wynika, że ze wzrostem temperatury rośnie iloczyn p·V, a w związku z tym izotermy w układzie p-V przesuwają się w kierunku wzrostu objęto- ści, tj. zgodnie z kierunkiem osi odciętych.

Pracę bezwzględną przemiany izotermicznej, analogicznie jak dla pozostałych przemian, ob- liczamy jako pole powierzchni figury powstałej pomiędzy linią przemiany, osią odciętych oraz skrajnymi wartościami objętości czynnika podczas tej przemiany (rys. 3.7). Matematyczny zapis pracy bezwzględnej przemiany izotermicznej przedstawia zależność:

[J];

ln ln

2 2 1 2 1 1 2 1 2

1 p

V p V p

V V p

L _       _(3.17)

gdzie:

p1, p2 – ciśnienie czynnika przed i po przemianie, [Pa];

Rys.3.6. Izoterma w układzie: a) p-V, b) T-S