Analityka gospodarcza - Algebra/analiza - wst¦p 3 Relacje i ich wªasno±ci
Zadanie 1. Narysowa¢ wykres relacji S ⊂ R2. a) xSy ⇔√
x + y jest liczb¡ rzeczywist¡; b) xSy ⇔√
x − y jest liczb¡ rzeczywist¡;
c) xSy ⇔ y ≥ |x − 3| + 2; d) xSy ⇔ y2 ≥ x2;
e) xSy ⇔ (x − y)(x + 4y) = 0; f) xSy ⇔ y ≤ 21−x+ 2; g) xSy ⇔ y = | ln x − e|; h) xSy ⇔ sin(x + y) = 0;
i) xSy ⇔ 4x2+ y2 ≤ 1; j) xSy ⇔ x2− y2 = 1. Które z tych relacji s¡ funkcjami?
Zadanie 2. Dla ka»dego z poni»szych przykªadów funkcji u»yteczno±ci caªkowitej kon- sumenta U(x, y) w dwuwymiarowej przestrzeni dóbr x, y:
I. Uporz¡dkowa¢ od najbardziej do najmniej po»¡danego (czyli za pomoc¡ relacji racjo- nalnej preferencji) koszyki dóbr x, y: (5, 3), (4, 4), (2, 8), (1, 10), (7, 1)
II. Wyznaczy¢ krzywe oboj¦tno±ci koszyków (3, 3) i (1, 5) (poda¢ wzorem oraz narysowa¢) II. Wyznaczy¢ zbiory koszyków towarów, które s¡ mniej i bardziej u»yteczne dla konsu- menta ni» koszyk (4, 2).
a) U(x, y) = xy; b) U(x, y) = xy − 2, c)U(x, y) = (x + 1)(y + 6), d) U(x, y) = 2x + y, e) U(x, y) = x − 3y, f) U(x, y) = (x + 2)(y − 3), g) U(x, y) = x, h) U(x, y) = min{x, y}, i) U(x, y) = x3(y + 1), j) U(x, y) = (y2− 1)(x + 3), k) U(x, y) = (3x + 5)(2y + 3).
Zadanie 3. Sporz¡dzi¢ tabelk¦ relacji S ⊂ X × X, dla X = {1, 2, 3, 4, 5} oraz:
a) xSy ⇔ x dzieli y; b) xSy ⇔ x = y; c) xSy ⇔ x + y = 4; d) xSy ⇔ (x = y ∨ x > 2y).
Która z tych relacji jest relacj¡ równowa»no±ci lub racjonalnej preferencji? Dla relacji równowa»no±ci wyznaczy¢ klasy abstrakcji.
Zadanie 4. Sprawdzi¢, które z wªasno±ci równowa»no±ci i preferencji posiada relacja S ⊂ X × X je±li:
a) X = P (R); ASB ⇔ A ⊂ B; b) X = P (R); ASB ⇔ A ∩ B 6= ∅;
c) X = P (R); ASB ⇔ A ∩ B = ∅; d) X = R; xSy ⇔ ∃k∈Zx − y = 5k; e) X = R; xSy ⇔ lnxy = 0; f) X = R+; xSy ⇔ xy ≥ 1;
g) X = R; xSy ⇔ xy ≥ 0; h) X = R+; xSy ⇔ xy jest liczb¡ wymiern¡;
i) X = N; xSy ⇔ 3 dzieli x − y; j) X = N; xSy ⇔ x − y ∈ Z;
k) X = R; xSy ⇔ (|x| = |y|∨(|x| < 2∧|y| < 2); l) X = R; xSy ⇔ (|x| = |y|∨x2+y2 < 4); ª) X = R; xSy ⇔ x − y < 1; m) X = R; xSy ⇔ [x] = [y];
n) X = R; xSy ⇔ cos x ≥ cos y; o) X = N; xSy ⇔ x1 > 1y.
Je±li która± z tych relacji jest równowa»no±ci¡, poda¢ jej klasy abstrakcji.
Zadanie 6. Które z wªasno±ci relacji równowa»no±ci i racjonalnej preferencji maj¡ relacje z zadania 1? Je±li która± z tych relacji jest równowa»no±ci¡, poda¢ jej klasy abstrakcji.
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski
1
