• Nie Znaleziono Wyników

GAL II*, 16.03.2020 – zadania Zadanie 1. Wykaż, że automorfizm

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "GAL II*, 16.03.2020 – zadania Zadanie 1. Wykaż, że automorfizm"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

GAL II*, 16.03.2020 – zadania

Zadanie 1.

Wykaż, że automorfizm ϕ : kn → kn jest rzutem (czyli ϕ2= ϕ, gdzie ϕ2 to dwukrotne złożenie) wtedy i tylko wtedy, gdzy jest diagonalizowalny i jego wartości własne pochodzą ze zbioru {0, 1}.

Zadanie 2.

Sprowadź macierz A do postaci Jordana:

A =

1 0 0 . . . 0 1 1 0 . . . 0 1 1 1 . . . 0 ... ... ... ... . . . 1 1 1 . . . 1

Zadanie 3.

Znajdż postać i bazę Jordana endomorfizmu zadanego macierzą

B =

−2 0 0 0

−1 −2 0 0

2 −2 0 1

−7 4 −4 −4

Zadanie 4.

Niech At, t ∈ C, będzie takim endomorfizmem przestrzeni liniowej C[x, y] wielomianów dwóch zmiennych, że At(x) = t2x, At(y) = t3y oraz At(vw) = At(v)At(w) dla dowolnych wielomianów v, w ∈ C[x, y]. Znajdź wszystkie podprzestrzenie C[x, y], które są niezmiennicze ze względu na wszystkie Atjednocześnie.

Zadanie 5.

Niech Aε, ε ∈ {1, ζ5, ζ52, ζ53, ζ54} (gdzie ζ5 to pierwiastek pierwotny stopnia 5 z 1), będzie takim endomorfizmem przestrzeni liniowej C[x, y] wielomianów dwóch zmiennych, że Aε(x) = ε2x, Aε(y) = ε3y. Znajdź wszystkie podprzestrzenie C[x, y], które są niezmiennicze ze względu na wszystkie Aε jednocześnie.

Zadanie 6. *

Niech A, B ∈ M2×2(C) takie, że AB = 0. Wykaż, że dla n ­ 1

det(A + B)n = det(An+ Bn).

1

Cytaty