Zera zmienią jednostkę w miliony
Bartłomiej BZDĘGA
Liczbę całkowitą dodatnią (k + 1)-cyfrową n możemy zapisać w postaci
16
Wskazó wkido
zadań
1.
Wybierzm yliczb ya ib spośró
d 8. < ba y zadaniu.Mam hw danyc
Jeśli 7}. , zauw .. ,. 1,2 ∈{ baeraztrzeba = .T k =bk niech czasa ,to a b|Wów
ażyć, resztę3 dzieli daje zdzielenia tego . =1 obec hliczb k resztę1 .W dają htakic wymusza ibprzez9 ya ,co Sumatrzec 2. zdzieleniażeliczb przez9
się −x 9, suma jej +9 ylesamo .. +. .mat będzie .cyfrąjest cyfrą,to +2 więcej,to ystarczyteraz 3nyzapisać lub2 .Wprzez9 k 10 zzadania wynosi1 jest1 a.Możem 9· jejpierwszą alenie jeśliliczba 29 jednącyfrę < jestbrakującą 3, liczba y2 n,to 6n -cyfrow mao k Jeślix Niech 10 +1) onaprzez 4. ajeślicyfrco cyfrliczb pierwszącyfrą 3. wykazać,że 3· (k
. y. wać , ,4 ,1+3 2 dzielenia takąsamą n możeda obiereszt resztę1 wną0 5z co2 daje liczba daje 9,9ró 6 orównać 2 +3) 2jeresztę ,więc .ynaturalnej = (2n S 32da lub8 ·żeliczba przez9 ystarczyp 4 ) ,5 dzieleniaprzez 6dzieleniaprzez .Wadratliczb ,3 ażmy, .Liczba =(2 Kw Zapisującn 29 resztęz lub7 resztęz czyli2 Zauw 5. przez9 6. zdzielenia2
P
10 i
·a i i
im
=
P
10 j
·b j
,otrzymam j
y
(mn S )=
S
P
10 i,j
a i+j
b i j
6
6
P
S i,j i+j (10 a b i
)= j
P
S i,j
(a b i
)6 j
6
P
a i,j
b i
=S j
(n )S (m ).
7.
Zp oprzedniegozadania
iinduk
cji )= −5 n n tegodla (11 (11) S S obec 14· .W k )6 (a) −5 nierówności S n 11 )6 k hodzą (a S 5zac (161051· =S mamy n>
2 <
. n ań: . n 2 oszacow )= n (11 yS następujących 4mam , 2,3 , =1 ) Możnaużyć (2n S 8. Dlan
(n S
6 ) (n S )+S (n
) ) (n S
=2 oraz
(2n S
) ) (n S
S =
(2n
)n) (5·2 S
1 >
.T 5
rzebajeszcze
wskazaćtakie n,dla których
osiągane
są ąn liczby -cyfrow +1) czyncyfr k ę(.Ilo yliczb cyfrzea wartości. Rozważm skrajne 9. opierwszej
n
nieprzekracza 9 a·
,natomiast k akaliczba .T k 10 a· n>
nieistnieje. pierwszącyfrą będzie c Niech 10.
n 2
n i5 .Zapiszm yc
10 ·
< k n 2 (c <
+1) 10 ·
k
orazc 10 ·
< l n 5 (c <
+1) 10 ·
.Mnożąc l 10 · 2 +1) otrzymamy (c < n 10 < nierówności, k+l 10 · 2 ctedwie
,− k+l =n +l żek wnioskujemy, zczego
1 liczba mamy la od ewnąstałą. >N ,więc wność istnieje tylk 1cyfr. wność n/2 hn jestp 10 cStąddla . hodzi < 9. n/2+ =3 dzinieró .Wtedyn żenieró 3 )zac)+ ,gdzien n zacho (3 (3 encjic dlawszystkic −c S S n wielun najwyżej strony, 9n ,że)6)> )> Przypuśćmy, konsekw n+1 n n+1 maco (3 (3 (3 n skończenie S 11. takieN S iwS Zdrugiej 3wszystkich
n= akak−1. . . a2a1a0= a0+ a1·10 + a2·102+ . . . + ak·10k (kreska nad wyrażeniem informuje, iż nie jest to po prostu mnożenie).
Liczbę n możemy oszacować, znając jej pierwszą cyfrę oraz liczbę cyfr.
Zachodzą oczywiste nierówności:
ak·10k6 n < (ak+ 1) · 10k, z których warto skorzystać w zadaniach 1, 3, 9 i 10.
Przez S(n) oznaczać będziemy sumę cyfr liczby n. Zauważmy, że liczba n − S(n) = 9a1+ 99a2+ 999a3+ . . . + 99 . . . 9ak
dzieli się przez 9, zatem suma cyfr liczby naturalnej daje taką samą resztę z dzielenia przez 9, co ta liczba. Tego faktu używamy w zadaniach 1, 2, 4, 5 i 9.
Dzięki algorytmowi pisemnego dodawania mamy nierówność S(m + n) 6 S(m) + S(n),
która jest pomocna w zadaniach 6, 7 i 8.
Na koniec przypomnimy o pewnej własności dzielenia z resztą, która jest w poniższych zadaniach pomocna: iloczyn liczb całkowitych daje taką samą resztę z dzielenia przez d, co iloczyn ich reszt z dzielenia przez d. Dowód pozostawiamy Czytelnikowi.
Zadania. (W każdym zadaniuS(n) oznacza sumę cyfr liczby n.) 1. Rozważmy wszystkie liczby siedmiocyfrowe, w których każda z cyfr
1, 2, . . . , 7 występuje dokładnie raz. Udowodnić, że żadna z tych liczb nie jest dzielnikiem innej.
2. Spośród liczb siedmiocyfrowych określonych w poprzednim zadaniu wybierzmy trzy, niekoniecznie różne. Czy ich suma może być kwadratem liczby naturalnej?
3. W zapisie dziesiętnym pewnej dodatniej liczby całkowitej n nie występuje żadna z cyfr 1, 2, 9. Udowodnić, że w zapisie dziesiętnym liczby 3n występuje co najmniej jedna z tych cyfr.
4. W zapisie dziesiętnym liczby 229 jest dziewięć cyfr, każda inna. Wiedząc to, bez obliczania 229 wyznaczyć cyfrę, która w tej liczbie nie występuje.
5. Dowieść, że S(2n2+ 3) nie jest kwadratem liczby całkowitej dla żadnego naturalnego n.
6. Wykazać, że dla liczb całkowitych dodatnich m i n zachodzi nierówność S(mn) 6 S(m)S(n).
7. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie n, które spełniają równość S(11n) = 2n.
8. Wyznaczyć najmniejszą oraz największą wartość wyrażenia S(2n)S(n) dla całkowitych dodatnich n.
9. Rozstrzygnąć, czy istnieje liczba naturalna mniejsza od iloczynu swoich cyfr w zapisie dziesiętnym.
10. Dla pewnego całkowitego dodatniego n liczby 2n i 5nmają taką samą pierwszą cyfrę. Wykazać, że tą cyfrą jest 3.
11. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n, dla których S(3n+1) 6 S(3n).
25
