Teoria i praktyka rozwiązywania zadań optymalizacji - Jacek Stadnicki - pdf, ebook – Ibuk.pl

Pełen tekst

(1)W książce omówiono podstawy teoretyczne zadań optymalizacji, rodzaje tych zadań oraz metody ich rozwiązywania. W części I opisano programowanie liniowe, w szczególności programowanie w zbiorach dyskretnych oraz programowanie przepływów w sieciach. W części II omówiono programowanie nieliniowe (metody analityczne i numeryczne). Część III zawiera przykłady zastosowań metod optymalizacji w praktyce inżynierskiej. Książka jest przeznaczona głównie dla studentów uczelni technicznych na kierunkach mechanicznych i budowy maszyn, informatycznych i innych – gdzie program studiów obejmuje problematykę optymalizacji, badań operacyjnych, programowania dynamicznego. Będzie też użyteczna dla inżynierów, korzystających z metod optymalizacji w projektowaniu.. TEORIA I PRAKTYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ OPTYMALIZACJI. TEORIA I PRAKTYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ OPTYMALIZACJI. TEORIA I PRAKTYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ OPTYMALIZACJI Jacek Stadnicki z przykładami zastosowań technicznych. Wydawnictwo WNT. TEORIA I PRAKTYKA ROZWIAZYWANIA�ok.indd. 1. 2000�02�02. 18�08�58.

(2) TEORIA I PRAKTYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ OPTYMALIZACJI. TEORIA I PRAKTYKA ROZWIAZYWANIA�tytulowe�ok.indd. 1. 2000�02�02. 18�16�02.

(3) TEORIA I PRAKTYKA ROZWIAZYWANIA�tytulowe�ok.indd. 2. 2000�02�02. 18�16�02.

(4) Jacek Stadnicki. TEORIA I PRAKTYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ OPTYMALIZACJI z przykładami zastosowań technicznych. Wydawnictwo WNT. TEORIA I PRAKTYKA ROZWIAZYWANIA�tytulowe�ok.indd. 3. 2000�02�02. 18�16�02.

(5) Recenzenci: prof. dr hab. inż. Eugeniusz Rusiński prof. dr hab. inż. Jerzy Wróbel Redaktorzy: Małgorzata Rajwacka-Jachymek, Bartosz Źrałek Projekt okładki i stron tytułowych: Barbara Ćwik Ilustracja na okładce: ©monsitj/iStock.com Redaktor techniczny: Grażyna Miazek Korekta: Zespół Przygotowanie do druku: WOMAR Barbara Wojcieszuk Wydawca: Adam Filutowski Podręcznik dotowany przez Ministra Nauki i Informatyzacji oraz przez Akademię Techniczno-Humanistyczną w Bielsku-Białej.. Książka, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym. Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty. Szanujmy cudzą własność i prawo. Więcej na www.legalnakultura.pl Polska Izba Książki. Copyright © by Wydawnictwo WNT Warszawa 2006 Copyright © by Wydawnictwo Naukowe PWN SA Warszawa 2017 ISBN 978-83-01-19589-2 Wydanie I – 1 dodruk (PWN) Warszawa 2017 Wydawnictwo Naukowe PWN SA 02-460 Warszawa, ul. Gottlieba Daimlera 2 tel. 22 69 54 321, faks 22 69 54 288 infolinia 801 33 33 88 e-mail: pwn@pwn.com.pl; reklama@pwn.pl www.pwn.pl Druk i oprawa: OSDW Azymut Sp. z o.o.. TEORIA I PRAKTYKA ROZWIAZYWANIA�tytulowe�ok.indd. 4. 2000�02�02. 18�16�02.

(6) Spis treci. Wykaz waniejszych oznacze. 9. Przedmowa. 11. Wstp. 13 Cz I. Wybrane zagadnienia programowania liniowego 1. Programowanie liniowe. ................................ 1.1. Wprowadzenie do programowania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Przestrzenie liniowe, zbiory wypuke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Ekstremum warunkowe funkcji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Sprzeczno ci i niejednoznaczno ci rozwiza zadania poszukiwania ekstremum warunkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Posta oglna, standardowa i kanoniczna zadania programowania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Posta oglna zadania programowania liniowego . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Posta standardowa zadania programowania liniowego . . . . . . . . . . 1.2.3. Posta kanoniczna zadania programowania liniowego . . . . . . . . . . . 1.3. Rozwizywanie zadania programowania liniowego . . . . . . . . . . . . . 1.4. Ukady rwna liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Algorytm sympleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Dualne zadanie programowania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Przykady zada programowania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Zasada dekompozycji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 19 19 19 26 28 31 32 33 34 35 37 38 44 51 57.

(7) SPIS TRECI. 6. 2. Programowanie liniowe w zbiorach dyskretnych. .............. 2.1. Zadanie programowania zero-jedynkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Przykady zada programowania zero-jedynkowego . . . . . . . . . . . . 2.3. Zadanie programowania cakowitoliczbowego . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Algorytm odci podstawowych Gomory'ego . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Algorytm odci podstawowych dla niepenego zadania cakowitoliczbowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Przykady zada programowania cakowitoliczbowego . . . . . . . . . . .. 3. Zadanie transportowe 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.. 62 70 71 73 78 82. ................................. 84. Sformuowanie zadania transportowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadanie transportowe zamkni te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadanie transportowe otwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algorytm transportowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Przykady zastosowa zadania transportowego . . . . . . . . . . . . . . .. 84 86 89 90 95. 4. Przep ywy w sieciach 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.. 62. ................................. 98. Grafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Zadanie wyznaczania najkrtszej drogi w grae . . . . . . . . . . . . . . . 101 Zadanie planowania trasy w grae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Problem chiskiego listonosza (komiwojaera) . . . . . . . . . . . . . . . 104. Cz II. Wybrane zagadnienia programowania nieliniowego 5. Programowanie nieliniowe. .............................. 5.1. Analityczne rozwizywanie zadania programowania nieliniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Zadanie programowania nieliniowego bez ogranicze . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Zadanie programowania nieliniowego z ograniczeniami rwno ciowymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Zadanie programowania nieliniowego z ograniczeniami nierwno ciowymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4. Zadanie programowania wypukego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Numeryczne metody rozwizywania zada programowania nieliniowego bez ogranicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Minimalizacja funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Minimalizacja funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Numeryczne metody rozwizywania zadania programowania nieliniowego z ograniczeniami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Algorytmy bezpo rednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Algorytmy po rednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111 113 114 115 123 128 136 137 140 158 182 183 193.

(8) SPIS TRECI. 6. Programowanie dynamiczne 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.. 7. ............................. 206. Wieloetapowe zadanie programowania dynamicznego . . . . . . . . . . . Zasada optymalno ci Bellmana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cige zadanie programowania dynamicznego . . . . . . . . . . . . . . . . Elementy rachunku wariacyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 207 210 216 220. 7. Algorytmy genetyczne. ................................. 228. 7.1. Cele i wasno ci algorytmw genetycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.2. Etapy algorytmu genetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230. 8. Programowanie wielokryterialne. ......................... 243. 8.1. Rozwizania niezdominowane, zbir kompromisw . . . . . . . . . . . . . 8.2. Przegld metod programowania wielokryterialnego . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Metoda waonego kryterium zbiorczego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2. Metoda programowania celowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3. Metoda leksykograczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4. Metoda ograniczania kryteriw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 244 247 247 250 255 256. Cz III. Przykady praktycznego wykorzystania optymalizacji w projektowaniu maszyn. 259. 9. Przyk ady wykorzystania metody element w skoczonych w inynierskich zadaniach optymalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 9.1. Optymalizacja parametryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 9.2. Optymalizacja topologiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266. 10. Przyk ady inynierskich zada optymalizacji w projektowaniu maszyn w kienniczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 10.1. Optymalizacja rozmieszczenia i przekroju wzmocnie wewn trznych b bna gwnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 10.2. Optymalizacja przekroju poprzecznego zgrzebnika . . . . . . . . . . . . . 276 10.3. Optymalizacja w sterowaniu nap dem rewersyjnym wzkw ukadacza runa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279. Zakoczenie. 285. Bibliogra a. 288. Skorowidz. 291.

(9)

(10) Wykaz waniejszych oznacze. A] faji g { macierz m n wsp czynnik w aji , j = 1 : : : m, i = 1 : : : n, ai { i-ta kolumna macierzy A], b fbj g { wektor 1 m prawych stron ogranicze bj , j = 1 : : : m, c fcig { wektor 1 n funkcji celu ci, i = 1 : : : n, C { zbi r liczb ca kowitych, d { wektor kierunku poszukiwa, e { wektor bazowy (wersor), gj (x) { ograniczenie nier wnociowe h @Q j , @Q @Q i T grad Q(x) = r Q(x) { gradient funkcji Q(x), @x1 @xi @xn , hj (x) { ograniczenie r wnociowe j , H ] { macierz drugich pochodnych, hesjan, 2Q 3 2 @2Q @ @x1 @xn @x21 6 . .. 77, H ] = 64 .. . 5 @ 2 Q @ 2 Q2 @xn @x1 @xn i = 1 : : : n { indeks zmiennej (kolumny), I ] { macierz jednostkowa, j = 1 : : : m _ { indeks ograniczenia (wiersza), ji { uk grafu midzy wierzcho kami j oraz i, k { indeks iteracji (punktu), L(x ) { funkcja Lagrange'a,Pm L(x ) = Q(x) + j=1 j gj (x), P (x r) { funkcja kary, q(x) { kryterium sk adowe w zadaniu wielokryterialnym, Q(x) { funkcja celu, R { zbi r liczb rzeczywistych,.

(11) 10. WYKAZ WANIEJSZYCH OZNACZE. Rn { unormowana n-wymiarowa przestrze euklidesowa, rA] { rzd macierzy A], U { dope nienie zbioru U ,. w{ xi { x fxig { x^ { kxk { 0] { "{ { fj g {. waga kryterium, zmienna decyzyjna i, wektor 1 n zmiennych decyzyjnych xi , i = 1 : : : n, wektor optymalny (minimum), norma euklidesowa wektora x, macierz zerowa, dok adno rozwizania, zbi r dopuszczalny, wektor 1 m mnonik w Lagrange'a j , j = 1 : : : m, { zbi r dopuszczalnych wartoci kryteri w, { zbi r kompromis w..

(12) Przedmowa. Niniejsz ksik napisa em przede wszystkim dla student w kierunk w technicznych i informatycznych oraz inynier w podejmujcych w swojej praktyce zawodowej problemy optymalizacji konstrukcji, technologii czy system w. Tre podzieli em na trzy czci. W czci pierwszej (Wybrane zagadnienia programowania liniowego), obejmujcej rozdzia y 1, 2, 3 i 4, om wi em zagadnienia zwizane z programowaniem liniowym, poprzedzajc je niezbdnym wprowadzeniem do tematyki przestrzeni liniowych i zbior w wypuk ych. Problematyk programowania liniowego poszerzy em o programowanie w zbiorach dyskretnych oraz optymalizacj transportu i przep ywu w sieciach. Mimo i wiele zada optymalizacji wystpujcych w trakcie projektowania jest zadaniami nieliniowymi, zadanie programowania liniowego stanowi wane uzupe nienie i podstaw zagadnie omawianych w nastpnych rozdzia ach. Cz drug (Wybrane zagadnienia programowania nieliniowego) stanowi rozdzia y 5, 6, 7 i 8. W rozdzia ach 5 i 6 dokona em przegldu metod analitycznych i algorytm w numerycznych optymalizacji nieliniowej oraz om wi em problem dekompozycji pierwotnego zadania wielowymiarowego do cigu zada jednowymiarowych. Rozdzia y 7 i 8 s rozszerzeniem i uzupe nieniem poprzednich rozdzia w o zagadnienia zwizane z algorytmami genetycznymi i z programowaniem wielokryterialnym. W czci trzeciej (Przyk ady praktycznego wykorzystania optymalizacji w projektowaniu maszyn), sk adajcej si z rozdzia w 9 i 10, przedstawi em problematyk zwizan z zastosowaniami optymalizacji w projektowaniu maszyn i urzdze. Poda em wybrane przyk ady formu owania zada optymalizacji w praktyce inynierskiej przy projektowaniu maszyn w kienniczych. W rozdziale 9 om wi em zastosowania optymalizacji w rozwizywaniu zada, do kt rych sformu owania wykorzystuje si szeroko stosowan w dziedzinie analizy konstrukcji mechanicznych metod element w skoczonych. Rozdzia 10 zawiera przyk ady problem w praktycznych, kt rych istot jest.

(13) 12. PRZEDMOWA. samo formu owanie zadania, a nie spos b jego rozwizania. Ta cz ksiki jest przeznaczona dla inynier w mechanik w dotyczy problem w mechaniki stosowanej, podstaw konstrukcji maszyn i budowy maszyn w kienniczych. Ca o wyk adu przedstawi em, korzystajc z jednolitej notacji, co u atwia zrozumienie treci na pocztku ksiki zamieci em wykaz najczciej uywanych oznacze. Przy omawianiu algorytm w poda em niezbdne podstawy teoretyczne oraz przyk ady liczbowe, u atwiajce przeledzenie ich toku. Poniewa ksika jest adresowana przede wszystkim do inynier w i student w politechnik, najobszerniej potraktowa em zagadnienia dotyczce programowania wypuk ego. W praktyce inynierskiej zazwyczaj znane s wartoci pocztkowe zmiennych decyzyjnych (podobna konstrukcja ju istnieje), poszukuje si natomiast poprawionych wartoci zmiennych, dla kt rych, w wietle przyjtego kryterium, nowa konstrukcja bdzie najlepsza z moliwych. Z tych samych powod w nie przedstawi em komputerowych implementacji algorytm w w konkretnych jzykach programowania. Mona je znale! w specjalistycznej literaturze, s dostpne w Internecie, a co najwaniejsze { stanowi coraz czciej element komercyjnego oprogramowania inynierskiego CAD/CAE. Niniejsza ksika, zgodnie z moj intencj, powinna by przydatna studentom i inynierom korzystajcym z metod optymalizacji w rozwizywaniu problem w technicznych. Pragn podzikowa Panu Profesorowi Jerzemu Wr blowi za cenne uwagi oraz propozycje zmian i uzupe nie dziki nim ulepszy em pierwotny tekst ksiki. Dzikuj r wnie Panu Profesorowi Kazimierzowi Nikodemowi i Panu Doktorowi Piotrowi Danielczykowi, kt rzy byli pierwszymi Czytelnikami maszynopisu ich cenne uwagi przyczyni y si do ostatecznej postaci niniejszej ksiki. Panu Profesorowi Eugeniuszowi Rusiskiemu dzikuj za uwagi i wskaz wki dotyczce redakcji tekstu. Bielsko-Biaa, grudzie 2004. Jacek Stadnicki.

(14) Wstp. Zadaniem inyniera jest tworzenie nowych maszyn, urzdze, technologii czy system w, kt re powinny zaspokaja potrzeby przysz ych uytkownik w. Projektowanie rozumiane jako proces tworzenia wymaga podejmowania decyzji o wyborze najlepszych wariant w rozwiza sk adajcych si na projekt. Najlepszy wariant to najczciej taki, kt ry przy ograniczonych moliwociach umoliwia osignicie maksimum korzyci lub zapewnia realizacj projektu przy minimum nak ad w. Decyzj o wyborze rozwizania podejmuje si z wykorzystaniem wiedzy, dowiadczenia i intuicji, lecz czsto przy uyciu metody pr b i b d w. Wsp czesne projekty s coraz bardziej z oone, dy si do skr cenia czasu ich opracowywania i da przy tym coraz lepszych efekt w w stosunku do poniesionych nak ad w. Margines b du, jaki pozostawia si inynierowi-projektantowi, staje si coraz mniejszy i dlatego coraz czciej decyzje podejmuje si na podstawie rozwizania odpowiednio sformu owanego i zapisanego w spos b sformalizowany zadania. Tym problemom jest powicona ga ! wiedzy inynierskiej zwana teori projektowania. W ramach tej teorii wyboru rozwizania dokonuje si, korzystajc z teorii i metod postpowania zwanych optymalizacj. Jeeli efekt, jaki ma by uzyskany dziki projektowi, da si wyrazi ilociowo (zde#niowa funkcj celu { kryterium oceny), a przy tym bdzie on zalee od wartoci pewnej liczby wielkoci (zmiennych decyzyjnych), kt re mog przyjmowa wartoci w granicach wyznaczajcych zbi r moliwych rozwiza (zbi r dopuszczalny), to zadanie polega na znalezieniu takich wartoci zmiennych decyzyjnych, dla kt rych funkcja celu osiga minimum lub maksimum w zbiorze dopuszczalnym. Zadanie sformu owane w taki spos b jest zadaniem optymalizacji1 gotowym do rozwizywania. Rozwizanie mona potraktowa jako optymalny wariant projektu. 1 W literaturze dotyczcej przedmiotu okre lenia zadanie optymalizacji i zadanie programowania s uywane zamiennie. Okre lenie zadanie programowania ma swoj historyczn przyczyn . Jedne z pierwszych zastosowa programw komputerowych dotyczyy rozwizywania zada optymalizacji..

(15) 14. WSTP. Przy rozwizywaniu praktycznych problemw umiejtno poprawnego sformuowania zadania optymalizacji jest rwnie wana, jak umiejtno wyboru odpowiedniego algorytmu rozwizywania zadania. Dlatego w ksice omwiono kilka przykadw praktycznych zada optymalizacji ze zwrceniem uwagi na formuowanie zadania. Inynierskie zadania optymalizacji w projektowaniu maszyn najczciej wymagaj indywidualnego potraktowania, tak jak indywidualny (twrczy) jest proces projektowania. Dlatego trudno jest poda oglny schemat postpowania przy formuowaniu tych zada , ktry w kadym przypadku prowadziby do oczekiwanych wynikw. Mona jedynie wymieni trzy etapy wystpujce najczciej przy formuowaniu inynierskich zada optymalizacji. Etap 1. Zbudowanie matematycznego modelu konstrukcji z wyspecykowaniem zbioru cech, ktre mog przyjmowa rne wartoci i by traktowane w zadaniu jako zmienne decyzyjne. Zmiennymi decyzyjnymi s najczciej: wymiary konstrukcji, sztywnoci elementw, wielkoci charakterystyczne (np. liczby zbw k, moduy, przeoenia przekadni, liczby zwojw spryn, liczby takich samych elementw w zespole), wielkoci wyraane za pomoc charakterystyk { przebiegw w funkcji innych wielkoci (np. drogi, prdkoci, przyspieszenia, siy lub momenty napdowe), wielkoci deniujce ksztat projektowanej czci (np. wspczynniki funkcji opisujcych zarys czci) itp. Etap 2. Przyjcie ogranicze zadania okrelajcych granice zmiennoci zmiennych decyzyjnych. Ograniczeniami w zadaniu s najczciej: dopuszczalne naprenia, dopuszczalne odksztacenia lub przemieszczenia, czstoci drga wasnych, siy lub momenty krytyczne wynikajce z warunkw utraty statecznoci, graniczne wartoci (np. przekrojw poprzecznych produkowanych proli, normalne lub zalecane moduy zbw, przeoenia przekadni, wielkoci charakterystyczne typoszeregu) itp. Etap 3. Przyjcie funkcji celu (jednej lub kilku), ktra bdzie kryterium oceny wariantw konstrukcji, nalecych do zbioru dopuszczalnego i posuy do wyboru najlepszego wariantu z uwagi na przyjte kryterium. Funkcjami celu s najczciej: masa lub objto konstrukcji, koszt lub pracochonno wykonania, odchylenie charakterystycznej wielkoci od wielkoci podanej, naprenia lub odksztacenia itp. Szersze omwienie tej problematyki mona znale m.in. w 36], 54], 55]. Istnieje wiele rodzajw zada optymalizacji. Zalenie od tego, ktr z cech danego zadania przyjmuje si za odrniajc je od innych, mona poda rne sposoby klasykowania zada . Na przykad z uwagi na: wystpowanie ogranicze w zadaniu rozwaa si tu { zadanie z ograniczeniami, w ktrym zmienne decyzyjne musz przyjmowa wartoci nalece do zbioru dopuszczalnego, { zadanie bez ogranicze, w ktrym zmienne decyzyjne mog przyjmowa dowolne wartoci.

(16) 16. WSTP. Rnice midzy rodzajami zada optymalizacji powoduj, i nie ma jednej efektywnej metody rozwizywania ich wszystkich. Poszczeglne typy zada rozwizuje si za pomoc wyspecjalizowanych odpowiednich metod (algorytmw). Dlatego tak wane jest poznanie rnych algorytmw, aby odpowiedni z nich zastosowa do typu konkretnego zadania. Podstawy teoretyczne metod analitycznych poszukiwania minimum funkcji zostay podane przez Bernoulliego, Eulera, Lagrange'a i Weierstrassa. Jednak zoono zada optymalizacji rozwizywanych w praktyce sprawia, i uyteczno metod analitycznych jest niewielka. Dalszy postp w rozwoju metod optymalizacji doprowadzi w 1947 r. do opracowania przez Dantziga algorytmu sympleks dla zadania programowania liniowego, w 1951 r. do sformuowania przez Kuhna i Tuckera warunkw koniecznych i wystarczajcych istnienia ekstremum warunkowego funkcji oraz w 1957 r. { do podania przez Bellmana tzw. zasady optymalnoci dla programowania dynamicznego. Jednak dopiero rozpowszechnienie i rozwj sprztu komputerowego w ostatnich dziesicioleciach przyczyni si do powstania efektywnych numerycznych algorytmw optymalizacji. W rezultacie opracowano wiele skutecznych programw komputerowych, ktre uzupeniy narzdzia wykorzystywane wczeniej w projektowaniu przez inynierw..

(17)