1. Udowodni´c, · ze dla dowolnej liczby naturalnej n > 0 zachodz ¾ a wzory

Matematyka dyskretna - zasada indukcji matematycznej

1. Udowodni´c, · ze dla dowolnej liczby naturalnej n > 0 zachodz ¾ a wzory

(a) X n

i=1

i(i + 1) = ¹ ₃ n (n + 1) (n + 2) ;

(b) X n

i=1

i ² = n(n+1)(2n+1)

6 ;

(c) X n

i=1

i

! 2

= X n

i=1

i ³ = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ ₂ ² ;

(d) X 2n

i=1

( 1) ^{i 1} i ² = n (2n + 1)

(e) X n

i=1

i ² (i + 2) = ₁₂ ¹ n (n + 1) (3n ² + 11n + 4).

2. Udowodni´c indukcyjnie nierówno´sci (a) n! > 2 ⁿ ; dla n 4;

(b) 2 ⁿ n ³ ; dla n 10;

(c) 2 ⁿ > n ² ; dla n > 4:

3. Udowodni´c nierówno´sci

(a) (1 + a) ⁿ 1 + na; dla a > 1; :

(b) (1 + a) ⁿ 1 + an + ^{n(n 1)} ₂ a ² ; dla a 0;

1

(c) X n

i=1 1

i

2 _n ¹ :

4. Wykaza´c, · ze dla dowolnych liczby naturalnej (a) 3j (n ³ n) ;

(b) 5j (n ⁵ n) ; (c) 7j (n ⁷ n) ; (d) 6j (n ³ n) ;

(e) 12j (10 ⁿ 4) ; gdy n 2;

(f) 3j (4 ⁿ + 5) ; (g) 6j (13 ⁿ 7) ; (h) 9j (4 ⁿ + 15n 1) ;

(i) 3j (n ³ + 3n ² + 5n + 3) :

5. Wykaza´c, ze dla ka· zdej liczby naturalnej n; ₂₄ ⁿ (n ³ 2n ² n + 2) jest liczb ¾ a ca÷ kowit ¾ a.

6. Niech dla dowolnego n 0; a _n = F ib(n) Wykaza´c, · ze 2ja ³ⁿ ; 3 ja ⁴ⁿ oraz 5ja ⁵ⁿ :

7. Niech dla dowonego k 2 N dane b ¾ ed ¾ a liczby a k ; b _k 2 R: Zbada´c prawdziwo´s´c poni· zszej równo´sci dla dowolnego n 2

X n 1 k=1

(a _k+1 a _k ) b _k = a _n b _n a ₁ b ₁ X n 1

k=1

a _k+1 (b _k+1 b _k ) :

8. Niech a; b 2 R; n 2 N: Wykaza´c, · ze

(a + b) ⁿ = X n

i=0

n

i a ^{n i} b ⁱ :

2