MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 45, t. 14, rok 2012 – ISSN 1896-771X
ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK
ŻELBETOWYCH Z BETONU O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI
Piotr Smarzewski
1a1Katedra Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Lubelska e-mail: a[email protected]
Streszczenie
W artykule przedstawiono analizy wytężenia zginanych belek żelbetowych wykonanych z betonu o wysokiej wytrzymałości o niskim stopniu zbrojenia. Modelowanie deformacji elementów pod obciążeniem statycznym do zniszczenia włącznie z uwzględnieniem nieliniowości fizycznych betonu i stali zbrojeniowej przeprowa- dzono z wykorzystaniem zasad metody elementów skończonych. W celu zweryfikowania przyjętych modeli materiałów konstrukcyjnych wyniki analiz numerycznych porównano z wynikami eksperymentów.
ANALYSIS OF THE EFFORT OF REINFORCED HIGH-STRENGTH CONCRETE BEAMS
Summary
Numerical modelling of flexural behavior of the reinforced high-strength concrete beams with low reinforcement ratio is discussed in this paper. Modelling mechanism of failure reinforced concrete beams under static load, static deformation processes of the reinforced high-strength concrete beams with regard to the physical nonlinearities of the structural materials were developed using finite element analysis. The comparison of the numerical and exper- imental results as well as theoretical solutions, were presented.
1. WSTĘP
Postęp w technice komputerowej i nowe generacje oprogramowania obliczeniowego umożliwiają wykony- wanie symulacji nieliniowego zachowania żelbetowych układów konstrukcyjnych do chwili zniszczenia z uwzględnieniem zróżnicowanych właściwości materia- łowych, rzeczywistego układu zbrojenia i wzajemnej współpracy betonu ze stalą zbrojeniową.
Analiza zachowania belek żelbetowych wykonanych z betonu o wysokiej wytrzymałości była przedmiotem wielu prac doświadczalnych m.in. Kamińskiej [4], Rashida i Mansura [5]. Niewątpliwie zastosowanie betonu wysokowartościowego w budownictwie będzie stale wzrastało ze względu na jego wysoką wytrzyma- łość, wysoki moduł sprężystości oraz dużą odporność na wpływy klimatyczne i oddziaływanie agresywnego środowiska. Specyficzne cechy betonów wysokowarto-
ściowych skłaniają również ku konieczności podjęcia badań teoretycznych z zakresu modelowania mechani- zmów zniszczenia zbrojonych elementów konstrukcyj- nych wykonanych z takiego materiału.
Wytężenie belki jest to ogół zmian strukturalnych i fizycznych postępujących w elemencie podczas wymuszonej deformacji pod obciążeniem statycznym, termicznym, geometrycznym, czy też dynamicznym.
Efektami tych zmian jest rozwój rys, mikrorys i dyslokacji obserwowanych odpowiednio na poziomie makroskopowym, mikroskopowym i struktury ato- mowej do utraty zdolności przenoszenia obciążeń przez element belkowy. Miarą wytężenia są napręże- nia główne. Stan zarysowania matrycy betonowej utworzy się, gdy dowolne naprężenie główne jest rozcią- gające i przekracza wytrzymałość betonu na rozciąganie.
Natomiast stan zmiażdżenia powstanie, gdy wszystkie naprężenia główne są ściskające.
Tematem i głównym celem pracy jest modelowanie mechanizmu zniszczenia belek żelbetowych obciążonych statycznie, wykonanych z betonu o wysokiej wytrzyma- łości, z uwzględnieniem fizycznych nieliniowości mate- riałów konstrukcyjnych.
Zakres pracy obejmuje wykonanie analiz porównaw- czych własnych wyników teoretycznych z wynikami doświadczalnymi Kamińskiej [4]. Porównania otrzyma- nych wyników na poziomie zależności obciążenie- przemieszczenie stanowią podstawę do weryfikacji przyjętych założeń i modeli odkształcenia betonu i stali.
Podstawowe założenie przyjęte w pracy dotyczy rozwa- żań w zakresie dużych odkształceń.
2. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI MATERIAŁÓW
KONSTRUKCYJNYCH
2.1. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI BETONU
Powierzchnię graniczną betonu przedstawiono za pomo- cą modelu pięcioparametrowego Willama i Warnke [7].
Własna koncepcja zachowania betonu wysokiej wy- trzymałości w stanie jednoosiowego ściskania i roz- ciągania w konstrukcji żelbetowej powstała na pod- stawie przeprowadzonych analiz numerycznych i wyników doświadczalnych belek żelbetowych (rys. 1).
α = 1, dla ρ<0,5%
α = 2, dla ρ>1,5%
Ec
εc
εc0 εcu
αfc/3
εc1 fc
σc (a)
0,8fc
10Τcεck εck
Rt Τcft
ft
εt
σt (b)
Et=Ec
Rys. 1. Propozycja zależności naprężenie-odkształcenie beto- nu: (a) w stanie jednoosiowego ściskania, (b) w stanie jedno- osiowego rozciągania
Istotą jej jest uwzględnienie w stanie jednoosiowego ściskania fazy sprężysto-plastycznego wzmocnienia i fazy osłabienia materiałowego oraz potwierdzonych doświadczalnie znacznie większych wartości odkształ- ceń granicznych uzyskanych w konstrukcjach niż na próbkach. W wielu modelach powstałych na podstawie badań próbek opadająca część krzywej jest tym mocniej nachylona, im wyższa jest wytrzymałość betonu, co świadczy o większej kruchości betonu o wysokiej wy- trzymałości. Ta prawidłowość nie zawsze jednak znajdu- je odzwierciedlenie w zachowaniu betonu w żelbetowych elementach konstrukcyjnych. Ponadto wyniki badań doświadczalnych wykazały, że obawy o niską odkształ- calność betonu o wysokiej wytrzymałości w elementach konstrukcyjnych są nieuzasadnione. Obserwowane zjawisko jest korzystne z punktu widzenia bezpieczeń- stwa konstrukcji. Przyjęcie w modelu zbyt małych możliwości odkształcania się betonu o wysokiej wytrzy- małości przy ściskaniu, zgodnych np. z zaleceniami Model Code 90 [1], skutkuje znacznym zmniejszeniem granicznych krzywizn elementów konstrukcyjnych.
2.2. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI STALI ZBROJENIOWEJ
W konstrukcjach betonowych stal jest używana w postaci prętów zbrojeniowych. Upraszcza to znacznie problem modelu materiałowego stali do jednoosiowego stanu naprężenia. W obliczeniach numerycznych założo- no model materiałowy stali zbrojeniowej sprężysto- plastyczny o identycznych charakterystykach przy rozciąganiu i ściskaniu (rys. 2).
Piotr Smarzewski
Rys. 2. Wykres naprężenie-odkształcenie stali zbrojeniowej zastosowany w analizach numerycznych
Płyty stalowe usytuowane w miejscach podparcia i przyłożenia siły skupionej modelowano jako materiał liniowo-sprężysty.
3. METODY NUMERYCZNE ROZWIĄZANIA ZADANIA
3.1. METODA NEWTONA-RAPHSONA
W nieliniowych zagadnieniach zachowania konstrukcji żelbetowych, w celu ustalenia ścieżki równowagi, po- wszechnie wykorzystywana jest metoda Newtona- Raphsona (rys. 3).
Fa
Fi nr
ui
[K ]=0T
KTi
∆ui
ui+1
Fi+1 nr
ui+2 ui+3
Fi+2 nr
KTi+1
KTi+2
∆ui+1
∆ui+2
iteracja 1 iteracja 2 iteracja 3
obciążenie, F
przemieszczenie, u Rys. 3. Metoda Newtona-Raphsona
Stosowanie tej metody jest zalecane w przypadku mate- riałów o charakterystykach liniowych lub dwuliniowych, lecz okazuje się nieskuteczne w materiałach o wyższym stopniu nieliniowości. Wadą jej jest przede wszystkim brak możliwości opisu opadającej gałęzi krzywej obcią-
żenie-przemieszczenie, gdyż w punkcie zerowania macie- rzy sztywności stycznej analiza nie będzie zbieżna.
3.2. METODA NEWTONA-RAPHSONA ZE SPADKIEM ADAPTACYJNYM
Metoda spadku adaptacyjnego przedstawiona w pracy Eggerta i in. [3] polega na zmianie ścieżki rozwiązania w pobliżu punktu granicznego i poruszaniu się wstecz wzdłuż siecznej, aż do szybkiego uzyskania zbieżności rozwiązania numerycznego. Macierz sztywności jest opisana jako suma dwóch macierzy:
[ ] [ ] KTi =ξ K + 1-ξ K
S ( ) [ ]
T , (1)
[ ] KS - macierz sztywności siecznej,
[ ] KT - macierz sztywności stycznej,
ξ
- parametr spadku adaptacyjnego.Metoda polega na uzgodnieniu parametru spadku adap- tacyjnego
ξ
podczas iteracji równowagi.3.3. METODA CRISFIELDA
W celu ustalenia krzywej obciążenie-przemieszczenie wykazującej globalne osłabienie konstrukcji zastosowano metodę długości łuku, rys. 4.
W metodzie numerycznej równanie podstawowe uzależ- nione jest od zmiennego parametru obciążenia
λ
:[ ] KTi { Δu =λ F
i} { } { }
a - F
inr . (2)
u0 ∆u1
∆u2
∆u3
∆l łukowa powierzchnia
ograniczająca ścieżka równowagi
nowy punkt zbieżności
∆λ1Fa
iteracja 1 (u , F )1λ1 a
obciążenie, Fλ
∆λ2Fa∆λ3Fa
iteracja 2 (u , 2λ2F )a iteracja 3 (u , F )3 λ3 a
λ0Fa
KTi
F1
nr F3
nr
∆λ
∆u1 II
∆λ∆u1 I
poprzedni punkt zbieżności (u , F )0λ0a
przemieszczenie, u
Rys. 4. Metoda długości łuku [2]
W pracy Smarzewskiego [6] przeprowadzono weryfikację metody długości łuku na przestrzennych modelach belek żelbetowych przy uwzględnieniu osłabienia odkształce- niowego przy ściskaniu i rozciąganiu. Zastosowanie tej metody pozwala na uzyskanie kompletnej ścieżki obcią-
żenie-przemieszczenie i na opis mechanizmów zniszcz nia belek żelbetowych.
4. DOŚWIADCZENIA NUMERYCZNE
BELEK ŻELBETOWYCH
W numerycznych modelach przestrzennych belek żelbetowych z betonu o wysokiej wytrzymałości przyj to wymiary elementów oraz właściwości materiałów belek prostokątnych BP-1a, BP-1b w pracy Kamińskiej [4] (rys. 5).
2φ10
3000
9 x 100 7 x 200
blacha stalowa 80 x 150 x 20
1400 800
800
BP-1a
F F
9 x 100
300
200 200
strzemiona φ6 2φ10
3000 9 x 100
blacha stalowa 80 x 150 x 20
blacha stalowa 80 x 150 x 20
1400 800
800
BP-1b
F F
9 x 100
300
200 200
blacha stalowa 80 x 150 x 20 strzemiona φ6
Rys. 5. Wymiary i przekrój poprzeczny belek BP układem zbrojenia i schematem obciążenia Uwzględniając podłużną symetrię elementów,
wano ½ belki o długości 1700 mm, szerokości 150 mm i wysokości 300 mm.
5. WYNIKI DOŚWIADCZEŃ NUMERYCZNYCH
5.1. ANALIZA STANU ZARYSOWANIA
Zestawienie obrazu rzeczywistego zarysowania całej belki z numerycznym obrazem rys rozmytych jej lewej połowy przy tym samym obciążeniu F
pokazano na rys. 6.
Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptacyjnym [N-R ad]
Metoda długości łuku Crisfielda [A-L]
ieszczenie i na opis mechanizmów zniszcze-
BELEK ŻELBETOWYCH
W numerycznych modelach przestrzennych belek żelbetowych z betonu o wysokiej wytrzymałości przyję- to wymiary elementów oraz właściwości materiałów jak
1b w pracy Kamińskiej
300300 300
φ 6
2φ10
20 280
150 2φ10
Rys. 5. Wymiary i przekrój poprzeczny belek BP-1 wraz z
podłużną symetrię elementów, modelo- wano ½ belki o długości 1700 mm, szerokości 150 mm i
WYNIKI DOŚWIADCZEŃ
ANALIZA STANU ZARYSOWANIA
Zestawienie obrazu rzeczywistego zarysowania całej numerycznym obrazem rys rozmytych jej lewej samym obciążeniu F = 23 kN
Raphsona ze spadkiem adaptacyjnym
Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptacyjnym [N-R ad]
Metoda długości łuku Crisfielda [A
Rys. 6. Eksperymentalny i numeryczny belek BP-1 przy F = 23 kN
Otrzymane wyniki numeryczne obszarów zarysowanych są jakościowo zgodne co do usytuowania, kierunku i koncentracji z wynikami doświadczalnymi, przy czym zaobserwowano nieznacznie wi
kierunku podpory w przypadku wyników numerycznych.
Zarówno w belkach modelowych, jak i doświadczalnych o niskim stopniu zbrojenia BP
zginania układ głównych rys dokładnie pokrywa się z układem strzemion. Numeryczn
tych uzyskane przy wykorzystaniu metody długości łuku Crisfielda najlepiej odzwierciedlają rzeczywisty obraz zarysowania. Niedokładności w obszarach rys, związane z ich znacznym zagęszczeniem, można pra dopodobnie wyeliminować poprzez re
go kroku przyrostu obciążenia.
5.2. ANALIZA NOŚNOŚCI I STANU PRZEMIESZCZENIA
Porównania nieliniowych zależności obciążenie przemieszczenie otrzymane w analizach numerycznych i doświadczeniach zilustrowano na rys. 7. Drobne różnice dotyczą wartości obciążenia rysującego i fazy powstania uplastycznienia stali zbrojeniowej. Na wykresie obciąż nie-przemieszczenie faza uplastycznienia zbrojenia opisana jest standardowo, przez nagłe zmniejszenie sztywności belki. Zastosowane metody przyrostowo iteracyjne: technika ustalania spadku adaptacyjnego (N R ad – adaptive descent), jak i długości łuku Crisfielda (A-L – arc-length) dają zadowalające wyniki numeryc ne, jakościowo zgodne z wynikami eksperymentów.
Raphsona ze spadkiem adaptacyjnym
Metoda długości łuku Crisfielda [A-L]
6. Eksperymentalny i numeryczny obraz zarysowania
Otrzymane wyniki numeryczne obszarów zarysowanych są jakościowo zgodne co do usytuowania, kierunku i koncentracji z wynikami doświadczalnymi, przy czym zaobserwowano nieznacznie większe obszary rys w kierunku podpory w przypadku wyników numerycznych.
Zarówno w belkach modelowych, jak i doświadczalnych o niskim stopniu zbrojenia BP-1a na odcinku czystego zginania układ głównych rys dokładnie pokrywa się układem strzemion. Numerycznie obrazy rys rozmy- tych uzyskane przy wykorzystaniu metody długości łuku Crisfielda najlepiej odzwierciedlają rzeczywisty obraz zarysowania. Niedokładności w obszarach rys, związane z ich znacznym zagęszczeniem, można praw- dopodobnie wyeliminować poprzez redukcję minimalne-
ANALIZA NOŚNOŚCI I STANU
Porównania nieliniowych zależności obciążenie- przemieszczenie otrzymane w analizach numerycznych i doświadczeniach zilustrowano na rys. 7. Drobne różnice wartości obciążenia rysującego i fazy powstania uplastycznienia stali zbrojeniowej. Na wykresie obciąże-
przemieszczenie faza uplastycznienia zbrojenia opisana jest standardowo, przez nagłe zmniejszenie sztywności belki. Zastosowane metody przyrostowo-
eracyjne: technika ustalania spadku adaptacyjnego (N- adaptive descent), jak i długości łuku Crisfielda
length) dają zadowalające wyniki numerycz- jakościowo zgodne z wynikami eksperymentów.
Piotr Smarzewski
BP-1a Metoda N-R ad
0 40 80 120 160 200
0 4 8 12 16 20 24 28 32
F[kN]
ud [mm]
MES
Kamińska
Metoda A-L
0 40 80 120 160 200
0 4 8 12 16 20 24 28 32
F[kN]
ud [mm]
MES Kamińska
BP-1b Metoda N-R ad
0 40 80 120 160 200
0 4 8 12 16 20 24 28 32
F[kN]
ud [mm]
Kamińska MES
Metoda A-L
0 40 80 120 160 200
0 4 8 12 16 20 24 28 32
F[kN]
ud [mm]
Kamińska MES
Rys. 7. Porównanie zależności przemieszczenia pionowego w środku belki od obciążenia
Ostatnio przeprowadzane badania belek żelbetowych [5]
dowodzą, że skutki pęknięć belki w strefie rozciąganej nie są kompensowane przez sprężyste właściwości stali i plastyczność betonu w strefie ściskanej. W związku z tym na krzywej zależności obciążenie-ugięcie obserwo- wane są efekty osłabienia w postaci gwałtownych spad- ków obciążenia. Takie efekty w obliczeniach numerycz- nych uzyskano przy zastosowaniu szybkozbieżnego algorytmu obliczeniowego Crisfielda umożliwiającego wygenerowanie kompletnej ścieżki rozwiązania z lokalnymi spadkami sztywności i globalnym osłabie- niem konstrukcji.
6. WNIOSKI Z DOŚWIADCZEŃ NUMERYCZNYCH
Schematy zarysowania uzyskane w rozwiązaniu nume- rycznym jakościowo dobrze odpowiadają opisom mecha- nizmu zniszczenia w belkach doświadczalnych. Model rysy rozmytej jest więc odpowiednim modelem nume- rycznym do opisu mechanizmu zniszczenia. Ponadto jest on przydatny w sytuacji, gdy wymagane jest dokładne ustalenie ugięcia elementu konstrukcyjnego przy zada- nym obciążeniu.
Zachowanie numerycznych modeli belek żelbetowych, opisywane zależnością obciążenie-ugięcie w środku rozpiętości, wskazuje na bardzo dobrą zgodność z wyni- kami doświadczalnymi w całym zakresie obciążenia.
Różnice pomiędzy obciążeniami granicznymi uzyskany- mi w obliczeniach numerycznych a wynikami doświad- czalnymi nie przekraczają 5%. Najmniejszy rozrzut wyników jest charakterystyczny w belkach rozwiązywa- nych metodą długości łuku Crisfielda.
Modelowanie płyt stalowych w miejscach podparcia i przyłożenia obciążeń skupionych odzwierciedla rzeczy-
wiste warunki brzegowe i jest podstawowym czynnikiem zapewniającym zgodność wyników numerycznych z wynikami doświadczalnymi. W wyniku uwzględnienia nieliniowych efektów geometrycznych w belkach żelbe- towych otrzymano dalszą poprawę jakościową wyników numerycznych, wyraźnie dostrzegalną w fazie po upla- stycznieniu stali zbrojeniowej.
Pozytywnie zweryfikowano przydatność zastosowania metody długości łuku w analizach przestrzennych modeli belek żelbetowych. Uzyskano kompletne ścieżki obciążenie-przemieszczenie wykazujące potwierdzone doświadczalnie lokalne osłabienie konstrukcji żelbetowej i ciągliwy opis zniszczenia belek charakterystyczny przy niskim stopniu zbrojenia.
Literatura
1. Comité Euro-Internacional du Beton. CEB-FIP Model Code 1990, Bulletin d’information, No. 213/214, Lau- sanne, May, 1993.
2. Crisfield M.A.: An arc-length method including line searches and accelerations. “International Journal for Nu- merical Methods in Engineering” 1983, Vol. 19, p. 1269-1289.
3. Eggert G.M., Dawson P.R., Mathur K.K.: An adaptive descent method for nonlinear viscoplasticity. “ Interna- tional Journal for Numerical Methods in Engineering” 1991, Vol. 31, p. 1031-1054.
4. Kamińska M.E.: Doświadczalne badania żelbetowych elementów prętowych z betonu wysokiej wytrzymałości.
Łódź: KILiW, PAN, 1999.
5. Rashid M.A., Mansur M.A.: Reinforced high-strength concrete beams in flexure. ACI „Structural Journal” 2005, Vol. 102, No. 3, p. 462-471.
6. Smarzewski P.: Modelowanie mechanizmu zniszczenia belek żelbetowych z betonu wysokiej wytrzymałości. Praca doktorska. Politechnika Lubelska 2008.
7. Willam K.J., Warnke E.P.: Constitutive model for the triaxial behavior of concrete. In: Proceedings Internation- al Association for Bridge and Structural Engineering. Bergamo, Italy, 1975. ISMES Vol. 19, p. 1975, 1-30