ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK ŻELBETOWYCH Z BETONU O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI

(1)

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 45, t. 14, rok 2012 – ISSN 1896-771X

ANALIZY WYTĘŻENIA BELEK

ŻELBETOWYCH Z BETONU O WYSOKIEJ WYTRZYMAŁOŚCI

Piotr Smarzewski

^1a

1Katedra Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Lubelska e-mail: ^ap.smarzewski@pollub.pl

Streszczenie

W artykule przedstawiono analizy wytężenia zginanych belek żelbetowych wykonanych z betonu o wysokiej wytrzymałości o niskim stopniu zbrojenia. Modelowanie deformacji elementów pod obciążeniem statycznym do zniszczenia włącznie z uwzględnieniem nieliniowości fizycznych betonu i stali zbrojeniowej przeprowadzono z wykorzystaniem zasad metody elementów skończonych. W celu zweryfikowania przyjętych modeli materiałów konstrukcyjnych wyniki analiz numerycznych porównano z wynikami eksperymentów.

ANALYSIS OF THE EFFORT OF REINFORCED HIGH-STRENGTH CONCRETE BEAMS

Summary

Numerical modelling of flexural behavior of the reinforced high-strength concrete beams with low reinforcement ratio is discussed in this paper. Modelling mechanism of failure reinforced concrete beams under static load, static deformation processes of the reinforced high-strength concrete beams with regard to the physical nonlinearities of the structural materials were developed using finite element analysis. The comparison of the numerical and exper- imental results as well as theoretical solutions, were presented.

1. WSTĘP

Postęp w technice komputerowej i nowe generacje oprogramowania obliczeniowego umożliwiają wykony- wanie symulacji nieliniowego zachowania żelbetowych układów konstrukcyjnych do chwili zniszczenia z uwzględnieniem zróżnicowanych właściwości materia- łowych, rzeczywistego układu zbrojenia i wzajemnej współpracy betonu ze stalą zbrojeniową.

Analiza zachowania belek żelbetowych wykonanych z betonu o wysokiej wytrzymałości była przedmiotem wielu prac doświadczalnych m.in. Kamińskiej [4], Rashida i Mansura [5]. Niewątpliwie zastosowanie betonu wysokowartościowego w budownictwie będzie stale wzrastało ze względu na jego wysoką wytrzyma- łość, wysoki moduł sprężystości oraz dużą odporność na wpływy klimatyczne i oddziaływanie agresywnego środowiska. Specyficzne cechy betonów wysokowarto-

ściowych skłaniają również ku konieczności podjęcia badań teoretycznych z zakresu modelowania mechani- zmów zniszczenia zbrojonych elementów konstrukcyjnych wykonanych z takiego materiału.

Wytężenie belki jest to ogół zmian strukturalnych i fizycznych postępujących w elemencie podczas wymuszonej deformacji pod obciążeniem statycznym, termicznym, geometrycznym, czy też dynamicznym.

Efektami tych zmian jest rozwój rys, mikrorys i dyslokacji obserwowanych odpowiednio na poziomie makroskopowym, mikroskopowym i struktury ato- mowej do utraty zdolności przenoszenia obciążeń przez element belkowy. Miarą wytężenia są napręże- nia główne. Stan zarysowania matrycy betonowej utworzy się, gdy dowolne naprężenie główne jest rozcią- gające i przekracza wytrzymałość betonu na rozciąganie.

(2)

Natomiast stan zmiażdżenia powstanie, gdy wszystkie naprężenia główne są ściskające.

Tematem i głównym celem pracy jest modelowanie mechanizmu zniszczenia belek żelbetowych obciążonych statycznie, wykonanych z betonu o wysokiej wytrzyma- łości, z uwzględnieniem fizycznych nieliniowości mate- riałów konstrukcyjnych.

Zakres pracy obejmuje wykonanie analiz porównaw- czych własnych wyników teoretycznych z wynikami doświadczalnymi Kamińskiej [4]. Porównania otrzyma- nych wyników na poziomie zależności obciążenie- przemieszczenie stanowią podstawę do weryfikacji przyjętych założeń i modeli odkształcenia betonu i stali.

Podstawowe założenie przyjęte w pracy dotyczy rozwa- żań w zakresie dużych odkształceń.

2. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI MATERIAŁÓW

KONSTRUKCYJNYCH

2.1. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI BETONU

Powierzchnię graniczną betonu przedstawiono za pomo- cą modelu pięcioparametrowego Willama i Warnke [7].

Własna koncepcja zachowania betonu wysokiej wy- trzymałości w stanie jednoosiowego ściskania i roz- ciągania w konstrukcji żelbetowej powstała na podstawie przeprowadzonych analiz numerycznych i wyników doświadczalnych belek żelbetowych (rys. 1).

α = 1, dla ρ<0,5%

α = 2, dla ρ>1,5%

E_c

ε_c

ε_c0 ε_cu

αf_c/3

ε_c1 f_c

σ_c (a)

0,8f_c

10Τ_cε^ck ε^ck

R^t Τ_cf_t

f_t

ε_t

σ_t (b)

E_t=E_c

Rys. 1. Propozycja zależności naprężenie-odkształcenie betonu: (a) w stanie jednoosiowego ściskania, (b) w stanie jednoosiowego rozciągania

Istotą jej jest uwzględnienie w stanie jednoosiowego ściskania fazy sprężysto-plastycznego wzmocnienia i fazy osłabienia materiałowego oraz potwierdzonych doświadczalnie znacznie większych wartości odkształ- ceń granicznych uzyskanych w konstrukcjach niż na próbkach. W wielu modelach powstałych na podstawie badań próbek opadająca część krzywej jest tym mocniej nachylona, im wyższa jest wytrzymałość betonu, co świadczy o większej kruchości betonu o wysokiej wy- trzymałości. Ta prawidłowość nie zawsze jednak znajdu- je odzwierciedlenie w zachowaniu betonu w żelbetowych elementach konstrukcyjnych. Ponadto wyniki badań doświadczalnych wykazały, że obawy o niską odkształ- calność betonu o wysokiej wytrzymałości w elementach konstrukcyjnych są nieuzasadnione. Obserwowane zjawisko jest korzystne z punktu widzenia bezpieczeń- stwa konstrukcji. Przyjęcie w modelu zbyt małych możliwości odkształcania się betonu o wysokiej wytrzy- małości przy ściskaniu, zgodnych np. z zaleceniami Model Code 90 [1], skutkuje znacznym zmniejszeniem granicznych krzywizn elementów konstrukcyjnych.

2.2. MODELOWANIE WŁAŚCIWOŚCI STALI ZBROJENIOWEJ

W konstrukcjach betonowych stal jest używana w postaci prętów zbrojeniowych. Upraszcza to znacznie problem modelu materiałowego stali do jednoosiowego stanu naprężenia. W obliczeniach numerycznych założo- no model materiałowy stali zbrojeniowej sprężysto- plastyczny o identycznych charakterystykach przy rozciąganiu i ściskaniu (rys. 2).

(3)

Piotr Smarzewski

Rys. 2. Wykres naprężenie-odkształcenie stali zbrojeniowej zastosowany w analizach numerycznych

Płyty stalowe usytuowane w miejscach podparcia i przyłożenia siły skupionej modelowano jako materiał liniowo-sprężysty.

3. METODY NUMERYCZNE ROZWIĄZANIA ZADANIA

3.1. METODA NEWTONA-RAPHSONA

W nieliniowych zagadnieniach zachowania konstrukcji żelbetowych, w celu ustalenia ścieżki równowagi, po- wszechnie wykorzystywana jest metoda Newtona- Raphsona (rys. 3).

F^a

Fi nr

ui

[K ]=0^T

K^Ti

∆ui

ui+1

Fi+1 nr

ui+2 ui+3

Fi+2 nr

K^T_i+1

K^Ti+2

∆ui+1

∆ui+2

iteracja 1 iteracja 2 iteracja 3

obciążenie, F

przemieszczenie, u Rys. 3. Metoda Newtona-Raphsona

Stosowanie tej metody jest zalecane w przypadku mate- riałów o charakterystykach liniowych lub dwuliniowych, lecz okazuje się nieskuteczne w materiałach o wyższym stopniu nieliniowości. Wadą jej jest przede wszystkim brak możliwości opisu opadającej gałęzi krzywej obcią-

żenie-przemieszczenie, gdyż w punkcie zerowania macierzy sztywności stycznej analiza nie będzie zbieżna.

3.2. METODA NEWTONA-RAPHSONA ZE SPADKIEM ADAPTACYJNYM

Metoda spadku adaptacyjnego przedstawiona w pracy Eggerta i in. [3] polega na zmianie ścieżki rozwiązania w pobliżu punktu granicznego i poruszaniu się wstecz wzdłuż siecznej, aż do szybkiego uzyskania zbieżności rozwiązania numerycznego. Macierz sztywności jest opisana jako suma dwóch macierzy:

[ ] [ ] K

^Ti

=ξ K + 1-ξ K

^S

( ) [ ]

^T , (1)

[ ] ^K

^S - macierz sztywności siecznej,

[ ] ^K

^T - macierz sztywności stycznej,

ξ

- parametr spadku adaptacyjnego.

Metoda polega na uzgodnieniu parametru spadku adaptacyjnego

ξ

podczas iteracji równowagi.

3.3. METODA CRISFIELDA

W celu ustalenia krzywej obciążenie-przemieszczenie wykazującej globalne osłabienie konstrukcji zastosowano metodę długości łuku, rys. 4.

W metodzie numerycznej równanie podstawowe uzależ- nione jest od zmiennego parametru obciążenia

λ

:

[ ] K

^Ti

{ Δu =λ F

i

} { } { }

^a

- F

i^nr . (2)

u0 ∆u1

∆u2

∆u3

∆l łukowa powierzchnia

ograniczająca ścieżka równowagi

nowy punkt zbieżności

∆λ₁F^a

iteracja 1 (u , F )1λ1 ^a

obciążenie, Fλ

∆λ₂F^a∆λ3F^a

iteracja 2 (u , 2λ2F )^a iteracja 3 (u , F )3 λ3 ^a

λ0F^a

K^Ti

F1

nr F3

nr

∆λ

∆u1 II

∆λ∆u1 I

poprzedni punkt zbieżności (u , F )0λ0^a

przemieszczenie, u

Rys. 4. Metoda długości łuku [2]

W pracy Smarzewskiego [6] przeprowadzono weryfikację metody długości łuku na przestrzennych modelach belek żelbetowych przy uwzględnieniu osłabienia odkształce- niowego przy ściskaniu i rozciąganiu. Zastosowanie tej metody pozwala na uzyskanie kompletnej ścieżki obcią-

(4)

żenie-przemieszczenie i na opis mechanizmów zniszcz nia belek żelbetowych.

4. DOŚWIADCZENIA NUMERYCZNE

BELEK ŻELBETOWYCH

W numerycznych modelach przestrzennych belek żelbetowych z betonu o wysokiej wytrzymałości przyj to wymiary elementów oraz właściwości materiałów belek prostokątnych BP-1a, BP-1b w pracy Kamińskiej [4] (rys. 5).

2φ10

3000

9 x 100 7 x 200

blacha stalowa 80 x 150 x 20

1400 800

800

BP-1a

F F

9 x 100

300

200 200

strzemiona φ6 2φ10

3000 9 x 100

blacha stalowa 80 x 150 x 20

1400 800

800

BP-1b

F F

9 x 100

300

200 200

blacha stalowa 80 x 150 x 20 strzemiona φ6

Rys. 5. Wymiary i przekrój poprzeczny belek BP układem zbrojenia i schematem obciążenia Uwzględniając podłużną symetrię elementów,

wano ½ belki o długości 1700 mm, szerokości 150 mm i wysokości 300 mm.

5. WYNIKI DOŚWIADCZEŃ NUMERYCZNYCH

5.1. ANALIZA STANU ZARYSOWANIA

Zestawienie obrazu rzeczywistego zarysowania całej belki z numerycznym obrazem rys rozmytych jej lewej połowy przy tym samym obciążeniu F

pokazano na rys. 6.

Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptacyjnym [N-R ad]

Metoda długości łuku Crisfielda [A-L]

ieszczenie i na opis mechanizmów zniszcze-

BELEK ŻELBETOWYCH

W numerycznych modelach przestrzennych belek żelbetowych z betonu o wysokiej wytrzymałości przyję- to wymiary elementów oraz właściwości materiałów jak

1b w pracy Kamińskiej

300300 300

φ 6

2φ10

20 280

150 2φ10

Rys. 5. Wymiary i przekrój poprzeczny belek BP-1 wraz z

podłużną symetrię elementów, modelowano ½ belki o długości 1700 mm, szerokości 150 mm i

WYNIKI DOŚWIADCZEŃ

ANALIZA STANU ZARYSOWANIA

Zestawienie obrazu rzeczywistego zarysowania całej numerycznym obrazem rys rozmytych jej lewej samym obciążeniu F = 23 kN

Raphsona ze spadkiem adaptacyjnym

Metoda Newtona-Raphsona ze spadkiem adaptacyjnym [N-R ad]

Metoda długości łuku Crisfielda [A

Rys. 6. Eksperymentalny i numeryczny belek BP-1 przy F = 23 kN

Otrzymane wyniki numeryczne obszarów zarysowanych są jakościowo zgodne co do usytuowania, kierunku i koncentracji z wynikami doświadczalnymi, przy czym zaobserwowano nieznacznie wi

kierunku podpory w przypadku wyników numerycznych.

Zarówno w belkach modelowych, jak i doświadczalnych o niskim stopniu zbrojenia BP

zginania układ głównych rys dokładnie pokrywa się z układem strzemion. Numeryczn

tych uzyskane przy wykorzystaniu metody długości łuku Crisfielda najlepiej odzwierciedlają rzeczywisty obraz zarysowania. Niedokładności w obszarach rys, związane z ich znacznym zagęszczeniem, można pra dopodobnie wyeliminować poprzez re

go kroku przyrostu obciążenia.

5.2. ANALIZA NOŚNOŚCI I STANU PRZEMIESZCZENIA

Porównania nieliniowych zależności obciążenie przemieszczenie otrzymane w analizach numerycznych i doświadczeniach zilustrowano na rys. 7. Drobne różnice dotyczą wartości obciążenia rysującego i fazy powstania uplastycznienia stali zbrojeniowej. Na wykresie obciąż nie-przemieszczenie faza uplastycznienia zbrojenia opisana jest standardowo, przez nagłe zmniejszenie sztywności belki. Zastosowane metody przyrostowo iteracyjne: technika ustalania spadku adaptacyjnego (N R ad – adaptive descent), jak i długości łuku Crisfielda (A-L – arc-length) dają zadowalające wyniki numeryc ne, jakościowo zgodne z wynikami eksperymentów.

Raphsona ze spadkiem adaptacyjnym

Metoda długości łuku Crisfielda [A-L]

6. Eksperymentalny i numeryczny obraz zarysowania

Otrzymane wyniki numeryczne obszarów zarysowanych są jakościowo zgodne co do usytuowania, kierunku i koncentracji z wynikami doświadczalnymi, przy czym zaobserwowano nieznacznie większe obszary rys w kierunku podpory w przypadku wyników numerycznych.

Zarówno w belkach modelowych, jak i doświadczalnych o niskim stopniu zbrojenia BP-1a na odcinku czystego zginania układ głównych rys dokładnie pokrywa się układem strzemion. Numerycznie obrazy rys rozmytych uzyskane przy wykorzystaniu metody długości łuku Crisfielda najlepiej odzwierciedlają rzeczywisty obraz zarysowania. Niedokładności w obszarach rys, związane z ich znacznym zagęszczeniem, można praw- dopodobnie wyeliminować poprzez redukcję minimalne-

ANALIZA NOŚNOŚCI I STANU

Porównania nieliniowych zależności obciążenie- przemieszczenie otrzymane w analizach numerycznych i doświadczeniach zilustrowano na rys. 7. Drobne różnice wartości obciążenia rysującego i fazy powstania uplastycznienia stali zbrojeniowej. Na wykresie obciąże-

przemieszczenie faza uplastycznienia zbrojenia opisana jest standardowo, przez nagłe zmniejszenie sztywności belki. Zastosowane metody przyrostowo-

eracyjne: technika ustalania spadku adaptacyjnego (N- adaptive descent), jak i długości łuku Crisfielda

length) dają zadowalające wyniki numerycz- jakościowo zgodne z wynikami eksperymentów.

(5)

Piotr Smarzewski

BP-1a Metoda N-R ad

0 40 80 120 160 200

0 4 8 12 16 20 24 28 32

F[kN]

u_d [mm]

MES

Kamińska

Metoda A-L

0 40 80 120 160 200

0 4 8 12 16 20 24 28 32

F[kN]

u_d [mm]

MES Kamińska

BP-1b Metoda N-R ad

0 40 80 120 160 200

0 4 8 12 16 20 24 28 32

F[kN]

u_d [mm]

Kamińska MES

Metoda A-L

0 40 80 120 160 200

0 4 8 12 16 20 24 28 32

F[kN]

u_d [mm]

Kamińska MES

Rys. 7. Porównanie zależności przemieszczenia pionowego w środku belki od obciążenia

Ostatnio przeprowadzane badania belek żelbetowych [5]

dowodzą, że skutki pęknięć belki w strefie rozciąganej nie są kompensowane przez sprężyste właściwości stali i plastyczność betonu w strefie ściskanej. W związku z tym na krzywej zależności obciążenie-ugięcie obserwowane są efekty osłabienia w postaci gwałtownych spad- ków obciążenia. Takie efekty w obliczeniach numerycznych uzyskano przy zastosowaniu szybkozbieżnego algorytmu obliczeniowego Crisfielda umożliwiającego wygenerowanie kompletnej ścieżki rozwiązania z lokalnymi spadkami sztywności i globalnym osłabie- niem konstrukcji.

6. WNIOSKI Z DOŚWIADCZEŃ NUMERYCZNYCH

Schematy zarysowania uzyskane w rozwiązaniu numerycznym jakościowo dobrze odpowiadają opisom mechanizmu zniszczenia w belkach doświadczalnych. Model rysy rozmytej jest więc odpowiednim modelem numerycznym do opisu mechanizmu zniszczenia. Ponadto jest on przydatny w sytuacji, gdy wymagane jest dokładne ustalenie ugięcia elementu konstrukcyjnego przy zada- nym obciążeniu.

Zachowanie numerycznych modeli belek żelbetowych, opisywane zależnością obciążenie-ugięcie w środku rozpiętości, wskazuje na bardzo dobrą zgodność z wynikami doświadczalnymi w całym zakresie obciążenia.

Różnice pomiędzy obciążeniami granicznymi uzyskany- mi w obliczeniach numerycznych a wynikami doświad- czalnymi nie przekraczają 5%. Najmniejszy rozrzut wyników jest charakterystyczny w belkach rozwiązywa- nych metodą długości łuku Crisfielda.

Modelowanie płyt stalowych w miejscach podparcia i przyłożenia obciążeń skupionych odzwierciedla rzeczy-

(6)

wiste warunki brzegowe i jest podstawowym czynnikiem zapewniającym zgodność wyników numerycznych z wynikami doświadczalnymi. W wyniku uwzględnienia nieliniowych efektów geometrycznych w belkach żelbe- towych otrzymano dalszą poprawę jakościową wyników numerycznych, wyraźnie dostrzegalną w fazie po upla- stycznieniu stali zbrojeniowej.

Pozytywnie zweryfikowano przydatność zastosowania metody długości łuku w analizach przestrzennych modeli belek żelbetowych. Uzyskano kompletne ścieżki obciążenie-przemieszczenie wykazujące potwierdzone doświadczalnie lokalne osłabienie konstrukcji żelbetowej i ciągliwy opis zniszczenia belek charakterystyczny przy niskim stopniu zbrojenia.

Literatura

1. Comité Euro-Internacional du Beton. CEB-FIP Model Code 1990, Bulletin d’information, No. 213/214, Lau- sanne, May, 1993.

2. Crisfield M.A.: An arc-length method including line searches and accelerations. “International Journal for Nu- merical Methods in Engineering” 1983, Vol. 19, p. 1269-1289.

3. Eggert G.M., Dawson P.R., Mathur K.K.: An adaptive descent method for nonlinear viscoplasticity. “ Interna- tional Journal for Numerical Methods in Engineering” 1991, Vol. 31, p. 1031-1054.

4. Kamińska M.E.: Doświadczalne badania żelbetowych elementów prętowych z betonu wysokiej wytrzymałości.

Łódź: KILiW, PAN, 1999.

5. Rashid M.A., Mansur M.A.: Reinforced high-strength concrete beams in flexure. ACI „Structural Journal” 2005, Vol. 102, No. 3, p. 462-471.

6. Smarzewski P.: Modelowanie mechanizmu zniszczenia belek żelbetowych z betonu wysokiej wytrzymałości. Praca doktorska. Politechnika Lubelska 2008.

7. Willam K.J., Warnke E.P.: Constitutive model for the triaxial behavior of concrete. In: Proceedings Internation- al Association for Bridge and Structural Engineering. Bergamo, Italy, 1975. ISMES Vol. 19, p. 1975, 1-30