21.1.2020, kl 2b Funkcje arytmetyczne
Przez funkcję arytmeytczną przyjęło się nazywać dowolną funkcję f : N → C, która wyraża pewne własności arytmetyczne liczb naturalnych.
Definicja. Funkcję f : N → C nazywamy multiplikatywną, jeśli f (1) = 1 i f (m · n) = f (m) · f (n)
dla wszystkich m, n ∈ N takich, że (m, n) = 1.
Przykłady: funkcja Eulera φ, 1 : n 7→ 1, Id : n 7→ n, dla wszystkich n ∈ N.
Niech
σ(n) = suma dzielników liczby n, τ (n) = liczba dzielników liczby n.
Zadanie 1. Udowodnij, że funkcja
σk(n) =X
d|n
dk
jest multiplikatywna. Wywnioskuj, że funkcje σ i τ są arytmetyczne.
Zadanie 2. Niech n = pα11· pα22· . . . pαkk. Uzasadnij, że τ (n) = (α1+ 1)(α2+ 1) · . . . · (αk+ 1), σ(n) =
k
Y
i=1
pαii+1− 1 pi− 1 .
Zadanie 3. Udowodnij, że jeśli τ (n) jest liczbą nieparzystą, to n jest kwa- dratem liczby naturalnej.
Zadanie 4. Udowodnij, że
n
X
k=1
τ (k) =
n
X
k=1
jn k k
.
Zadanie 5. Udowodnij, że
X
d|n
τ (d)3=
X
d|n
τ (d)
2
.
Zadanie 6. Sprawdź, że jeśli funkcja f : N → C jest multiplikatywna, to funkcja g dana wzorem
g(n) =X
d|n
f (d)
też jest multiplikatywna.
Definicja. Liczbę n ∈ N nazywa się doskonałą jeśli jest sumą swoich dzielni- ków mniejszych od n, czyli gdy σ(n) = 2n. Liczbami doskonałymi są 6, 28, 496.
Zadanie 7. Udowodnij, że jeśli liczby p i 2p − 1 są pierwsze, to liczba n = 2p−1(2p− 1) jest doskonała.
Zadanie 8. Czy liczba 210(211− 1) jest doskonała?
Zadanie 9. Udowodnij, że liczba n ∈ N jest doskonała wtedy i tylko wtedy, gdy σ−1(n) = 2
Zadanie 10. Udowodnij, że jeśli σ(n) = 2n + 1, to n jest kwadratem liczby nieparzystej.
Definicja. Splotem funkcji arytmetycznych f, g nazywamy funcję f ∗ g daną wzorem
f ∗ g(n) = X
d1,d2 d1·d2=n
f (d1)g(d2).
Definicja (Funkcja Möbiusa µ). µ(n) = (−1)k, jeśli n jest iloczynem k róż- nych liczb pierwszych; µ(1) = 1 oraz µ(n) = 0 w pozostałych przypadkach.
Zadanie 11. Uzasadnij, że splot funkcji multiplikatywnych jest funkcją mul- tiplikatywną oraz (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).
Zadanie 12. Uzasadnij, że
(a) 1 ∗ 1 = τ , (b) 1 ∗ Id = σ, (c) φ = Id ∗ µ.
Zadanie 13. Znajdź taką funkcję arytmetyczną e, że dla dowolnej funkcji arytmetycznej f mamy f ∗ e = f .
Zadanie 14. Udowodnij, że jeśli g(n) = P
d|nf (d), to f (n) = P
d|nµ(d)g(n/d).
Zadanie 15. Uzasadnij, że (a) P
d|nµ(d)/d = ϕ(n)/n (b) P
d1,d2,d3, d1·d2·d3=n
µ(d1) · d2= n.
