Cwiczenia nr 6, GAL I.2, 3.4.2020 Przestrzenie euklidesowe II
Zadanie 1. Niech A = {α1, . . . , αn} – baza V , M (ξ, A) = [ξ(αi, αj)] — macierz funkcjonału dwuliniowego, symetrycznego ξ ∈ L2(V ). Uzasanij, że
(a) ξ(v, w) = (v)AM (ξ, A)(w)TA,
(b) M (ξ, st) =M (id)AstT M (ξ, A)M (id)Ast
Zadanie 2. Niech (Rn, h·, ·i) będzie przestrzenią euklidesową, α1, α2 ∈ Rn takie, że kα1k =√
3, kα2k =√
6, kα1− α2k =√ 7.
Oblicz pole równoległoboku R(0; α1, α2) = {t1α1+ t2α2 : t1, t2 ∈ [0, 1]}.
Zadanie 3. Oblicz objętość równoległościanu
R :
1 ¬ x1+ 2x2 ¬ 3 0 ¬ x1+ x3 ¬ 1
−1 ¬ x2− x3 ¬ 0.
Zadanie 4. Niech ξ ∈ L2(R3),
M (ξ) =
1 1 0 1 2 0 0 0 3
Uzasadnij, że ξ jest iloczynem skalarnym. Niech a1 = (1, 0, 0), a2 = (0, 1, 0), a3 = (0, 0, 1).
Oblicz kąt zorientowany przy wierzchołku a1, ](a0− a1, a2− a1).
Zadanie 5. Niech A = (e1 + e2, e2 + e3, e3), B = (e1 − e2 + e3, e2 + e3, e1 + e2). Czy A, B są zgodnie zorientowane? A A i st?
Zadanie 6. Niech A = (−1, 2, 3), B = (0, 0, 0), C = (−2, 1, −1). Zastosuj iloczyn wektorowy do obliczenia pola trójkąta 4ABC.
Zadanie 7. Niech α1 = (1, 2, −1), α2 = (−2, 1, 0), α3 = (−2, 3, 1). Wyznacz wszystkie wektory β ∈ R3 takie, że α1× β = α2 oraz α3· β = 3.
Zadanie 8. Uzasadnij, że (a) α · (α × β) = 0,
(b) kαk2· kβk2 = (α · β)2+ kα × βk2,
(c) α1× (α2× α3) = (α1 · α3)α2− (α1· α2)α3,
(d) (α1× α2) × α3+ (α2 × α3) × α1+ (α3× α1) × α2 = 0, (e) (α1× α2) × (α3× α4) = hα1 × α3, α4iα2− hα2× α3, α4iα1.
Zadanie 9. Znajdź iloczyn wektorowy (1, 1, 1) ×ξ(1, 0, 0) w przestrzeni euklidesowej (R3, ξ), gdzie
M (ξ) =
1 −1 0
−1 3 0
0 0 1
Zadanie 10. Niech α = (1, 2, 0).
(a) Opisz wszystkie wektory β ∈ R3 spełniające α × (α × β) = β.
(b) Udowodnij, ze gdy β ∈ R3, to α = β × (α × β) wtedy i tylko wtedy, gdy α ⊥ β i β = 1.
2
