Wykazać, że ]OAK = 45◦

(1)

Trzecie zawody indywidualne

grupa pierwszoklasistów wtorek, 28 września 2004

31. We wnetrzu trójk_, ata równobocznego o boku 12 wybrano 300 punktów. Udowodnić, że_, istnieja wśród nich trzy, tworz_, ace trójk_, at (być może zdegenerowany) o obwodzie niewi_, ekszym_, niż 3.

32. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie x i y takie, że liczby x²+ y i y²+ x sa_, kwadratami liczb całkowitych.

33. W kwadracie ABCD na boku BC obrano dowolny punkt K. Okrag opisany na trójk_, acie_, AKC ma środek w O. Wykazać, że ]OAK = 45^◦.

34. Na bokach AB, BC, CD i DA kwadratu ABCD o boku 1 obrano odpowiednio punkty K, L, M, N. Wykazać, że obwód czworokata KLMN jest niewi_, ekszy niż 2_, √

2.

35. Znaleźć wszystkie funkcje f : R → R spełniajace dla wszystkich x, y ∈ R równość_, f (x + y) = f (x²) + f (y²).

314. Joasia napisała ciag n_, ²+1 różnych liczb całkowitych. Wykazać, że istnieje w tym ciagu_, podciag monotoniczny (tj. rosn_, acy b_, adź malej_, acy) długości n + 1._,

1

(2)

grupa młodsza wtorek, 28 września 2004

32. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie x i y takie, że liczby x²+ y i y²+ x sa_, kwadratami liczb całkowitych.

33. W kwadracie ABCD na boku BC obrano dowolny punkt K. Okrag opisany na trójk_, acie_, AKC ma środek w O. Wykazać, że ]OAK = 45^◦.

2.

35. Znaleźć wszystkie funkcje f : R → R spełniajace dla wszystkich x, y ∈ R równość_, f (x + y) = f (x²) + f (y²).

36. Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a i b zachodzi nierówność a⁵+ a³b² + a²b³+ b⁵  2(a⁴b + ab⁴).

2

(3)

grupa starsza wtorek, 28 września 2004

2.

37. Okregi ω_, ₁ i ω₂ wpisane sa w k_, at o wierzchołku w P . Okr_, ag ω jest styczny zewn_, etrznie do_, okregów ω_, ₁ i ω₂ odpowiednio w punktach A i B. Wykazać, że punkty P , A i B sa współliniowe._, 38. Niech F_n bedzie ci_, agiem zdefiniowanym nast_, epuj_, aco: F_, ₀ = 0, F₁ = 1, F_n+1 = F_n+ F_n−1 dla n = 1, 2, . . .. Niech a, b ∈ Z⁺. Wykazać, że¹

NW D(F_a, F_b) = F_{N W D(a,b)}.

39. Dana jest liczba całkowita n > 2. Wyznaczyć najmniejsza liczb_, e rzeczywist_, a H i naj-_, wieksz_, a liczb_, e rzeczywist_, a h takie, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x_, 1, x2, . . . , xn

zachodzi nierówność

h ¬ x1

x₁+ x₂ + x2

x₂+ x₃ + . . . + xn−1

x_n−1+ x_n + xn

x_n+ x₁ ¬ H.

314. Joasia napisała ciag n_, ²+1 różnych liczb całkowitych. Wykazać, że istnieje w tym ciagu_, podciag monotoniczny (tj. rosn_, acy b_, adź malej_, acy) długości n + 1._,

1Wzór, który jest teza tego zadania, można znaleźć w niektórych tablicach. Powołanie si_, e na tablice nie jest_, rozwiazaniem zadania._,

3

(4)

grupa najstarsza wtorek, 28 września 2004

39. Dana jest liczba całkowita n > 2. Wyznaczyć najmniejsza liczb_, e rzeczywist_, a H i naj-_, wieksz_, a liczb_, e rzeczywist_, a h takie, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x_, ₁, x₂, . . . , x_n zachodzi nierówność

h ¬ x₁ x1+ x2

+ x₂ x2+ x3

+ . . . + x_n−1 xn−1+ xn

+ x_n xn+ x1

¬ H.

310. Ciag a_, ₁, a₂, a₃, . . . spełnia warunek a_n+m ¬ a_n + a_m dla każdych liczb całkowitych dodatnich n i m. Wykazać, że dla każdym n, m ∈ Z⁺ zachodzi nierówność

a_n¬ ma₁+

n m − 1

a_m.

311. k-ta liczb_, a Fermata nazywamy F_, k = 2²^k + 1. Niech n > 0 bedzie liczb_, a całkowit_, a._, Wykazać, że jeśli

Fn | 3^Fn−1² + 1, to liczba F_n jest pierwsza.

312. Niech H bedzie ortocentrum trójk_, ata ostrok_, atnego ABC. Okr_, egi opisane na trójk_, atach_, BCH, ACH i ABH maja środki odpowiednio w punktach O_, ₁, O₂ i O₃. Wykazać, że proste AO1, BO2 i CO3 przecinaja si_, e w jednym punkcie._,

313. Punkt X leży wewnatrz lub na brzegu trójk_, ata ABC, w którym k_, at C jest prosty._, Punkty P , Q i R sa odpowiednio rzutami punktu X na boki BC, CA i AB. Udowodnić, że_, równość

AR · RB = BP · P C + AQ · QC zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt X leży na boku AB.

4