Transformata Laplace'a

Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa

Transformata Laplace'a

Dla odpowiednio okre±lonej klasy funkcji zdeniujemy operator L, nazywany transformat¡ Lapla- ce'a, okre±lony wzorem

L[ f ](s) =

∞

Z

0

f (t)e^−stdt.

Funkcje, dla których powy»sza caªka niewªa±ciwa jest dobrze okre±lona i zbie»na nazywamy orygi- naªami. Formalna denicja jest nast¦puj¡ca:

Denicja

Oryginaªem nazywamy funkcj¦ f : R → R speªniaj¡c¡ warunki:

1. f(t) = 0 dla t < 0,

2. na ka»dym przedziale [ 0, T ] funkcja f ma sko«czon¡ liczb¦ punktów nieci¡gªo±ci pierwszego rodzaju,

3. istniej¡ staªe C ∈ R oraz M > 0 takie, »e dla ka»dego t ≥ 0 zachodzi

|f (t)| ≤ M e^Ct. Uwaga

1. W niniejszym wykªadzie b¦dziemy si¦ posªugiwa¢ wyªacznie oryginaªami. Przykªadowo, nawet pisz¡c f(t) = sin t, b¦dziemy mie¢ na my±li funkcj¦, która dla t nieujemnych jest równa sin t, a dla ujemnych przyjmuje warto±¢ 0.

2. Zauwa»my, »e ostani warunek w denicji oryginaªu zapewnia nam zbie»no±¢ caªki niewªa±ciwej

∞

Z

0

f (t)e^−stdtdla s > C. Zachodzi

0 ≤ |f (t)| e^−st= |f (t)| e^−Cte^(C−s)t≤ M e^Cte^−Cte^(C−s)t= M e^(C−s)t, a poniewa» C − s < 0 zatem

∞

Z

0

e^(C−s)tdtjest zbie»na, a z kryterium porównanczego wnioskujemy,

»e bezwzgl¦dnie zbie»na jest caªka

∞

Z

0

f (t)e^−stdt.

Denicja

Dla funkcji f b¦d¡cej oryginaªem deniujemy funkcj¦ L[ f ] wzorem

L[ f ](s) =

∞

Z

0

f (t)e^−stdt.

Caªka ta jest dobrze okre±lona dla s > C, gdzie C jest staª¡ z denicji oryginaªu. Transformata Laplace'a to przyporz¡dkowanie f 7→ L[ f ].

Uwaga B¦dziemy pisa¢ L[ f(t) ](s), zamiast L[ f ](s), gdy b¦dziemy chcieli si¦ odnie±¢ do prze- ksztaªce« na argumencie oryginaªu albo gdy b¦dziemy zapisywa¢ wzór funkcji explicite, np. L[ sin t ](s).

Przykªady

1. Obliczymy transformat¦ Laplace'a funkcji Heaviside'a 1(t) =

(1, gdy t ≥ 0, 0, gdy t < 0.

L[ 1(t) ](s) =

∞

Z

0

e^−stdt = lim

T →∞

T

Z

0

e^−stdt = lim

T →∞



−e^−st s

^T

t=0

=1

s, s > 0.

2. Podobnie, dla f(t) = e^αt mamy

L[ e^αt](s) =

∞

Z

0

e^(α−s)tdt = 1

s − α, s > α.

3. Dla f(t) = t mamy

L[ t ](s) =

∞

Z

0

te^−stdt = lim

T →∞

 −te^−st s +e^−st

s²

^T

0

= 1

s², s > 0.

Transformaty wa»nych funkcji

f (t) L[ f ](s)

1(t) 1

s, s > 0

e^αt 1

s − α, s > α

tⁿ n!

sⁿ⁺¹

sin βt β

s²+ β²

cos βt s

s²+ β²

tⁿe^αt n!

(s − α)ⁿ⁺¹

Twierdzenie Transformata Laplace'a ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:

1. L[ f + g ](s) = L[ f ](s) + L[g](s) oraz L[cf](s) = cL[ f ](s) (liniowo±¢), 2. je±li g(t) = f(αt), to L[ g ](s) = 1

αL[ f ]s

α (skalowanie), co b¦dziemy te» zapisywa¢ jako

L[ f (αt) ](s) = 1

αL[ f (t) ]s α

 , 3. L[ e^atf (t) ](s) = L[ f (t) ](s − a)(przesuni¦cie argumentu obrazu),

4. L[ f(t − τ) ](s) = e^−sτL[ f (t) ](s)(przesuni¦cie argumentu oryginaªu), 5. L[ tⁿf (t) ](s) = (−1)ⁿ(L[ f ])⁽ⁿ⁾(s)(ró»niczkowanie obrazu),

Przykªad Niech f(t) = te^t. Wtedy

L[ te^t](s) = −L[ e^t]
0

(s) =



− 1 s − 1

0

= 1

(s − 1)². Twierdzenie (o jednoznaczno±ci transformaty)

Je±li funkcje ci¡gªe f i g maj¡ takie same transformaty, to s¡ sobie równe.

Przykªad Wyznaczy¢ funkcj¦, dla której transformat¡ Laplace'a jest funkcja s − 9 s²+ 9. L[ f (t) ](s) = s − 9

s²+ 9 = s

s²+ 9 − 3 · 3

s²+ 9 = L[ cos 3t ](s) − 3L[ sin 3t ](s) = L[ cos 3t − 3 sin 3t ](s).

St¡d f(t) = cos 3t − 3 sin 3t.

Metoda operatorowa

Wa»nym przykªadem zastosowaniem transformaty Laplace'a s¡ równania ró»niczkowe.

Niech f(0+) = lim

t→0⁺f (t). Wtedy zachodzi nast¦puj¡ca wªasno±¢ dotycz¡ca pochodnej transforma- ty:

L[ f⁰](s) = sL[ f ](s) − f (0+)

L[ f⁰⁰](s) = s²L[ f ](s) − sf (0+) − f⁰(0+)

L[ f⁰⁰⁰](s) = s³L[ f ](s) − s²f (0+) − sf⁰(0+) − f⁰⁰(0+) ...

L[ f⁽ⁿ⁾](s) = sⁿL[ f ](s) −

n

X

k=1

s^n−kf^(k−1)(0+)

Metoda operatorowa polega na wykorzystaniu tego wzoru do przeksztaªcenia równania ró»nicz- kowego w zwykªe równanie algebraiczne, rozwi¡zania tego równania i wyznaczenia transformaty Laplace'a, a nast¦pnie na odszyfrowaniu transformaty celem otrzymania rozwi¡zania równania ró»niczkowego.

Przykªady Rozwi¡za¢ podane równiania ró»niczkowe:

1.

y⁰+ y = sin t, z warunkiem pocz¡tkowym y(0) = 0.

Je±li obie strony równania s¡ równe, to równie» ich transformaty s¡ równe. Oznaczmy przez Y (s) = L[y](s)transformat¦ funkcji y. Wtedy

L[y⁰+ y](s) = L[sin t](s) L[y⁰](s) + L[y](s) = sY (s) + Y (s) = 1

s²+ 1.

St¡d

Y (s) = 1

(s + 1)(s²+ 1) =1 2

 1

s²+ 1 − s

s²+ 1 + 1 s + 1

 , a poniewa»

L[ sin t ] = 1

s²+ 1, L[ cos t ] = s

s²+ 1, L[ e^−t] = 1 s + 1, st¡d z jednoznaczno±ci transformaty Laplace'a otrzymujemy

y(t) = 1

2 sin t − cos t + e^−t
. 2.

y⁰⁰+ y = 0z warunkiem pocz¡tkowym y(0) = y⁰(0) = 1.

Analogicznie jak poprzednio, mamy

s²Y (s) − sy(0) − y⁰(0) + Y (s) = 0 ⇐⇒ s²Y (s) − s − 1 + Y (s) = 0, Y (s) = s + 1

s²+ 1 = s

s²+ 1+ 1 s²+ 1. St¡d L[ y(t) ] = L[ cos t ] + L[ sin t ] = L[ cos t + sin t ], zatem

y(t) = cos t + sin t.

Transformacja Laplace'a splotu funkcji

Denicja

Splotem funkcji nazywamy caªk¦

(f ∗ g)(x) =

∞

Z

−∞

f (t)g(x − t) dt.

Fakt

Dla funkcji ci¡gªych splot jest operacj¡

1. przemienn¡, tzn. f ∗ g = g ∗ f, 2. ª¡czn¡, tzn. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),

3. rozdzieln¡ wzgl¦dem dodawania, tzn. f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h.

Uwaga

Zauwa»my, »e je±li f i g s¡ oryginaªami, to dla t < 0 mamy f(t) = g(t) = 0, zatem zachodzi

(f ∗ g)(x) =

x

Z

0

f (t)g(x − t) dt.

Twierdzenie

L[ f ∗ g ](s) = L[ f ](s) · L[ g ](s)

Przykªad Niech L[ f(t) ](s) = 1

s²(s + 2) = 1 s² · 1

s + 2. Poniewa»

1

s² = L[ t ](s) oraz 1

s + 2= L[e^−2t](s), zatem

f (t) = t ∗ e^−2t=

∞

Z

−∞

u · e^−2(t−u)du =

t

Z

0

u · e^−2(t−u)du = 1

4(2t − 1) +1 4e^−2t.