Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Transformata Laplace'a
Dla odpowiednio okre±lonej klasy funkcji zdeniujemy operator L, nazywany transformat¡ Lapla- ce'a, okre±lony wzorem
L[ f ](s) =
∞
Z
0
f (t)e−stdt.
Funkcje, dla których powy»sza caªka niewªa±ciwa jest dobrze okre±lona i zbie»na nazywamy orygi- naªami. Formalna denicja jest nast¦puj¡ca:
Denicja
Oryginaªem nazywamy funkcj¦ f : R → R speªniaj¡c¡ warunki:
1. f(t) = 0 dla t < 0,
2. na ka»dym przedziale [ 0, T ] funkcja f ma sko«czon¡ liczb¦ punktów nieci¡gªo±ci pierwszego rodzaju,
3. istniej¡ staªe C ∈ R oraz M > 0 takie, »e dla ka»dego t ≥ 0 zachodzi
|f (t)| ≤ M eCt. Uwaga
1. W niniejszym wykªadzie b¦dziemy si¦ posªugiwa¢ wyªacznie oryginaªami. Przykªadowo, nawet pisz¡c f(t) = sin t, b¦dziemy mie¢ na my±li funkcj¦, która dla t nieujemnych jest równa sin t, a dla ujemnych przyjmuje warto±¢ 0.
2. Zauwa»my, »e ostani warunek w denicji oryginaªu zapewnia nam zbie»no±¢ caªki niewªa±ciwej
∞
Z
0
f (t)e−stdtdla s > C. Zachodzi
0 ≤ |f (t)| e−st= |f (t)| e−Cte(C−s)t≤ M eCte−Cte(C−s)t= M e(C−s)t, a poniewa» C − s < 0 zatem
∞
Z
0
e(C−s)tdtjest zbie»na, a z kryterium porównanczego wnioskujemy,
»e bezwzgl¦dnie zbie»na jest caªka
∞
Z
0
f (t)e−stdt.
Denicja
Dla funkcji f b¦d¡cej oryginaªem deniujemy funkcj¦ L[ f ] wzorem
L[ f ](s) =
∞
Z
0
f (t)e−stdt.
Caªka ta jest dobrze okre±lona dla s > C, gdzie C jest staª¡ z denicji oryginaªu. Transformata Laplace'a to przyporz¡dkowanie f 7→ L[ f ].
Uwaga B¦dziemy pisa¢ L[ f(t) ](s), zamiast L[ f ](s), gdy b¦dziemy chcieli si¦ odnie±¢ do prze- ksztaªce« na argumencie oryginaªu albo gdy b¦dziemy zapisywa¢ wzór funkcji explicite, np. L[ sin t ](s).
Przykªady
1. Obliczymy transformat¦ Laplace'a funkcji Heaviside'a 1(t) =
(1, gdy t ≥ 0, 0, gdy t < 0.
L[ 1(t) ](s) =
∞
Z
0
e−stdt = lim
T →∞
T
Z
0
e−stdt = lim
T →∞
−e−st s
T
t=0
=1
s, s > 0.
2. Podobnie, dla f(t) = eαt mamy
L[ eαt](s) =
∞
Z
0
e(α−s)tdt = 1
s − α, s > α.
3. Dla f(t) = t mamy
L[ t ](s) =
∞
Z
0
te−stdt = lim
T →∞
−te−st s +e−st
s2
T
0
= 1
s2, s > 0.
Transformaty wa»nych funkcji
f (t) L[ f ](s)
1(t) 1
s, s > 0
eαt 1
s − α, s > α
tn n!
sn+1
sin βt β
s2+ β2
cos βt s
s2+ β2
tneαt n!
(s − α)n+1
Twierdzenie Transformata Laplace'a ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:
1. L[ f + g ](s) = L[ f ](s) + L[g](s) oraz L[cf](s) = cL[ f ](s) (liniowo±¢), 2. je±li g(t) = f(αt), to L[ g ](s) = 1
αL[ f ]s
α (skalowanie), co b¦dziemy te» zapisywa¢ jako
L[ f (αt) ](s) = 1
αL[ f (t) ]s α
, 3. L[ eatf (t) ](s) = L[ f (t) ](s − a)(przesuni¦cie argumentu obrazu),
4. L[ f(t − τ) ](s) = e−sτL[ f (t) ](s)(przesuni¦cie argumentu oryginaªu), 5. L[ tnf (t) ](s) = (−1)n(L[ f ])(n)(s)(ró»niczkowanie obrazu),
Przykªad Niech f(t) = tet. Wtedy
L[ tet](s) = −L[ et]0
(s) =
− 1 s − 1
0
= 1
(s − 1)2. Twierdzenie (o jednoznaczno±ci transformaty)
Je±li funkcje ci¡gªe f i g maj¡ takie same transformaty, to s¡ sobie równe.
Przykªad Wyznaczy¢ funkcj¦, dla której transformat¡ Laplace'a jest funkcja s − 9 s2+ 9. L[ f (t) ](s) = s − 9
s2+ 9 = s
s2+ 9 − 3 · 3
s2+ 9 = L[ cos 3t ](s) − 3L[ sin 3t ](s) = L[ cos 3t − 3 sin 3t ](s).
St¡d f(t) = cos 3t − 3 sin 3t.
Metoda operatorowa
Wa»nym przykªadem zastosowaniem transformaty Laplace'a s¡ równania ró»niczkowe.
Niech f(0+) = lim
t→0+f (t). Wtedy zachodzi nast¦puj¡ca wªasno±¢ dotycz¡ca pochodnej transforma- ty:
L[ f0](s) = sL[ f ](s) − f (0+)
L[ f00](s) = s2L[ f ](s) − sf (0+) − f0(0+)
L[ f000](s) = s3L[ f ](s) − s2f (0+) − sf0(0+) − f00(0+) ...
L[ f(n)](s) = snL[ f ](s) −
n
X
k=1
sn−kf(k−1)(0+)
Metoda operatorowa polega na wykorzystaniu tego wzoru do przeksztaªcenia równania ró»nicz- kowego w zwykªe równanie algebraiczne, rozwi¡zania tego równania i wyznaczenia transformaty Laplace'a, a nast¦pnie na odszyfrowaniu transformaty celem otrzymania rozwi¡zania równania ró»niczkowego.
Przykªady Rozwi¡za¢ podane równiania ró»niczkowe:
1.
y0+ y = sin t, z warunkiem pocz¡tkowym y(0) = 0.
Je±li obie strony równania s¡ równe, to równie» ich transformaty s¡ równe. Oznaczmy przez Y (s) = L[y](s)transformat¦ funkcji y. Wtedy
L[y0+ y](s) = L[sin t](s) L[y0](s) + L[y](s) = sY (s) + Y (s) = 1
s2+ 1.
St¡d
Y (s) = 1
(s + 1)(s2+ 1) =1 2
1
s2+ 1 − s
s2+ 1 + 1 s + 1
, a poniewa»
L[ sin t ] = 1
s2+ 1, L[ cos t ] = s
s2+ 1, L[ e−t] = 1 s + 1, st¡d z jednoznaczno±ci transformaty Laplace'a otrzymujemy
y(t) = 1
2 sin t − cos t + e−t . 2.
y00+ y = 0z warunkiem pocz¡tkowym y(0) = y0(0) = 1.
Analogicznie jak poprzednio, mamy
s2Y (s) − sy(0) − y0(0) + Y (s) = 0 ⇐⇒ s2Y (s) − s − 1 + Y (s) = 0, Y (s) = s + 1
s2+ 1 = s
s2+ 1+ 1 s2+ 1. St¡d L[ y(t) ] = L[ cos t ] + L[ sin t ] = L[ cos t + sin t ], zatem
y(t) = cos t + sin t.
Transformacja Laplace'a splotu funkcji
Denicja
Splotem funkcji nazywamy caªk¦
(f ∗ g)(x) =
∞
Z
−∞
f (t)g(x − t) dt.
Fakt
Dla funkcji ci¡gªych splot jest operacj¡
1. przemienn¡, tzn. f ∗ g = g ∗ f, 2. ª¡czn¡, tzn. (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),
3. rozdzieln¡ wzgl¦dem dodawania, tzn. f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h.
Uwaga
Zauwa»my, »e je±li f i g s¡ oryginaªami, to dla t < 0 mamy f(t) = g(t) = 0, zatem zachodzi
(f ∗ g)(x) =
x
Z
0
f (t)g(x − t) dt.
Twierdzenie
L[ f ∗ g ](s) = L[ f ](s) · L[ g ](s)
Przykªad Niech L[ f(t) ](s) = 1
s2(s + 2) = 1 s2 · 1
s + 2. Poniewa»
1
s2 = L[ t ](s) oraz 1
s + 2= L[e−2t](s), zatem
f (t) = t ∗ e−2t=
∞
Z
−∞
u · e−2(t−u)du =
t
Z
0
u · e−2(t−u)du = 1
4(2t − 1) +1 4e−2t.