Elementy fizyki statystycznej
Ćwiczenia nr 3.
Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej, część 1
26 października 2016
1. Rozważ układ o stałej energii E oraz o stałej liczbie cząstek N . Oblicz liczbę możliwych mikrostanów W tego układu. Załóż, że energia układu jest liczbą naturalną i jest skwantowana ∆E = 1. Nie nakładaj żadnych ograniczeń na energię pojedynczej cząstki oraz potraktuj cząstki jako roz- różnialne.
Odpowiedź: W =
N −1+EE.
2. Ile wynosi liczba mikrostanów układu rozważanego w poprzednim zadaniu jeśli żadna cząstka nie ma energii równej zero?
Odpowiedź: W =
N −1E−1.
3. Rozważ układy N niezależnych cząstek i. klasycznych,
ii. kwantowych o spinie całkowitym (tj. bozonów), iii. kwantowych o spinie połówkowym (tj. fermionów).
Zakładając, że pojedyncza cząstka może przebywać w R stanach jedno- cząstkowych, oblicz, ile wynosi liczba mikrostanów każdego z wymienio- nych układów.
Wskazówki :
i. Zadanie to można sprowadzić do kombinatorycznego problemu rozmiesz- czania kul w pudełkach. Cząstki klasyczne należy traktować jako rozróż- nialne, natomiast kwantowe jako nierozróżnialne.
ii. Fermiony (np. elektrony) są cząstkami kwantowymi, które spełniają zakaz Pauliego, mówiący o tym, że w jednym stanie kwantowym może przebywać co najwyżej jeden fermion. Bozony (np. fotony) nie spełniają tego zakazu.
Odpowiedź: i. W = R
N, ii. W =
R−1+NN, iii. W =
NR.
4. W najprostszym modelu paramagnetyka zakłada się, że momenty ma- gnetyczne nie oddziałują ze sobą i mogą przyjmować tylko dwa kierunki:
zgodny z zewnętrznym polem magnetycznym i przeciwny po pola, tzn.
µ i = µ 0 s i , gdzie s i = ±1. Ile wynosi liczba mikrostanów paramagnetyka jeśli wiemy, że w układzie jest N momentów magnetycznych, a magnety- zacja układu w jednostkach µ 0 , wynosi M ?
Wskazówka: M = P
N i=1µ
i. Odpowiedź: W =
NN+
, gdzie N
+=
N2+
2µM0
