• Nie Znaleziono Wyników

24 listopada 2015 Szeregi liczbowe Warunek konieczny zbieżności szeregu Jeśli szereg ∞ P n=1 an jest zbieżny to lim n→∞an = 0

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "24 listopada 2015 Szeregi liczbowe Warunek konieczny zbieżności szeregu Jeśli szereg ∞ P n=1 an jest zbieżny to lim n→∞an = 0"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; I S-Ist.inż. 24 listopada 2015

Szeregi liczbowe

Warunek konieczny zbieżności szeregu Jeśli szereg

P

n=1

an jest zbieżny to lim

n→∞an = 0.

Krterium porównawcze:

Niech 0 ¬ an ¬ bn dla każdego n > n0, n0 ∈ N. Jeśli zbieżny jest szereg P

n=1

bn to zbieżny jest szereg

P

n=1

an. Jeśli

P

n=1

an = ∞ to

P

n=1

bn= ∞ Krterium d’Alamberta

Niech an ­ 0 dla n ∈ N i istnieje granica g := limn→∞an+1an ∈ [0, 1) ∪ (1, ∞]. Wówczas jeśli g ∈ [0, 1) to szeregP

n=1

an jest zbieżny. Jeśli g ∈ (1, ∞] to szereg P

n=1

an jest rozbieżny.

Krterium Cauchy’ego

Niech an­ 0 dla n ∈ N i istnieje granica g := limn→∞n

an ∈ [0, 1) ∪ (1, ∞]. Wówczas jeśli g ∈ [0, 1) to szereg

P

n=1

an jest zbieżny. Jeśli g ∈ (1, ∞] to szereg

P

n=1

an jest rozbieżny.

Uwaga: Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Alemberta – jeśli szereg spełnia wa- runek kryterium d’Alemberta, to spełnia warunek Cauchy’ego (jednakże czasami wygodniej jest zastosować kryterium d’Alemberta).

Kryterium Dirichleta:

Jeśli ciąg (an) monotonicznie dąży do zera i ciąg sum częściowych szeregu P

n=1

bn jest ograniczony to szereg

P

n=1

anbn jest zbieżny.

Kryterium Leibniza:

Jeżeli w szeregu przemiennym

P

n=1

an począwszy od pewnego miejsca (wyrazu) N bezwzględne war- tości wyrazów szeregu dążą monotonicznie do zera to szereg

P

n=1

an jest zbieżny.

Kryterium Abella:

Jeśli ciąg (an) jest monotoniczny i ograniczony oraz szereg

P

n=1

bn jest zbieżny to szereg

P

n=1

anbn jest zbieżny.

Szereg harmoniczny:

Szeregiem harmonicznym o wykładniku α ∈ R nazywamy szereg postaci

P

n=1 1

nα. Szereg ten jest zbież- ny dla α > 1.

Zbieżność bezwzględna i warunkowa szeregu:

Szereg P

n=1

annazywamy zbieżnym bezwzględnie jeśli zbieżny jest szereg P

n=1

|an|. Szereg zbieżny, któ- ry nie jest zbieżny bezwzględnie nazywamy zbieżnym warunkowo (szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny).

1

(2)

dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; I S-Ist.inż. 24 listopada 2015

1. Obliczyć sumy podanych szeregów:

(a)

P

n=1

1 2

n

(b)

P

n=1

3n (c)

P

n=1 3n−1

5n (d)

P

n=1 22n+2n

8n

(e)

P

n=1 1

(2n−1)(2n+1) (f )

P

n=1 1

n(n+1) (g)

P

n=1

 1

10n +(−1)2nn

.

2. Zbadać zbieżność szeregu

P

n=1

qn w zależności od parametru q.

3. Zbadać czy podane szeregi spełniają warunek konieczny zbieżności szeregów:

(a)

P

n=1

(−2)n (b)

P

n=1

cosn1 (c)

P

n=1 n2

n3−1 (d)

P

n=1

 n n+2

n

(e)

P

n=1

3 5

n

(f )

P

n=1 5n+2 23n−1

4. Zbadać zbieżność podanych szeregów korzystając z:

• kryterium porównawczego (a) P

n=1 n

n3+1 (b) P

n=1

tg2 1n (c) P

n=1 2n+1

3n−1 (d) P

n=1 ln(n+1)

3

n2

(e)

P

n=1 5

n2+3, (h)

P

n=1

1

n(n+1) (i)

P

n=1

1 n(n2+n)

• kryterium Cauchy’ego (a) P

n=1 n3

2n (b) P

n=1 1 n

1 + n1n

2

(c) P

n=1

 n

2n+1

n

(d) P

n=1

sinn2nπ  (e) P

n=1

n35n (f ) P

n=1

n+4 n+3

n2

(g) P

n=1

2n+1 2n+1

n

2 (h) P

n=1 2nnn2 (3n+1)n2, (i) P

n=1

1 n.

• kryterium d’Alamberta (a)

P

n=1 n5

3n (b)

P

n=1 2n−1

2n (c)

P

n=1 50n

n! (d)

P

n=1 3n 2n(2n+1)

(e) P

n=1 n2n

(2n)! (f ) P

n=1

5

2

3n+4

(d) P

n=1

5235n−4 (e) P

n=1 n n3+1,

• kryterium Leibniza (a)

P

n=1 (−1)n

3n−1 (b)

P

n=1

(−1)n n+2n2+3 (c)

P

n=1 (−2)n

n! (d)

P

n=1

(−1)n+13n−1n+2n, (e)

P

n=1

(−1)n+1n

2 − 1n,

• kryterium Dirichleta (a)

P

n=1 sin4

n

5. Zbadać zbieżność bezwzględną i warunkową podanych szeregów:

(a)

P

n=1 (−1)n

n (b)

P

n=1

(−1)n+1 n2 (c)

P

n=1

(−1)n+1 n32 (d)

P

n=1 (−1)n

n! (e)

P

n=1

(−1)n(n

n − 1)n (f ) P

n=1

(−1)n+1

ln(n+1) (g) P

n=1 sin n

n2 (h) P

n=1 cos(nπ)

4n−1 (i) P

n=1

(−1)ncos n n3n

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2020/21.. Zadania do omówienia na ćwiczeniach w

Odpowiedź: Podany szereg jest

598. Wśród poniższych sześciu szeregów wskaż szereg zbieżny, a następnie udowodnij jego zbieżność.. musi być zbieżny, a przy tym szereg spełniający podany warunek istnieje).

Zbieżność i granica nie zależą od pominięcia lub zmiany skończe- nie wielu początkowych wyrazów

Ósemką nazywamy sumę dwóch okręgów zewnętrznie stycznych, stosunek promieni których jest równy 13 19.. Zbiór E jest sumą pewnej rodziny parami

Granicę tę oznacza się

Szereg majoryzuje się szeregiem geometrycz-

będzie ciągiem niezależ- nych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie ze skończoną wartością oczekiwaną i skończoną,