dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; I S-Ist.inż. 24 listopada 2015
Szeregi liczbowe
Warunek konieczny zbieżności szeregu Jeśli szereg
∞
P
n=1
an jest zbieżny to lim
n→∞an = 0.
Krterium porównawcze:
Niech 0 ¬ an ¬ bn dla każdego n > n0, n0 ∈ N. Jeśli zbieżny jest szereg P∞
n=1
bn to zbieżny jest szereg
∞
P
n=1
an. Jeśli
∞
P
n=1
an = ∞ to
∞
P
n=1
bn= ∞ Krterium d’Alamberta
Niech an 0 dla n ∈ N i istnieje granica g := limn→∞an+1an ∈ [0, 1) ∪ (1, ∞]. Wówczas jeśli g ∈ [0, 1) to szeregP∞
n=1
an jest zbieżny. Jeśli g ∈ (1, ∞] to szereg P∞
n=1
an jest rozbieżny.
Krterium Cauchy’ego
Niech an 0 dla n ∈ N i istnieje granica g := limn→∞√n
an ∈ [0, 1) ∪ (1, ∞]. Wówczas jeśli g ∈ [0, 1) to szereg
∞
P
n=1
an jest zbieżny. Jeśli g ∈ (1, ∞] to szereg
∞
P
n=1
an jest rozbieżny.
Uwaga: Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Alemberta – jeśli szereg spełnia wa- runek kryterium d’Alemberta, to spełnia warunek Cauchy’ego (jednakże czasami wygodniej jest zastosować kryterium d’Alemberta).
Kryterium Dirichleta:
Jeśli ciąg (an) monotonicznie dąży do zera i ciąg sum częściowych szeregu P∞
n=1
bn jest ograniczony to szereg
∞
P
n=1
anbn jest zbieżny.
Kryterium Leibniza:
Jeżeli w szeregu przemiennym
∞
P
n=1
an począwszy od pewnego miejsca (wyrazu) N bezwzględne war- tości wyrazów szeregu dążą monotonicznie do zera to szereg
∞
P
n=1
an jest zbieżny.
Kryterium Abella:
Jeśli ciąg (an) jest monotoniczny i ograniczony oraz szereg
∞
P
n=1
bn jest zbieżny to szereg
∞
P
n=1
anbn jest zbieżny.
Szereg harmoniczny:
Szeregiem harmonicznym o wykładniku α ∈ R nazywamy szereg postaci
∞
P
n=1 1
nα. Szereg ten jest zbież- ny dla α > 1.
Zbieżność bezwzględna i warunkowa szeregu:
Szereg P∞
n=1
annazywamy zbieżnym bezwzględnie jeśli zbieżny jest szereg P∞
n=1
|an|. Szereg zbieżny, któ- ry nie jest zbieżny bezwzględnie nazywamy zbieżnym warunkowo (szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny).
1
dr Krzysztof Żyjewski Informatyka; I S-Ist.inż. 24 listopada 2015
1. Obliczyć sumy podanych szeregów:
(a)
∞
P
n=1
1 2
n
(b)
∞
P
n=1
3n (c)
∞
P
n=1 3n−1
5n (d)
∞
P
n=1 22n+2n
8n
(e)
∞
P
n=1 1
(2n−1)(2n+1) (f )
∞
P
n=1 1
n(n+1) (g)
∞
P
n=1
1
10n +(−1)2nn
.
2. Zbadać zbieżność szeregu
∞
P
n=1
qn w zależności od parametru q.
3. Zbadać czy podane szeregi spełniają warunek konieczny zbieżności szeregów:
(a)
∞
P
n=1
(−2)n (b)
∞
P
n=1
cosn1 (c)
∞
P
n=1 n2
n3−1 (d)
∞
P
n=1
n n+2
n
(e)
∞
P
n=1
3 5
n
(f )
∞
P
n=1 5n+2 23n−1
4. Zbadać zbieżność podanych szeregów korzystając z:
• kryterium porównawczego (a) P∞
n=1 n
n3+1 (b) P∞
n=1
tg2 √1n (c) P∞
n=1 2n+1
3n−1 (d) P∞
n=1 ln(n+1)
√3
n2
(e)
∞
P
n=1 5
n2+3, (h)
∞
P
n=1
√ 1
n(n+1) (i)
∞
P
n=1
√ 1 n(n2+n)
• kryterium Cauchy’ego (a) P∞
n=1 n3
2n (b) P∞
n=1 1 n
1 + n1n
2
(c) P∞
n=1
n
2n+1
n
(d) P∞
n=1
sinn2nπ (e) P∞
n=1
n35n (f ) P∞
n=1
n+4 n+3
n2
(g) P∞
n=1
2n+1 2n+1
n
2 (h) P∞
n=1 2nnn2 (3n+1)n2, (i) P∞
n=1
√1 n.
• kryterium d’Alamberta (a)
∞
P
n=1 n5
3n (b)
∞
P
n=1 2n−1
2n (c)
∞
P
n=1 50n
n! (d)
∞
P
n=1 3n 2n(2n+1)
(e) P∞
n=1 n2n
(2n)! (f ) P∞
n=1
5
2
3n+4
(d) P∞
n=1
5235n−4 (e) P∞
n=1 n n3+1,
• kryterium Leibniza (a)
∞
P
n=1 (−1)n
3n−1 (b)
∞
P
n=1
(−1)n n+2n2+3 (c)
∞
P
n=1 (−2)n
n! (d)
∞
P
n=1
(−1)n+13n−1n+2n, (e)
∞
P
n=1
(−1)n+1√n
2 − 1n,
• kryterium Dirichleta (a)
∞
P
n=1 sinnπ4
n
5. Zbadać zbieżność bezwzględną i warunkową podanych szeregów:
(a)
∞
P
n=1 (−1)n
n (b)
∞
P
n=1
(−1)n+1 n2 (c)
∞
P
n=1
(−1)n+1 n32 (d)
∞
P
n=1 (−1)n
n! (e)
∞
P
n=1
(−1)n(√n
n − 1)n (f ) P∞
n=1
(−1)n+1
ln(n+1) (g) P∞
n=1 sin n
n2 (h) P∞
n=1 cos(nπ)
4n−1 (i) P∞
n=1
(−1)ncos n n3n
2