Rozdzia l 9 Wyznacznik macierzy

Wyznacznik macierzy

9.1 Definicja i pierwsze w lasno´ sci

Niech A bedzie macierz_֒ a kwadratow_֒ a nad cia lem K,_֒ A= (ai,j)ⁿ_i,j=1 ∈ K^n,n. Definicja 9.1 (przez rozwiniecie Laplace’a)_֒

Wynacznikiem macierzy kwadratowej n × n nazywamy funkcje_֒ detn : K^n,n → K,

zdefiniowana rekurencyjnie w nast_֒ epuj_֒ acy spos´_֒ ob:

(n = 1) det1(A) := det1([a1,1]) = a1,1, (n ≥ 2) detn(A) :=Pn

i=1(−1)ⁱ⁺ⁿai,n·det_n−1(Ai,n),

gdzie Ai,n ∈ K^n−1.n−1 jest macierza powsta l_֒ a z_֒ A poprzez usuniecie z niej_֒ i-tego wiersza i n-tej kolumny.

Zgodnie z definicja mamy_֒

det₂(A) = a_1,1a_2,2− a_1,2a_2,1,

det3(A) = a1,1a_2,2a_3,3+ a1,2a_2,3a_3,1+ a1,3a_2,1a_3,2

−a_1,1a_2,3a_3,2− a_1,2a_2,1a_3,3− a_1,3a_2,2a_3,1, det4(A) = . . . .

83

84 ROZDZIA L 9. WYZNACZNIK MACIERZY Wprost z definicji rekurencyjnej latwo r´ownie˙z zauwa˙zy´c, ˙ze dla macierzy identyczno´sciowej mamy detn(In) = 1. Og´olniej, je´sli A jest macierza r´ojk_֒ at-_֒ na doln_֒ a lub tr´ojk_֒ atn_֒ a g´orn_֒ a, A ∈ TRIL_֒ ^n,n∪TRIU^n,n, to

detn(A) = Yn i=1

ai,i.

Je´sli format macierzy jest znany lub nieistotny to dalej bedziemy dla_֒ uproszczenia pisa´c det(A) zamiast detn(A).

Twierdzenie 9.1 Wyznacznik jest funkcja liniow_֒ a ze wzgl_֒ edu na dowoln_֒ a_֒ kolumne macierzy, tzn._֒

det([~a1, . . . , ~a_p∗ α+ ~a^′_p∗ α^′, . . . , ~a_n])

= det([~a1, . . . , ~ap, . . . , ~an]) ∗ α + det([~a1, . . . , ~a^′_p, . . . , ~an]) ∗ α^′, 1 ≤ p ≤ n.

Dow´od. Rzeczywi´scie, r´owno´s´c w oczywisty spos´ob zachodzi dla n = 1, a dla n ≥ 2 wystarczy osobno rozpatrzy´c dwa przypadki, p = n i 1 ≤ p ≤ n−1, oraz skorzysta´c z definicji rekurencyjnej.

Z twierdzenia 9.1 mamy od razu, ˙ze det([. . . ,~0, . . .]) = 0. Natomiast stosujac twierdzenie 9.1 kolejno do ka˙zdej z kolumn macierzy otrzymujemy,_֒

˙ze dla dowolnej macierzy diagonalnej D = diag(α1, α2, . . . , αn) det(A ∗ D) = det([~a1∗ α₁, . . . , ~a_n∗ α_n]) = det(A) ·

Yn i=1

α_i. (9.1) W szczeg´olno´sci,

detn(α ∗ A) = αⁿ·detn(A) oraz detn(−A) = (−1)ⁿ·detn(A).

9.2 Wyznacznik a operacje elementarne

9.2.1 Permutacja kolumn

Twierdzenie 9.2 Przestawienie r´o˙znych kolumn macierzy zmienia znak wy- znacznika, tzn. dla dowolnej transpozycji T_p,q, p6= q,

det(A ∗ Tp,q) = −det(A).

Dow´od. (Indukcja wzgledem n.)_֒

Dla n = 1, 2 wz´or sprawdzamy bezpo´srednio z definicji. Dla n ≥ 3 rozpatru- jemy trzy przypadki.

(a) 1 ≤ p < q ≤ n − 1.

Korzystajac z za lo˙zenia indukcyjnego mamy_֒ detn(A ∗ Tp,q) =

Xn i=1

(−1)ⁱ⁺ⁿai,ndet_n−1((A ∗ Tp,q)i,n)

= − Xn

i=1

(−1)ⁱ⁺ⁿai,ndetn−1(Ai,n)

= −detn(A).

(b) p = n − 1, q = n.

Stosujac dwukrotnie rozwini_֒ ecie Laplace’a dostajemy_֒ detn(A) =

Xn i=1

(−1)ⁱ⁺ⁿai,ndet_n−1(Ai,n)

= Xn

i=1

(−1)ⁱ⁺ⁿai,n

Xⁱ⁻¹

k=1

(−1)^k+(n−1)ak,n−1detn−2(A{i,k}{n−1,n})

+ Xn k=i+1

(−1)(k−1)+(n−1)ak,n−1detn−2(A{i,k}{n−1,n})

= −X

k<i

(−1)^i+kai,nak,n−1detn−2(A{i,k}{n−1,n})

+X

i<k

(−1)^i+ka_i,na_k,n−1detn−2(A{i,k}{n−1,n}),

gdzie A{i,k}{n−1,n}jest macierza powsta l_֒ a z A poprzez usuni_֒ ecie wierszy i-tego_֒ i k-tego oraz kolumn (n−1)-szej i n-tej. Wykonujac to samo dla macierzy A∗_֒ Tp,qotrzymujemy ten sam wz´or, ale z odwr´oconymi znakami przed symbolami sumowania.

(c) 1 ≤ p ≤ n − 2, q = n.

W tym przypadku wystarczy zauwa˙zy´c, ˙ze

A∗ Tp,n= A ∗ Tp,n−1∗ Tn−1,n∗ Tp,n−1

i skorzysta´c dwukrotnie z (a) i raz z (b).

86 ROZDZIA L 9. WYZNACZNIK MACIERZY Z twierdzenia 9.2 wynika w szczeg´olno´sci, ˙ze wyznacznik macierzy trans- pozycji Tp,q z p 6= q wynosi −1.

Wyznacznik mo˙zna rozwija´c nie tylko wzgledem ostatniej, ale r´ownie˙z_֒ wzgledem dowolnej kolumny._֒

Twierdzenie 9.3 Dla dowolnego n ≥2 i 1 ≤ j ≤ n mamy detn(A) =

Xn i=1

(−1)^i+ja_i,j·detn−1(Ai,j).

Dow´od. Je´sli j = n − 1 to

detn(A) = −detn(A ∗ Tn−1,n)

= − Xn

i=1

(−1)ⁱ⁺ⁿai,n−1·detn−1(Ai,n−1)

= Xn

i=1

(−1)ⁱ⁺ⁿ⁻¹ai,n−1·detn−1(Ai,n−1).

Dalej, korzystajac z prawdziwo´sci rozwini_֒ ecia dla j = n − 1, pokazujemy_֒ podobnie prawdziwo´s´c rozwiniecia dla j = n − 2, itd., a˙z do j = 1._֒

9.2.2 Kombinacja liniowa kolumn

Z twierdzenia 9.2 od razu otrzymujemy

det([. . . , ~a, . . . , ~a, . . .]) = 0.

Stad i z liniowo´sci wyznacznika wzgl_֒ edem dowolnej kolumny wynika, ˙ze wy-_֒ znacznik nie ulegnie zmianie gdy do kolumny dodamy inna kolumn_֒ e po-_֒ mno˙zona przez skalar, tzn._֒

det([~a1, . . . , ~ap−1, ~ap + ~aq∗ m, ~ap+1, . . . , ~an])

= det([~a1, . . . , ~ap−1, ~ap, ~ap+1, . . . , ~an]).

Uog´olnieniem ostatniej w lasno´sci jest nastepuj_֒ aca._֒

Twierdzenie 9.4 Je´sli do p-tej kolumny dodamy kombinacje liniow_֒ a pozo-_֒ sta lych kolumn to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, tzn.

deth

~a1, . . . , ~ap−1, ~ap+X

j6=p

~aj∗ mj, ~ap+1, . . . , ~an

i

= det([~a1, . . . , ~ap−1, ~ap, ~ap+1, . . . , ~an]).

Zauwa˙zmy, ˙ze ostatnia r´owno´s´c mo˙zna symbolicznie zapisa´c jako_֒ det(A ∗ (I + ~m∗ ~e^T_p)) = det(A), o ile ~e^T_p ∗ ~m= 0.

Wniosek 9.1 Je´sli macierz A jest osobliwa to det(A) = 0.

Dow´od. Je´sli A nie jest pe lnego rzedu to jedna z kolumn, powiedzmy p,_֒ jest kombinacja liniow_֒ a pozosta lych kolumn. Odejmuj_֒ ac od p-tej kolumny t_֒ a_֒ kombinacje liniow_֒ a otrzymujemy macierz A_֒ ^′ o tym samym wyznaczniku co A i o zerowej p-tej kolumnie. Stad det(A) = det(A_֒ ^′) = 0.

9.3 Dalsze w lasno´ sci wyznacznik´ ow

9.3.1 Wyznacznik iloczynu macierzy

Jak wiemy, ka˙zda macierz tr´ojk_֒ atn_֒ a doln_֒ a L ∈ TRIL_֒ ^n,n z jedynkami na g l´ownej przekatnej mo˙zna przedstawi´c jako iloczyn_֒

L= In+ ~l1∗ ~e^T₁ + · · · + ~ln−1∗ ~e^T_n−1 = (In+ ~l1 ∗ ~e^T₁) ∗ · · · ∗ (In+ ~ln−1~e^T_n−1), gdzie ~lj = [0, . . . , 0

| {z }

j

, lj+1,j, . . . , ln,j]^T, 1 ≤ j ≤ n − 1. Na podstawie twierdzenia 9.4 mamy wiec, ˙ze_֒

det(A ∗ L) = det(A). (9.2)

Podobnie, wyznacznik nie ulegnie zmianie gdy macierz pomno˙zymy z prawej strony przez macierz tr´ojkatn_֒ a g´orn_֒ a z jedynkami na g l´ownej przek_֒ atnej._֒

Niech teraz W ∈ TRIL^n,n∪TRIU^n,n. Je´sli wszystkie wyrazy na przekatnej_֒ sa niezerowe, w_֒ i,i 6= 0, 1 ≤ i ≤ n, to

W = W1∗diag(w1,1, . . . , wn,n),

gdzie W1 ∈TRIL^n,n∪TRIU^n,n z jedynkami na g l´ownej przekatnej. Stosuj_֒ ac_֒ kolejno (9.1) i (9.2) (z macierza odpowiednio tr´ojk_֒ atn_֒ a g´orn_֒ a albo tr´ojk_֒ atn_֒ a_֒ dolna) dostajemy_֒

det(A ∗ W ) = det(A ∗ W1) · Yn i=1

wi,i = det(A) · Yn i=1

wi,i. (9.3) Je´sli za´s wk,k = 0 dla pewnego k to W jest osobliwa, a stad osobliwa jest_֒ r´ownie˙z macierz A ∗ W i r´ownanie det(A ∗ W ) = det(A) ·Qn

i=1wi,i pozostaje w mocy.

Mo˙zemy teraz pokaza´c nastepuj_֒ ace twierdzenie_֒

88 ROZDZIA L 9. WYZNACZNIK MACIERZY Twierdzenie 9.5 Dla dowolnych macierzy A, B ∈ K^n,n

det(A ∗ B) = det(A) · det(B).

Dow´od. Skorzystamy z twierdzenia, ˙ze dla dowolnej macierzy B istnieje rozk lad tr´ojkatno-tr´ojk_֒ atny P ∗ B ∗ Q_֒ ^T = L ∗ R, czyli

B = P^T ∗ L ∗ R ∗ Q,

gdzie P = T1,p(1)∗ · · · ∗ Tn−1,p(n−1) i Q = T1,q(1)∗ . . . ∗ Tn−1,q(n−1)sa macierzami_֒ permutacji, L jest tr´ojkatna dolna z jedynkami na przek_֒ atnej, a R tr´ojk_֒ atna_֒ g´orna. Jasne, ˙ze det(P ) = (−1)^s, gdzie s jest liczba w la´sciwych przestawie´_֒ n w p (tzn. liczba tych i dla kt´orych i 6= p(i)), oraz podobnie det Q = (−1)_֒ ^t, gdzie t jest liczba w la´sciwych przestawie´_֒ n w q. Wykorzystujac wielokrotnie_֒ twierdzenie 9.2 oraz wz´or (9.3) otrzymujemy

det(A ∗ B) = det(A ∗ P^T ∗ L ∗ R) · (−1)^t

= det(A ∗ P^T ∗ L)(−1)^t· Yn

i=1

ri,i

= det(A ∗ P^T)(−1)^t· Yn

i=1

ri,i

= det(A)(−1)^s+t · Yn i=1

ri,i

= det(A) ∗ det(B), co nale˙za lo pokaza´c.

9.3.2 Wyznacznik macierzy nieosobliwej i transpono- wanej

Jak zauwa˙zyli´smy wcze´sniej w dowodzie twierdzenia 9.5, rozk lad macierzy A= P^T ∗ L ∗ R ∗ Q implikuje r´owno´s´c

det(A) = (−1)^s+t· Yn i=1

ri,i,

kt´ora z kolei daje dwa nastepuj_֒ ace wa˙zne wnioski._֒

Wniosek 9.2 Macierz A jest nieosobliwa, tzn. rz(A) = n, wtedy i tylko wtedy gdy det(A) 6= 0.

Wniosek 9.3 Dla dowolnej macierzy kwadratowej A mamy det(A^T) = det(A).

Ostatni wniosek oznacza, ˙ze wszystkie w lasno´sci wyznacznika dotyczace_֒ kolumn macierzy przys luguja r´ownie˙z jej wierszom. W szczeg´olno´sci, wy-_֒ znacznik mo˙zna rozwija´c wzgledem dowolnego wiersza,_֒

detn(A) = Xn

j=1

(−1)^i+jai,j ·detn−1(Ai,j).

9.4 Definicja kombinatoryczna wyznacznika

Ka˙zda macierz permutacji P ∈ K^n,n mo˙ze by´c roz lo˙zona na wiele sposob´ow na iloczyn transpozycji, np.

P = T_1,i1 ∗ T_2,i2 ∗ · · · ∗ T_n−1,in−1. (9.4) Poniewa˙z

det(Tp,q) =

 1, p= q (transpozycja niew la´sciwa),

−1, p6= q (transpozycja w la´sciwa), to

det(P ) = (−1)^σ(p),

gdzie σ(p) = 0 gdy liczba transpozycji w la´sciwych w rozk ladzie (9.4) jest parzysta, oraz σ(p) = 1 gdy liczba transpozycji w la´sciwych w (9.4) jest nieparzysta. Pokazali´smy wiec nast_֒ epuj_֒ ace twierdzenie._֒

Twierdzenie 9.6 W rozk ladzie macierzy permutacji na iloczyn transpozycji liczba transpozycji w la´sciwych jest zawsze parzysta, albo zawsze nieparzysta.

Parzysto´s´c lub nieparzysto´s´c permutacji jest wiec w lasno´sci_֒ a permutacji_֒ (niezale˙zna od rozk ladu)._֒

90 ROZDZIA L 9. WYZNACZNIK MACIERZY Definicja Laplace’a wyznacznika jest r´ownowa˙zna nastepuj_֒ acej definicji_֒ kombinatorycznej:

detn(A) = X

p=[p(1),...,p(n)]

(−1)^σ(p) Yn j=1

ap(j),j,

albo

detn(A) = X

q=[q(1),...,q(n)]

(−1)^σ(q) Yn

i=1

a_i,q(i).

Indukcyjny dow´od r´ownowa˙zno´sci tych definicji pomijamy. (Tutaj p i q sa_֒ permutacjami ciagu [1, 2, . . . , n], przy czym p ◦ q = q ◦ p = Id = [1, 2, . . . , n]._֒ Wtedy σ(p) = σ(q).)

9.5 Wzory Cramera

Poka˙zemy teraz, ˙ze uk lady r´owna´n liniowych mo˙zna, przynajmniej teoretycz- nie, rozwiazywa´c za pomoc_֒ a liczenia odpowiednich wyznacznik´ow._֒

Definicja 9.2 Macierz C(A) := (γi,j) ∈ K^n,n, gdzie γ_i,j = (−1)^i+jdetn−1(Ai,j),

nazywamy macierza komplementarn_֒ a do danej macierzy A ∈ K_֒ ^n,n. Zauwa˙zmy, ˙ze na podstawie rozwiniecia Laplace’a mamy_֒

p_j,k :=

Xn i=1

γ_i,ja_i,k =

 detn(A), k= j, 0, k6= j, a stad_֒

P = (pj,k)ⁿ_j,k=1 = detn(A) ∗ In= (C(A))^T ∗ A.

Zatem je´sli rz(A) = n to

A⁻¹ = (C(A))^T

detn(A) = (−1)^i+jdetn−1(Aj,i) detn(A)

n i,j=1

.

Rozpatrzmy teraz uk lad r´owna´n A ∗ ~x = ~b z kwadratowa i nieosobliw_֒ a_֒ macierza A ∈ K_֒ ^n,n. Wtedy jego rozwiazanie_֒

~

x= (xj)ⁿ_j=1 = A⁻¹∗ ~b = (C(A))^T ∗ ~b detn(A) , czyli

x_j = Pn

i=1γi,j ∗ bi

detn(A) = Pn

i=1(−1)^i+jdet_n−1(Ai,j) · bi

detn(A) ,

albo r´ownowa˙znie

xj = detn([~a1, . . . , ~aj−1,~b, ~aj+1, . . . , ~an]) detn([~a₁, . . . , ~a_j−1, ~aj, ~a_j+1, . . . , ~an]), dla 1 ≤ j ≤ n. Ostatnie formu ly zwane sa wzorami Cramera._֒

Uwaga. Wzory Cramera maja dla du˙zych n znaczenie jedynie teoretyczne,_֒ gdy˙z, jak latwo sie przekona´c, koszt liczenia wyznacznika macierzy wprost_֒ z definicji jest proporcjonalny do n! W takich przypadkach lepiej stosowa´c eliminacje Gaussa, kt´orej koszt obliczeniowy jest proporcjonalny do n_֒ ³.