Ka˙zde zadanie warte jest 5 punkt´ow

Metody Numeryczne (III INF)

Egzamin, 3 luty 2015 Uwaga.

Rozwiazanie ka˙zdego z dziesi_, eciu zada´_, n nale˙zy pisa´c na osobnej kartce podpisanej imie- miem, nazwiskiem i numerem indeksu. Ka˙zde zadanie warte jest 5 punkt´ow.

1. Niech

f (x) =√

2x + 30 −√

2x + 10, x ≥ −5.

Rozpatrzmy dwa algorytmy, A1 i A2, obliczania f (x).

A1: zgodnie z powy˙zszym wzorem, A2: korzystajac z r´_, ownowa˙znego wzoru

f (x) = 20

√2x + 30 +√

2x + 10.

Kt´ory z tych algorytm´ow nale˙zy zastosowa´c do obliczenia f (x) w arytmetyce fl po- jedynczej precyzji dla x = 10⁸? Podaj kr´otkie uzasadnienie.

2. Niech

A =





3 2 1

30 22 11 0 20 110



∈ R^3,3.

Znajd´z metoda eliminacji Gaussa z wyborem elementu g l´_, ownego w kolumnie macierze L, R i P takie, ˙ze P A = LR, gdzie L ∈ R^3,3 jest macierza tr´_, ojkatn_, a doln_, a z jedyn-_, kami na g l´ownej przekatnej i wszystkimi elementami co do modu lu nie wi_, ekszymi od_, jedno´sci, R ∈ R^3,3 jest tr´ojkatna g´_, orna, a P ∈ R^3,3 jest macierza permutacji._,

3. Dla danych w tabeli punkt´ow

x_i −1 −1 −2 0

y_i 1 0 2 0

poszukujemy wielomianu postaci w(x) = a₀+ a₁x minimalizujacego wielko´s´_, c

4

X

i=1

(w(x_i) − y_i)².

Sformu luj odpowiednie Liniowe Zadanie Najmniejszych Kwadrat´ow z macierza A i_, wektorem ~b, a nastepnie rozwi_, a˙z je dowoln_, a metod_, a._,

4. Niech

p₀(x) = 1, p₁(x) = x − 1,

p₂(x) = (x − 1)(x − 2),

p3(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3),

oraz w(x) = p₀(x) + p₁(x) − 2p₂(x) + 3p₃(x). Oblicz r´o˙znice dzielon_, a w[2, 3, 4]._, Dalszy ciag na nast_, epnej stronie!_,

5. Niech

f (x) = 32x³− 48x²+ 18x − 1.

Wyznacz wielomian stopnia ≤ 2 najlepiej przybli˙zajacy f na przedziale [0, 1] w nor-_, mie jednostajnej, tzn. w normie

kgk∞= sup

0≤t≤1

|g(t)|.

6. Niech {p_k}_k≥0 bedzie ci_, agiem wielomian´_, ow ortogonalnych, deg p_k = k, wzgledem_, iloczynu skalarnego hf, gi = R1

−1f (x)g(x)%(x) dx, gdzie waga % jest parzysta, tzn.

%(x) = %(−x) ∀x. Wyka˙z, ˙ze p_k(0) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy k jest nieparzyste.

7. Znajd´z maksymalny rzad kwadratury postaci_,

Q(f ) = a0f (1/3) + a1f⁰(1/3) + a2f (c), gdzie a₀, a₁, a₂ ∈ R oraz c ∈ [0, 1], przybli˙zajacej ca lk_, e_, R1

0 f (x) dx.

8. Do macierzy

A = −11 45 45 −11

 zastosowano odwrotna metod_, e pot_, egow_, a,_,

~

y_k = (A − σI)⁻¹~x_k−1,

~

x_k = ~y_k/k~y_kk₂, k = 1, 2, 3, . . .

z parametrem σ = 100 oraz wektorem poczatkowym ~_, x₀ = [10, 1]^T. Czy otrzymany ciag jest zbie˙zny, a je´sli tak to jaka jest jego granica? Jak zmieni si_, e odpowied´_, z gdy σ = −100?

9. Niech

f (x) = (x − 1)²(x − 2)(x − 3)³.

Rozwa˙zmy r´ownanie f (x) = 0. Dla jakich warto´sci parametru τ metoda iteracji prostej dana wzorem x_k+1 = ϕ(x_k), gdzie

ϕ(x) = x − τ f (x),

jest lokalnie zbie˙zna do rozwiazania α = 2? Odpowied´_, z uzasadnij.

10. Stosujemy metode Newtona dla znalezienia zera funkcji_, f (x) = (x − 2)²+ e^x−2− 2.

Poka˙z, ˙ze r´ownanie f (x) = 0 ma dok ladnie jedno rozwiazanie x_, ^∗ w przedziale [2, 3].

Czy metoda jest zbie˙zna lokalnie do x^∗, a je´sli tak to z jakim rzedem? Czy metoda_, jest zbie˙zna dla wszystkich punkt´ow poczatkowych x_{, 0} ≥ x^∗?

KONIEC ZADA ´N