• Nie Znaleziono Wyników

ĆWICZENIA, CAŁKI PODWÓJNE TROCHĘ TEORII. Obliczając całkę podwójną zamienimy ją na dwie całki pojedyncze. Istotne są dwie rzeczy:

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "ĆWICZENIA, CAŁKI PODWÓJNE TROCHĘ TEORII. Obliczając całkę podwójną zamienimy ją na dwie całki pojedyncze. Istotne są dwie rzeczy:"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

TROCHĘ TEORII.

Obliczając całkę podwójną zamienimy ją na dwie całki pojedyncze. Istotne są dwie rzeczy:

• opis obszaru, po którym całkujemy,

• zauważenie, przy liczeniu całek, co jest zmienną, a co traktujemy jak stałą.

Czasami będziemy też podstawiać współrzędne biegunowe.

Jak opisać obszar?

Zazwyczaj postępujemy tak: ustalenie “iksów” jest łatwe, rzutujemy obszar na oś 0x i sprawdzamy jaki odcinek otrzymaliśmy. Następnie, dla x z naszego odcinka patrzymy odkąd dokąd zmieniają się y, czyli zauważamy jaka krzywa ogranicza nasz obszar “z dołu”, a jaka ogranicza “z góry”.

Trzy ilustracje:

x y

0 1 2 3 4

−4

1

D

1

y = 1 +14x2 y = 3 +18x2

W tym przykładzie x zmienia się od −4 do 4, a dla takich x obszar D

1

jest ograniczony “z dołu” krzywą o równaniu y = 1 +

14

x

2

, a “z góry”

krzywą y = 3 +

18

x

2

. Zatem opis obszaru D

1

jest następujący:

D

1

: −4 ¬ x ¬ 4, 1 + 1

4 x

2

¬ y ¬ 3 + 1 8 x

2

.

x y

0 1

−1 2 3

−3 4 5

−4

D

2 1 y =

1

4(x − 1)2− 1 y = 1 + 18(x − 1)2

W tym przykładzie x zmienia się od −3 do 5, a dla takich x obszar D

2

jest ograniczony “z dołu” krzywą o równaniu y =

14

(x−1)

2

−1, a “z góry” krzywą y = 1 +

18

(x − 1)

2

. Zatem opis obszaru D

2

jest następujący:

D

2

: −3 ¬ x ¬ 5, 1

4 (x − 1)

2

− 1 ¬ y ¬ 1 + 1

8 (x − 1)

2

.

1

(2)

x y

0

−4 4

D

3 y =

1 4x2− 4 y = 18x2− 2

W tym przykładzie x zmienia się od −4 do 4, a dla takich x obszar D

3

jest ograniczony “z dołu” krzywą o równaniu y =

14

x

2

− 4, a “z góry” krzywą y =

18

x

2

− 2. Zatem opis obszaru D

3

jest następujący:

D

3

: −4 ¬ x ¬ 4, 1

4 x

2

− 4 ¬ y ¬ 1

8 x

2

− 2.

Jak liczyć całki względem x, a jak względem y?

“Tradycyjnie”. Przy liczeniu względem x zmienną jest x, a resztę traktujemy jak stałe;

przy liczeniu względem y zmienną jest y, a resztę traktujemy jak stałe.

Kilka przykładów (stałą C pomijam,

powinno być R1dx = x + C, ...):

R1dx = x, R1dy = y, R2dy = 2y, Rπdy = πy, Rxdy = xy, Rxdx = 12x2, Rydy = 12y2,

Rx2y3r4dx = 13x3y3r4, Rx2y3r4dy = x2·14y4r4, Rx2y3r4dr = x2y3·15r5, Rx2y3r4dt = x2y3r4· t.

ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI

PRZYKŁAD 1.

Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi: y = 12x3, y = x2.

x y

y = x2

y = 12x3

0 1 2

D : 0 ¬ x ¬ 2, 12x3 ¬y¬x2.

Oczywiście Rxdy = xR1dy = xy, Rx3dx = 14x4, Rx4dx = 15x5.

Obszar mamy opisany, możemy zamienić całkę podwójną na dwie całki pojedyncze.

(3)

Z Z

D

xdxdy = Z 2

0

 Z x2

1 2x3

xdydx= Z 2

0

x · yy=xy=12 2x3dx =

Z 2 0

x ·x2− x ·1 2x3dx

= Z 2

0

(x3 12x4)dx =14x412 ·15x520

= 14· 24 12·15 · 25 14 · 0412 ·15 · 05= 4 − 165 = 45. PRZYKŁAD 2.

Oblicz RRDydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (−1, 2), (−1, −1).

x y

y = −2x

y = x

0 1

−1 2

−1 2

D

D : −1 ¬ x ¬ 0, x¬ y ¬−2x.

Rzutując zbiór D na oś 0x otrzymamy odcinekod −1 do 0. Szacując y, dolny bok trójkąta D to fragment prostej o równaniuy = x, górny bok to odcinek zawarty w prostej o równaniu y = −2x.

Obszar mamy opisany, możemy zamienić całkę podwójną na dwie całki pojedyncze:

Z Z

D

ydxdy = Z 0

−1

 Z −2x

x

ydydx = Z 0

−1

1

2y2y=−2xy=x dx = Z 0

−1

1

2 · (−2x)212 · x2dx

= Z 0

−1

(12 · 4x212 · x2)dx = Z 0

−1 3

2 · x2dx =32·13x30−1

= 12 · x30−1 = 21· 03 12· (−1)3 = 12 PRZYKŁAD 3.

Oblicz RRD sin xx dxdy, gdy D to trapez o wierzchołkach (π2, 0), (π, 0), (π, π), (π2,π2).

y = 0 y

y = x

0 π

2 π

2

π

π

D

D : π2 ¬ x ¬ π, 0¬ y ¬x.

Z Z

D

sin x

x dxdy = Z π

π 2

 Z x

0

sin x

x dydx = Z π

π 2

sin x

x · yy=x

y=0dx = Z π

π 2

sin x

x · x −sin x x · 0dx

= Z π

π 2

sin xdx =− cos xππ 2

= − cos π − (− cosπ2) = −(−1) − (−0) = 1.

(4)

Kiedy przechodzimy na współrzędne biegunowe?

Zazwyczaj wtedy, gdy obszar, po którym całkujemy zapisuje się “dobrze” we współrzędnych bie- gunowych, na przykład, gdy jest kołem, pierścieniem, półkolem, czy jest obszarem ograniczonym rozetą, kardioidą, lemniskatą, ...

Wzory “przejścia” ze współrzędnych kartezjańskich do biegunowych: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (zatem x2 + y2 = r2, gdyż cos2ϕ + sin2ϕ = 1); jakobian “przejścia” J = r (przy zamianie zmiennych zawsze mnożymy przez jakobian).

PRZYKŁAD 4.

Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy Dto koło o środku (0, 0) i promieniu 1.

ϕ = 2π ϕ = 0 ϕ = π

y ϕ = π/2

0 1

−1

−1

D

D(x,y) → Ω : 0 ¬ r ¬ 1, 0 ¬ ϕ ¬ 2π

Zamieniamy współrzędne, pamiętając o pomnożeniu przez jakobian i uwzględniając zależność x2+ y2 = r2:

Z Z

D

(x2+ y2)dxdy = Z Z

r2·rdrdϕ = Z Z

r3drdϕ = Z 1

0

 Z

0

r3dr

= Z 1

0

r3· ϕϕ=2πϕ=0 dr = Z 1

0

r3· (2π − 0)dr

= Z 1

0

r3dr = 2π14r410 = 2π(14· 14 14· 04) = 12π

PRZYKŁAD 5.

Oblicz RRD(x + y)dxdy, gdyD to półpierścień 4 ¬ x2+ y2 ¬ 9 , y ¬ 0.

Równanie x2 + y2 = 22 opisuje okrąg o środku (0, 0) i promieniu 2, równanie x2+ y2 = 32 opisuje okrąg o środku (0, 0) i promieniu 3; warunek 4 ¬ x2 + y2 ¬ 9 opisuje zbiór punktów

“między” tymi okręgami. Z kolei y ¬ 0 wyznacza część płaszczyzny (półpłaszczyznę) leżącą na i pod osią 0x.

(5)

x y

0 1 2 3

−1

−1

D

D(x,y)→ Ω : 2 ¬ r ¬ 3, π ¬ ϕ ¬ 2π

Zamieniamy współrzędne, pamiętając o pomnożeniu przez jakobian i uwzględniając zależność x = r cos ϕ, y = r sin ϕ:

Z Z

D

(x + y)dxdy = Z Z

(r cos ϕ + r sin ϕ) ·rdrdϕ = Z Z

r2(cos ϕ + sin ϕ)drdϕ

= Z 3

2

 Z

π

r2(cos ϕ + sin ϕ)dϕdr = Z 3

2

r2(sin ϕ − cos ϕ)ϕ=2π

ϕ=π dr

= Z 3

2

r2(sin 2π − cos 2π) − r2(sin π − cos π)dr

= Z 3

2

r2(0 − 1) − r2(0 − (−1))dr = Z 3

2

(−2r2)dr

= −2 · 13r332 = −23r332 = −23(33− 23) = −23 · 19 = −383 Uwaga.

W obu ostatnich zadaniach mogliśmy wcześniej rozbić na iloczyn całek (obie całki mają stałe granice i całkujemy iloczyn) stosując własność:

Z b a

 Z d

c

f (r) · g(ϕ)dϕdr = Z b

a

f (r)dr · Z d

c

g(ϕ)dϕ.

DWA ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA właściwy numer zestawu to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu,

na rozwiązane zadania czekam do 9.05.2020

[04] (1) Oblicz RRDxydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1).

(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 2.

[05] (1) Oblicz RRD2ydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (2, 0), (2, 2).

(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 3.

[17] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (3, 0), (3, 3).

(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 4.

(6)

[32] (1) Oblicz RRDx2dxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (−1, 0), (−1, 1).

(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to pierścień 1 ¬ x2+ y2 ¬ 4.

[53] (1) Oblicz RRD2ydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (−2, 0), (−2, 2).

(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to pierścień 4 ¬ x2+ y2 ¬ 9.

[56] (1) Oblicz RRDx2dxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (−1, 0), (−1, −1).

(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to pierścień 1 ¬ x2+ y2 ¬ 9.

[58] (1) Oblicz RRDx2dxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1).

(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to pierścień 1 ¬ x2+ y2 ¬ 16.

[63] (1) Oblicz RRD2ydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (3, 0), (3, 3).

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 1.

[67] (1) Oblicz RRDydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 2).

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 2.

[69] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (2, 0), (2, 2).

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 3.

[70] (1) Oblicz RRD2ydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 2).

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 4.

[74] (1) Oblicz RRD2xydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (−1, 0), (−1, 1).

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to pierścień 1 ¬ x2+ y2 ¬ 4.

[75] (1) Oblicz RRD2xydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (−2, 0), (−2, 2).

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to pierścień 1 ¬ x2+ y2 ¬ 9.

[77] (1) Oblicz RRD2xdxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1).

(2) Oblicz RRD2dxdy, gdy D to pierścień 1 ¬ x2+ y2 ¬ 4.

[80] (1) Oblicz RRD2xdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = x2. (2) Oblicz RRD(x2+ y2)2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 3.

[81] (1) Oblicz RRD2xdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = x4. (2) Oblicz RRD(x2+ y2)2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 1.

[84] (1) Oblicz RRD2ydxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = 0, x = 1.

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 2.

[86] (1) Oblicz RRD2xdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = 0, x = 1.

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 1.

[87] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = 0, x = 2.

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 3.

[88] (1) Oblicz RRDydxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = 2x, y = 0, x = 1.

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to pólkole x2+ y2¬ 1, y ­ 0.

[89] (1) Oblicz RRD2xdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = 2x, y = 0, x = 2.

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to pólkole x2+ y2¬ 1, y ¬ 0.

[92] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = 3x, y = 0, x = 1.

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to pólkole x2+ y2¬ 4, y ¬ 0.

[93] (1) Oblicz RRD2xdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = 0, x = 1.

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to pólkole x2+ y2¬ 4, y ­ 0.

[94] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = 2x, y = 0, x = 1.

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to ćwiartka koła: x2+ y2 ¬ 1, y ­ 0, x ­ 0.

[95] (1) Oblicz RRD2ydxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = 3x, y = 0, x = 1.

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to ćwiartka koła: x2+ y2 ¬ 4, y ­ 0, x ­ 0.

[96] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x2, y = 0, x = 1.

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to ćwiartka koła: x2+ y2 ¬ 1, y ­ 0, x ¬ 0.

[97] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x3, y = 0, x = 1.

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to ćwiartka koła: x2+ y2 ¬ 1, y ¬ 0, x ¬ 0.

[98] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = 3x2, y = 0, x = 1.

(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to ćwiartka koła: x2+ y2 ¬ 1, y ¬ 0, x ­ 0.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Sytuacja mocno się komplikuje, raczej będziemy takich zadań unikać... Przykłady rozkładu wielomianu 3-go stopnia

Bryły obrotowe: powstają przez obrót fragmentu wykresu funkcji y=f(x) wokół osi OX lub OY... Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej dookoła

Przedział [a, b] dzieli się na parzystą

Obszarem regularnym nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych.... Obszarem regularnym nazywamy sumę skończonej liczby

Zawsze całka podwójna po zbiorze A z jedynki jest równa polu

W powyższym przykładzie całka krzywoliniowa zorientowana od punktu (0, 0) do (1, 1) zależy od kształtu drogi łączącej

Wzorów na zastosowanie całek jest mnóstwo (momenty sta- tyczne, momenty bezwładności,...); jak zwykle, jak będzie potrzebny wzór, to go podam.. ZADANIA

Innymi słowy, jeżeli możemy rozdzielić zmienne i obszar całkowania jest prostokątem, to całka podwójna z f px, y q po każdym prostokącie jest równa iloczynowi całek...