TROCHĘ TEORII.
Obliczając całkę podwójną zamienimy ją na dwie całki pojedyncze. Istotne są dwie rzeczy:
• opis obszaru, po którym całkujemy,
• zauważenie, przy liczeniu całek, co jest zmienną, a co traktujemy jak stałą.
Czasami będziemy też podstawiać współrzędne biegunowe.
Jak opisać obszar?
Zazwyczaj postępujemy tak: ustalenie “iksów” jest łatwe, rzutujemy obszar na oś 0x i sprawdzamy jaki odcinek otrzymaliśmy. Następnie, dla x z naszego odcinka patrzymy odkąd dokąd zmieniają się y, czyli zauważamy jaka krzywa ogranicza nasz obszar “z dołu”, a jaka ogranicza “z góry”.
Trzy ilustracje:
x y
0 1 2 3 4
−4
1
D
1y = 1 +14x2 y = 3 +18x2
W tym przykładzie x zmienia się od −4 do 4, a dla takich x obszar D
1jest ograniczony “z dołu” krzywą o równaniu y = 1 +
14x
2, a “z góry”
krzywą y = 3 +
18x
2. Zatem opis obszaru D
1jest następujący:
D
1: −4 ¬ x ¬ 4, 1 + 1
4 x
2¬ y ¬ 3 + 1 8 x
2.
x y
0 1
−1 2 3
−3 4 5
−4
D
2 1 y =1
4(x − 1)2− 1 y = 1 + 18(x − 1)2
W tym przykładzie x zmienia się od −3 do 5, a dla takich x obszar D
2jest ograniczony “z dołu” krzywą o równaniu y =
14(x−1)
2−1, a “z góry” krzywą y = 1 +
18(x − 1)
2. Zatem opis obszaru D
2jest następujący:
D
2: −3 ¬ x ¬ 5, 1
4 (x − 1)
2− 1 ¬ y ¬ 1 + 1
8 (x − 1)
2.
1
x y
0
−4 4
D
3 y =1 4x2− 4 y = 18x2− 2
W tym przykładzie x zmienia się od −4 do 4, a dla takich x obszar D
3jest ograniczony “z dołu” krzywą o równaniu y =
14x
2− 4, a “z góry” krzywą y =
18x
2− 2. Zatem opis obszaru D
3jest następujący:
D
3: −4 ¬ x ¬ 4, 1
4 x
2− 4 ¬ y ¬ 1
8 x
2− 2.
Jak liczyć całki względem x, a jak względem y?
“Tradycyjnie”. Przy liczeniu względem x zmienną jest x, a resztę traktujemy jak stałe;
przy liczeniu względem y zmienną jest y, a resztę traktujemy jak stałe.
Kilka przykładów (stałą C pomijam,
powinno być R1dx = x + C, ...):R1dx = x, R1dy = y, R2dy = 2y, Rπdy = πy, Rxdy = xy, Rxdx = 12x2, Rydy = 12y2,
Rx2y3r4dx = 13x3y3r4, Rx2y3r4dy = x2·14y4r4, Rx2y3r4dr = x2y3·15r5, Rx2y3r4dt = x2y3r4· t.
ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI
PRZYKŁAD 1.
Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi: y = 12x3, y = x2.
x y
y = x2
y = 12x3
0 1 2
D : 0 ¬ x ¬ 2, 12x3 ¬y¬x2.
Oczywiście Rxdy = xR1dy = xy, Rx3dx = 14x4, Rx4dx = 15x5.
Obszar mamy opisany, możemy zamienić całkę podwójną na dwie całki pojedyncze.
Z Z
D
xdxdy = Z 2
0
Z x2
1 2x3
xdydx= Z 2
0
x · yy=xy=12 2x3dx =
Z 2 0
x ·x2− x ·1 2x3dx
= Z 2
0
(x3− 12x4)dx =14x4−12 ·15x520
= 14· 24− 12·15 · 25− 14 · 04−12 ·15 · 05= 4 − 165 = 45. PRZYKŁAD 2.
Oblicz RRDydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (−1, 2), (−1, −1).
x y
y = −2x
y = x
0 1
−1 2
−1 2
D
D : −1 ¬ x ¬ 0, x¬ y ¬−2x.
Rzutując zbiór D na oś 0x otrzymamy odcinekod −1 do 0. Szacując y, dolny bok trójkąta D to fragment prostej o równaniuy = x, górny bok to odcinek zawarty w prostej o równaniu y = −2x.
Obszar mamy opisany, możemy zamienić całkę podwójną na dwie całki pojedyncze:
Z Z
D
ydxdy = Z 0
−1
Z −2x
x
ydydx = Z 0
−1
1
2y2y=−2xy=x dx = Z 0
−1
1
2 · (−2x)2−12 · x2dx
= Z 0
−1
(12 · 4x2−12 · x2)dx = Z 0
−1 3
2 · x2dx =32·13x30−1
= 12 · x30−1 = 21· 03− 12· (−1)3 = 12 PRZYKŁAD 3.
Oblicz RRD sin xx dxdy, gdy D to trapez o wierzchołkach (π2, 0), (π, 0), (π, π), (π2,π2).
y = 0 y
y = x
0 π
2 π
2
π
π
D
D : π2 ¬ x ¬ π, 0¬ y ¬x.
Z Z
D
sin x
x dxdy = Z π
π 2
Z x
0
sin x
x dydx = Z π
π 2
sin x
x · yy=x
y=0dx = Z π
π 2
sin x
x · x −sin x x · 0dx
= Z π
π 2
sin xdx =− cos xππ 2
= − cos π − (− cosπ2) = −(−1) − (−0) = 1.
Kiedy przechodzimy na współrzędne biegunowe?
Zazwyczaj wtedy, gdy obszar, po którym całkujemy zapisuje się “dobrze” we współrzędnych bie- gunowych, na przykład, gdy jest kołem, pierścieniem, półkolem, czy jest obszarem ograniczonym rozetą, kardioidą, lemniskatą, ...
Wzory “przejścia” ze współrzędnych kartezjańskich do biegunowych: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (zatem x2 + y2 = r2, gdyż cos2ϕ + sin2ϕ = 1); jakobian “przejścia” J = r (przy zamianie zmiennych zawsze mnożymy przez jakobian).
PRZYKŁAD 4.
Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy Dto koło o środku (0, 0) i promieniu 1.
ϕ = 2π ϕ = 0 ϕ = π
y ϕ = π/2
0 1
−1
−1
D
D(x,y) → Ω : 0 ¬ r ¬ 1, 0 ¬ ϕ ¬ 2π
Zamieniamy współrzędne, pamiętając o pomnożeniu przez jakobian i uwzględniając zależność x2+ y2 = r2:
Z Z
D
(x2+ y2)dxdy = Z Z
Ω
r2·rdrdϕ = Z Z
Ω
r3drdϕ = Z 1
0
Z 2π
0
r3dϕdr
= Z 1
0
r3· ϕϕ=2πϕ=0 dr = Z 1
0
r3· (2π − 0)dr
= 2π Z 1
0
r3dr = 2π14r410 = 2π(14· 14− 14· 04) = 12π
PRZYKŁAD 5.
Oblicz RRD(x + y)dxdy, gdyD to półpierścień 4 ¬ x2+ y2 ¬ 9 , y ¬ 0.
Równanie x2 + y2 = 22 opisuje okrąg o środku (0, 0) i promieniu 2, równanie x2+ y2 = 32 opisuje okrąg o środku (0, 0) i promieniu 3; warunek 4 ¬ x2 + y2 ¬ 9 opisuje zbiór punktów
“między” tymi okręgami. Z kolei y ¬ 0 wyznacza część płaszczyzny (półpłaszczyznę) leżącą na i pod osią 0x.
x y
0 1 2 3
−1
−1
D
D(x,y)→ Ω : 2 ¬ r ¬ 3, π ¬ ϕ ¬ 2π
Zamieniamy współrzędne, pamiętając o pomnożeniu przez jakobian i uwzględniając zależność x = r cos ϕ, y = r sin ϕ:
Z Z
D
(x + y)dxdy = Z Z
Ω
(r cos ϕ + r sin ϕ) ·rdrdϕ = Z Z
Ω
r2(cos ϕ + sin ϕ)drdϕ
= Z 3
2
Z 2π
π
r2(cos ϕ + sin ϕ)dϕdr = Z 3
2
r2(sin ϕ − cos ϕ)ϕ=2π
ϕ=π dr
= Z 3
2
r2(sin 2π − cos 2π) − r2(sin π − cos π)dr
= Z 3
2
r2(0 − 1) − r2(0 − (−1))dr = Z 3
2
(−2r2)dr
= −2 · 13r332 = −23r332 = −23(33− 23) = −23 · 19 = −383 Uwaga.
W obu ostatnich zadaniach mogliśmy wcześniej rozbić na iloczyn całek (obie całki mają stałe granice i całkujemy iloczyn) stosując własność:
Z b a
Z d
c
f (r) · g(ϕ)dϕdr = Z b
a
f (r)dr · Z d
c
g(ϕ)dϕ.
DWA ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA właściwy numer zestawu to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu,
na rozwiązane zadania czekam do 9.05.2020
[04] (1) Oblicz RRDxydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1).
(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 2.
[05] (1) Oblicz RRD2ydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (2, 0), (2, 2).
(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 3.
[17] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (3, 0), (3, 3).
(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 4.
[32] (1) Oblicz RRDx2dxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (−1, 0), (−1, 1).
(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to pierścień 1 ¬ x2+ y2 ¬ 4.
[53] (1) Oblicz RRD2ydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (−2, 0), (−2, 2).
(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to pierścień 4 ¬ x2+ y2 ¬ 9.
[56] (1) Oblicz RRDx2dxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (−1, 0), (−1, −1).
(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to pierścień 1 ¬ x2+ y2 ¬ 9.
[58] (1) Oblicz RRDx2dxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1).
(2) Oblicz RRDpx2+ y2dxdy, gdy D to pierścień 1 ¬ x2+ y2 ¬ 16.
[63] (1) Oblicz RRD2ydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (3, 0), (3, 3).
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 1.
[67] (1) Oblicz RRDydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 2).
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 2.
[69] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (2, 0), (2, 2).
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 3.
[70] (1) Oblicz RRD2ydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 2).
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 4.
[74] (1) Oblicz RRD2xydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (−1, 0), (−1, 1).
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to pierścień 1 ¬ x2+ y2 ¬ 4.
[75] (1) Oblicz RRD2xydxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (−2, 0), (−2, 2).
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to pierścień 1 ¬ x2+ y2 ¬ 9.
[77] (1) Oblicz RRD2xdxdy, gdy D to trójkąt o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1).
(2) Oblicz RRD2dxdy, gdy D to pierścień 1 ¬ x2+ y2 ¬ 4.
[80] (1) Oblicz RRD2xdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = x2. (2) Oblicz RRD(x2+ y2)2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 3.
[81] (1) Oblicz RRD2xdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = x4. (2) Oblicz RRD(x2+ y2)2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 1.
[84] (1) Oblicz RRD2ydxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = 0, x = 1.
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 2.
[86] (1) Oblicz RRD2xdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = 0, x = 1.
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 1.
[87] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = 0, x = 2.
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)2dxdy, gdy D to koło o środku (0, 0) i promieniu 3.
[88] (1) Oblicz RRDydxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = 2x, y = 0, x = 1.
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to pólkole x2+ y2¬ 1, y 0.
[89] (1) Oblicz RRD2xdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = 2x, y = 0, x = 2.
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to pólkole x2+ y2¬ 1, y ¬ 0.
[92] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = 3x, y = 0, x = 1.
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to pólkole x2+ y2¬ 4, y ¬ 0.
[93] (1) Oblicz RRD2xdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x, y = 0, x = 1.
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to pólkole x2+ y2¬ 4, y 0.
[94] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = 2x, y = 0, x = 1.
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to ćwiartka koła: x2+ y2 ¬ 1, y 0, x 0.
[95] (1) Oblicz RRD2ydxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = 3x, y = 0, x = 1.
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to ćwiartka koła: x2+ y2 ¬ 4, y 0, x 0.
[96] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x2, y = 0, x = 1.
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to ćwiartka koła: x2+ y2 ¬ 1, y 0, x ¬ 0.
[97] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = x3, y = 0, x = 1.
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to ćwiartka koła: x2+ y2 ¬ 1, y ¬ 0, x ¬ 0.
[98] (1) Oblicz RRDxdxdy, gdy D to obszar ograniczony krzywymi y = 3x2, y = 0, x = 1.
(2) Oblicz RRD(x2+ y2)dxdy, gdy D to ćwiartka koła: x2+ y2 ¬ 1, y ¬ 0, x 0.