SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 3, 2013-03-11
Pochodna
Definicja:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk , punkt x leżący wewnątrz zbioru D. Wtedy pochodną funkcji f w punkcie x, f0(x) nazywamy przekształcenie liniowe L : Rk→ Rm takie, że:
h→0lim
f (x + h) − f (x) − L(h)
||h|| = 0
Jeżeli takie przekształcenie istnieje to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x (ma pochodną). Jeżeli nie istnieje to funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie x (nie ma pochodnej).
Uwaga 1 Pochodnej f0(x) odpowiada macierz o m wierszach i k kolumnach. Jest to macierz prze- kształcenia liniowego L w standardowych bazach.
Uwaga 2 Jeżeli k = 1 to pochodną można utożsamiać z elementem przestrzeni wartośći funkcji f . Jeżeli m = 1 to pochodną można utożsamiać z elementem przestrzeni argumentów funkcji f . W ogólnym przypadku k > 1 , m > 1 pochodna jest elementem przestrzennni k · m wymiarowej.
Uwaga 3 Dla ustalonego x elementy tej macierzy są stałymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli zmienia się punkt x to elementy tej macierzy też mogą sie zmieniać; wtedy pochodną trzeba traktować jak macierz funkcji lub jak funkcję o wartościach macierzowych.
Definicja:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk jest zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest różniczkowalna dla każdego x ∈ D .
Związek różniczkowalności z ciągłością
Twierdzenie:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk jest zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w x ∈ D to jest w tym punkcie ciągła. Jeżeli jest różniczkowalna (na całej dziedzinie) to jest ciągła.
Związek pochodnej z pochodnymi cząstkowymi i kierunkowymi
Z istnienia pochodnej wynika istnienie pochodnych cząstkowych i kierunkowych.
Twierdzenie:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk , punkt x leżący wewnątrz zbioru D i niech istnieje pochodna funkcji f w punkcie x, f0(x). Wtedy dla każdego niezerowego wektora v ∈ Rk istnieje pochodna kierunkowa fv0(x) i jest ona równa:
fv0(x) = f0(x) · v
||v||
Uwaga 1 Z tego twierdzenia wynika, że istnieją wszystkie pochodne cząstkowe i są równe:
∂f
∂xi(x) = f0(x) · ei
Uwaga 2 Oznaczmy f (x) = (f1(x), f2(x), . . . fm(x)) . Wtedy pochodna funkcji jest równa:
f0(x) =
"
∂fi
∂xj
(x)
#
, i = 1, 2, . . . m, j = 1, 2, . . . k
1
Z istnienia pochodnych cząstkowych nie wynika jeszcze istnienie pochodnej. Trzeba dodatkowo założyć ich ciągłość.
Twierdzenie:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk, punkt x ∈ intD. Jeżeli w pewnym otoczniu x istnieją wszystkie pochodne cząstkowe funkcji f i są ciągłe w punkcie x to istnieje pochodna funkcji f w punkcie x.
Twierdzenie:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rkjest zbiorem otwartym. Jeżeli istnieją i są ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe funkcji f na zbiorze D to funkcja f jest różniczkowalna na tym zbiorze i jej pochodna jest funkcją ciągłą na D. Taką funkcję nazywamy funkcją klasy C1 na D .
Przykład: Znaleźć pochodną funkcji f (x1, x2) = (x21x2, 3x1+ x32, x1− x2) w punkcie x(1, −1) Mamy:
f0(x1, x2) =
∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
∂f3
∂x1
∂f3
∂x2
=
2x1x2 x21 3 3x22
1 −1
Pochodna istnieje, bo wszystkie pochodne cząstkowe są ciągłe. W punkcie (1, −1) pochodna jest równa:
f0(1, −1) =
−2 1
3 3
1 −1
Gradient
Uwaga: Pojęcie gradientu jest używane dla funkcji o wartościach w R1 (rzeczywistych).
Definicja:
Niech będzie dana funkcja f : D → R , gdzie D ⊂ Rk. Niech punkt x ∈ intD i niech istnieje pochodna f0(x). Gradientem funkcji f w punkcie x nazywamy wektor w przestrzeni Rk odpowiadający pochodnej f0(x) (mający te same współrzędne co macierz f0(x)).
gradf (x) = ∂f
∂x1(x), ∂f
∂x2(x), . . . ∂f
∂xk(x)
!
Uwaga: Pochodna kierunkowa funkcie f w kierunku wektora v jest równa fv0(x) = gradf (x) · v
||v|| = ||gradf (x)|| · cos α
gdzie α jest kątem między wektorem v a gradientem funkcji, a gradf (x) · v oznacza iloczyn skalarny wektorów. Wynika stąd, że pochodna kierunkowa jest największa gdy kierunkek wektora v równoległy do gradientu i ma ten sam zwrot. Kiedy wektor v jest prostopadły do gradientu, pochodna kierunkowa jest równa 0. Gradient jest więc wektorem prostopdałym do powierzchni stałych wartości funkcji:
f (x) = C.
Przykład 1: Obliczyć gradient f (x, y, z) = x2y − y3z oraz pochodną w kierunku wektora v = (2, −2, 1) w punkcie P (1, −1, 0)
gradf (x, y, z) = ∂f
∂x,∂f
∂y,∂f
∂z
!
= (2xy, x2− 3y2z, −y3)
2
gradf (P ) = (−2, 1, 1)
fv0(P ) = (−2, 1, 1) · (2, −2, 1)
|(2, −2, 1)| = −5 3
Przykład 2: Znaleźć płaszczyznę styczną do powierzchni S : z = x2+ y2 w punkcie P (1, −1, 2) Niech f (x, y, z) = z − x2 − y2. Gradient gradf (P ) jest wektorem prostopadłym do powierzchni S w punkcie P , a więc jest też prostopadły do płaszczyzny stycznej. Mając wektor prostopadły do płaszczyzny i punkt P leżacy na tej płaszczyźnie mozna znaleźć jej równanie:
gradf (P ) = ∂f
∂x,∂f
∂y,∂f
∂z
!
= (−2x, −2y, −1) = (−2, 2, 1) Równanie płaszczyzny stycznej:
π : −2x + 2y + z + D = 0
Podstawiając do równania punkt P obliczmy D = 2 Równanie płaszczyzny stycznej:
π : −2x + 2y + z + 2 = 0
Różniczka zupełna
Uwaga: Pojęcie różniczki zupełnej jest używane dla funkcji o wartościach w R1 (rzeczywistych).
Definicja:
Niech będzie dana funkcja f : D → R , gdzie D ⊂ Rk. Niech punkt x ∈ intD i niech istnieje pochodna f0(x). Różniczką funkcji f w punkcie x dla przyrostu argumentu dx nazywamy wartość przekształcenia liniowego f0(x) dla wektora dx:
df (x) = f0(x) · dx = ∂f
∂x1(x)dx1+ ∂f
∂x2(x)dx2+ · · · + ∂f
∂xk(x)dxk
Uwaga: Różniczka jest liniową funkcją przyrostu argumentu dx. Przy małych przyrostach argumentu można ją traktować jako przybliżenie przyrostu funkcji ∆f = f (x + dx) − f (x) .
Przykład 1 Znaleźć płaszczyznę styczną do powierzchni S : z = x2+ y2 w punkcie P (1, −1, 2) Niech z(x, y) = x2+ y2, x0 = 1 , y0 = −1 , z0 = 2 . Różniczka zupełna fukcji z(x, y) jest równa:
dz = ∂z
∂xdx + ∂z
∂ydy
∂z
∂x = 2x = 2
∂z
∂y = 2y = −2 Czyli
dz = 2dx − 2dy
Równanie płaszczyzny stycznej dostaniemy zastępujac dx = x − x0 , dy = y − y0 , dz = z − z0 , z − 2 = 2(x − 1) − 2(y + 1)
−2x + 2y + z + 2 = 0
Przykład 2 Znaleźć przybliżoną wartość wyrażenia q(1, 99)2− 3, 02 Niech f (x, y) =√
x2− y, x0 = 2 , y0 = 3 , dx = −0.01 , dy = 0, 02. Różniczka zupełna fukcji f (x, y) w punkcie (x0, y0) jest równa:
df = ∂f
∂xdx + ∂f
∂ydy
∂f
∂x = 2x
2√
x2− y = 2
3
∂f
∂y = −1
2√
x2− y = −1 2 Czyli
df = 2dx − 12dy
Ponieważ przyrosty argumentów są małe, rózniczkę df możemy traktować jako przybliżenie przyrostu wartości funkcji:
∆f ' df
f (x0+ dx, y0+ dy) − f (x0, y0) ' 2dx − 12dy
f (1, 99, 3, 02) ' f (2, 3) + 2 · (−0, 01) − 12 · (0, 02) = 0, 97
Zastosowanie różniczki zupełnej do obliczania błędów.
Przy wykonywaniu pomiarów często wyznaczamy pewną wielkość w mierząc inne wielkości x , y , z i korzystając z pewnego związku między tymi wielkościami w = f (x, y, z) . Pomiary wielkości mierzonych bezpośrednio obraczone są błądami. Obliczymy błąd wyznaczenia wielkości w.
Niech x0 , y0 , z0 oznaczają wyniki pomiarów, a xr , yr , zr , wr = f (xr, yr, zr) wartości dokładne.
Oznaczmy błędy rzeczywiste δx = xr− x0 , δy = yr− y0 , δz = zr− z0 . Wielkości tych nie znamy.
Znamy natomiast oszacowania błędów ∆x , ∆y , ∆z takie, że
|δx| ¬ ∆x , |δy| ¬ ∆y , |δz| ¬ ∆z Oznaczmy w0 = f (x0, y0, z0) wtedy δw = wr− w0 ≈ ∂f
∂x · δx+ ∂f
∂y · δy +∂f
∂z · δz Stąd:
|δw| ¬
∂f
∂x
· |δx| +
∂f
∂y
· |δy| +
∂f
∂z
· |δz| ¬
∂f
∂x
· ∆x+
∂f
∂y
· ∆y +
∂f
∂z
· ∆z Stąd:
|δw| ¬ ∆w , gdzie:
∆w =
∂f
∂x
· ∆x+
∂f
∂y
· ∆y+
∂f
∂z
· ∆z
Uwaga 1: Dla uproszczenia notacji wzór został wyrowadzony dla trzech zmiennych. Analogiczny wzór można wyprowadzić dla dowolnej liczby zmiennych.
Uwaga 2: Wielkości ∆x , ∆y , ∆z , ∆w nazywa się też błędami.
Przykład: Wyznaczyć przyśpieszenie a oraz jego błąd, korzystając ze wzoru: a = 2l
t2 jeżeli zmierzono l = 20, 0 ± 0, 2 m ; t = 2, 0 ± 0.1 s.
Dla l = 20.0 i t = 2.0 mamy a = 10
∆a=
∂a
∂l
· ∆l+
∂a
∂t
· ∆t
∆l= 0, 2
∆t= 0, 1
∂a
∂l = 2
t2 = 0, 5
∂a
∂t = −4l
t3 = −10
∆a= |0, 5| · 0, 2 + |−10| · 0, 1 = 1, 1 Odpowiedź:
a = 10.0 ± 1, 1sm2
4
