D OST˛EP D O O BIEKTÓW M ATEMATYCZNYCH

D

D

O

M

JERZYPOGONOWSKI

Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM

Obiekty matematyczne bywaj ˛a łatwiej lub trudniej dost˛epne poznawczo, przy czym niech owa dost˛epno´s´c rozumiana b˛edzie jako charakteryzowana wewn ˛atrz samej matematyki. Chodzi wi˛ec zarówno o stopie´n skomplikowania rozwa˙zanych obiektów, jak i stopie´n ich „oswojenia”, uwarunkowany historycznie. S ˛adzimy, ˙ze refleksja tego typu ma sens przy zaj˛eciu ka˙zdego z obu stanowisk w kwestii tego, czy matematyka jest odkrywana czy tworzona.

Rozwa˙za´c b˛edziemy mo˙zliwo´sci ustalania, nazwijmy to tak, skal dost˛epno´sci obiektów matematycznych przy u˙zyciu aparatu poj˛eciowego samej matematyki.

Za przykłady takich skal uwa˙zamy np.:

1. Logiczn ˛a klasyfikacj˛e poj˛e´c (hierarchia arytmetyczna i analityczna).

2. Rozszerzenia systemów liczbowych (od liczb naturalnych, przez całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone, a˙z do ogólniejszych jeszcze systemów).

Ró˙zne stopnie dost˛epno´sci przypisywa´c mo˙zemy liczbom: konstruowalnym, algebraicznym, przest˛epnym, obliczalnym, normalnym.

3. Hierarchi˛e Baire’a funkcji (wychodz ˛ac ˛a od funkcji ci ˛agłych i konstruuj ˛ac ˛a pi˛etra hierarchii z wykorzystaniem zbie˙zno´sci ci ˛agów funkcyjnych).

4. Hierarchi˛e stopni nieobliczalno´sci znan ˛a z teorii rekursji.

5. Hierarchi˛e du˙zych liczb kardynalnych w teorii mnogo´sci.

Omówienie kilku wybranych przykładów matematycznych zostanie uzupeł- nione refleksjami natury filozoficznej, dotycz ˛acymi np.: roli intuicji matematycznej w kontek´scie odkrycia, problemu bł ˛adzenia w matematyce, ustalania co jest stan- dardem, wyj ˛atkiem lub patologi ˛a, mo˙zliwo´sciami jednoznacznej charakterystyki modeli zamierzonych wybranych teorii, zwi ˛azków matematyki z naukami empi- rycznymi, ustale´n nauk kognitywnych na temat poznania matematycznego.

Praca nad odczytem została wykonana w ramach projektu badawczego NCN nr 2015/17/B/HS1/02232 Aksjomaty ekstremalne: aspekty logiczne, matematyczne i kognitywne.