Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Inżynieria Środowiska
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
7. Funkcja wymierna
Niech W (x) i Q(x) będą wielomianami. Zakładamy, że Q((x) ̸= 0. Funkcję postaci
f (x) = W (x) Q(x) nazywamy funkcją wymierną.
D
f= {x ∈ R : Q(x) ̸= 0}
Ułamki proste
Funkcje wymierne postaci
(x−a)A koraz
(x2Bx+C+px+q)m, gdzie A, B, C, a, p, q ∈ R, p
2− 4q < 0, k, m ∈ N nazywamy ułamkami prostymi.
Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu i pewnej liczby ułam- ków prostych.
Funkcja homograficzna
Funkcja homograficzna to funkcja postaci f (x) =
ax+bcx+d, gdzie ad ̸= bc, c ̸= 0.
Każdą funkcję homograficzną f (x) =
ax+bcx+dmożemy zapisać w postaci f (x) =
x−ps+ q, gdzie s, p, q ∈ R, s ̸= 0.
Na przykład weźmy funkcję f (x) =
2x+1x+3. Wtedy f (x) =
2x+1x+3= 2
x+1 2
x+3
= 2
x+3−5 2
x+3
= 2
x+3x+3− 2
x+352= 2 −
x+35. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.
y =
ac– równanie asymptoty poziomej x = −
dc– równanie asymptoty pionowej D
f= R \ {−
dc}, zbiór wartości R \ {
ac}
Równanie wymierne
W (x)
Q(x) = 0 ⇐⇒ W (x) = 0 ∧ Q(x) ̸= 0
Nierówność wymierna
W (x)
Q(x) > 0 ⇐⇒ W (x) · Q(x) > 0 ∧ Q(x) ̸= 0
Przykładowe zadania
1. Rozłożyć funkcję f (x) =
x23x+5−5x+6na sumę ułamków prostych.
Rozwiązanie:
Zapisujemy mianownik w postaci iloczynowej x
2− 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
3x+5
x2−5x+6
=
(x−2)(x−3)3x+5=
xA−2+
xB−3=
A(x(x−3)+B(x−2)−2)(x−3)=
(A+B)x(x−2)(x−3)−3A−2BMnożymy stronami przez mianownik, stąd 3x + 5 ≡ (A + B)x − 3A − 2B, czyli
{3 = A + B
5 = −3A − 2B Stąd A = −11, B = 14.
Odpowiedź:
x23x+5−5x+6=
−11x−2+
x14−3.
2. Rozłożyć funkcję f (x) =
(x+2)(x2x22+3+x+1)na sumę ułamków prostych.
Rozwiązanie:
2x2+3
(x+2)(x2+x+1)
=
x+2A+
xBx+C2+x+1=
A(x2+x+1)+(Bx+C)(x+2)(x+2)(x2+x+1)
=
(A+B)x2+(A+2B+C)x+A+2C (x+2)(x2+x+1)Zatem 2x
2+ 3 ≡ (A + B)x
2+ (A + 2B + C)x + A + 2C, czyli
2 = A + B 0 = A + 2B + C 3 = A + 2C
Stąd A =
113, B = −
53, C = −
13. Odpowiedź:
(x+2)(x2x22+3+x+1)=
11 3
x+2
+
−5 3x−13 x2+x+1
. 3. Rozwiązać równanie
x2−3x−4x−1= 0.
Rozwiązanie:
Założenia: x − 1 ̸= 0, czyli x ̸= 1.
x2−3x−4
x−1
= 0 ⇐⇒ x
2− 3x − 4 = 0
∆ = 25, x
1= −1, x = 4 Odpowiedź: x ∈ {−1, 4}.
4. Rozwiązać równanie
xx2−2−4= 0.
Rozwiązanie:
Założenia: x ̸= 2.
Rozkładamy licznik ze wzoru skróconego mnożenia (a
2− b
2= (a + b)(a − b)).
Zatem
xx2−2−4=
(x+2)(xx−2−2)= x + 2 = 0, więc x = −2 Odpowiedź: x = −2.
5. Rozwiązać równanie
2x+
x+13= 2.
Rozwiązanie:
Założenia: x ̸= 0 oraz x + 1 ̸= 0, czyli x ̸= −1, Stąd D = R \ {−1, 0}.
Przenosimy wszystko na lewą stronę
2
x
+
x+13− 2 = 0
Sprowadzamy do wspólnego mianownika
2(x+1)+3x−2x(x+1) x(x+1)
= 0
−2x2+3x+2 x(x+1)
= 0
−2x
2+ 3x + 2 = 0
∆ = 25, x
1= 2, x
2= −
12Odpowiedź: x ∈ {−
12, 2 }.
6. Rozwiązać nierówność
xx−2−1> 0.
Rozwiązanie:
D = R \ {1}, bo x − 1 ̸= 0
Nierówność
xx−2−1> 0 jest równoważna nierówności (x − 2)(x − 1) > 0
1 2 x
Odpowiedź: x ∈ (−∞, 1) ∪ [2, +∞).
7. Rozwiązać nierówność
x+35> 1.
Rozwiązanie:
Założenia: x + 3 ̸= 0, czyli x ̸= −3.
5
x+3
− 1 > 0
5−(x+3) x+3
> 0
−x+2x+3
> 0
( −x + 2)(x + 3) > 0
-3 2 x
Odpowiedź: x ∈ (−3, 2].
8. Rozwiązać nierówność
x+12x<
3x+2x+4. Rozwiązanie:
Założenia: x + 1 ̸= 0, czyli x ̸= −1 oraz x + 4 ̸= 0, czyli x ̸= −4. Stąd D = R \ {−4, −1}.
2x
x+1
−
3x+2x+4< 0
2x(x+4)−(3x+2)(x+1) (x+1)(x+4)
< 0
−x2+3x−2 (x+1)(x+4)
< 0
( −x
2+ 3x − 2)(x + 1)(x + 4) < 0
−(x − 1)(x − 2)(x + 1)(x + 4) < 0
1 x
-4 -1 2
Odpowiedź: x ∈ (−∞, −4) ∪ (−1, 1) ∪ (2, +∞).
9. Narysować wykres funkcji f (x) =
2x+1x+2. Rozwiązanie:
Zauważmy, że:
f (x) =
2x+1x+2=
12 x+2x+12
=
12 x+1 2+32
x+12
=
12 x+1 2
x+12
+
123 2
x+12
=
12+
3 4
x+12
.
Wynika stąd, że wykres funkcji f otrzymamy przesuwając wykres funkcji g(x) =
3 4
x
o wektor [ −
12,
12].
y =
12– równanie asymptoty poziomej x = −
12– równanie asymptoty pionowej
Zadania
Narysować wykres funkcji:
1. f (x) =
2x+1x. 2. f (x) =
x−13. 3. f (x) =
2x3x+2−1. 4. f (x) =
−2x−1x−1. 5. f (x) = −
|x+2|1.
6. f (x) =
x+3x−1. 7. f (x) =
1+|x|−1|x|. 8. f (x) =
|x+1|−|x−1|x
.
9. f (x) =
|x|+51. 10. f (x) =
|2−x|1+ 1.
11. f (x) =
|x−4|3. 12. f (x) =
3 −
x+21. 13. f (x) =
(x+2)1 2− 1.
14. f (x) =
(x+1)1 2− 3
.
Znaleźć dziedzinę funkcji:
15. f (x) =
2xx35−1+3. 16. f (x) =
x2−4x+4x.
17. f (x) =
(x−1)(x+2)x(x+1). 18. f (x) =
xx32−4x+3x+62+1.
19. f (x) =
x4+x12−2. 20. f (x) =
x3+2xx2−12+x. Przedstawić w postaci sumy ułamków prostych:
21.
x(x+3)x+2. 22.
x23x+7+6x+8. 23.
(x2x−1)−32.
24.
(x−1)(x+3)(x−4)x2. 25.
6xx23+x−x−1. 26.
xx34+5x+2−2x2.
27.
x3−3x−2x2. 28.
(x2−2x+3)(x+1)3−4x. 29.
x7+x2 5.
Rozwiązać równanie:
30.
2x+3x−4= 5.
31.
x2+
2x= 1.
32.
x−1x−
2x3x−2+
52= 0.
33.
2x+11x−4= 1.
34.
x+1x+2=
2xx−1.
35.
x26+x−3x−2=
x−11−
x+2x. 36.
(4x−1)(x+1)(2x+1)4x2−1
= 0.
37.
2xx−1−3+ 1 =
6x−xx+12−6.
38.
x22+x−
x12=
6x1.
39.
x33+8−
x21−4=
x2−2x+42.
40.
x2x2−36−2−
xx2−6x−2=
xx2+6x−1.
41.
x+2x+
2xx−4−5=
x42.
Rozwiązać nierówność:
42. x +
x2> 3.
43.
3x+22x+3> 1.
44.
1x+
x+11>
x(x+1)x2+1. 45.
x2+xx−6−456
3x+12. 46.
x2−4x−12x−1> 0.
47. 2 −
xx−3−2>
xx−2−1. 48.
xx+1−1+
x+1x−1>
103. 49.
3x+41−2x>
xx+2−1. 50.
−x4−xx2−12+10x> 0.
51.
2xx22−2x−15−7x+29< 1.
52.
(x+4)(x(x2−9)(x−3)2+2x+1)> 0.
53. 1 +
x−51+
x+11>
x2−x−7−4x−5. 54.
x2+2x1 −3>
2x+11.
55.
4x3x−3x2−3x+22−4x+36 1.
56.
x212−2x−3−46
x−33x−
x+1x2.
Rozwiązać równanie:
57.
|x|−12= 1.
58.
4|x|−3x= x.
59.
x+1|x|= 2x + 1.
60.
xx−2−3= 2 + |x − 4|.
61.
x+21=
x−12. 62.
x+13= 2.
Rozwiązać nierówność:
63.
x+13> 1.
64.
4|x|−xx2−42> 0.
65.
2|x|+1x+2> 1.
66.
x2|x−3|−5x+6> 2.
67.
x2−|x|−12x−3> 2x.
68.
|x−1|3>
13.
69.
xx22−3x+2+3x+2
6 1.
70.
xx22−3x−1+x+1
> 3.
71.
2xx+2−1< 2.
72. Rozwiązać układ równań:
3
x+1
+
y−22=
525
x+1
−
y−23= 1
73. Rozwiązać układ nierówności:
x2+1 x
6 2
16−5x2 3−x
