SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 3, 2013-10-25
Zależności między istnieniem granicy, monotonicznością i ograniczonością ciągu
Twierdzenie: Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny to jest ograniczony.
Twierdzenie: Ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę skończoną.
Uwaga 1: Istotnym założeniem w tym twierdzeniu jest to, że wyrazy ciągu i granica są liczbami rzeczywistymi. Dla liczb wymiernych to twierdzenie nie zachodzi.
Uwaga 2: Jeżeli ciąg jest monotoniczny i nieograniczony to ma granicę nieskończoną: ro- snący +∞ , malejący −∞
Ciąg an = (1 +n1)n
Ciąg an= (1 + 1n)n jest rosnący i ograniczony, ma więc granicę.
Dowód
an = (1 + n1)n = 1 +n11 n + n
2
! 1
n2 + n 3
! 1
n3 + · · · + n n
! 1
nn = 1 + n 1 · 1
n + n(n − 1) 2! · 1
n2 +n(n − 1)(n − 2)
3! · 1
n3 + · · · +n(n − 1)(n − 2) . . . 1
n! · 1
nn = 2 + 1 2!
1 − 1 n
+ 1 3!
1 − 1 n
·
1 − 2 n
+ · · · + 1 n!
1 − 1 n
·
1 − 2 n
· · ·
1 − n − 1 n
Widać, że każde wyrażenie w nawiasach jest dodatnie i mniejsze od 1. Stąd an < 2 + 1
2! + 1
3!+ · · · + 1
n! = 2 + 1 2+ 1
2 · 3+ · · · + 1
2 · 3 · · · n < 2 +1 2 + 1
22 + · · · + 1 2n−1 <
2 + 1 2 + 1
22 + · · · = 2 +1 2 · 1
1 −12 = 3
Mamy więc dowód, ze ciąg (an) jest ograniczony od góry.
Widać, że ciąg jest rosnący. Jeśli zmienimy n na n + 1 to:
1. Dojdzie jeden wyraz dodatni:n+1n+1 1 (n + 1)n+1 2. Każdy składnik sumy zwiększy się, np:
1 3!
1 − 1 n + 1
·
1 − 2 n + 1
> 1 3!
1 − 1 n
·
1 − 2 n
Granicę tego ciągu oznaczamy e
n→∞lim(1 + n1)n = e
Liczba e jest liczbą niewymierną. Nawywamy ją liczbą Eulera. Jej przybliżenie jest równe:
e = 2.71828182846 . . .
Uwaga 1: Liczba e często stosujemy jako podstawę funkcji wykładniczej ex oraz logarytmu logex . Logarytm przy podstawie e nazwyamy logarytmem naturalnym i oznaczamy:
ln x = logex
Uwaga 2: Symbol log x oznacza zwykle logarytm przy podstawie 10 : log x = log10x . Czasami jednak, może oznaczać logarytm naturalny.
Można pokazać, że ciąg bn= (1 + n1)n+1 jest malejący. Jego granica jest równa:
n→∞lim(1 + n1)n+1 = lim
n→∞(1 + n1)n· (1 + 1n) = e · 1 = e
Wynikają stąd następujące ważne nierówności:
an < e < bn dla każdego n ∈ N (1 + n1)n < e < (1 +n1)n+1 Logarytmując nierówności:
n ln1 + n1< 1 < (n + 1) ln1 + n1 Czyli
1
n + 1 < ln
1 + 1 n
< 1 n
Twierdzenie: Dany jest ciąg (an) taki, że an > −1 , an 6= 0 oraz lim
n→∞an= 0 Wtedy istnieje granica:
n→∞lim
1 + an
1 an = e
Uwaga: Z twierdzenia tego korzystamy często obliczając granice typu 1∞
Przykład: Obliczyć lim
n→∞
n2 + 4 n2 + 2
!n2−1
Jest to granica typu 1∞. Przekształcamy wyraz ciągu taj, aby skorzystać z twierdzenia:
n2+ 4 n2+ 2
!n2−1
=
1 + 2 n2 + 2
n2−1
Stosujemy twierdzenie biorąc an= 2 n2+ 2 Widać, że lim
n→∞
2
n2+ 2 = 0
Przekształcamy wykładnik, aby uzyskać w nim 1 an
= n2 + 2 2
1 + 2 n2+ 2
n2−1
=
1+ 2 n2+ 2
n2+ 2
2 · 2
n2 + 2 · (n2− 1)
=
1 + 2 n2+ 2
n2+ 2 2
2
n2+ 2 · (n2− 1)
Obliczmy granice:
n→∞lim
1 + 2 n2+ 2
n2+ 2
2 = e : korzystamy z twierdzenia
n→∞lim 2
n2+ 2 · (n2− 1) = lim
n→∞
2n2− 2
n2+ 2 = lim
n→∞
n2(2 −n22) n2(1 + n22) = 2 Stąd:
n→∞lim
n2+ 4 n2+ 2
!n2−1
= e2
Elementy topologii
Własności topologiczne zbiorów można analizować korzystając z pojęcia granicy ciągu lub z otoczeń punktu. Są to podejścia równoważne.
Poniżej zakładamy, że zbiory A, B ⊂ R
Definicja: Niech x ∈ R będzie dowolnym punktem. Wtedy otoczeniem punktu x nazywamy przedział Oε= (x − ε , x + ε) dla ε > 0
Definicja: Punkt x ∈ R nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie Oε punktu x zawarte w A : Oε ⊂ A
Definicja: Punkt x ∈ R nazywamy punktem zewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie Oε punktu x rozłączne z A : Oε∩ A = ∅
Definicja: Punkt x ∈ R nazywamy punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy x nie jest ani punktem wewnętrznym zbioru A , ani punktem zewnętrznym zbioru A.
Uwaga: Punkt x ∈ R jest punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie punktu x zawiera punkty zbioru A oraz punkty nie należące do A.
Definicja: Wnętrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A. Wnętrzne A oznaczamy int A (interior).
Definicja: Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A.
Brzeg A oznaczamy ∂A .
Definicja: Domknięciem zbioru A nazywamy A = A ∪ ∂A .
Uwaga: Każdy zbiór A dzieli zbiór R na trzy rozłączne części: int A , ∂A i zbiór punktów zewnętrznych.
Przykład 1: Dla A =< 0, 1 >
int A = (0, 1) , ∂A = {0, 1} , A =< 0, 1 >
Przykład 2: Dla A =< 0, 1)
int A = (0, 1) , ∂A = {0, 1} , A =< 0, 1 >
Przykład 3: Dla A =< 0, ∞)
int A = (0, ∞) , ∂A = {0} , A =< 0, ∞ >
Przykład 4: Dla A - zbiór liczb wymiernych int A = ∅ , ∂A = R , A = R
Przykład 4: Dla A = {2, 3}
int A = ∅ , ∂A = {2, 3} , A = {2, 3}
Pewne własności: ( Oznaczamy: A0 = R \ A) int A ⊂ A ⊂A
(int A)0 = A0
∂A = A \ int A
∂A = A ∩ A0
Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy A = int A Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy A = A Przykład 1: Poniższe zbiory są otwarte:
A = (0, 1) , A = R , A = ∅ , A = (1, 3) ∪ (5, 6) , A = (0, ∞) Przykład 2: Poniższe zbiory są domknięte:
A =< 0, 1 > , A = R , A = ∅ , A =< 1, 3 > ∪ < 5, 6 > , A = N , A =< 0, ∞) Przykład 3: Poniższe zbiory nie są otwarte ani domknięte:
A =< 0, 1) , A = (1, 3) ∪ < 5, 6 > , A = Q Pewne własności:
Jeśli zbiory Oα są otwarte to zbiór S
αOα jest otwarty Jeśli zbiory Dα są domknięte to zbiór T
α
Dα jest domknięty
Jeśli zbiory O1, O2 są otwarte to zbiór O1∩ O2 jest otwarty Jeśli zbiory D1, D2 są domknięte to zbiór D1 ∪ D2 jest domknięty
Uwaga: Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest otwarta. Iloczyn dwóch zbiorów otwar- tych jest otwarty. Wynika stąd, że iloczyn skończonej ilości zbiorów otwartych jest otwarty.
Dla nieskończonej ilości zbiorów otwrtych tak już być nie musi, o czym świadczy poniższy przykład:
Przykład: On= (−1 n,1
n) - zbiory otwarte. Zbiór T
n∈N
On= {0} nie jest otwarty
Definicja: Liczbę x ∈ R nazywamy punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ A \ {x}
Definicja: Liczbę x ∈ A nazywamy punktem izolowanym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy x /∈ A \ {x}
Przykład 1: A = (0, 1)
Zbiór punktów skupienia A - < 0, 1 > ; zbiór punktów izolowanych A - ∅ Przykład 2: A = {1
n : n ∈ N}
Zbiór punktów skupienia A - {0} ; zbiór punktów izolowanych A - {1
n : n ∈ N}
Przykład 3: A = Q
Zbiór punktów skupienia A - R ; zbiór punktów izolowanych A - ∅
Przykład własności topologicznych opisywanych za pomocą granic ciągów:
Twierdzenie: x ∈ R jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg
xn
n∈N , xn ∈ A , xn 6= x taki, że lim
n→∞xn = x
Granica funkcji
Definicja: Niech dana będzie funkcja f : D → R , D ⊂ R oraz punkt skupienia a zbioru D.
Mówimy, że b ∈ R jest granicą funkcji f w punkcie a (oznaczenie: limx→a = b ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) spełniającego warunki:
(∀n)xn ∈ D (∀n)xn 6= a
n→∞lim xn = a zachodzi lim
n→∞f (xn) = b
Uwaga 1: Równoważną definicję granicy można sformułować używając otoczeń.
Uwaga 2: Warunek a jest punktem skupienia zbioru D oznacza, że istnieje przynajmniej jeden ciąg xn spełniający żądane warunki.
Uwaga 3: Analogicznie definiujemy granicę dla a = ±∞ oraz b = ±∞ . Dla a = +∞
należy jedynie zastąpić warunek a jest punktem skupienia zbioru D warunkiem D nie jest ograniczony od góry. Podobnie dla a = −∞.
Przykład: Obliczyć granicę funkcji lim
x→2(4x2− 3x) Weźmy dowolny ciąg (xn) : xn∈ R , xn6= 2 , oraz lim
n→∞xn = 2 Obliczmy granicę ciągu: lim
n→∞(4x2n− 3xn) = 16 − 6 = 10
Widzimy, że granica ta nie zależy od wyboru ciągu (xn) , a więc granica funkcji f istnieje i jest równa: lim
x→2(4x2− 3x) = 10