• Nie Znaleziono Wyników

(1)SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład Zależności między istnieniem granicy, monotonicznością i ograniczonością ciągu Twierdzenie: Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny to jest ograniczony

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(1)SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład Zależności między istnieniem granicy, monotonicznością i ograniczonością ciągu Twierdzenie: Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny to jest ograniczony"

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 3, 2013-10-25

Zależności między istnieniem granicy, monotonicznością i ograniczonością ciągu

Twierdzenie: Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny to jest ograniczony.

Twierdzenie: Ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę skończoną.

Uwaga 1: Istotnym założeniem w tym twierdzeniu jest to, że wyrazy ciągu i granica są liczbami rzeczywistymi. Dla liczb wymiernych to twierdzenie nie zachodzi.

Uwaga 2: Jeżeli ciąg jest monotoniczny i nieograniczony to ma granicę nieskończoną: ro- snący +∞ , malejący −∞

Ciąg an = (1 +n1)n

Ciąg an= (1 + 1n)n jest rosnący i ograniczony, ma więc granicę.

Dowód

an = (1 + n1)n = 1 +n11 n + n

2

! 1

n2 + n 3

! 1

n3 + · · · + n n

! 1

nn = 1 + n 1 · 1

n + n(n − 1) 2! · 1

n2 +n(n − 1)(n − 2)

3! · 1

n3 + · · · +n(n − 1)(n − 2) . . . 1

n! · 1

nn = 2 + 1 2!



1 − 1 n



+ 1 3!



1 − 1 n



·



1 − 2 n



+ · · · + 1 n!



1 − 1 n



·



1 − 2 n



· · ·



1 − n − 1 n



Widać, że każde wyrażenie w nawiasach jest dodatnie i mniejsze od 1. Stąd an < 2 + 1

2! + 1

3!+ · · · + 1

n! = 2 + 1 2+ 1

2 · 3+ · · · + 1

2 · 3 · · · n < 2 +1 2 + 1

22 + · · · + 1 2n−1 <

2 + 1 2 + 1

22 + · · · = 2 +1 2 · 1

1 −12 = 3

Mamy więc dowód, ze ciąg (an) jest ograniczony od góry.

Widać, że ciąg jest rosnący. Jeśli zmienimy n na n + 1 to:

1. Dojdzie jeden wyraz dodatni:n+1n+1 1 (n + 1)n+1 2. Każdy składnik sumy zwiększy się, np:

1 3!



1 − 1 n + 1



·



1 − 2 n + 1



> 1 3!



1 − 1 n



·



1 − 2 n



Granicę tego ciągu oznaczamy e

n→∞lim(1 + n1)n = e

Liczba e jest liczbą niewymierną. Nawywamy ją liczbą Eulera. Jej przybliżenie jest równe:

e = 2.71828182846 . . .

Uwaga 1: Liczba e często stosujemy jako podstawę funkcji wykładniczej ex oraz logarytmu logex . Logarytm przy podstawie e nazwyamy logarytmem naturalnym i oznaczamy:

ln x = logex

Uwaga 2: Symbol log x oznacza zwykle logarytm przy podstawie 10 : log x = log10x . Czasami jednak, może oznaczać logarytm naturalny.

Można pokazać, że ciąg bn= (1 + n1)n+1 jest malejący. Jego granica jest równa:

n→∞lim(1 + n1)n+1 = lim

n→∞(1 + n1)n· (1 + 1n) = e · 1 = e

(2)

Wynikają stąd następujące ważne nierówności:

an < e < bn dla każdego n ∈ N (1 + n1)n < e < (1 +n1)n+1 Logarytmując nierówności:

n ln1 + n1< 1 < (n + 1) ln1 + n1 Czyli

1

n + 1 < ln



1 + 1 n



< 1 n

Twierdzenie: Dany jest ciąg (an) taki, że an > −1 , an 6= 0 oraz lim

n→∞an= 0 Wtedy istnieje granica:

n→∞lim



1 + an



1 an = e

Uwaga: Z twierdzenia tego korzystamy często obliczając granice typu 1

Przykład: Obliczyć lim

n→∞

n2 + 4 n2 + 2

!n2−1

Jest to granica typu 1. Przekształcamy wyraz ciągu taj, aby skorzystać z twierdzenia:

n2+ 4 n2+ 2

!n2−1

=



1 + 2 n2 + 2

n2−1

Stosujemy twierdzenie biorąc an= 2 n2+ 2 Widać, że lim

n→∞

2

n2+ 2 = 0

Przekształcamy wykładnik, aby uzyskać w nim 1 an

= n2 + 2 2



1 + 2 n2+ 2

n2−1

=

1+ 2 n2+ 2

n2+ 2

2 · 2

n2 + 2 · (n2− 1)

=

1 + 2 n2+ 2

n2+ 2 2

2

n2+ 2 · (n2− 1)

Obliczmy granice:

n→∞lim

1 + 2 n2+ 2

n2+ 2

2 = e : korzystamy z twierdzenia

n→∞lim 2

n2+ 2 · (n2− 1) = lim

n→∞

2n2− 2

n2+ 2 = lim

n→∞

n2(2 −n22) n2(1 + n22) = 2 Stąd:

n→∞lim

n2+ 4 n2+ 2

!n2−1

= e2

Elementy topologii

Własności topologiczne zbiorów można analizować korzystając z pojęcia granicy ciągu lub z otoczeń punktu. Są to podejścia równoważne.

Poniżej zakładamy, że zbiory A, B ⊂ R

Definicja: Niech x ∈ R będzie dowolnym punktem. Wtedy otoczeniem punktu x nazywamy przedział Oε= (x − ε , x + ε) dla ε > 0

(3)

Definicja: Punkt x ∈ R nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie Oε punktu x zawarte w A : Oε ⊂ A

Definicja: Punkt x ∈ R nazywamy punktem zewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie Oε punktu x rozłączne z A : Oε∩ A = ∅

Definicja: Punkt x ∈ R nazywamy punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy x nie jest ani punktem wewnętrznym zbioru A , ani punktem zewnętrznym zbioru A.

Uwaga: Punkt x ∈ R jest punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy każde otoczenie punktu x zawiera punkty zbioru A oraz punkty nie należące do A.

Definicja: Wnętrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A. Wnętrzne A oznaczamy int A (interior).

Definicja: Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A.

Brzeg A oznaczamy ∂A .

Definicja: Domknięciem zbioru A nazywamy A = A ∪ ∂A .

Uwaga: Każdy zbiór A dzieli zbiór R na trzy rozłączne części: int A , ∂A i zbiór punktów zewnętrznych.

Przykład 1: Dla A =< 0, 1 >

int A = (0, 1) , ∂A = {0, 1} , A =< 0, 1 >

Przykład 2: Dla A =< 0, 1)

int A = (0, 1) , ∂A = {0, 1} , A =< 0, 1 >

Przykład 3: Dla A =< 0, ∞)

int A = (0, ∞) , ∂A = {0} , A =< 0, ∞ >

Przykład 4: Dla A - zbiór liczb wymiernych int A = ∅ , ∂A = R , A = R

Przykład 4: Dla A = {2, 3}

int A = ∅ , ∂A = {2, 3} , A = {2, 3}

Pewne własności: ( Oznaczamy: A0 = R \ A) int A ⊂ A ⊂A

(int A)0 = A0

∂A = A \ int A

∂A = A ∩ A0

Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy A = int A Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy A = A Przykład 1: Poniższe zbiory są otwarte:

A = (0, 1) , A = R , A = ∅ , A = (1, 3) ∪ (5, 6) , A = (0, ∞) Przykład 2: Poniższe zbiory są domknięte:

A =< 0, 1 > , A = R , A = ∅ , A =< 1, 3 > ∪ < 5, 6 > , A = N , A =< 0, ∞) Przykład 3: Poniższe zbiory nie są otwarte ani domknięte:

A =< 0, 1) , A = (1, 3) ∪ < 5, 6 > , A = Q Pewne własności:

Jeśli zbiory Oα są otwarte to zbiór S

αOα jest otwarty Jeśli zbiory Dα są domknięte to zbiór T

α

Dα jest domknięty

(4)

Jeśli zbiory O1, O2 są otwarte to zbiór O1∩ O2 jest otwarty Jeśli zbiory D1, D2 są domknięte to zbiór D1 ∪ D2 jest domknięty

Uwaga: Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest otwarta. Iloczyn dwóch zbiorów otwar- tych jest otwarty. Wynika stąd, że iloczyn skończonej ilości zbiorów otwartych jest otwarty.

Dla nieskończonej ilości zbiorów otwrtych tak już być nie musi, o czym świadczy poniższy przykład:

Przykład: On= (−1 n,1

n) - zbiory otwarte. Zbiór T

n∈N

On= {0} nie jest otwarty

Definicja: Liczbę x ∈ R nazywamy punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ A \ {x}

Definicja: Liczbę x ∈ A nazywamy punktem izolowanym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy x /∈ A \ {x}

Przykład 1: A = (0, 1)

Zbiór punktów skupienia A - < 0, 1 > ; zbiór punktów izolowanych A - ∅ Przykład 2: A = {1

n : n ∈ N}

Zbiór punktów skupienia A - {0} ; zbiór punktów izolowanych A - {1

n : n ∈ N}

Przykład 3: A = Q

Zbiór punktów skupienia A - R ; zbiór punktów izolowanych A - ∅

Przykład własności topologicznych opisywanych za pomocą granic ciągów:

Twierdzenie: x ∈ R jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg

xn

n∈N , xn ∈ A , xn 6= x taki, że lim

n→∞xn = x

Granica funkcji

Definicja: Niech dana będzie funkcja f : D → R , D ⊂ R oraz punkt skupienia a zbioru D.

Mówimy, że b ∈ R jest granicą funkcji f w punkcie a (oznaczenie: limx→a = b ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) spełniającego warunki:

(∀n)xn ∈ D (∀n)xn 6= a

n→∞lim xn = a zachodzi lim

n→∞f (xn) = b

Uwaga 1: Równoważną definicję granicy można sformułować używając otoczeń.

Uwaga 2: Warunek a jest punktem skupienia zbioru D oznacza, że istnieje przynajmniej jeden ciąg xn spełniający żądane warunki.

Uwaga 3: Analogicznie definiujemy granicę dla a = ±∞ oraz b = ±∞ . Dla a = +∞

należy jedynie zastąpić warunek a jest punktem skupienia zbioru D warunkiem D nie jest ograniczony od góry. Podobnie dla a = −∞.

Przykład: Obliczyć granicę funkcji lim

x→2(4x2− 3x) Weźmy dowolny ciąg (xn) : xn∈ R , xn6= 2 , oraz lim

n→∞xn = 2 Obliczmy granicę ciągu: lim

n→∞(4x2n− 3xn) = 16 − 6 = 10

Widzimy, że granica ta nie zależy od wyboru ciągu (xn) , a więc granica funkcji f istnieje i jest równa: lim

x→2(4x2− 3x) = 10

Cytaty

Powiązane dokumenty

13 W przestrzeniach metrycznych można zdefiniować symetralną (jako zbiór tych punk- tów, które są równoodległe od dwóch ustalonych punktów)?. Jak wyglądają symetralne w

- ściśle rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest nieujemna oraz między każdymi dwoma punktami przedziału P znajduje się punkt, w którym pochodna ' f jest dodatnia, -

Zbieżność i granica nie zależą od pominięcia lub zmiany skończe- nie wielu początkowych wyrazów

Granicę tę oznacza się

Podaj jego postać rekurencyjną.. Opracowała:

Dla dodatniej liczby naturalnej n znaleźć wzór na największą potęgę liczby pierwszej p dzielącą n!4. Rozłożyć na czynniki pierwsze

Czy nie przeczy to tezie, że pierwszy wyraz ciągu nie może mieć wpływu na

(2).Ta własność jest najważniejsza, bo z niej wynika wiele pozostałych.. Jej dowód