Transformata Fouriera
Naszym zadaniem jest znalezienie transofrmaty furierowskiej sygnału:
( )
i(
i) (
i)
i) sin t sin 2 t sin 3 t
t (
x = ω + ω + ω
gdzie:
N , 1 i i ti =∆⋅ =
T 2π
ω = jest częstościa
Proszę przyjąć okres równy T=20s, a sygnał zbierany jest przez czas równy tmax =3T. Wobec tego otrzymujemy warunek na krok czasowy:
N tmax
=
∆
Do znalezienia transformaty fouriera proszę wykorzystać procedurę four1 z biblioteki numerical recipes:
call four1(syg,n,isign)
gdzie:
syg(2*n) – jest tablicą rzeczywistą zawierającą nasz sygnał, przy czym
należy jednak pamietać, że:
syg(2*k+1) to części rzeczywiste naszego sygnału
syg(2*k+2)=0 bo są częściami urojonymi w kolejnych chwilach czasowych i k=0,n-1
isign=1 szuka transformaty fouriera isign= -1 szuka transformaty odwrotnej
Procedura zwraca transormatę sygnału (dodatnie częstości) w tablicy syg(i) w takiej samej kolejności dla i=1,n
Dla i=n+1,...2*n zawiera ona częstości ujemne, które nas nie interesuja.
Na podstawie otrzymanej transformaty Fouriera proszę określić częstość podstawową i kolejne mody.
Zadanie dodatkowe: Usuwanie szumów.
Jako sygnał bierzemy:
( )
t sin(
2 t)
sin(
3 t)
7*yn si ) t (
x i = ω i + ω i + ω i +
gdzie: y jest liczbą losową z przedziału [0,1] uzyskaną z generatora liczb pseudolosowych
Przebieg czasowy zaszumionego sygnału widoczne jest na rysunku (a). Natomiast na rysunku (b) widoczna jest część urojona jego transformaty furierowskiej.
a) b)
Interesują nas tylko mody o dużej amplitudzie, które są widoczne w powiększeniu na rysunku (c). Wyższe częstotliwości stanowią szum, więc je wycinamy („zerujemy”) – tzw. dyskryminacja sygnału. Następnie liczymy odwrotną transformatę Fouriera (isign=-1) i otrzymany wynik dzielimy jeszcze przez N/4. Przebieg czasowy odszumionego sygnału zamieszczony jest na rysunku (d). Dla porównania, czerwonymi kropkami zaznaczono na nim sygnał „idealny”, czyli bez szumów. Pokrywanie się obu przebiegów jest tym lepsze im większa jest częstotliwość próbkowania (na rysunku N=16 384, proszę spróbować dla większych wartosci N).
c) d)