Matematyka dyskretna - wykład 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego

Matematyka dyskretna - wykład 1. Relacje

Definicja 1.1

Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X×

Y , którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x ∈ X i y ∈ Y . Uwaga 1.1

Jeśli R jest relacją w zbiorze X×X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X.

Rozważmy relację R ⊂ X ×X. Relację R nazywamy zwrotną, gdy:

^

x∈X

(x, x) ∈ R symetryczną, gdy:

^

x,y∈X

(x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R antyzwrotną, gdy:

^

x∈X

(x, x) /∈ R słabo antysymetryczną, gdy:

^

x,y∈X

((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R) ⇒ x = y) antysymetryczną, gdy:

^

x,y∈X

(x, y) ∈ R ⇒ (y, x) /∈ R przechodnią, gdy:

^

x,y,z∈X

((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R) ⇒ (x, z) ∈ R) spójną, gdy:

^

x,y∈X

(x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R

Niech X = {x₁, . . . , x_n} oraz R ⊂ X ×X. Wówczas relacji R możemy przy- porządkować macierz n × n zdefiniowaną w następujący sposób:

M_R= [r_ij], gdzie r_ij =

( 0, gdy (x_i, x_j) /∈ R 1, gdy (xi, xj) ∈ R

Definicja 1.2

Grafem skierowanym prostym nazywamy parę (V, D), gdzie V jest zbiorem skończonym (zbiór wierzchołków), a D jest podzbiorem V ×V (zbiór krawędzi skierowanych i łuków)

Definicja 1.3

Grafem nieskierowanym nazywamy parę (V, E), gdzie V jest zbiorem skoń- czonym (zbiór wierzchołków), a E ⊆ P₂(V ) (zbiór krawędzi nieskierowanych).

P₂(V ) - rodzina dwuelementowych podzbiorów zbioru V .

Niech R, S będą relacjami w zbiorze X ×X. Wówczas sumą relacji R, S jest zbiór R ∪ S, iloczynem (przekrójem) relacji R, S jest zbiór R ∩ S. Dopełnie- niem relacji R jest zbiór X \ R.

Relacją odwrotną do relacji R określamy zbiór:

R⁻¹ = {(x, y) ∈ X ×X: (y, x) ∈ R}

Uwaga 1.2

Relacja R ⊂ X ×X jest symetryczna, wtedy i tylko wtedy, gdy R = R⁻¹.

Lemat 1.1

Jeżeli (R_t)_t∈T jest rodziną relacji przechodnich w zbiorze X, to przekrój wszystkich relacji z tej rodziny też jest relacją przechodnią.

Definicja 1.4

Przechodnim domknięciem relacji R w zbiorze X nazywamy przekrój wszyst- kich relacji przechodnich zawierających relację R. Przechodnie domknięcie oznaczamy symbolem R^∗

Ponadto zdefiniujmy ciąg relacji: R⁽¹⁾ = R, R⁽²⁾ = R ◦ R, R⁽ⁿ⁺¹⁾ = R ◦ R⁽ⁿ⁾.

Lemat 1.2

R^∗ =

∞

[

n=1

R⁽ⁿ⁾ Dowód:

Niech Z = {S ⊂ X ×X: S jest przechodnia ∧ R ⊂ S}. Zauważmy, że:

(x, y) ∈ R ⇒ ^{^}

S∈Z

(x, y) ∈ S ⇒ (x, y) ∈^\Z ⇒ R ⊂ ^\Z Wówczas:

(x, y) ∈

∞

[

n=1

R⁽ⁿ⁾ ⇔ ^_

m∈N

(x, y) ∈ R^(m) A więc istnieją w zbiorze X elementy v₁, . . . , v_m−1 takie, że:

(x, v₁) ∈ R ∧ (v₁, v₂) ∈ R ∧ . . . ∧ (v_m−1, y) ∈ R Ponieważ R jest zawarte w każdej relacji S ze zbioru Z, to:

^

S∈Z

(x, v₁) ∈ S ∧ (v₁, v₂) ∈ S ∧ . . . ∧ (v_m−1, y) ∈ S Ponieważ każda relacja S jest przechodnia, to:

^

S∈Z

(x, y) ∈ S ⇔ (x, y) ∈^\Z

Ostatecznie: _∞

[

n=1

R⁽ⁿ⁾ ⊆^\Z Zauważmy, że:

R = R⁽¹⁾ ⊆

∞

[

n=1

R⁽ⁿ⁾

Pokażemy, że R^∗ jest relacją przechodnią. Niech (x, y), (y, z) ∈ R^∗. Wówczas:

_

m,p∈N

(x, y) ∈ R^(m) ∧ (y, z) ∈ R^(p)

Więc istnieją w zbiorze X elementy v₁, . . . , v_m−1, u₁, . . . , u_p−1 takie, że:

(x, v₁) ∈ R ∧ . . . ∧ (v_m−1, y) ∈ R ∧ (y, u₁) ∈ R ∧ . . . ∧ (u_p−1, z) ∈ R Niech y = vm. Wtedy powyższa koniunkcja oznacza, że element (x, z) należy do (m + p)-krotnego złożenia relacji R. A więc:

(x, z) ∈ R^(m+p) ⇒ (x, z) ∈

∞

[

n=1

R⁽ⁿ⁾

co oznacza przechodniość relacji R^∗. Skoro R^∗ jest relacją przechodnią i za- wiera relację R, to R^∗∈ Z oraz ^TZ ⊆ R^∗, skąd wynika dowodzona równość.

Niech M_R = [r_ij] oraz M_S = [s_ij] będą macierzami relacji R, S w zbiorze skończonym X. Wówczas definiujemy następujące macierze:

(a) M_R∪S = [ r_ij ∨ s_ij ] (b) M_R∩S = [ r_ij ∧ s_ij ] (c) M_R⁻¹ = [ r_ji ]

(d) M_R⁰ = [ ∼ r_ij ]

(e) M_R◦S = [ c_ij ] gdzie: c_ij = (r_i1∧ s_1j) ∨ (r_i2∧ s_2j) ∨ . . . ∨ (r_in∧ s_nj).

Definicja 1.5

Relacja R jest porządkiem w zbiorze P , gdy jest zwrotna, słabo antysyme- tryczna i przechodnia.

Jeżeli relacja R jest spójna, to mówimy, że porządek R jest liniowy.

Zbiór P , w którym określona jest relacja porządkująca R oznaczamy symbo- lem (P, R) lub (P, ¬).

Definicja 1.6

Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym. Przedziałem wyznaczonym przez elementy a, b ∈ P nazywamy podzbiór:

[a, b] = {x ∈ P : a ¬ x ¬ b}

Zauważmy następujące wynikania:

[a, b] 6= Ø ⇒ ^_

x∈P

x ∈ [a, b] ⇒ a ¬ x ¬ b ⇒ a ¬ b

∼ (a ¬ b) ⇒ [a, b] = Ø (a ¬ b) ⇒ a, b ∈ [a, b]

Ponadto definiujemy jeszcze następujące przedziały:

(a, b] = [a, b] \ {a}

(←, b] = {x ∈ P : x ¬ b}

[a, →) = {x ∈ P : a ¬ x}

Definicja 1.7

Niech a, b ∈ P i a 6= b. Element a nazywamy poprzednikiem elementu b (element b nazywamy następnikiem elementu a), jeśli |[a, b]| = 2, czyli gdy [a, b] = {a, b}.

Definicja 1.8

Diagramem Hassego zbioru uporządkowanego nazywamy graf relacji następ- nika.

Definicja 1.9

Niech (X, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym. Element a ∈ X nazywamy maksymalnym jeśli nie poprzedza on żadnego elementu w zbiorze X:

∼ ^_

x∈X

(a ¬ x ∧ a 6= x)

Element a ∈ X nazywamy największym, jeśli spełniony jest warunek:

^

x∈X

x ¬ a

Element a ∈ X nazywamy minimalnym, jeśli nie poprzedza go żaden element zbioru X:

∼ ^_

x∈X

(x ¬ a ∧ x 6= a)

Element a ∈ X nazywamy najmniejszym, jeśli spełniony jest warunek:

^

x∈X

a ¬ x

Definicja 1.10

Niech A ⊂ X, będzie podzbiorem zbioru uporządkowanego (X, ¬). Element a ∈ X nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A, jeśli zachodzi warunek:

^

x∈A

x ¬ a

Element a ∈ X nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A, jeśli zachodzi warunek:

^

x∈A

a ¬ x

Jeśli zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru A ma element najmniejszy, to nazywamy go kresem górnym zbioru A i oznaczamy sup A.

Jeśli zbiór wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A ma element największy, to nazywamy go kresem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A.

Definicja 1.11

Zbiór uporządkowany (P, ¬) nazywamy kratą, jeśli każdy dwuelementowy podzbiór zbioru P ma kres górny i kres dolny w zbiorze P .

Definujemy działania ∨ oraz ∧ w następujący sposód:

a ∨ b = c ⇔ sup{a, b} = c oraz a ∧ b = c ⇔ inf{a, b} = c

Uwaga 1.3

Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym i niech a, b, c ∈ P . Jeśli c jest kresem dolnym zbioru {a, b}, to zachodzi warunek:

^

d∈P

(d ¬ a ∧ d ¬ b) ⇔ d ¬ c

Jeśli c jest kresem górnym zbioru {a, b}, to zachodzi warunek:

^

d∈P

(a ¬ d ∧ b ¬ d) ⇔ c ¬ d

Twierdzenie 1.1

W zbiorze uporządkowanym (P. ¬) działania ∨ oraz ∧ są przemienne, łączne i spełniają warunki pochłaniania, tzn.:

^

a,b∈P

(a ∨ b) ∧ a = a i ^{^}

a,b∈P

(a ∧ b) ∨ b = b

Twierdzenie 1.2

Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym i niech a, b ∈ P . Wówczas:

a ¬ b ⇔ ((a ∨ b = b) ∧ (a ∧ b = a))

Twierdzenie 1.3

Każda krata skończona ma element największy i element najmniejszy.

Definicja 1.13

Jeśli krata ma element największy i element najmniejszy, to element b nazy- wamy uzupełnieniem elementu a, jeśli a ∨ b = 1 oraz a ∧ b = 0

Definicja 1.14

Mówimy, że krata jest rozdzielna jeśli dla każdych elementów a, b, c prawdzi- we są równości:

(a) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) (b) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) Definicja 1.15

Algebrą Boole’a nazywamy kratę rozdzielną zawierającą element największy i element najmniejszy, w której każdy element ma swoje uzupełnienie.

Definicja 1.16

Niech (P, ¬₁) i (Q, ¬₂) będą zbiorami uporządkowanymi. Izomorfizmem zbio- rów uporządkowanych nazywamy każde odwzorowanie odwracalne ψ: P → Q takie, że:

^

a,b∈P

(a ¬₁ b ⇔ ψ(a) ¬₂ ψ(b))

Definicja 1.17

Niech ¬₁ i ¬₂ będą porządkami w zbiorze P . Mówimy, że ¬₂ jest rozszerze- niem ¬₁, gdy:

^

a,b∈P

(a ¬₁ b ⇒ a ¬₂ b

Przykład 1.1

Zwykły porządek ¬ w zbiorze liczb naturalnych jest rozszerzeniem porządku

| wyznaczonego przez relację podzielności.

^

a,b∈N

(a|b ⇒ a ¬ b)

Definicja 1.18

Niech (P₁, ¬₁), . . . , (P_n, ¬_n) będą zbiorami uporządkowanymi. Utwórzmy zbiór P = P₁×. . .×P_n i zdefiniujmy nowy porządek w zbiorze P .

Niech (a₁, . . . , a_n), (b₁, . . . , b_n) ∈ P , wówczas:

(a₁, . . . , a_n) ¬ (b₁, . . . , b_n) ⇔ a₁ ¬₁ b₁ ∧ . . . ∧ a_n¬_n b_n Tak określony porządek nazywamy produktowym.

Definicja 1.19

Niech (P₁, ¬₁), . . . , (Pn, ¬n) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi. Niech P = P₁×. . .×P_n. Niech (a₁, . . . , a_n), (b₁, . . . , b_n) ∈ P . Określmy następujący porządek:

(a₁, . . . , a_n) ¬ (b₁, . . . , b_n) ⇔

( (a₁, . . . , a_n) = (b₁, . . . , b_n)

a_i ¬ b_i, gdzie: i = min{t: a_t¬ b_t} Tak zdefiniowany porządek nazywamy leksykograficznym.

2. Rozmieszczanie przedmiotów w pudełkach

Niech danych będzie n pudełek i k przedmiotów. Załóżmy, że w każdym pudełku mieści się co najwyżej jeden przedmiot.

1^◦

Załóżmy, że pudełka są rozróżnialne i przedmioty są rozróżnialne. Wówczas opisem rozmieszczenia jest funkcja różnowartościowa ze zbioru przedmiotów w zbiór pudełek (wariacja bez powtórzeń). Liczba rozmieszczeń wynosi:

n!

(n − k)!

2^◦

Załóżmy, że pudełka są nierozróżnialne a przedmioty są rozróżnialne. Wów- czas istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie.

3^◦

Załóżmy, że pudełka są rozróżnialne a przedmioty są nierozróżnialne. Wów- czas opisem rozmieszczenia jest k-elementowy podzbiór zbioru pudełek (kom- binacje bez powtórzeń). Liczba rozmieszczeń wynosi:

n!

k!(n − k)!

4^◦

Załóżmy, że pudełka są nierozróżnialne i przedmioty są nierozróżnialne. Wów- czas istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie.

Niech teraz w każdym pudełku można umieścić dowolną ilość przedmiotów.

1^◦

Załóżmy, że pudełka są rozróżnialne i przedmioty są rozróżnialne. Wówczas jest to wariacja z powtórzeniami. Ilość rozmieszczeń wynosi: n^k.

2^◦

Załóżmy, że pudełka są nierozróżnialne a przedmioty są rozróżnialne. Wów- czas opisem rozmieszczenia jest podział zbioru pudełek.

3^◦

Załóżmy, że pudełka są rozróżnialne a przedmioty są nierozróżnialne. Wów- czas opisem rozmieszczenia jest multizbiór pudełek.

4^◦

Załóżmy, że pudełka są nierozróżnialne i przedmioty są nierozróżnialne. Wów- czas opisem rozmieszczenia jest podział liczby k na co najwyżej n składników.

Takie podziały nazywamy partycjami liczby k.

3. Kombinacje Definicja 3.1

Niech dany będzie zbiór X, taki że |X| = n. Każdy k-elementowy podzbiór zbioru X nazywamy k-elementową kombinacją zbioru X.

Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego oznaczamy: ^n_k^ Twierdzenie 3.1

Prawdziwe są następujące równości:

(a)

n

X

k=0

n k

!

= 2ⁿ (b) n

k

!

= n

n − k

!

(c) n

k

!

= n − 1 k − 1

!

+ n − 1 k

!

(d) n

k

!

= n k

n − 1 k − 1

!

Dowód:

(b)

Niech P_k(X) oznacza rodzinę wszystkich k-elementowych podzbiorów zbio- ru X, a P_n−k(X) - rodzinę wszystkich (n − k)-elementowych podzbiorów zbioru X. Zdefinujemy bijekcję P_k(X) ←→ P_n−k(X) w ten sposób, że jeśli A ∈ P_k(X) to podzbiorowi A przyporządkujemy zbiór X \ A ∈ P_n−k(X).

Tak zdefiniowana funkcja jest różnowartościowa i przekształca zbiór P_k(X) na zbiór Pn−k(X). A więc |Pk(X)| = |Pn−k(X)|. Ponieważ |Pk(X)| = ^n_k^ oraz |P_n−k(X)| =^_n−k^{n }, stąd^n_k^=^_n−k^{n }.

(c)

Niech X = {1, . . . , n} i niech Pk(X) będzie rodziną k-elementowych pod- zbiorów zbioru X. Przedstawmy zbiór P_k(X) w postaci sumy rozłącznych zbiorów A i B. Niech A będzie rodziną wszystkich k-elementowych podzbio- rów zawierających element n i niech B = Pk(X) \ A.

Utwórzmy bijekcję A ←→ P_k−1(Y ), gdzie Y = {1, . . . , n − 1}, w ten sposób, że dowolnemu zbiorowi Z ∈ A przyporządkujemy zbiór Z \ {n}. Taka funk- cja jest ”1 − 1” i ”na” co oznacza, że rodzina A jest równoliczna ze zbiorem P_k−1(Y ).

Rozpatrzmy teraz zbiór B = P_k(Y ) (bo podzbiory zbioru B są k-elementowe i nie zawierają elementu n). Mamy więc:

n k

!

= |Pk(X)| = |A| + |B| = Pk−1(Y ) + Pk(Y ) = n − 1 k − 1

!

+ n − 1 k

!

(d)

Rozpatrzmy zbiór par Z = {(A, x): A ∈ P_k(X) ∧ x ∈ A}. Elementy zbioru Z mogą być dobrane na dwa sposoby. Możemy najpierw wybrać k-elementowy podzbiór A ⊂ X i potem ze zbioru A wybrać element x ∈ A.

Otrzymujemy, że: |Z| = ^n_k^· k.

Możemy odwrócić ten proces i najpierw wybrać element x ∈ X i do niego dobrać taki podzbiór A ⊂ X, że x ∈ A.

Otrzymujemy: |Z| = n · ^n−1_k−1^, gdyż podzbiór A możemy traktować jako (k − 1)-elementowy podzbiór zbioru (n − 1)-elementowego.

Z powyższych rozważań wynika równość (d).

Uwaga 3.1

n k

!

= n!

k!(n − k)!

Definicja 3.2

Silnią dolną nazywamy wielomian: [x]_k = x(x − 1) · . . . · (x − k + 1) Silnią górną nazywamy wielomian: [x]^k = x(x + 1) · . . . · (x + k − 1)

4. Multizbiory (kombinacje z powtórzeniami) 1^◦

Niech ϕ_n(X) będzie rodziną wszystkich n-elementowych ciągów elementów zbioru X. Zdefiniujmy w tym zbiorze relację róznoważności ∼ w następujący sposób: (x1, . . . , x_n) ∼ (y1, . . . , y_n), gdy istnieje permutacja σ zbioru wszyst- kich wskaźników {1, . . . , n}, taka że y_i = x_σ(i), i = 1, . . . , n

Tak zdefiniowana relacja dzieli zbiór ϕ_n(X) na klasy abstrakcji. Każdą taką klasę abstrakcji nazywamy multizbiorem.

2^◦

Niech dana będzie funkcja charakterystyczna χ: X → N₀, taka że jeśli x ∈ X, to χ(x) oznacza liczbę wystąpień elementu x w multizbiorze wyznaczonym przez funkcję χ. Liczba wszystkich elementów wyznaczonych przez χ wynosi:

X

x∈X

χ(x)

3^◦

Niech X = {1, . . . , n}. Wówczas każdy k-elementowy podzbiór zbioru X można utożsamiać z ciągiem silnie rosnącym elementów tego zbioru. Każdy k- elementowy multizbiór można utożsamiać z ciągiem niemalejącym o długości k utworzonym z elementów zbioru X.

Twierdzenie 4.1

Liczba k-elementowych multizbiorów utworzonych ze zbioru n-elementowego jest równa ^n+k−1_k ^

Dowód:

Niech X = {1, . . . , n} i niech M_k(X) oznacza rodzinę wszystkich k-elementowych multizbiorów utworzonych ze zbioru X. Załóżmy, że {x₁, . . . , x_k} ∈ M_k(X), przy czym x₁ ¬ . . . ¬ x_k. Utwórzmy z tego ciągu nowy ciąg {x₁, x₂ + 1 . . . , x_k+ k − 1} = {y₁, . . . , y_k}, gdzie y_i = x_i+ i − 1.

Zauważmy, że ciąg {y₁, . . . , y_k} jest ciągiem rosnącym:

y_i+1− y_i = (x_i+1+ i) − (x_i + i − 1) = x_i+1− x_i + 1 > 0

Ponadto gdyby x_k = n, to y_k= n + k − 1, niech zatem Y = {1, . . . , n + k − 1}.

Zatem każdy ciąg niemalejący {x1, . . . , xk} można rozszerzyć do ciągu rosną- cego {y₁, . . . , y_k}, gdzie y₁ < . . . < y_k. Postępowanie odwrotne jest tak- że możliwe. Z każdego ciągu {y₁, . . . , y_k} można utworzyć ciąg niemalejący {y1, y2− 1, . . . , yk− k + 1} = {x1, . . . , xk}, gdzie xi = yi− i + 1.

Zdefiniowaliśmy więc bijekcję M_k(X) ←→ P_k(Y ), a więc oba te zbiory są równoliczne, czyli: |M_k(X)| = |P_k(Y )| =^n+k−1_k ^

Uwaga 4.1

n + k − 1 k

!

= [n]^k k!

5. Liczby Stirlinga I rodzaju Definicja 5.1

Liczby Stirlinga I rodzaju to współczynniki wielomianu, który powstaje przez rozwinięcie silni dolnej:

[x]_n= x(x−1) . . . (x−n+1) = s(n, 0)+s(n, 1)x+. . .+s(n, n)xⁿ=

n

X

k=0

s(n, k)x^k

Twierdzenie 5.1

Liczby Stirlinga I rodzaju spełniają następujące własności:

(a) s(n, n) = 1, n ­ 0

(b) s(n, 0) = s(0, k) = 0, n, k > 0

(c) s(n, k) = s(n − 1, k − 1) − (n − 1)s(n − 1, k) Dowód: (c)

n

X

k=0

s(n, k)x^k= x(x − 1) . . . (x − n + 2)(x − n + 1) = [x]_n−1(x − n + 1) =

=

n−1

X

k=0

s(n − 1, k)x^k

!

(x − (n − 1)) =

=

n−1

X

k=0

s(n − 1, k)x^k+1−

n−1

X

k=0

(n − 1)s(n − 1, k)x^k) =

=

n

X

k=1

s(n − 1, k − 1)x^k−

n−1

X

k=0

(n − 1)s(n − 1, k)x^k) =

= s(n − 1, n − 1)xⁿ+

n−1

X

k=1

s(n − 1, k − 1)x^k−

−

n−1

X

k=1

(n − 1)s(n − 1, k)x^k) − (n − 1)s(n − 1, 0)x⁰ =

= s(n, n)xⁿ+

n−1

X

k=1

(s(n − 1, k − 1) − (n − 1)s(n − 1, k))x^k Ostatecznie otrzymujemy, że:

s(n, k) = s(n − 1, k − 1) − (n − 1)s(n − 1, k), 1 ¬ k ¬ n − 1 (0 < k < n) gdyż równość wielomianów jest równoważna równości ciągów ich współczyn- ników.

6. Podziały zbioru Definicja 6.1

Podziałem zbioru X nazywamy rodzinę podzbiorów π = {B1, . . . , Bk} tego zbioru spełniającą warunki:

(a) B_i 6= Ø, i = 1, . . . , k (b) Bi∩ Bj = Ø, gdy i 6= j (c) B₁∪ . . . ∪ B_k = X

Zbiory B_i, i = 1, . . . , k nazywamy blokami podziału.

Definicja 6.2

Jeżeli π = {B₁, . . . , B_k} oraz π⁰ = {B₁⁰, . . . , B_m⁰ } są podziałami zbioru X, to mówimy, że podział π jest drobniejszy od podziału π⁰(co zapisujemy π  π⁰), gdy

^

i∈{1,...,k}

_

j∈{1,...,m}

B_i ⊆ B_j⁰

Relacja  zdefiniowana w zbiorze podziałów zbioru X jest relacją porząd- kującą. Zbiór wszystkich podziałów zbioru X oznaczamy symbolem Π(X).

A więc zbiór (Π(X), ) jest zbiorem uporządkowanym.

Uwaga 6.1

Niech X = {x₁, . . . , xn}. Podziałem najdrobniejszym zbioru X jest podział π = {{x₁}, . . . , {x_n}}. Podziałem ”najgrubszym” jest podział π = {X}.

Niech dana będzie relacja równoważności ∼. Wówczas zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy symbolem X/∼. Zauważmy, że dla klas abstrakcji za- chodzą warunki:

(a) dla każdego x ∈ X: x ∈ [x]

(b) ([x] ∩ [y] 6= Ø) ⇒ ([x] = [y])

a więc zbiór klas abstrakcji relacji ∼ jest podziałem zbioru X.

Uwaga 6.2

Podział π = {B₁, . . . , B_k} zbioru X wyznacza relację równoważności ∼. Re- lację tę definiujemy:

x ∼ y ⇔ ^_

i∈{1,...,k}

x, y ∈ B_i

Twierdzenie 6.1

Jeśli R, R⁰ są relacjami równoważności wyznaczonymi przez podziały π, π⁰, to π  π⁰ ⇔ R ⊆ R⁰.

Dowód: ( ⇒ )

Załóżmy, że π  π⁰, π = {B₁, . . . , B_k}, π⁰ = {B₁, . . . , B_m}. Należy pokazać, że R ⊆ R⁰.

(x, y) ∈ R ⇒ ^_

i∈{1,...,k}

x, y ∈ B_i ⇒ ^_

j∈{1,...,m}

x, y ∈ B_i ⊆ B_j ⇒ (x, y) ∈ R⁰

Dowód implikacji w przeciwną stronę przebiega podobnie.

Uwaga 6.3

Niech π, π⁰ będą podziałami zbioru X. Zdefiniujmy podział π⁰⁰ następująco:

π⁰⁰= {B_i∩ B_j⁰: B_i ∈ π ∧ B_j ∈ π⁰} \ {Ø}

Tak zdefiniowany podział jest drobniejszy od podziałów π i π⁰. Ponadto π⁰⁰ jest kresem dolnym pary (π, π⁰).

Niech teraz relacje R, R⁰ będą relacjami równoważności wyznaczonymi przez podziały π, π⁰ i niech R^∗ będzie przechodnim domknięciem relacji R ∪ R⁰. Wówczas kresem górnym pary (π, π⁰) jest podział odpowiadający relacji R^∗.

7. Liczby Stirlinga II rodzaju Definicja 7.1

Liczby podziałów zbioru n-elementowego na k bloków nazywamy liczbami Stirlinga II rodzaju i oznaczamy symbole S(n, k)

Defincja 7.2

Niech dany będzie zbiór uporządkowany (P, ¬). Rangą elementu a ∈ P na- zywamy największą długość łańcucha zawartego w zbiorze {x ∈ P : x ¬ a}

Uwaga 7.1

Niech Π(X) oznacza zbiór wszystkich podziałów zbioru X. Wówczas S(n, k) jest liczbą elementów rangi n − k w zbiorze Π(X).

Twierdzenie 7.1

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju spełniają następujące zależności:

(a) S(n, n) = 1, dla n ­ 0

(b) S(n, 0) = S(0, k) = 0, dla n, k > 0

(c) S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + kS(n − 1, k), dla 0 < k < n Dowód:

Niech X = {x₁, . . . , x_n}.

(a)

S(n, n) oznacza podział n-elementowego zbioru X na n bloków. Jest jeden taki podział: π = {{x₁}, . . . , {x_n}}.

(b)

S(n, 0) oznacza liczbę podziałów zbioru n-elemetowego na 0 bloków, zaś S(0, k) - liczbę podziałów zbioru pustego na k bloków.

(c)

Niech Π_k(X) będzie rodziną podziałów zbioru X na k bloków oraz niech X = {1, . . . , n} oraz Y = {1, . . . , n − 1}.

Przedstawmy zbiór Π_k(X) w postaci sumy zbiorów A ∪ B.

Niech A będzie rodziną wszystkich podziałów na k bloków, takich że liczba n tworzy oddzielny blok i niech B = Π_k(X) \ A.

Jeśli podział π = {B₁, . . . , B_k−1, n} ∈ A to przyporządkujemy mu podział π⁰ = {B₁, . . . , B_k−1} ∈ Π_k−1(Y ).

Ten proces jest odwracalny, gdyż jeśli π = {B₁, . . . , B_k−1} ∈ Π_k−1(Y ), to podziałowi π przyporządkujemy podział π⁰ = {B₁, . . . , B_k−1, n} ∈ A.

Stąd |A| = |Π_k−1(Y )|.

Rozpatrzmy teraz zbiór B. Załóżmy, że π ∈ B, a więc π = {B₁, . . . , B_k}.

Załóżmy, że n ∈ B_k.

Podziałowi π przyporządkujemy podział π⁰ = {B₁, . . . , B_k−1, B_k\ {n}}.

A więc π⁰ jest podziałem na k bloków zbioru (n − 1)-elementowego, czyli π⁰ ∈ Π_k(Y ).

Spróbujmy odrócić to postępowanie. Niech π ∈ Π_k(Y ). Podziałowi π przypo- rządkujemy podział postaci π_i⁰ = {B₁, . . . , B_i∪ {n}, . . . , B_k}. Takiego przy- porządkowania można dokonać na k sposobów. A więc |B| = |Π_k(Y )| · k.

Ostatecznie

S(n, k) = |Π_k(X)| = |A| + |B| = |Π_k−1(Y )| + |Π_k(Y )| · k =

= S(n − 1, k − 1) + kS(n − 1, k)

Twierdzenie 7.2

Niech |X| = n, |Y | = m|, n ­ m. Liczba wszystkich funkcji odwzorowujących zbiór X na zbiór Y jest równa m!S(n, m).

Dowód:

Rozważmy dowolną funkcję f : X → Y . Zdefinujmy zbiory D_y = f⁻¹({y}) = {x ∈ X: f (x) = y}.

Ponieważ funkcja f jest ”na”, to każdy zbiór D_y jest niepusty. Ponadto:

(D_y∩ D_z 6= Ø) ⇒ D_y = D_z czyli ^[

y∈Y

D_y = X

Dochodzimy do wniosku, że zbiory Dy są podziałem zbioru X na m bloków.

Niech teraz X = {B₁, . . . , B_m} i Y = {y₁, . . . , y_m}. Zdefiniujmy funkcję g: X → Y w następujący sposób: jeśli istnieje takie i ∈ {1, . . . , m}, że x ∈ B_i, to g(x) = yi.

Konstrukcja funkcji g pozwala wnioskować, że wszystkich funkcji odwzoro- wujących zbiór X na zbiór Y jest m!S(n, m).

Definicja 7.2

Liczbą Bella nazywamy liczbę wszystkich podziałów zbioru n-elementowego:

B(n) =

n

X

k=0

S(n, k)

8. Podziały liczb Definicja 8.1

Podziałem liczby naturalnej n nazywamy układ n₁, . . . , n_k, taki że:

n = n₁+ . . . + n_k. Podział liczby nazywamy partycją.

Twierdzenie 8.1

Ilość podziałów liczby n na składniki nie przekraczające r jest równa ilości podziałów tej liczby na co najwyżej r składników.

Twierdzenie 8.2

Niech P (n) oznacza ilość wszystkich podziałów liczby n. Wówczas:

P (n) = 1 4√

3 + Θ(1)

!

·exp(π^q2n/3) n gdzie Θ(1) oznacza ciąg zbieżny do zera, gdy n → ∞.