• Nie Znaleziono Wyników

12 Wa»ne granice, szeregi i funkcje

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "12 Wa»ne granice, szeregi i funkcje"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Analiza matematyczna 1

Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki

11 Asymptotyka

Cz¦sto interesuj¡ca jest nie tyle granica ci¡gu (an), ale szybko±¢ wzrostu anwraz z n. W ªatwy sposób mo»na to za pomoc¡ tzw. notacji asymptotycznej.

Denicja. Niech (cn) b¦dzie dowolnym ci¡giem liczb dodatnich. Okre±lamy:

O(cn) =



(an) : lim sup

n→∞

|an| cn < ∞

 , Ω(cn) =



(an) : lim inf

n→∞

|an| cn > 0

 , o(cn) =



(an) : lim sup

n→∞

|an| cn = 0

 , Θ(cn) =



(an) : lim sup

n→∞

an

cn < ∞, lim inf

n→∞

an cn > 0



= O(cn) ∩ Ω(cn).

Cz¦sto zamiast (an) ∈ O(cn) piszemy an = O(cn) itp.

Twierdzenie. Zaªó»my, »e wyrazy ci¡gów (an) i (bn) s¡ dodatnie. Wówczas:

an = o(bn) =⇒ an= O(bn), an= Ω(bn) ⇐⇒ bn= O(an), an= O(bn) ⇐⇒ O(an) ⊆ O(bn), an= O(bn) ⇐⇒ 1

bn = O 1 bn

 , an = o(bn) ⇐⇒ 1

bn = o 1 bn

 ,

an= Θ(bn) ⇐⇒ an = O(bn) oraz an= Ω(bn), an= Θ(bn) ⇐⇒ bn= Θ(an),

an= Θ(bn) ⇐⇒ Θ(an) = Θ(bn),

an= Θ(bn) ⇐⇒ an = O(bn) oraz bn = O(an).

Twierdzenie. Zachodzi:

an = O(cn) oraz bn = O(dn) =⇒ an± bn= O(cn+ dn) oraz an· bn= O(cn· dn).

Ponadto O(K · cn) = O(cn). Analogiczne wªasno±ci maj¡ pozostaªe klasy.

Twierdzenie. Zachodz¡ nast¦puj¡ce zawierania:

• je±li K < K0, to O(nK) ⊆ O(nK0);

• je±li 0 < L < L0, to O(Ln) ⊆ O((L0)n);

• je±li L > 1, to O(nK) ⊆ O(Ln);

• je±li 0 < L < 1, to O(Ln) ⊆ O(nK); 1

(2)

• je±li K > 0, to O((ln n)M) ⊆ O(nK);

• je±li K < 0, to O(nK) ⊆ O((ln n)M). Twierdzenie. Zachodzi:

Hn =

n

X

j=1

1

j = Θ(ln n), za± dla K 6= −1,

n

X

j=1

jK = Θ(nK+1).

Twierdzenie. Zachodzi:

n! = Ω nn en



, n! = Θ nn+12

en

! .

12 Wa»ne granice, szeregi i funkcje

Szereg harmoniczny:

X

n=1

1 n = ∞, oraz szereg anharmoniczny:

X

n=1

(−1)n−1

n = ln(2).

Szereg geometryczny:

X

n=0

xn= 1

1 − x, |x| < 1.

Funkcja wykªadnicza:

exp(x) =

X

n=0

xn

n! = lim

n→∞

 1 + x

n

n

, x ∈ R.

Funkcja dzeta Riemanna:

ζ(s) =

X

n=1

1

ns, s > 1;

ζ(2) = π2

6 , ζ(4) = π4 80, ...

Wzór Stirlinga:

n! =√

2πnnn

en exp 1 +

X

k=2

(−1)kBk

k(k − 1) · 1 nk−1

!

, (Bn)  ci¡g liczb Bernoulliego.

Wzór Wallisa:

π = lim

n→∞

((2n)!!)2

(2n + 1)!!(2n − 1)!!, 0!! = 1!! = 1, k!! = k · (k − 2)!!;

π = lim

n→∞

24n(n!)4 (2n + 1)!(2n − 1)!.

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Djilas cały swój wysiłek koncentruje na uzasadnienie tezy mówiącej, że biurokracja radziecka jest odrębną klasą i nieuchronnie stać się musi grabarzem państwa

Ci giem niesko czonym nazywamy dowoln funkcj rzeczywist okre lon na zbiorze liczb naturalnych... Je li ci g jest zbie ny, to jest ograniczony Uwaga: Istniej ograniczone ci

Wówczas, je»eli szereg ma sum¦ f(x), która jest funkcja ci¡gª¡ w caªym zbiorze D, to jest on jednostajnie zbie»ny w D..

Granica jednostajnie zbie»nego ci¡gu funkcji ci¡gªych jest funkcj¡ ci¡gª¡..

W tym przypadku drugi warunek brzegowy jest speªniony dla dowolnej staªej A... Oznacza to, »e równie» w tym przykªadzie b¦dziemy rozpatrywa¢

Jakie rozruchy stosuję się w tego typu silnikach. Odpowiedź wysłać na mojego

[r]

Zbadaj zachowanie si¦ metody dla zmniejszaj¡cych si¦ kroków