Analiza matematyczna 1
Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki
11 Asymptotyka
Cz¦sto interesuj¡ca jest nie tyle granica ci¡gu (an), ale szybko±¢ wzrostu anwraz z n. W ªatwy sposób mo»na to za pomoc¡ tzw. notacji asymptotycznej.
Denicja. Niech (cn) b¦dzie dowolnym ci¡giem liczb dodatnich. Okre±lamy:
O(cn) =
(an) : lim sup
n→∞
|an| cn < ∞
, Ω(cn) =
(an) : lim inf
n→∞
|an| cn > 0
, o(cn) =
(an) : lim sup
n→∞
|an| cn = 0
, Θ(cn) =
(an) : lim sup
n→∞
an
cn < ∞, lim inf
n→∞
an cn > 0
= O(cn) ∩ Ω(cn).
Cz¦sto zamiast (an) ∈ O(cn) piszemy an = O(cn) itp.
Twierdzenie. Zaªó»my, »e wyrazy ci¡gów (an) i (bn) s¡ dodatnie. Wówczas:
an = o(bn) =⇒ an= O(bn), an= Ω(bn) ⇐⇒ bn= O(an), an= O(bn) ⇐⇒ O(an) ⊆ O(bn), an= O(bn) ⇐⇒ 1
bn = O 1 bn
, an = o(bn) ⇐⇒ 1
bn = o 1 bn
,
an= Θ(bn) ⇐⇒ an = O(bn) oraz an= Ω(bn), an= Θ(bn) ⇐⇒ bn= Θ(an),
an= Θ(bn) ⇐⇒ Θ(an) = Θ(bn),
an= Θ(bn) ⇐⇒ an = O(bn) oraz bn = O(an).
Twierdzenie. Zachodzi:
an = O(cn) oraz bn = O(dn) =⇒ an± bn= O(cn+ dn) oraz an· bn= O(cn· dn).
Ponadto O(K · cn) = O(cn). Analogiczne wªasno±ci maj¡ pozostaªe klasy.
Twierdzenie. Zachodz¡ nast¦puj¡ce zawierania:
• je±li K < K0, to O(nK) ⊆ O(nK0);
• je±li 0 < L < L0, to O(Ln) ⊆ O((L0)n);
• je±li L > 1, to O(nK) ⊆ O(Ln);
• je±li 0 < L < 1, to O(Ln) ⊆ O(nK); 1
• je±li K > 0, to O((ln n)M) ⊆ O(nK);
• je±li K < 0, to O(nK) ⊆ O((ln n)M). Twierdzenie. Zachodzi:
Hn =
n
X
j=1
1
j = Θ(ln n), za± dla K 6= −1,
n
X
j=1
jK = Θ(nK+1).
Twierdzenie. Zachodzi:
n! = Ω nn en
, n! = Θ nn+12
en
! .
12 Wa»ne granice, szeregi i funkcje
Szereg harmoniczny:
∞
X
n=1
1 n = ∞, oraz szereg anharmoniczny:
∞
X
n=1
(−1)n−1
n = ln(2).
Szereg geometryczny:
∞
X
n=0
xn= 1
1 − x, |x| < 1.
Funkcja wykªadnicza:
exp(x) =
∞
X
n=0
xn
n! = lim
n→∞
1 + x
n
n
, x ∈ R.
Funkcja dzeta Riemanna:
ζ(s) =
∞
X
n=1
1
ns, s > 1;
ζ(2) = π2
6 , ζ(4) = π4 80, ...
Wzór Stirlinga:
n! =√
2πnnn
en exp 1 +
∞
X
k=2
(−1)kBk
k(k − 1) · 1 nk−1
!
, (Bn) ci¡g liczb Bernoulliego.
Wzór Wallisa:
π = lim
n→∞
((2n)!!)2
(2n + 1)!!(2n − 1)!!, 0!! = 1!! = 1, k!! = k · (k − 2)!!;
π = lim
n→∞
24n(n!)4 (2n + 1)!(2n − 1)!.
2