DODATKOWYM OKNEM CZASOWYM

2004

Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 9 - 10 grudnia 2004 Paweł Turcza

AGH University of Science and Technology, Department of Instrumentation and Measurement, al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków, Poland, email: turcza@agh.edu.pl

MODULACJA WIELONOŚNA DLA SYSTEMÓW xDSL OPARTA O DYSKRETNĄ OKRESOWĄ TRANSFORMACJĘ WILSONA Z

DODATKOWYM OKNEM CZASOWYM

Streszczenie: Artykuł prezentuje nową metodę modulacji wielonośnej opartą o transformację Wilsona z dodatkowym oknem czasowym. Proponowana metoda modulacji cechuje się znacznie wyższą selektywnością niż standardowo stoso- wana modulacja oparta o transformację Fouriera z oknem prostokątnym (DMT). Dodatkowo dzięki specjalnemu do- borowi funkcji okna i implementacji wykorzystującej mo- dulację zespoloną uzyskano niską, porównywalną z DMT złożoność obliczeniową i identyczne jak w DMT opóźnienie systemowe.

1. W ^STĘP

W stosowanych obecnie modemach wielonośnych standardów ADSL, VDSL, OFDM [1] jako transmulti- plekser (TMUX) stosowana jest para szybkich transfor- macji Fouriera (IFFT/FFT). Ponieważ transmitowany sygnał przechodząc przez kanał ulega splotowi z odpo- wiedzią impulsową kanału do poprawnego odtworzenia przesłanych danych konieczna jest odpowiednia korekcja.

W TMUX opartych o FFT korekcja kanału może być wy- konana w bardzo efektywny sposób w dziedzinie często- tliwości. Możliwość tą daje twierdzenie o splocie dla transformaty Fouriera oraz wprowadzenie do transmito- wanego sygnału nadmiarowości w formie cyklicznego prefiksu [1], co umożliwia symulację splotu kołowego przez splot liniowy realizowany przez kanał transmisyjny.

Dodatkowo tak zbudowany TMUX (określany jako DMT - Discrete MultiTone) poprzez podział całego pasma transmisyjnego na wiele równoległych subkanałów po- zwala na efektywną korekcję zniekształceń amplitudo- wych i fazowych kanału oraz osiągnięcie optymalnej przepustowości kanału transmisyjnego (określonej przez twierdzenie Shannona) poprzez alokację odpowiedniej ilości bitów do poszczególnych subkanałów w zależności od stosunku sygnał/szum (SNR) w poszczególnych sub- kanałach.

Niestety TMUX oparte o FFT cechują się niską se- lektywnością filtrów nadajnika i odbiornika, które powsta- ją poprzez modulację (zespoloną) dolnoprzepustowego filtru prototypowego – okna prostokątnego.

Niedostateczna selektywność (pierwszy listek bocz- ny na poziomie –13dB, szybkość opadania listków 1/f) prowadzi do dużej wrażliwości DMT na interferencje wąskopasmowe, międzysymbolowe i międzynośne (ISI/ICI) (szczególnie dokuczliwe przy długiej odpowie- dzi impulsowej kanału). Brak selektywności przejawia się

również wysoką wrażliwością na błędy synchronizacji zegarów taktujących przetworniki C/A i A/C, powoduje problemy z kompatybilnością widma mocy oraz zwięk- szone przesłuchy między sąsiednimi parami linii transmi- syjnych.

Wymienione wyżej niedostatki modulacji DMT były powodem znacznego zainteresowania innymi sposobami modulacji, w których poszczególne subkanały były by lepiej odseparowane. W wyniku prowadzonych prac po- wstały nowe wersje DMT z oknem różnym od prostokąt- nego [2, 3], TMUX oparte o krytycznie próbkowane ze- społy filtrów z modulacją kosinusową (DWMT) [4], TMUX oparte o nadpróbkowane zespoły filtrów (FMT - Filtered Multitone) [5], TMUX oparte o krytycznie prób- kowane zespoły filtrów z modulacją kosinusową (CMFB) z dodatkową fazową korekcją kanału [6], jak również TMUX wykorzystujące transformację falkową [7, 8].

Choć wyżej wymienione transmultipleksery pozwa- lały na uzyskanie lepszej selektywności, niż standardowe DMT, to odbywało się to kosztem zwiększenia opóźnienia systemu (problematyczne przy usługach VoIP) oraz wzro- stem złożoności korektora kanału.

W pracy [9] po raz pierwszy pokazano jak poprzez zastosowanie periodycznej dyskretnej transformacji Wil- sona (DTWE) połączyć zalety DMT i DWMT/FMT i uzyskać TMUX (określany jako DTWE-TMUX) o efek- tywnej korekcji kanału, małej złożoności obliczeniowej, niskim opóźnieniu i większej selektywności. Dalsza szczegółowa analiza działania DTWE-TMUX pokazała, że nie wszystkie subkanały cechują się jednako wysoką selektywnością [10]. To spostrzeżenie stało się podstawą do opracowania kolejnej wersji DTWE-TMUX wyposa- żonej w dodatkowe okno czasowe.

W kolejnych punktach artykułu omówiono kolejno:

modulację DMT w wersji podstawowej oraz z dodatko- wym oknem czasowym, podano podstawowe informacje dotyczące transformacji Wilsona, przedstawiono TMUX oparty o transformatę Wilsona w wersji podstawowej i z dodatkowym oknem czasowym oraz zaprezentowano wyniki symulacji jego działania.

2. M ODULACJA WIELOTONOWA DMT

Schemat blokowy systemu transmisyjnego opartego o modulację wielotonową DMT przedstawiono na rys 1.

Jeśli długość odpowiedzi impulsowej kanału transmisyj- www.pwt.et.put.poznan.pl

PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004 1

nego h(n) nie przekracza długości prefiksu dodawanego w układzie konwertera P/S do transmitowanego sygnału, to na długości transmitowanego bloku splot sygnału z odpo- wiedzią impulsową kanału jest splotem cyklicznym, a macierz H tego splotu jest macierzą cyrkulacyjną i jako taka ma postać diagonalną w bazie Fouriera. W takich warunkach system może być opisany równaniem

N

¹

(

¹

)

ˆ

FEQ

− − −

=

H

X Λ W W ΛW W X

 

1

(1)

Macierz W jest macierzą dyskretnej transformacji Fourie- ra, a macierz korektora FEQ Λ jest macierzą diagonalną, co stanowi o bardzo niskiej złożoności obliczeniowej ope- racji korekcji kanału. Dodatkowy filtr korektora czasowe- go TEQ, poprzez efektywne skrócenie odpowiedzi impul- sowej linii transmisyjnej c(n), (której długość w rzeczywi- stych systemach transmisyjnych wynosi kilkaset próbek) pozwala na zwiększenie przepustowości i zmniejszenie opóźnienia systemowego [1].

IFFT C(z) TEQ

r(n)

H(z)

P/S S/P FFT + FEQ

x(n) x

_r

(n)

Rys 1. Schemat blokowy modemu DMT

3. M ODULACJA WIELOTONOWA DMT Z DODATKOWYM OKNEM CZASOWYM

Fakt, ż modulacja DMT oparta jest na transforma- cji Fouriera z oknem prostokątnym z jednej strony po- zwala na bardzo efektywny podział kanału transmisyjne- go na niezależne subkanały i korekcję w dziedzinie czę- stotliwości z drugiej zaś jest przyczyną dużej wrażliwości metody na zakłócenia wąskopasmowe oraz błędy syn- chronizacji zegarów przetworników C/A i A/C w nadaj- niku i odbiorniku.

e

1 cos(2 ( − π n + 1) / 2 )) L (2) lub funkcję

( ) sin( / 2 )

2

w n = π n L (3) gdzie n=0,...,L

w

-1.

łania metody przedstawiona jest na rys 2. W

Jedną z prostszych i efektywnych metod pozwalają- cych na zwiększenie selektywności filtrów odbiornika jest zastosowanie dodatkowego okna czasowego w od- biorniku [3]. Metoda ta skuteczna jest jednak tylko wów- czas, gdy długość odpowiedzi impulsowej kanału L jest znacznie mniejsza niż długości prefiksu P. Długość okna L

w

= P-L jest wtedy ich różnicą. Jako okno czasowe można stosować funkcję „podniesiony kosinus”

( ) 1/ 2(

w n =

_w

w

Ilustracja dzia

metodzie tej zamiast odrzucać prefiks cykliczny (jak przewiduje standard DMT) mnoży się go przez okno cza- sowe i dodaje do końcowej części odebranego symbolu (również pomnożonej przez okno). Po tej operacji otrzy-

many blok poddawany jest operacji transformacji Fouriera tak jak w klasycznym DMT.

0

N-1 P

N-1 L

_W

L

odebrana ramka

sygnal do analizy FFT

Rys 2. Ilustracja metody dodatkowego okna czasowego

4. T RANSFORMATA W ILSONA

Periodyczna dyskretna transformacja Wilsona (DTWE) sygnału x(n) zdefiniowana jest równaniem [11]

/ 1

, ,

0 0

( ) , ( )

N M M

l m l m

l m

x n

⁻

x φ ψ n

= =

= ∑ ∑ ⁽⁴⁾

gdzie N=2KM, , a M jest parzyste. Funkcje syntezy {ψ

l,m

(n)} i analizy {φ ^{K ∈`}

l,m

(n)} powstają w wyniku modulacji funkcji okien: analizy γ(n) i syntezy g(n) zgodnie z zależ- nościami

, (5)

( )

,

( )

, ,

( ) ( 1)

^{m l} ,2

( )

l m

n c

m l

g

l m

n g

l M m

n

ψ = + −

⁺ ₋

( )

,

( )

, ,

( ) ( 1)

^{m l} ,2

( )

l m

n c

m l l m

n

l M m

n

φ = γ + −

⁺

γ

₋

,

gdzie

,

( ) ( )

^mKn

l m

n n lM W

N

γ = γ − , g

_{l m,}

( ) n = g n lM W ( − )

_N^mKn

,

1 1 1

1 1

2 2 2

c

m

=    "    ,

,

( ) ^{( )}

^{mod 2}

m l

m l m

c = c − j

⁺

W oznacza unormowaną macierz dyskretnej transformacji Fouriera określoną wzorem

[ W

_{N kn}

] = 1/ N exp( − j 2 / π N kn )

W

. (6)

Ponieważ funkcje bazowe φ

_2l+1,m

(n) i ψ

_2l+1,m

(n) dla m=0 i m=M zerują się, oznacza to że reprezentacja czaso- wo-częstotliwościowa (T-F) sygnału x(n) dla parzystych chwil czasowych posiada M+1 współczynników zaś dla nieparzystych chwil czasowych tylko M-1.

Jak wykazano w pracy [9] warunkiem efektywnej korekcji kanału (przeprowadzanej w dziedzinie częstotli- wości) jest użycie okna analizy γ(n) określonego równa- niem

(7)

1

( 1)

( )

^K _{p N}^pn

p K

n k

γ

⁻

=− −

= ∑

gdzie współczynniki k

p

powinny spełniać odpowiednie warunki. W przypadku ortogonalnego TMUX współczyn- niki te powinny być wybrane tak by spełniały warunki podane w [12], a okno syntezy musi być identyczne z oknem analizy. Dla biortogonalnego TMUX jako współ- czynniki k

p

można przyjąć współczynniki dowolnego okna trygonometrycznego np. Hanning ( k

0

=1, k

1

=0.5) lub Blackman ( k

0

= 0.84, k

1

= -0.5, k

2

= 0.08 ), a okno syntezy g(n) należy wyznaczyć z zależności

www.pwt.et.put.poznan.pl

PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004 2

(

²

)

( ) ( ) (| ( ) | | ( ) | )

g n = γ n M γ n + γ n M +

²

(8)

5. M ODULACJA OPARTA O DTWE

Schemat blokowy transmultipleksera opartego o transformację Wilsona [9] przedstawiony jest na rys 3.

Dane przeznaczone do transmisji dzielone są na rozłączne bloki, które następnie traktowane są jako reprezentacja T- F periodycznego sygnału, który jest syntezowany przez transformatę Wilsona i po dodaniu cyklicznego prefiksu transmitowany przez układ konwersji próbek z postaci równoległej na szeregową (parallel/serial P/S). Sygnał po przejściu przez tor transmisyjny i korektor czasowy TEQ (B(z)) podlega konwersji z postaci szeregowej na równo- ległą (serial/parallel S/P). Po odłączeniu cyklicznego pre- fiksu otrzymany blok traktowany jest jako jeden okres sygnału x(n), którego reprezentacja T-F (odebrane dane) jest wyznaczana przez sekcję analizy transformaty Wilso- na.

Wilson Synthesis

H(z) B(z)

r(n)

C(z)

P/S S/P Wilson Analysis with FEQ

u(n) u(n)

Rys 3. Schemat blokowy modemu DTWE

Tak jak w przypadku DMT zastosowanie cyklicznego prefiksu pozwala na symulację splotu cyklicznego za po- mocą splotu liniowego i czyni macierz kanału C macierzą cyrkulacyjną. W pracy [9] wykazano, że współczynniki T- F sygnału mogą być efektywnie wyznaczone ze wzoru

( )

1 ( )

, ,

( 1) ( ) *

, (

( 1) ( )

K l

l m m l p

p K

m l l

x c k X p m

X p mK

φ

⁻

=− −

+



=  +

+ − +  

∑ ^{K )}

C=W

^-1

ΛW (11) możemy połączyć k

(9)

gdzie

( )^l

( )

_N^lMk

( )

X k = W

⁻

X k (10) jest transformatą Fouriera przesuniętego sygnału x(n-lM).

Ponieważ pierwszą operacją wykonywaną w (9) jest transformata Fouriera odebranego sygnału, to przedsta- wiając cyrkulacyjną macierz kanału C w bazie Fouriera

orekcję kanału z demodulacją (9) w następujący sposób

(

1 ( )

, ,

( 1)

1 ( ) *

,

( 1) ( )

l

l m m l p p mK

p K

m l l

p mK

x c k X p m

X p mK

φ

⁻₊

=− −

+ −

+

=   Λ

+ − Λ +  

∑

1 i

Λ

−

jest i modulo N elementem diagonalnej

)

1

( )

K

K

−

+

(12)

gdzie macie-

TKOWYM OKNEM CZASOWYM

ć, że poszczególne filtry wchodzące w skład zespołu uzy-

o okien

W trakcie znaczono i po-

wnano wartość średniego stosunku sygnału do szumu (SNR

co gwarantowało ident

rzy Λ

^-1

rektora.

DTWE-TMUX Z DODA

ko

Traktując transformatę DTWE jako zespół filtrów wida

skiwane są w wyniku modulacji (πm/M) i przesuwania w czasie (lM) odpowiedzi impulsowej jednego filtra zwane- go filtrem prototypowym (okna γ(n) i g(n)). Dlatego wła- sności częstotliwościowe filtrów w zespole są bezpośred- nio zależne od własności filtru prototypowego i wykony- wanych na nim operacji. O ile przesunięcie w częstotliwo- ści nie zmienia selektywności filtra, to periodyczne prze- sunięcie w czasie selektywność tą może znacznie zmniej- szyć. Zjawisko to jest przyczyną, dla której nie wszystkie filtry w DTWE mają jednakowo wysoką selektywność.

Dlatego w odbiorniku zanim sygnał zostanie podda- ny analizie DTWE warto przeprowadzić operację jeg

kowania, tak jak w przypadku DMT (patrz rys 2). O słuszności takiego postępowania można się przekonać analizując zależność średniej wartości SNR od poziomu zakłóceń wąskopasmowych przedstawioną na rys. 5 i 6.

6. W YNIKI SYMULACJI

badań symulacyjnych wy ró

) na wyjściu toru transmisyjnego pracującego z mo- dulacją DMT i DTWE (tylko wersja ortogonalna, K=8, M=32) w funkcji poziomu zakłóceń wąskopasmowych i szumowych (addytywny gaussowski szum biały AWGN).

W trakcie badań linia transmisyjna symulowana była jako filtr FIR, którego odpowiedz impulsowa licząca 512 pró- bek odpowiadała standardowej linii testowej CSA#2 loop [1]. Do skrócenia odpowiedzi impulsowej linii transmi- syjnej zaprojektowano filtr korektora czasowego TEQ o 7 współczynnikach korzystając z metody [1]. Moc transmi- towanego sygnału została ustalona na 14 dBm, a długość prefiksu cyklicznego – jeśli nie zaznaczono inaczej - zgodnie z normą wynosiła P=32 próbki.

Zarówno w przypadku modulacji DMT jak i DTWE długość ramki wynosiła N=512 próbek,

yczne opóźnienie systemowe. Średnia wartość SNR (MSNR) wyznaczana była z zależności

( )

i i

MSNR = ∑ SNR N P + (13) gdzie SNR

i

względu na fa i DTWE sy-

eń szumowych AWGN zmie

jściu toru transmisyjnego przedsta- wion

oznaczał wartość SNR w i-tym

kt, że w przypadku modulacj subkanale. Ze gnały w poszczególnych subkanałach są rzeczywiste oraz dążąc do stworzenia identycznych warunków testowych dla obu rodzajów modulacji SNR

i

w przypadku modulacji DMT wyliczane były osobno dla składowej rzeczywistej i urojonej sygnału.

Na rys. 4 przedstawiono zależność średniej wartości SNR w funkcji poziomu zakłóc

nianych od –140dBm/Hz do –120dBm/Hz. Jak widać najlepiej działa modem zbudowany w oparciu o transfor- matę Wilsona przy krótkim prefiksie (P=16), choć różnice nie są duże. Przewaga tego modemu nad innymi wynika z faktu jego małej wrażliwości na interferencje ISI/ICI, co wynika z lepszej selektywności poszczególnych filtrów i daje możliwość skrócenia prefiksu, a więc maksymalizuje kryterium (13).

Wpływ zakłóceń wąskopasmowych na wartość średniego SNR na wy

o na rys 5 i 6. Częstotliwości środkowe zakłócające- go sygnału pokrywały się z częstotliwościami środkowy- mi kanału DMT nr 50 i 100 odpowiednio. Skrótem WDMT oznaczono modulację DMT z dodatkowym www.pwt.et.put.poznan.pl

PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004 3

oknem czasowym, literą P długość prefiksu, a literą W długość okna czasowego. Wyraźnie widać, że zastosowa- nie dodatkowego okna czasowego zarówno w przypadku DMT jak i DTWE może znacznie zmniejszyć wrażliwość systemu transmisyjnego na zakłócenia wąskopasmowe i jeśli tylko długość odpowiedzi impulsowej kanału na to pozwala należy je stosować.

7. W NIOSKI KOŃCOWE

W artykule typ modulacji -

TWE z dodatkowym oknem czasowym - przeznaczony dla st

PIS LITERATURY

[1] D. J. Rauschm r, "ADSL/VDSL rinciples: A Practi-

cal and Precise igital Subscriber

[2]

SL. Tech. Rep.

[3]

rnal on Sel. Areas in [4]

r wire commu-

[5]

tion for Very High-Speed Digital Subscriber Lines, [6]

rrier

[7]

[8]

lexity

[9]

ational Confer- [10]

als and Electronic [11]

q.

[12]

mplex- zaproponowano nowy

D

andardu ADSL/VDSL. W trakcie badań symulacyj- nych wykazano, że taki typ modulacji wykazuje znacznie wyższą odporność na zakłócenia wąskopasmowe (np.

interferencje radiowe - RFI) niż DMT przy jednocześnie podobnej odporność na zakłócenia szumowe AWGN jak DMT. Zaproponowany modulator charakteryzuje się sto- sunkowo niską złożonością obliczeniową, a dzięki możli- wości pracy z krótszym prefiksem nawet mniejszym opóźnieniem niż DMT.

S

aye P

Study of Asymmetric D

Lines and Very High Speed Digital Subscriber Lines,"

Macnillan Technology Series, 1999.

P. Spruyt, P. Reusens, and S. Braet. Performance of im- proved DMT transceiver for VD

T1E1.4/96-104, ANSI, April 1996.

A.J. Redfern. Receiver window design for multicarrier communication systems. IEEE Jou

Comm., 20(5):1029–1036, June 2002.

S.D. Sandberg and M.A. Tzannes, "Overlapped discrete multitone modulation for high speed coppe

nications," IEEE J. on Sel. Areas in Comm., vol. 13, Dec.

1995.

G. Cherubini, E. Eleftheriou, S. Olcer, "Filtered Multitone Modula

" IEEE J. on Sel. Areas in Comm., vol. 20, June 2002.

A. Viholainen, J. Alhava, J. Helenius, J. Rinne, and M.

Renfors, "Equalization in filter bank based multica systems," in Proc. Int. Conf. on Electronics, Circuits and Systems, Pafos, Cyprus, Sept. 5-8, 1999, pp. 1467-1470.

K. M. Wong, J. Wu, T. N. Davidson, Q. Jin, and P. C.

Ching, “Performance of wavelet packet-division multi- plexing in impulsive and gaussian noise,” IEEE Trans.

Commun., vol. 48, no. 7, pp. 1083–1086, July 2000.

D. Daly, C. Heneghan, A. D. Fagan, and M. Vetterli, “Op- timal wavelet packet modulation under finite comp constraint,” in Proc. IEEE Int. Conf. Acoust., Speech, Sig- nal Process., May 2002, pp. 2789–2792.

P. Turcza, "New transmultiplexer for xDSL based on Wilson expansion," Proc. of IEEE Intern

ence on Communications, Paris, 2004.

P. Turcza, "An analysis of distortion in Wilson expansion based TMUX", Proc. Int. Conf. on Sign

Systems ICSES-2004, str. 553-556, Poznań 2004.

H. Bölcskei, H. Feichtinger, K. Gröchenig, F.Hlawatsch,

"Discrete-Time Wilson Expansions," IEEE Time-Fre and Time-Scale Symposium TFTS-96, Paris 1996.

S. Mirabbasi, K.W. Martin, "Design of Prototype Filter for Near-Perfect-Reconstruction Overlapped Co Modulated Transmulitplexers," Proc. IEEE ISCAS, Phoe- nix 2002

Rys 4. Średnia wartość SNR w funkcji poziomu zakłóceń szumowych AWGN

Rys 5. Średnia wartość SNR w funkcji poziomu zakłóceń wąskopasmowych umieszczonych w kanale nr 50, AWGN=-140 dBm/Hz

Rys 6. Średnia wartość SNR w funkcji poziomu zakłóceń wąskopasmowych umieszczonych w kanale nr 100, AWGN=-140 dBm/Hz

www.pwt.et.put.poznan.pl

PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004 4