Funkcje wielu zmiennych
13 Zbiory w przestrzeni
Definicja Przestrzeni¸a tr´ojwymiarow¸a (przestrzeni¸a) nazywamy zbi´or wszystkich tr´ojek uporz¸adkowanych (x, y, z), gdzie x, y, z ∈ R. Przestrze´n t¸e oznaczamy symbolem R3:
R3 = { (x, y, z) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R }.
Elementy (x, y, z) tego zbioru nazywamy punktami przestrzeni i oznaczamy P = (x, y, z). Liczby x, y, z nazywamy wsp´o lrz¸ednymi punktu P .
Definicja Odleg lo´s´c punkt´ow P1, P2 oznaczamy symbolem d(P1, P2) i okre´slamy wzorem:
d(P1, P2) = p
(x2− x1)2+ (y2 − y1)2+ (z2− z1)2, gdy P1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z3) ∈ R3.
Przyk lad Odleg lo´s´c punkt´ow P = (−2, 3, −4), Q = (4, −3, 2) wynosi d(P, Q) =p
(4 + 2)2+ (−3 − 3)2+ (2 + 4)2 = 6√ 3.
Definicja Otoczeniem punktu P0 ∈ R3 o promieniu r (r > 0) nazywamy zbi´or:
U (P0, r) = { P ∈ R3 : d(P0, P ) < r }.
Otoczeniem punktu w przestrzeni jest kula otwarta o ´srodku w punkcie P0 i promieniu r.
Uwaga Je˙zeli promie´n otoczenia nie b¸edzie istotny w rozwa˙zaniach, to zamiast U (P0, r) b¸e- dziemy pisa´c U (P0).
Definicja S¸asiedztwem punktu P0 ∈ R3 o promieniu r (r > 0) nazywamy zbi´or:
S(P0, r) = { P ∈ R3 : 0 < d(P0, P ) < r }.
Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze S(P0, r) = U (P0, r) \ { P0}.
Uwaga Je˙zeli promie´n s¸asiedztwa nie b¸edzie istotny w rozwa˙zaniach, to zamiast S(P0, r) b¸edziemy pisa´c S(P0).
14 Funkcje trzech zmiennych
Definicja Funkcj¸a f trzech zmiennych okre´slon¸a na zbiorze Ω ⊂ R3o warto´sciach w R nazy- wamy przyporz¸adkowanie ka˙zdemu punktowi (x, y, z) ∈ Ω dok ladnie jednej liczby u = f (x, y, z) ∈ R.
Przyk lad
a) f (x, y, z) = ln(1 − x2− y2− z2), b) g(x, y, z) =√
xyz, c) F (x, y, z) = z(x−2)(y+1) (x−2)2+(y+1)2+z2. Definicja Dziedzin¸a funkcji f nazywamy zbi´or:
Df = { (x, y, z) ∈ R3 : ∃u∈R u = f (x, y, z) }.
Przyk lad Dziedziny funkcji podanych w poprzednim przyk ladzie s¸a nast¸epuj¸ace:
a) Df = { (x, y) ∈ R3 : x2+ y2+ z2 < 1 }, b) Dg = { (x, y) ∈ R3 : xyz ≥ 0 }, c) DF = R3 \ { (2, −1, 0)}.
15 Pochodne cz¸ astkowe funkcji trzech zmiennych
Definicja Niech P0 = (x0, y0, z0) ∈ R3oraz niech funkcja f b¸edzie okre´slona w otoczeniu U (P0).
Pochodn¸a cz¸astkow¸a pierwszego rz¸edu funkcji f wzgl¸edem zmiennej x w punkcie P0 okre´slamy wzorem
∂f
∂x(x0, y0, z0) = lim
∆x→0
f (x0+ ∆x, y0, z0) − f (x0, y0, z0)
∆x
Pochodn¸a cz¸astkow¸a pierwszego rz¸edu funkcji f wzgl¸edem zmiennej y w punkcie P0 okre´slamy wzorem
∂f
∂y(x0, y0, z0) = lim
∆y→0
f (x0, y0+ ∆y, z0) − f (x0, y0, z0)
∆y
Pochodn¸a cz¸astkow¸a pierwszego rz¸edu funkcji f wzgl¸edem zmiennej z w punkcie P0 okre´slamy wzorem
∂f
∂z(x0, y0, z0) = lim
∆z→0
f (x0, y0, z0+ ∆z) − f (x0, y0, z0)
∆z
Pochodne cz¸astkowe oznacza si¸e tak˙ze symbolami fx0(x0, y0, z0), fy0(x0, y0, z0), fz0(x0, y0, z0), fx(x0, y0, z0), fy(x0, y0, z0), fz(x0, y0, z0), D1f (x0, y0, z0), D2f (x0, y0, z0), D3f (x0, y0, z0).
Przyk lad
Pochodne cz¸astkowe funkcji f (x, y, z) = (x − y + 2z)3 w punkcie (0, 0, 0) s¸a w la´sciwe (sko´nczone)
∂f
∂x(0, 0, 0) = lim
∆x→0
f (0 + ∆x, 0, 0) − f (0, 0, 0)
∆x = lim
∆x→0
(∆x)3 − 0
∆x = lim
∆x→0(∆x)2 = 0
∂f
∂y(0, 0, 0) = lim
∆y→0
f (0, 0 + ∆y, 0) − f (0, 0, 0)
∆y = lim
∆y→0
(−∆y)3− 0
∆y = − lim
∆y→0(∆y)2 = 0
∂f
∂z(0, 0, 0) = lim
∆z→0
f (0, 0, 0 + ∆z) − f (0, 0, 0)
∆x = lim
∆z→0
(2∆z)3− 0
∆z = 8 lim
∆z→0(∆z)2 = 0 Pochodne funkcji f (x, y) =√3
x − y + 2z w punkcie (0, 0, 0) s¸a niew la´sciwe
∂f
∂x(0, 0, 0) = lim
∆x→0
f (0 + ∆x, 0, 0) − f (0, 0, 0)
∆x = lim
∆x→0
√3
∆x − 0
∆x = lim
∆x→0
1 (√3
∆x)2 = +∞
∂f
∂y(0, 0, 0) = lim
∆y→0
f (0, 0 + ∆y, 0) − f (0, 0, 0)
∆y = lim
∆y→0
√3
−∆y − 0
∆y = lim
∆y→0
−1 (√3
∆y)2 = −∞
∂f
∂z(0, 0, 0) = lim
∆z→0
f (0, 0, 0 + ∆z) − f (0, 0, 0)
∆z = lim
∆z→0
√3
2∆z − 0
∆z = lim
∆z→0
√3
2 (√3
∆z)2 = +∞
Pochodne funkcji f (x, y) =px2+ y2+ z2 w punkcie (0, 0, 0) nie istniej¸a
∂f
∂x(0, 0, 0) = lim
∆x→0
f (0 + ∆x, 0, 0) − f (0, 0, 0)
∆x = lim
∆x→0
|∆x|
∆x nie istnieje
∂f
∂y(0, 0, 0) = lim
∆y→0
f (0, 0 + ∆y, 0) − f (0, 0, 0)
∆y = lim
∆y→0
|∆y|
∆y nie istnieje
∂f
∂z(0, 0, 0) = lim
∆z→0
f (0, 0, 0 + ∆z) − f (0, 0, 0)
∆z = lim
∆z→0
|∆z|
∆z nie istnieje
Niech P = (x, y, z) ∈ R3 oraz niech funkcja f b¸edzie okre´slona w otoczeniu U (P ). Pochodn¸a cz¸astkow¸a pierwszego rz¸edu funkcji f wzgl¸edem zmiennej x w punkcie P okre´slamy wzorem
∂f
∂x(x, y, z) = lim
∆x→0
f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z)
∆x
Pochodn¸a cz¸astkow¸a pierwszego rz¸edu funkcji f wzgl¸edem zmiennej y w punkcie P okre´slamy wzorem
∂f
∂y(x, y, z) = lim
∆y→0
f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z)
∆y
Pochodn¸a cz¸astkow¸a pierwszego rz¸edu funkcji f wzgl¸edem zmiennej z w punkcie P okre´slamy wzorem
∂f
∂z(x, y, z) = lim
∆z→0
f (x, y, z + ∆z) − f (x, y, z)
∆z Przyk lad
Funkcja f (x, y) = (x − y + 2z)3 ma pochodne cz¸astkowe
fx0 = 3(x − y + 2z)2, fy0 = −3(x − y + 2z)2, fz0 = 6(x − y + 2z)2 Funkcja f (x, y) =√3
x − y + 2z ma pochodne cz¸astkowe
fx0 = 1
3p(x − y + 2z)3 2, fy0 = −1
3p(x − y + 2z)3 2, fz0 = 2
3p(x − y + 2z)3 2 Funkcja f (x, y) =px2+ y2+ z2 ma pochodne cz¸astkowe
fx0 = x
px2+ y2+ z2, fy0 = y
px2+ y2+ z2, fz0 = z px2+ y2+ z2
16 Gradient funkcji trzech zmiennych
Definicja Gradientem funkcji f w punkcie P0 = (x0, y0, z0) nazywamy wektor okre´slony wzorem
gradf (x0, y0, z0) =h
fx0(x0, y0, z0), fy0(x0, y0, z0), fz0(x0, y0, z0)i
Gradient funkcji f oznacza si¸e tak˙ze symbolem ∇f (x0, y0, z0).
Definicja Gradientem funkcji f w punkcie P = (x, y, z) nazywamy wektor okre´slony wzorem gradf (x, y, z) =h
fx0(x, y, z), fy0(x, y, z), fz0(x, y, z)i lub kr´ocej
gradf = h
fx0, fy0, fz0 i Przyk lad
Gradient funkcji f (x, y, z) = x3− y3+ 2z3 w punkcie P0 = (1, 1, 1) jest r´owny gradf (1, 1, 1) = [ 3, −3, 6 ]
Gradient funkcji f (x, y, z) = x3− y3+ 2z3 w punkcie P = (x, y, z) jest r´owny gradf = 3x2, −3y2, 6z2
17 Pochodna kierunkowa funkcji
Definicja Niech funkcja f okre´slona b¸edzie w otoczeniu punktu P0 = (x0, y0, z0) oraz niech
~
v = [vx, vy, vz] b¸edzie wektorem. Pochodn¸a kierunkow¸a funkcji f w punkcie (x0, y0, z0) w kierunku wektora ~v okre´slamy wzorem
fv0(x0, y0, z0) = lim
t→0
f (x0+ tvx, y0+ tvy, z0+ tvz) − f (x0, y0, z0)
t .
Przyk lad Obliczymy pochodn¸a kierunkow¸a funkcji f (x, y, z) = xyz w punkcie P0 = (1, 2, 3) w kierunku wektora ~v = [3, 2, 1]. Poniewa˙z f (1, 2, 3) = 6 oraz f (1+3t, 2+2t, 3+t) = 6t3+26t2+26t+6, wi¸ec
f[3,2,1]0 (1, 2, 3) = lim
t→0
6t3+ 26t2+ 26t + 6 − 6
t = 26.
Twierdzenie Je˙zeli funkcja f ma ci¸ag le pochodne cz¸astkowe rz¸edu pierwszego w punkcie P0 = (x0, y0, z0), to
fv0(x0, y0, z0) = fx0(x0, y0, z0) · vx+ fy0(x0, y0, z0) · vy+ fz0(x0, y0, z0) · vz. Uwaga Powy˙zszy wz´or mo˙zna zapisa´c w postaci
fv0(x0, y0, z0) = gradf (x0, y0, z0) ◦ ~v.
Przyk lad Obliczymy pochodn¸a kierunkow¸a funkcji f (x, y) = xyz w punkcie P0 = (1, 2, 3) w kierunku wektora ~v = [3, 2, 1]. Poniewa˙z fx0 = yz, fy0 = xz, fz0 = xy, to
f[3,2,1]0 (1, 2, 3) = [6, 3, 2] ◦ [3, 2, 1] = 6 · 3 + 3 · 2 + 2 · 1 = 26.
18 Pochodne cz¸ astkowe drugiego rz¸ edu
Niech P = (x, y, z) ∈ R3 oraz niech funkcja f b¸edzie okre´slona w otoczeniu U (P ). Pochodne cz¸astkowe drugiego rz¸edu funkcji f w punkcie P okre´slamy wzorami
∂2f
∂x2 = ∂
∂x
∂f
∂x
, ∂2f
∂x∂y = ∂
∂x
∂f
∂y
, ∂2f
∂x∂z = ∂
∂x
∂f
∂z
,
∂2f
∂y∂x = ∂
∂y
∂f
∂x
, ∂2f
∂y2 = ∂
∂y
∂f
∂y
, ∂2f
∂y∂z = ∂
∂y
∂f
∂z
,
∂2f
∂z∂x = ∂
∂z
∂f
∂x
, ∂2f
∂z∂y = ∂
∂z
∂f
∂y
, ∂2f
∂z2 = ∂
∂z
∂f
∂z
. Uwaga Powy˙zsze wzory mo˙zna zapisa´c w postaci
fxx00 = (fx0)0x, fxy00 = (fy0)0x, fxz00 = (fz0)0x, fyx00 = (fx0)0y, fyy00 = (fy0)0y, fyz00 = (fz0)0y, fzx00 = (fx0)0z, fzy00 = (fy0)0z, fzz00 = (fz0)0z.
Twierdzenie (Schwarza) Je˙zeli funkcja f ma ci¸ag le pochodne mieszane fxy00 , fyx00 , fxz00, fzx00 , fyz00, fzy00 w punkcie P0 = (x0, y0, z0), to
fxy00(x0, y0, z0) = fyx00(x0, y0, z0), fxz00(x0, y0, z0) = fzx00(x0, y0, z0), fyz00(x0, y0, z0) = fzy00(x0, y0, z0).
Przyk lad Obliczymy pochodne cz¸astkowe drugiego rz¸edu funkcji f (x, y, z) = xyz. Mamy kolejno fx0 = yz, fy0 = xz, fz0 = xy, fxx00 = 0, fxy00 = z, fxz00 = y, fyx00 = z, fyy00 = 0, fyz00 = x, fzx00 = y, fzy00 = x, fzz00 = 0.
Obliczymy teraz pochodne cz¸astkowe drugiego rz¸edu funkcji f (x, y, z) = x2 + y2 + z2. Mamy kolejno fx0 = 2x, fy0 = 2y, fz0 = 2z, fxx00 = 2, fxy00 = 0, fxz00 = 0, fyx00 = 0, fyy00 = 2, fyz00 = 0, fzx00 = 0, fzy00 = 0, fzz00 = 2.
19 Ekstrema lokalne funkcji trzech zmiennych
Definicja Funkcja f ma w punkcie P0 = (x0, y0, z0) minimum lokalne, je˙zeli istnieje s¸asiedztwo S(P0) tego punktu takie, ˙ze dla dowolnego P = (x, y, z) ∈ S(P0) zachodzi nier´owno´s´c
f (x, y, z) > f (x0, y0, z0).
Definicja Funkcja f ma w punkcie P0 = (x0, y0, z0) maksimum lokalne, je˙zeli istnieje s¸asiedztwo S(P0) tego punktu takie, ˙ze dla dowolnego P = (x, y, z) ∈ S(P0) zachodzi nier´owno´s´c
f (x, y, z) < f (x0, y0, z0).
Twierdzenie (warunek konieczny ekstremum) Je˙zeli funkcja f spe lnia warunki:
• ma ekstremum w punkcie P0 = (x0, y0, z0),
• ma pochodne cz¸astkowe fx0(x0, y0, z0), fy0(x0, y0, z0), fz0(x0, y0, z0), to
fx0(x0, y0, z0) = 0 fy0(x0, y0, z0) = 0 fz0(x0, y0, z0) = 0 Uwaga
Uk lad r´owna´n
fx0(x0, y0, z0) = 0 fy0(x0, y0, z0) = 0 fz0(x0, y0, z0) = 0
mo˙zna zapisa´c w postaci gradf (x0, y0, z0) = 0.
Przyk lad Funkcja f (x, y, z) = e−x2−y2−z2 ma maksimum w punkcie P0 = (0, 0, 0) oraz fx0 =
−2x e−x2−y2−z2, fy0 = −2y e−x2−y2−z2, fz0 = −2z e−x2−y2−z2, co oznacza, ˙ze f spe lnia warunek ko- nieczny ekstremum fx0(0, 0, 0) = 0, fy0(0, 0, 0) = 0, fz0(0, 0, 0) = 0.
Funkcja f (x, y, z) = xyz nie ma ekstremum w punkcie P0 = (0, 0, 0), ale fx0 = yz, fy0 = xz, fy0 = xy, co oznacza, ˙ze f spe lnia warunek konieczny ekstremum fx0(0, 0, 0) = 0, fy0(0, 0, 0) = 0, fz0(0, 0, 0) = 0.
Niech teraz
A = deth
fxx00 (P0)i
B = det
"
fxx00 (P0) fxy00 (P0) fyx00(P0) fyy00 (P0)
#
C = det
fxx00 (P0) fxy00 (P0) fxz00 (P0) fyx00 (P0) fyy00(P0) fyz00(P0) fzx00 (P0) fzy00(P0) fzz00(P0)
gdzie P0 = (x0, y0, z0).
Twierdzenie (warunek dostateczny ekstremum) Je˙zeli funkcja f ma ci¸ag le pochodne cz¸astkowe pierwszego i drugiego rz¸edu w punkcie P0 = (x0, y0, z0) oraz je˙zeli
• gradf (P0) = 0,
• A > 0, B > 0, C > 0, to f (P0) = fmin; je˙zeli
• gradf (P0) = 0,
• A < 0, B > 0, C < 0,
to f (P0) = fmax; je˙zeli wy˙zej wymienione warunki odno´snie A, B, C nie s¸a spe lnione oraz
• gradf (P0) = 0,
• ABC 6= 0,
to f nie ma ekstremum w punkcie P0; w pozosta lych przypadkach twierdzenie nie rozstrzyga.
Przyk lad Wyznaczymy ekstrema funkcji f (x, y, z) = x2+ y2+ z2− xy + 3x + 2z. Poniewa˙z fx0 = 2x − y + 3, fy0 = 2y − x, fz0 = 2z + 2, to otrzymujemy uk lad r´owna´n
2x − y + 3 = 0 2y − x = 0 2z + 2 = 0
kt´ory ma rozwi¸azanie P0 = (−2, −1, −1). Ponadto fxx00 = 2, fxy00 = fyx00 = −1, fxz00 = fzx00 = 0, fyy00 = 2, fyz00 = fzy00 = 0, fzz00 = 2 oraz
A = det [2] = 2 > 0 B = det
"
2 −1
−1 2
#
= 3 > 0
C = det
2 −1 0
−1 2 0
0 0 2
= 6 > 0 a wi¸ec f (−2, −1, −1) = fmin= −4.
