Liniowe równania ró»niczkowe n−tego rz¦du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n−tego rz¦du o staªych wspóªczynnikach

Teoria obowi¡zuje z wykªadu, dlatego te» zostan¡ tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory.

Denicja 1. Równanie ró»niczkowe postaci

a ₀ y ⁽ⁿ⁾ (x) + a ₁ y ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x) + a ₂ y ⁽ⁿ⁻²⁾ (x) + . . . + a _n−1 y ⁰ (x) + a _n y(x) = f (x), (1) gdzie wspóªczynniki a 0 , a ₁ , . . . a _n = const., a funkcja f jest ci¡gªa w pewnym przedziale (a, b) na- zywamy równaniem ró»niczkowym liniowym n−tego rz¦du o staªych wspóªczynnikach.

Równanie (1), podobnie jak to byªo w przypadku równania liniowego pierwszego rz¦du, nazy- wamy równaniem jednorodnym, je»eli funkcja f(x) ≡ 0, w przeciwnym przypadku niejednorodnym.

Tutaj te» znalezienie caªki ogólnej równania niejednorodnego (CORN) (1) opiera si¦ na zasadzi superpozycji tzn. y(x) = y 0 (x) + y(x), e gdzie y 0 (x) to caªka ogólna równania jednorodnego (CORJ), a y(x) e to caªka szczególna równania niejednorodnego (CSRN).

a) Rozwi¡zanie równania jednorodnego:

a 0 y ⁽ⁿ⁾ (x) + a 1 y ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x) + a 2 y ⁽ⁿ⁻²⁾ (x) + . . . + a n−1 y ⁰ (x) + a n y(x) = 0 (2) Denicja 2. Równanie

L(λ) ≡ a ₀ λ ⁿ + a ₁ λ ⁿ⁻¹ + a _n λ ⁿ⁻² + . . . + a _n−1 λ + a _n = 0 (3) nazywamy równaniem charakterystycznym równania jednorodnego (2).

Fakt 1. Funkcja e ^λx jest rozwi¡zaniem równania jednorodnego (2) wtedy i tylko wtedy, gdy λ jest pierwiastkiem równania L(λ) = 0.

Twierdzenie 2. Niech wszystkie pierwiastki λ 1 , λ ₂ , . . . , λ _n równania charakterystycznego (3) s¡

ró»ne tj. λ i 6= λ _m dla ka»dego i 6= m, 1 ≤ i, m ≤ n. Wtedy dowolne rozwi¡zanie równania jednorodnego (2) ma posta¢:

y ₀ (x) =

n

X

k=1

C _k e ^λ

^x , (4)

gdzie C 1 , . . . , C _n = const. Ponadto dowolna funkcja postaci (4) jest rozwi¡zaniem równania (2).

Uwaga 3. W przypadku gdy liczba zespolona λ i = a + bi jest pierwiastkiem równania charaktery- stycznego (3) wówczas równanie to posiada tak»e pierwiastek zespolony sprz¦»ony tzn. λ m = a−bi.

Ponadto mo»na wykaza¢, »e

A _i e ^(a+bi)x + A _m e ^e

^x = e ^ax C _i sin bx + C _m cos sin bx
, gdzie A i , A _m , C _i , C _m = const..

Twierdzenie 4. Niech λ 1 , λ ₂ , . . . λ _s b¦d¡ ró»nymi pierwiastkami równania charakterystycznego (3) krotno±ci odpowiednio k 1 , k ₂ , . . . , k _s , gdzie k 1 , k ₂ , . . . , k _s < n oraz k 1 + k ₂ + . . . + k _s = n. Wówczas dowolne rozwi¡zanie równania jednorodnego (2) ma posta¢:

y ₀ (x) =

s

X

j=1

P _j (x)e ^λ

^x , (5)

gdzie P j (x) jest wielomianem stopnia (k j − 1 ). Ponadto dowolna funkcja postaci (5) jest rozwi¡-

zaniem równania (2).

Uwaga 5. W przypadku gdy liczba zespolona λ i = α +βi jest k−krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego (3) wówczas równanie to posiada tak»e pierwiastek zespolony sprz¦»ony λ m = α − βi o tej samej krotno±ci. Ponadto mo»na wykaza¢, »e

P i (x)e ^(α+βi)x +P m (x)e ^(α−βi)x = e ^αx C 1 +C 2 x+. . .+C k x ^k
sin βx+e ^αx c 1 +c 2 x+. . .+c k x ^k
cos sin βx.

W przypadku szczególnym tj. równania ró»niczkowego drugiego rz¦du postaci

ay ⁰⁰ (x) + by ⁰ (x) + cy(x) = 0 (6)

rozwi¡zanie równania jednorodnego zale»y od znaku wyró»nika ∆ = b ² − 4ac jego równania cha- rakterystycznego aλ ² + bλ + c = 0 :

1. je»eli ∆ > 0, to równanie (6) posiada dwa pierwiastki rzeczywiste λ 1 , λ ₂ i wówczas y 0 (x) jest postaci:

y ₀ (x) = C ₁ e ^λ

^x + C ₂ e ^λ

^x ; (7) 2. je»eli ∆ = 0, to równanie (6) posiada jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty λ i wówczas

y 0 (x) jest postaci:

y ₀ (x) = (C ₁ x + C ₂ )e ^λx ; (8)

3. je»eli ∆ < 0, to równanie (6) posiada dwa pierwiastki zespolone (sprz¦»one ) λ 1 = α + βi, λ ₂ = α − βi, wówczas y 0 (x) jest postaci:

y ₀ (x) = C ₁ e ^λ

^x + C ₂ e ^λ

^x

co na mocy wzoru e ^(α±βi)x = e ^αx (cos βx ± i sin βx) sprowadzamy do:

y 0 (x) = e ^αx (c 1 cos βx + c 2 sin βx). (9) b) Rozwi¡zanie równania niejednorodnego (metoda przewidywa«)

Rozwa»amy równanie ró»niczkowe n−tego rz¦du o staªych wspóªczynnikach o prawej stronie w postaci quasi-wielomianu:

y ⁽ⁿ⁾ (x) + a 1 y ⁽ⁿ⁻¹⁾ (x) + a 2 y ⁽ⁿ⁻²⁾ (x) + . . . + a n−1 y ⁰ (x) + a n y(x) = P m (x)e ^µx . (10) Aby znale¹¢ (CSRN) y(x) e b¦dziemy stosowa¢ metod¦ przewidywa« opisan¡ w nast¦puj¡cych dwóch twierdzeniach:

Twierdzenie 6. (przypadek nierezonansowy)

Je»eli µ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (3) tzn. µ 6∈ {λ 1 , λ ₂ , . . . , λ _n } , to (CSRN) równania (10) jest postaci:

e y(x) = Q _m (x)e ^µx . Twierdzenie 7. (przypadek rezonansowy)

Je»eli µ jest pierwiastkiem krotno±ci k (k ≤ n) równania charakterystycznego (3), to (CSRN) równania (10) jest postaci:

e y(x) = x ^k Q _m (x)e ^µx .

Lp. posta¢ funkcji f(x) przewidywanie y(x) e

posta¢ funkcji e y(x) warunek

1. P _n (x)

Q _n (x) λ ₁ 6= 0, λ ₂ 6= 0 x · Q _n (x) λ ₁ = 0, λ ₂ 6= 0 x ² · Q _n (x) λ ₁ = λ ₂ = 0

2. Ae ^αx

Be ^αx λ ₁ 6= α, λ ₂ 6= α x · Be ^αx λ ₁ = α, λ ₂ 6= α x ² · Be ^αx λ ₁ = λ ₂ = α

3. e ^αx P _n (x)

e ^αx Q n (x) λ 1 6= α, λ 2 6= α x · e ^αx Q _n (x) λ ₁ = α, λ ₂ 6= α x ² · Q _n (x) λ ₁ = λ ₂ = α 4. A cos βx + B sin βx C cos βx + D sin βx λ _1,2 6= ±βi

x · (C cos βx + D sin βx) λ _1,2 = ±βi 5. e ^αx [A cos βx + B sin βx] e ^αx [C cos βx + D sin βx] λ _1,2 6= α ± βi

x · e ^αx [C cos βx + D sin βx] λ _1,2 = α ± βi 6. P _n (x) cos βx + W _m (x) sin βx Q _l (x) cos βx + R _l (x) sin βx λ _1,2 6= ±βi

x · [Q _l (x) cos βx + R _l (x) sin βx] λ _1,2 = ±βi 7. e ^αx [P _n (x) cos βx + W _m (x) sin βx] e ^αx [Q _l (x) cos βx + R _l (x) sin βx] λ _1,2 6= α ± βi

x · e ^αx [Q _l (x) cos βx + R _l (x) sin βx] λ _1,2 = α ± βi Tablica 1: Tablica przewidywa« (CSRN) drugiego rz¦du

W powy»szych dwóch twierdzeniach Q m (x) oznacza wielomian stopnia m o nieoznaczonych wspóª- czynnikach.

Rozwa»my dokªadniej przypadek szczególny tj. równania drugiego rz¦du: ay ⁰⁰ + by ⁰ + cy = P _m (x)e ^µx . Niech λ 1 , λ ₂ b¦d¡ pierwiastkami równania charakterystycznego aλ ² + bλ + c = 0 oraz µ = α ± βi, gdzie α, β ∈ R. Wówczas na podstawie twierdze« 6, 7 rozwi¡zania e y(x), w zale»no±ci od przypadku, poszukujemy zgodnie z tablic¡ 1 (gdzie l = max{n, m}).

Przykªad 1. Rozwi¡» równanie:

x ^{(V )} + x ^{(IV )} − x ⁰⁰⁰ − x ⁰⁰ = 0. (11)

Rozwi¡zanie: Jest to jednorodne równanie drugiego rz¦du o staªych wspóªczynnikach. Zapisujemy odpowiednie równanie charakterystyczne:

λ ⁵ + λ ⁴ − λ ³ − λ ² = 0 ⇔ λ ² (λ ² − 1)(λ + 1) = 0.

Pierwiastki to λ 1,2 = 0, λ _3,4 = −1, λ ₅ = 1. Zatem, na mocy twierdze« 2 i 4 (CORJ) jest postaci:

y ₀ (x) = (c ₁ + c ₂ x)e ^0·x + (c ₃ + c ₄ x)e ^−x + c ₅ e ^x , wi¦c

y 0 (x) = c 1 + c 2 x + (c 3 + c 4 x)e ^−x + c 5 e ^x , Przykªad 2. Rozwi¡» równanie:

x ^{(IV )} − x = 0. (12)

Rozwi¡zanie: Jest to jednorodne równanie drugiego rz¦du o staªych wspóªczynnikach. Zapisujemy odpowiednie równanie charakterystyczne:

λ ⁴ − 1 = 0 ⇔ (λ − 1)(λ + 1)(λ + i)(λ − i) = 0.

Pierwiastki to λ 1 = 1, λ 2 = −1, λ 3,4 = ±i. Zatem, na mocy twierdze« 2 i 4 (CORJ) jest postaci:

y ₀ (x) = c ₁ e ^x + c ₂ e ^−x + c ₃ sin x + c ₄ cos x.

Przykªad 3. Rozwi¡» równanie:

x ^{(V I)} + 64x = 0. (13)

Rozwi¡zanie: Jest to jednorodne równanie drugiego rz¦du o staªych wspóªczynnikach. Zapisujemy odpowiednie równanie charakterystyczne:

λ ⁶ + 64 = 0 ⇒ λ = √

−64.

Korzystaj¡c ze wzoru na pierwiastki w k liczby zespolonej √

z o argumencie ϕ : w k = p|z|



cos ϕ + 2kπ

n + i sin ϕ + 2kπ n



, k = 0, 1, . . . , n − 1, dostajemy pierwiastki λ 1,2 = ±2i, λ _3,4 = √

3 ± i, λ _5,6 = − √

3 ± i. Zatem, na mocy twierdze« 2 i 4 (CORJ) jest postaci:

y ₀ (x) = c ₁ sin 2x + c ₂ cos 2x + (c ₃ sin x + c ₄ cos x)e

√ 3x + (c ₅ sin x + c ₆ cos x)e ⁻

√ 3x . Przykªad 4. Rozwi¡» równanie:

x ^{(V )} + 8x ⁰⁰⁰ + 16x ⁰ = 0. (14)

Rozwi¡zanie: Jest to jednorodne równanie drugiego rz¦du o staªych wspóªczynnikach. Zapisujemy odpowiednie równanie charakterystyczne:

λ ⁵ + 8λ ³ + 16λ = 0 ⇔ λ(λ ² + 4) ² = 0.

St¡d dostajemy pierwiastki λ 1 = 0, λ _2,3 = 2i, λ _4,5 = −2i. Zatem, na mocy twierdze« 2 i 4 (CORJ) jest postaci:

y ₀ (x) = c ₁ e ^0·x + (c ₂ + c ₃ x) cos 2x + (c ₄ + c ₅ x) sin 2x, wi¦c

y ₀ (x) = c ₁ + (c ₂ + c ₃ x) cos 2x + (c ₄ + c ₅ x) sin 2x.

Przykªad 5. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe

y ⁰⁰ − 4y ⁰ − 5y = x ² e ^3x . (15)

Rozwi¡zanie: Jest to niejednorodne równanie drugiego rz¦du o staªych wspóªczynnikach o prawej stronie w postaci quasi-wielomianu x ² e ^3x . Najpierw wyznaczamy (CORJ). Rozpatrujemy równanie jednorodne:

y ⁰⁰ − 4y ⁰ − 5y = 0.

Zapisujemy odpowiednie dla niego równanie charakterystyczne:

λ ² − 4λ − 5 = 0.

Szukamy pierwiastków: λ 1 = 5, λ ₂ = −1. Zatem, mamy przypadek (7), wobec tego (CORJ) jest postaci:

y ₀ (x) = c ₁ e ^5x + c ₂ e ^−x . (16)

Teraz na podstawie Twierdze« 6, 7 lub Tablicy 1 nale»y przewidzie¢ posta¢ y(x). e Tutaj mamy przypadek 3, ponadto poniewa» α = 3, λ 1 6= 3 i λ 2 6= 3, to

y(x) = (Ax e ² + Bx + C)e ^3x . (17)

Liczymy pierwsz¡ i druga pochodn¡ y(x) : e

e y ⁰ (x) =(2Ax + B)e ^3x + 3(Ax ² + Bx + C)e ^3x = (3Ax ² + 2Ax + 3Bx + B + 3C)e ^3x y e ⁰⁰ (x) =(6Ax + 2A + 3B)e ^3x + 3(3Ax ² + 2Ax + 3Bx + B + 3C)e ^3x =

=(9Ax ² + 12Ax + 9Bx + 2A + 6B + 9C)e ^3x .

(18)

Podstawiaj¡c (17), (18) do równania (15), mamy:

(9Ax ² +12Ax+9Bx+2A+6B+9C)e ^3x −4(3Ax ² +2Ax+3Bx+B+3C)e ^3x −5(Ax ² +Bx+C)e ^3x = x ² e ^3x Dziel¡c przez e ^3x i przeprowadzaj¡c redukcje otrzymujemy:

−8Ax ² + 4Bx − 8Bx + 2A + 2B − 8C = x ² .

St¡d porównuj¡c wspóªczynniki po prawej i lewej stronie równania otrzymujemy ukªad na wyzna- czenie A, B, C:

x ² : −8A = 1 x ¹ : 4A − 8B = 0 x ⁰ : 2A + 2B − 8C = 0.

Rozwi¡zuj¡c dostajemy: A = − ¹ ₈ , B = − ₁₆ ¹ , C = − ₆₄ ³ , wi¦c

e y(x) =



− 1

8 x ² − 1

16 x − 3 64



e ^3x . (19)

Ostatecznie, na mocy superpozycji, uwzgl¦dniaj¡c (16) oraz (19) caªka ogólna równania (15) ma posta¢:

y(x) = y ₀ (x) + e y(x) = c ₁ e ^5x + c ₂ e ^−x −  1

8 x ² + 1

16 x + 3 64



e ^3x , ∀ _c

_,c

∈R . Przykªad 6. Rozwi¡» równanie:

y ⁰⁰ + 4y = x cos 2x. (20)

Rozwi¡zanie: Równie» jest to niejednorodne równanie drugiego rz¦du o staªych wspóªczynnikach o prawej stronie w postaci quasi-wielomianu x cos 2x. Aby wyznaczy¢ (CORJ) rozpatrujemy równanie jednorodne:

y ⁰⁰ + 4y = 0.

Zapisujemy odpowiednie dla niego równanie charakterystyczne:

λ ² + 4 = 0.

Wyró»nik ∆ = −16 = 4i ² , zatem równanie posiada pierwiastki zespolone. Wynosz¡ one: λ 1,2 =

±2i. Zatem, mamy przypadek (9) z α = 0, β = 2, wobec tego (CORJ) jest postaci:

y ₀ (x) = c ₁ cos 2x + c ₂ sin 2x. (21)

Teraz na podstawie Twierdze« 6, 7 (lub tablicy 1: mamy przypadek 6, ponadto poniewa» β = 2, λ _1,2 = ±βi ) y(x) e ma posta¢

y(x) = x(Ax + B) sin 2x + x(Cx + D) cos 2x e =⇒ y = (Ax e ² + Bx) sin 2x + (Cx ² + Dx) cos 2x.

Liczymy pierwsz¡ i druga pochodn¡ y(x) : e (22)

e y ⁰ (x) =(2Ax + B) sin 2x + 2(Ax ² + Bx) cos 2x + (2Cx + D) cos 2x − 2(Cx ² + Dx) sin 2x

=(−2Cx ² + 2Ax − 2Dx + B) sin 2x + (2Ax ² + 2Bx + 2Cx + D) cos 2x y e ⁰⁰ (x) =(−4Cx + 2A − 2D) sin 2x + (−4Cx ² + 4Ax − 4Dx + 2B) cos 2x

+ (4Ax + 2B + 2C) cos 2x − (4Ax ² + 4Bx + 4Cx + 2D) sin 2x

=(−4Ax ² − 4Bx − 8Cx + 2A − 4D) sin 2x + (−4Cx ² + 8Ax − 4Dx + 4B + 2C) cos 2x.

(23) Podstawiaj¡c (22), (23) do równania (20), mamy:

(−4Ax ² − 4Bx − 8Cx + 2A − 4D) sin 2x + (−4Cx ² + 8Ax − 4Dx + 4B + 2C) cos 2x

+ 4(Ax ² + Bx) sin 2x + 4(Cx ² + Dx) cos 2x = x cos 2x.

Przeprowadzaj¡c redukcj¦ otrzymujemy:

(−8Cx + 2A − 4D) sin 2x + (8Ax + 4B + 2C) cos 2x = x cos 2x.

St¡d porównuj¡c odpowiednie wspóªczynniki otrzymujemy ukªad na niewiadome A, B, C, D : x sin x : −8C = 0

sin x : 2A − 4D = 0 x cos x : 8A = 1

cos x : 4B + 2C = 0, wi¦c A = ¹ ₈ , B = 0, C = 0, D = ₁₆ ¹ . Zatem (CSRN) ma posta¢:

e y(x) = 1

8 x ² sin 2x + 1

16 x cos 2x. (24)

Ostatecznie, na mocy superpozycji, uwzgl¦dniaj¡c (21) oraz (24) caªka ogólna równania (20) ma posta¢:

y(x) = y ₀ (x) + e y(x) = c ₁ cos 2x + c ₂ sin 2x + 1

8 x ² sin 2x + 1

16 x cos 2x, ∀ _c

_,c

∈R . Przykªad 7. Rozwi¡» równanie:

y ⁰⁰⁰ − y ⁰⁰ − y ⁰ + y = 3e ^x + 5x sin x. (25) Rozwi¡zanie: Jest to niejednorodne równanie trzeciego rz¦du o staªych wspóªczynnikach o dwóch prawych stronach w postaci quasi-wielomianów. Aby wyznaczy¢ (CORJ) rozpatrujemy równanie jednorodne:

y ⁰⁰⁰ − y ⁰⁰ − y ⁰ + y = 0.

Zapisujemy odpowiednie dla niego równanie charakterystyczne:

λ ³ − λ ² − λ + λ = 0 ⇔ (λ − 1) ² (λ + 1) = 0.

Zatem pierwiastki równania charakterystycznego wynosz¡ λ 1,2 = 1, λ ₃ = −1. Wówczas na mocy odpowiednich twierdze«

y ₀ (x) = (C ₁ + C ₂ x)e ^x + C ₃ e ^−x . (26) Teraz znajdziemy (CSRN). Tak jak to byªo zauwa»one na pocz¡tku mamy dwie prawe strony.

B¦dziemy oddzielnie szuka¢ caªki szczególnej y e ₁ (x) dla prawej strony 3e ^x , a oddzielnie caªki szcze- gólnej y b ₂ (x) dla prawej strony 5x sin x. Wówczas (CSRN) równania (25) ma posta¢

y(x) = e e y ₁ (x) + e y ₂ (x).

Dla prawej strony postaci e ^x mamy przypadek rezonansowy gdy» µ = 1 oraz λ 1,2 = 1. Wówczas przewidywana posta¢ y e ₁ (x) to:

e y ₁ (x) = Ax ² e ^x , (27)

wi¦c

y e ₁ ⁰ (x) = (Ax ² + 2Ax)e ^x ; y e ₁ ⁰⁰ (x) = (Ax ² + 4Ax + 2A)e ^x ; y e 1 000

(x) = (Ax ² + ^A x+ ^A )e ^x .

(28)

Kªad¡c (27) oraz (28) w y ⁰⁰⁰ − y ⁰⁰ − y ⁰ + y = 3e ^x mamy równanie na wyznaczenie A : (Ax ² + 6Ax + 6A)e ^x − (Ax ² + 4Ax + 2A)e ^x − (Ax ² + 2Ax)e ^x + Ax ² e ^x = 3e ^x . St¡d po redukcji i dzieleniu przez e ^x : 4A = 3, wi¦c A = ³ ₄ . Wówczas

y e ₁ (x) = 4 3 x ² e ^x .

Dla prawej strony 5x sin x dostajemy przypadek nierezonansowy gdy» µ 6∈ {λ 1 , λ ₂ , λ ₃ }. Wówczas przewidywana posta¢ y e ₂ (x) to:

y e 1 (x) = (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x, (29) wi¦c

y e ₂ ⁰ (x) = (−Cx + A − D) sin x + (Ax + B + C) cos x;

y e 2 00

(x) = (−Ax − B − 2C) sin x + (−Cx + 2A − D) cos x;

y e ₂ ⁰⁰⁰ (x) = (Cx − 3A + D) sin x + (−Ax − B − 3C) cos x.

(30)

Wstawiamy (27) oraz (28) do y ⁰⁰⁰ − y ⁰⁰ − y ⁰ + y = 5x sin x

(Cx − 3A + D) sin x + (−Ax − B − 3C) cos x + (Ax + B + 2C) sin x + (Cx − 2A + D) cos x + (Cx − A + D) sin x + (−Ax − B − C) cos x + (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x = 5x sin x.

Porównuj¡c odpowiednie wspóªczynniki dostajemy równania na wyznaczenie A, B, C.D : x sin x : 2A + 2C = 5;

sin x : −4A + 2B + 2C + 2D = 0;

x cos x : −2A + 2C = 0;

cos x : −2A − 2B − 4C + 2D = 0.

Rozwi¡zuj¡c otrzymujemy: A = B = C = ⁵ ₄ , D = 0. Wówczas:

y e ₂ (x) = 5

4 (x + 1) sin x + 5

4 x cos x.

Poniewa» (CSRN) jest sum¡ e y(x) = y e ₁ (x) + y e ₂ (x) to:

y(x) = e 4

3 x ² e ^x + 5

4 (x + 1) sin x + 5

4 x cos x.

Ostatecznie z zasady superpozycji rozwi¡zanie ogólne równania (25) wynosi:

y(x) = (C 1 + C 2 x)e ^x + C 3 e ^−x + 4

3 x ² e ^x + 5

4 (x + 1) sin x + 5

4 x cos x.