Zadania domowe 4 Uwaga: Ka˙zde zadanie warte jest tyle samo punkt´ow

GAL (I INF)

Zadania domowe 4 Uwaga: Ka˙zde zadanie warte jest tyle samo punkt´ow

4.1 Dla danego cia la K, niech k · k

oraz k · k

b ed

a pewnymi normami odpowiednio

w K

i w K

. Wyka˙z, ˙ze funkcja

ψ(A) = sup

~x6=~0

kA ∗ ~xk

k~xk

, A ∈ K

, definiuje norm e w K

.

4.2 Dana jest macierz

A =



 



0 1 2 3

−i 0 −1 −2

2i i 0 1

−3i −2i −i 0



 

 ∈ C

gdzie i = √

−1. Wyznacz normy kAk

i kAk

. Znajd´z wektory ~x, ~y ∈ C

takie, ˙ze k~xk

= k~yk

= 1 oraz kA ∗ ~xk

= kAk

, kA ∗ ~yk

= kAk

.

4.3 Wyka˙z, ˙ze dla dowolnej macierzy A mamy

kAk

= kA

∗ Ak

≤ kAk

· kAk

.

4.4 Niech p i q spe lniaj a 1/p+1/q = 1 (przy czym przyjmujemy, ˙ze 1/

∞ = 0). Nier´owno´s´c H¨ oldera m´owi, ˙ze dla dowolnych wektor´ow ~u, ~v ∈ C

mamy

|~u

∗ ~v| ≤ k~uk

· k~vk

.

Korzystaj ac z nier´owno´sci H¨oldera wyka˙z, ˙ze dla dowolnych ~x

∈ C

, ~y ∈ C

k~y ∗ ~x

k

= k~yk

· k~xk

.

1