GAL (I INF) EGZAMIN (I termin)
3 lutego 2009
Uwaga. Nale˙zy odda´c nie wiecej ni˙z 8 zada´, n, ka˙zde na osobnej kartce. W przypadku oddania 9- ciu zada´n, to z najwieksz, a punktacj, a nie b, edzie brane pod uwag, e przy ko´, ncowej ocenie. Wszystkie zadania warte sa 5 punkt´, ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.
Zadanie 1. Niech z bedzie dan, a liczb, a zespolon, a. Dla jakich liczb naturalnych n, ∈ {1, 2, 3, . . .}
liczba (z + ı· z)n jest rzeczywista? (ı =√
−1)
Zadanie 2. Dla macierzy
A =
2 1 1
−1 1 −2
3 2 1
definiujemy funkcje γ : R, 3 → [0, +∞) jako
γ(~x) =kA ∗ ~xk2+|x1+ a∗ x2+ 2∗ x3|,
gdzie ~x = [x1, x2, x3]T oraz a jest danym parametrem rzeczywistym. Dla jakich warto´sci a funkcja γ definiuje norme wektorow, a w R, 3?
Zadanie 3. W przestrzeniP|R3 rozwa˙zamy podzbi´or
W ={p ∈ P|R3 : p(1) + p0(0) = 1}.
Wyka˙z, ˙ze W jest warstwa, tzn. W = W (p, 0,Y), dla pewnych p0 ∈ P|R3 oraz podprzestrzeni Y ⊂ P|R3 . Znajd´z p0 i baze, Y.
Zadanie 4. DlaX = P|R4 funkcjona l f ∈ X∗ zdefiniowany jest jako f (p) = p0(0) + p(3)(1), p∈ X .
Znajd´z wsp´o lczynniki ak, k = 1, 2, 3, 4, funkcjona lu f w bazie sprze˙zonej do bazy, (1, 1 + t, 1− t2, t3).
Zadanie 5. Stosujac eliminacj, e Gaussa znajd´z czynniki P, Q, L, R rozk ladu tr´ojk, atno-tr´ojk, atnego, P ∗ A ∗ QT = L∗ R
macierzy
A =
1 1 1 1 2 2 2 3 2 3 4 4 2 3 4 5 2 3 4 6
.
Zadanie 6. Niech f : P|R3 → P|R3 bedzie przekszta lceniem liniowym, kt´orego macierz w bazie, potegowej (1, t, t, 2) wynosi
2 0 2 0 2 0 0 0 2
. Znajd´z macierz tego przekszta lcenia w bazie Lagrange’a
pi(t) = Y3 i6=j=1
t− tj
ti− tj
, i = 1, 2, 3, gdzie (t1, t2, t3) = (−1, 0, 1).
Zadanie 7. Niech A ∈ Rn,n, n ≥ 2, bedzie macierz, a kwadratow, a o dok ladnie (n + 1) wsp´o l-, czynnikach r´ownych 1 i pozosta lych wsp´o lczynnikach r´ownych 0. Jakie warto´sci mo˙ze przybiera´c wyznacznik macierzy A?
Zadanie 8. Niech a∈ R oraz
A =
1 0 a 0 0 1 0 a a 0 1 0 0 a 0 1
.
Zbadaj, dla jakich warto´sci a forma dwuliniowa ϕ : R4× R4 → R dana wzorem ϕ(~x, ~y) = ~xT ∗ A ∗ ~y
jest dodatnio okre´slona.
Zadanie 9. NiechX = P|R9 bedzie przestrzeni, a Euklidesow, a z iloczynem skalarnym,
(p, q) = X10 i=−10
p(i)q(i), p, q∈ X .
Niech dalejY bedzie podprzestrzeni, a,X sk ladajac, a si, e z wielomian´ow nieparzystych p, tzn. takich,,
˙ze p(−t) = −p(t) ∀t ∈ R. Znajd´z rzut prostopad ly wielomianu p(t) = t8− t7+ 2t6+ 1 na podprzestrze´nY.
