ELEKTROMAGNETYZM Notatki do wykładów z ﬁzyki

(1)

Instytut Fizyki

ELEKTROMAGNETYZM Notatki do wykładów z ﬁzyki

Włodzimierz Salejda, Instytut Fizyki PWr.

Strona domowa: http:/www.if.pwr.wroc.pl/

^∼

ssalejda Notatki są opublikowane na mojej stronie domowej

w pliku postscriptowym elektr ps.zip

i pliku PDF elektr pdf.zip

(2)

Spis treści

1. Wprowadzenie 3

1.1. Proste oszacowania . . . . 4

2. Elementy analizy wektorowej 5 3. Równania Maxwella 6 3.1. Równania Maxwella — postać ró˙zniczkowa . . . . 7

3.2. R´ownania Maxwella — posta´c ca lkowa . . . . 8

3.3. Zasada zachowania ladunku elektrycznego . . . 11

3.4. Pole elektromagnetyczne . . . 12

3.5. Elektrostatyka . . . 13

3.6. Sta ly pr¸ad elektryczny . . . 21

3.7. Magnetostatyka . . . 23

3.8. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Faraday’a . . . 24

3.9. Fale elektromagnetyczne w próżni . . . 24

(3)

1. Wprowadzenie

Zajmiemy si¸e obecnie zjawiskami i prawami ﬁzycznymi zwi¸azanymi z tym, ˙ze w przyrodzie wyst¸epuj¸a ladunki elektryczne. Odpowiedni dzia l ﬁzyki nazywany jest elekromagnetyzmem.

Oddzia lywania elektromagnetyczne s¸a jednym z czterech typów oddzia lywań fundamental- nych. Oddzia lywania te opisujemy za pomoça koncepcji pola, której sens podajemy poni˙zej.

Deﬁnicja pola wielko´sci ﬁzycznej

Polem P danej wielko´sci fizycznej F nazywamy obszar przestrzeni, w kt´ orym wielko´sć fizyczna F ma okre´slon¸a warto´sć.

W przypadku oddzia lywań grawitacyjnych¹ pole grawitacyjne okre´slamy podaj¸ac albo warto´sć nat¸e˙zenia pola grawitacyjnego² E_gr(r) w ka˙zdym punkcie tego pola (wype lniaj¸acego przestrzeń) lub te˙z okre´slaj¸ac warto´sć potencja lu³ V (r) tak˙ze w ka˙zdym punkcie tego pola.

Dlaczego mo˙zemy tak post¸apić? Znajomo´sć wektora Egr(r) oraz wielko´sci ladunku – w tym kon- kretnym przypadku – masy cia la mc pozwala jednoznacznie wyznaczyć warto´sć si ly dzia laj¸acej na ladunek, tj. mas¸e mc umieszczon¸a w punkcie r pola, która jest równa Fgr = mcEgr(r).

Natomiast znajomo´s´c potencja lu V (r) z uwagi na zale˙zno´s´c Egr(r) = −∇V (r) = −grad V (r) sprowadza si¸e do tego samego.

Pole elektromagnetyczne zadaj¸a w przestrzeni dwa wektory E(r) oraz B(r) zwane, odpo- wiednio, wektorem nat¸e˙zenia pola elektrycznego oraz wektorem indukcji magnetycznej. Znaj¸ac te wektory⁴ mo˙zemy wyznaczyć warto´sć si ly Felm(r) dzia laj¸acej ze strony pola elektromagne- tycznego na poruszaj¸acy si¸e w nim z pr¸edko´sci¸a v ladunek elektryczny Q, która jest równa

F_elm(r, t) = Q(E(r, t) + v(t) × B(r, t)). (1)

Zauwa˙zmy, ˙ze dane pole P(r, t) ma okre´slon¸a warto´s´c w danym punkcie przestrzeni r i chwili czasu t bez wzgl¸edu na to czy w tym punkcie znajduje si¸e ladunek lub go tam nie ma⁵.

Poj¸ecie pola jest bardzo wygodnym i stosunkowo prostym opisem oddzia lywań fundamentalnych⁶, które pozwala scharakteryzować ilo´sciowo i jako´sciowo znane nam typy oddzia lywań.

Co powinni´smy znać, jak¸a wiedz¸a powinni´smy dysponować, aby efektywnie pos lugiwać si¸e koncepcj¸a pola? Mówi¸ac najogólniej nale˙zy znać dwie, podane ni˙zej, grupy regu l:

1. Regu ly (prawa) okre´slaj¸ace w jaki sposób powstaje pole, co jest jego ´zród lem i ile wynosi warto´sć wielko´sci fizycznej w ka˙zdym punkcie pola.

2. Regu l definiuj¸acych w jaki sposób badane pole dzia la na ladunek w nim umieszczony (patrz wzór (1)).

W przypadku spoczywaj¸acych ladunków elektrycznych prawo Coulomba wydaje si¸e w zupe lno´sci wystarczać do opisu oddzia lywań elektromagnetycznych. Jednak˙ze zagadnienie zna- czie si¸e komplikuje, je´sli w ten sam sposób próbujemy badać oddzia lywania elektromagnetyczne poruszaj¸acych si¸e ladunków elektrycznych. Przyk ladowo, bardzo elegancki i zwi¸ez ly opis oddzia lywania pomi¸edzy spoczywaj¸acym ladunkiem Q i poruszaj¸acymi si¸e w przewodniku no´snikami pr¸adu uzyskujemy tylko za pomoça poj¸ecia pola megnetycznego wytwarzanego przez

1Jest to s luszne w przypadku s labych p´ol grawitacyjnych.

2Nat¸e˙zenie pola grawitacyjnego jest wektorem.

3Potencja l jest funkcj¸a skalarn¸a.

4Pod warunkiem, ˙ze ladunek Q nie zak lóci po lo˙zeń i ruchów ´zróde l pola elektromagnetycznego. Tak jest, gdy warto´sci ladunku Q lub pr¸edko´sci cia la s¸a dostacznie ma le.

5W tym sensie pole jest poj¸eciem abstrakcyjnym poniewa˙z uwa˙zamy, ˙ze istnieje ono w ka˙zdym punkcie przestrzeni niezale˙znie od tego czy w tym punkcie umieszczony jest lub nie ladunek.

6Pola s¸a szczeg´olnie przydatne do opisu oddzia lywa´n mi¸edzy cz¸astkami elementarnymi (pola kwarkowe, pole si l j¸adrowych).

(4)

poruszaj¸ace si¸e ladunki. Pr´oba opisu si l Coulomba dzia laj¸acych pomi¸edzy Q i poszczeg´olnymi ruchomymi ladunkami elektrycznymi jest bardzo skomplikowana i nieefektywna⁷.

Podobnie badaj¸ac si l¸e dzia laj¸aça pomi¸edzy dwoma przewodnikami z pr¸adem, nie rozwa˙zamy oddzia lywań kulombowskich poszczególnych ladunków, lecz odwo lujemy si¸e do poj¸ecia pola elektromagnetycznego, co znacznie u latwia wyznaczanie warto´sci si ly wzajemnego oddzia lywania.

1.1. Proste oszacowania

Poni˙zej przeprowadzimy kilka prostych rachunków w celu przybli˙zenia zjawisk, o których za- mierzamy dalej mówić.

1. Si la odpychania kulombowskiego pomi¸edzy dwoma elektronami umieszczonymi w pr´o˙zni w danej od siebie odleg lo´sci d jest

4, 0 · 10

⁴²

razy wi¸eksza od si ly przyci¸agania grawitacyjnego

pomi¸edzy nimi.

Uzasadnienie. Stosunek si ly Coulomba FC do si ly przyci¸agania grawitacyjnego Fg wynosi FC

Fg

= k · e² G · m²e

= k G·

e me

2

≃ 4, 0 · 10⁴²,

gdzie k ≃ 9, 0 · 10⁹ (Nm²)/C², G = 6, 67 · 10⁻¹¹ Nm²/(kg²), e/me ≃ 1, 76 · 10¹¹ C/kg⁸. Zadanie 1. Jak zmieni¸a si¸e wyniki liczbowe podane wy˙zej je´sli elektrony zast¸apimy pro- tonami?

2. Policzymy ile wynosi laby si la oddzia lywania elektrycznego pomi¸edzy dwoma typowymi osobami, je´sliby na ich cia lach uda lo si¸e zgromadzić o 1% wi¸ecej elektronów ni˙z jest ich w stanie normalnym. Cia lo statystycznego Polaka wa˙zy ´srednio ≃ 75 kg. W jego sk lad wchodzi g lównie woda. Masa molowa wody 0, 012 kg. Oznacza to, ˙ze w ciele tym jest

≃ 4200 moli H²O. W cz¸asteczce wody znajduje si¸e 10 elektron´ow i tyle samo proton´ow.

W ciele osobnika jest zatem przeci¸etnie 4200·6, 0·10²³ ≃ 2, 52·10²⁸elektronów, Ca lkowity ladunek ujemny zgromadzony w ciele cz lowieka wynosi Q^(e)_c ≃ 4200 · 6, 0 · 10²³ · 1.6 · 10⁻¹⁹C=≃ 4, 0 · 10⁹C. Jest to zaiste ladunek ogromny! Gdyby teraz dwóm osobnikm stoj¸acym w odleg lo´sci d = 1m dodać ladunek ujemny równy 0, 01 · Q^(e)c , to si la ich odpychania kulombowskiego by laby równa

FC = 9, 0 · 10⁹0, 01 · 2, 52 · 10²⁸· 1, 6 · 10⁻¹⁹

1² ≃ 1, 44 · 10²⁵N.

Kula ziemska wa˙zy 6, 00 · 10²⁴· 10 = 6, 00 · 10²⁵. Ziemia jest przyci¸agana przez S lo´nce si la GmZMS/r²_S−Z = 6, 67 · 10⁻¹¹6, 00 · 10²⁴· 3, 00 · 10³⁰

(1, 50 · 10¹¹)² ≃ 3, 00 · 10²⁴. Jak widzimy, si la od- dzia lywania Coulomba mi¸edzy cia lami dyskutowanych osobnik´ow jest ≃ 2 · 10²² razy wi¸eksza od ich ci¸e˙zaru. Si la ta nada laby ka˙zdemu z nich w chwili pocz¸atkowe przy- spieszenie a0 ≃ 2, 0 · 10²³ co oznacza, ˙ze dzia laj¸ace na nich przeci¸a˙zenia by lyby rz¸edu a0/g ≃ 2, 0 · 10²².

Zadanie–zagadka 2. Je´sli wierzy´c przeprowadzonym powy˙zej rachunkom, to dlaczego cia lo ludzkie nie jest rozrywane pod wp lywem ogromnych si l kulombowskich dzia laj¸acych pomi¸edzy jednoimiennymi ladunkami znajduj¸acymi si¸e w nim?

7W ﬁzyce bardzo cz¸esto pos lugujemy si¸e zasad¸a prostoty przy opisie danego zjawiska ﬁzycznego. W rozpar- tywanym przypadku zasada ta niejako wymusza na nas pos lugiwanie si¸e poj¸eciem pola.

8Patrz prawa tablica wisz¸aca w sali 322 A–1.

(5)

2. Elementy analizy wektorowej

Poni˙zej podajemy wybrane operatory i twierdzenia analizy wektorowej, kt´ore b¸edziemy wyko- rzystywali w dalszych cz¸e´sciach wyk ladu⁹.

Niechaj w wybranym obszarze przestrzeni trójwymiarowej b¸ed¸a zdefinowane pole ska- larne φ(r) (b¸ed¸ace funkcj¸a trzech wspó lrz¸ednych wektora r) lub pole wektorowe A(r) = (Ax(r), Ay(r), Az(r)).

1. Gradientem ∇φ(r) pola skalarnego φ(r) nazywamy wektor r´owny

∇φ(r) = ∂φ(r)

∂x ,∂φ(r)

∂y ,∂φ(r)

∂z

!

. (2)

Jak widzimy operacja obliczania gradientu generuje z funkcji skalarnej wektor o wsp´o lrz¸ednych zdeﬁniowanych wzorem (2).

Zadanie 3. Obliczy´c gradient funkcji 1/r.

2. Dywergencj¸a ∇ · A(r) pola wektorowego A(r) = (A^x(r), Ay(r), Az(r)) nazywamy liczb¸e (skalar) ∇ · A(r) r´own¸a

∇ · A(r) = ∂Ax(r)

∂x + ∂Ay(r)

∂y + ∂Az(r)

∂z

!

= divA. (3)

Jak widzimy dywergencja generuje z funkcji wektorowej skalar o warto´sci okre´slonej wzorem 3.

Zadanie 4. Obliczy´c dywergencj¸e funkcji r.

3. Rotacj¸a ∇ × A(r) pola wektorowego A(r) = (A^x(r), Ay(r), Az(r)) nazywamy wektor r´owny

∇ × A(r) =

ˆ

x yˆ ˆz

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z Ax Ay Az

= rotA. (4)

Jak widzimy rotacja generuje z funkcji wektorowej wektor o wsp´o lrz¸ednych okre´slonych wzorem 4.

Zadanie 5. Obliczy´c rotacj¸e funkcji r.

4. Twierdzenie Gaussa — strumie´n wektora A przez powierzchni¸e zamkni¸et¸a S jest r´owny ca lce obj¸eto´sciowej z dywergencji tego wektora po obj¸eto´sci V zamkni¸etej powierzchni¸a S

I

S

A· dS =

Z

V divAdV. (5)

Dodajmy w tym miejscu, ˙ze wielko´sć ^H_SA· dS nazywamy strumieniem wektora A przez powierzchni¸e S; dS jest wektorem prostopad lym w ka˙zdym punkcie do powierzchni S, a jego d lugo´sć okre´sla warto´sć dS; zwrot jest zgodny z kierunkiem obchodzenia powierzchni;

kropka (·) w wyra˙zeniu podca lkowym wskazuje na iloczyn skalarny wektor´ow; regu la ta obowi¸azuje tak˙ze w przypadku twierdzenia Stokesa (patrz poni˙zej).

5. Twierdzenie Stokesa — cyrkulacja wektora A wzd lu˙z krzywej zamkni¸etej L jest r´owna ca lce powierzchniowej rotacji wektora A po dowolnej powierzchni S rozpi¸etej na krzywej L

I

LA· dl =

Z

SrotA· dS =

Z

S∇ × A · dS. (6)

9Nasze rozwa˙zania przeprowadzamy w prostok¸atnym uk ladzie wsp´o lrz¸ednych.

(6)

6. Pokazuje si¸e, ˙ze zachodz¸a nast¸epuj¸ace relacje

rot× ∇f = rot(grad)f = 0, (7)

∇ · rotA = div(rot)A = 0. (8)

Zadanie 6. Sprawdzić bezpo´srednim rachunkiem poprawno´sć ostatnich dwóch relacji.

7. Je˙zeli ∇×A = 0, to istnieje takie pole skalarne φ, ˙ze A = ∇φ = grad(φ). Przypomnijmy,

˙ze pole A spe lniaj¸ace relacj¸e ∇ × A = 0 nazywamy potencjalnym lub ´zr´od lowym.

8. Je˙zeli ∇ · A = 0, to istnieje takie pole wektorowe C, ˙ze A = ∇ × C = rot(C). Przypo- mnijmy, ˙ze pole A spe lniaj¸ace relacj¸e ∇ · A = 0 nazywamy solenoidalnym lub wirowym.

9. Operacja ∇ · (∇ f) = ∇²f jest r´ownowa˙zna nast¸epuj¸acemu dzia laniu

∇² f = ∂²f

∂x² +∂²f

∂y² +∂²f

∂z², (9)

gdzie operator

∇² = ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z² (10)

jest nazywany operatorem Laplasa (laplasjanem).

3. R´ ownania Maxwella

Przytoczymy obecnie pe lny uk lad równań Maxwella pola elektromagnetycznego, który jest podsumowaniem osi¸agni¸eć i wieloletnich wysi lków fizyków i in˙zynierów oraz stanowi podstaw¸e elektrodynamiki klasycznej (elektromagnetyzmu).

Poni˙zej podajemy dwie równowa˙zne postacie równa´n Maxwella dla wektorów: E(r, t), D(r, t), H(r, t) oraz B(r, t).

Nale˙zy doda´c, ˙ze między wprowadzonymi wektorami zachodzą następujące związki:

— wektor indukcji elektrycznej D(r, t) jest zwi¸azany w pr´o˙zni z wektorem nat¸e˙zenia pola elektrycznego zale˙zno´sci¸a

D(r, t) = ε0E(r, t); (11)

— wektor nat¸e˙zenia pola magnetycznego H(r, t) jest zwi¸azany w pr´o˙zni z wektorem indukcji pola magnetycznego zale˙zno´sci¸a

B(r, t) = µ0H(r, t), (12)

gdzie ε0 i µ0 s¸a, odpowiednio, przenikalno´sci¸a (bezwzgl¸edn¸a) elektryczn¸a i przenikalno´sci¸a (bezwzgl¸edn¸a) magnetyczn¸a pr´o˙zni. Ich warto´sci s¸a r´owne

— ε0 = 10⁷

4πc² = 8, 854 187 · 10⁻¹² C² N · m²,

— µ0 = 1

ε · c² =4 · π · 10⁻⁷ N·s²/C²= 12, 566 370 610 · 10⁻⁷ N·s²/C². Zadanie 7. Pokaza´c, ˙ze 1

ε0· µ⁰ = c², gdzie c = 2.997 924 580 · 10⁸ m/s jest pr¸edko´sci¸a ´swiat la w pr´o˙zni.

Korzystaj¸ac z podanych powy˙zej zwi¸azków mo˙zna uk lad równań Maxwella formu lować dla różnych par wektorów, np. (D(r, t), H(r, t)), (D(r, t), B(r, t)) lub (E(r, t), H(r, t)). Zagadnienie to pozostawiamy Czytelnikowi do samodzielnego rozwi¸azania.

Dodajmy, ˙ze wektory E oraz B mo˙zna wyznaczyć w danym miejscu przestrzeni (pola elek- tromagnetycznego) mierz¸ac warto´sć si ly dzia laj¸acej w tym punkcie na ladunek próbny, która jest równa

FE−M = q(E + v × B). (13)

(7)

3.1. R´ ownania Maxwella — posta´ c r´ o ˙zniczkowa

1. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego — ´zr´od lem pola elektrycznego s¸a ladunki elektryczne:

div E(r, t) = ∇ · E(r, t) = ρ(r, t) ε0

, (14)

2. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya – pole elektryczne jest wirowe w danym punkcie, je´sli pole elektryczne w tym punkcie zmienia si¸e w czasie:

rot E(r, t) = ∇ × E(r, t) = −∂B(r, t)

∂t , (15)

3. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego — pole magnetyczne jest bez´zr´od lowe (w przyrodzie nie wyst¸epuj¸a ladunki magnetyczne¹⁰):

div B(r, t) = ∇ · B(r, t) = 0, (16)

4. Prawo Ampera – pole magnetyczne jest wirowe:

rot B(r, t) = ∇ × B(r, t) = j(r, t) c²ε0

+ 1 c²

∂E(r, t)

∂t , (17)

gdzie

ε0= 10⁷

4πc² = 8, 85 · 10⁻¹² C²

N · m², (18)

co oznacza, ˙ze 4πε0 ≃ 10⁷

c² → 1

ε0 ≃ 36π · 10⁹Nm²/C², (19)

symbol c ≃ 3, 00·10⁸ m/s – pr¸edko´s´c ´swiat la w pr´o˙zni, ρ(r, t) = dQ(r, t)

dV – obj¸eto´sciowa g¸esto´s´c ladunku elektrycznego, j(r, t) = v(r, t)ρ(r, t) – wektor g¸esto´sci pr¸adu elektrycznego.

Ostatni wyraz r´ownania Ampera (17) nosi nazw¸e pr¸adu przesuni¸ecia. Zosta l wprowadzony przez Maxwella.

10Istniej¸a przypuszczenia, ˙ze ladunki magnetyczne zwane monopolami magnetycznymi mog ly powsta´c w trak- cie pocz¸atkowych etap´ow ekspansji Wszech´swiata

(8)

Tabela 1. Równania Maxwella — postać ró˙zniczkowa

div E (r, t) = ∇ · E(r, t) = ρ(r, t) ε

0

rot E (r, t) = ∇ × E(r, t) = − ∂B(r, t)

∂t div B (r, t) = ∇ · B(r, t) = 0

rot B (r, t) = ∇ × B(r, t) = j (r, t) c

²

ε

0

+ 1 c

²

∂E(r, t)

∂t

Tabela 1A. Równania Maxwella — postać ró˙zniczkowa

div D (r, t) = ∇ · D(r, t) = ρ(r, t)

rot E (r, t) = ∇ × E(r, t) = − ∂B(r, t)

∂t div B (r, t) = ∇ · B(r, t) = 0

rot H (r, t) = ∇ × H(r, t) = j(r, t) + ∂D(r, t)

∂t

3.2. R´ ownania Maxwella — posta´ c ca lkowa

Skorzystamy obecnie z podanych wcze´sniej twierdzeń Gaussa i Stokesa w celu znalezienia ca lkowych postaci równań Maxwella.

1. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego — strumie´n wektora nat¸e˙zenia E(r, t) pola elek- trycznego przez powierzchni¸e zamkni¸et¸a S jest proporcjonalny do ladunku elektrycznego Q(t) =^R_V ρ(r, t)dV zgromadzonego wewn¸atrz tej powierzchni

I

S

E(r, t) · dS = Q(t) ε0

, (20)

2. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya – cyrkulacja ^H_LE(r, t) · dL wektora nat¸e˙zenia pola elektrycznego po drodze zamkni¸etej L okre´slaj¸aca ca lkowit¸a warto´s´c spadku napi¸ecia U w obwodzie zamkni¸etym wynosi

I

LE(r, t) · dL = −∂Φm(t)

∂t +^X

i

Eⁱ(r, t), (21)

gdzie Φm(t) =^R_SB(r, t) · dS jest strumieniem magnetycznym indukcji pola B(r, t) przez powierzchni¸e rozpi¸et¸a nad krzyw¸a L, a ^PiEⁱ(r, t) jest sum¸a wszystkich sta lych si l elek- tromotorycznych ´zr´ode l pod l¸aczonych do obwodu L, wielko´s´c −∂Φm(t)

∂t okre´sla warto´s´c

(9)

si ly elektromotorycznej indukowanej w obwodzie w wyniku zmiany w czasie strumienia Φm(t) wektora B(r, t) indukcji pola magnetycznego obejmowanego danym obwodem, 3. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego — strumie´n wektora B(r, t) pola magnetycznego

przez zamkni¸et¸a powierzchni¸e jest r´owny zeru; jest to konsekwencja bez´zr´od lowo´sci pola magnetycznego

I

S

B(r, t) · dS = 0, (22)

4. Prawo Ampera – cyrkulacja (wirowo´sć) ^H_LB(r, t) · dL wektora B(r, t) indukcji pola ma- gnetycznego po krzywej zamkni¸etej L okre´slaj¸aca ca lkowit¸a sum¸e nat¸e˙zeń pr¸adów obej- mowanych krzyw¸a zamkni¸et¸a L wynosi

I

L

B(r, t) · dL =

P

iIi(r, t) c²ε0

+ 1 c²

∂Φe(t)

∂t , (23)

gdzie Φe(t) =^R_SE(r, t) · dS jest strumieniem wektora nat¸e˙zenia pola elektrycznego przez powierzchni¸e rozpi¸et¸a nad krzyw¸a zamkni¸et¸a L.

Tabela 2. R´ownania Maxwella — posta´c ca lkowa

I

S

E (r, t) · dS = Q(t) ε

₀

I

L

E (r, t) · dL = − ∂Φ

_m

(t)

∂t +

^X

i

E

ⁱ

(r, t)

I

S

B (r, t) · dS = 0,

I

L

B (r, t) · dL =

Pi

I

_i

(r, t) c

²

ε

0

+ 1 c

²

∂Φ

_e

(t)

∂t

Zadanie 8. Jaki jest wymiar nast¸epuj¸acych wektor´ow:

(a) B(r, t), (b) H(r, t), (c) E(r, t), (d) D(r, t)?

Wskazówka. Przy rozwi¸azywaniu tego zadania skorzystać z podanych do tej pory praw fizycznych i zwi¸azków.

Zauwa˙zmy, ˙ze przy wektorach odnosz¸acych si¸e do wektora indukcji B pola magnetycznego, znajduje si¸e czynnik 1

c². Oznacza to, ˙ze pole magnetyczne jest efektem relatywistycznym¹¹. Ponadto, efekty pola magnetycznego s¸a o 16 rz¸edów mniejsze od efektów towarzysz¸acych wek- torowi pola elektrycznego E. Mo˙zna pokazać, ˙ze stosunek si l

FC

FM

,

gdzie FCi FM s¸a, odpowiednio, si lami wywieranymi przez pole elektryczne E i pole magnetyczne B na ladunek pr´obny, jest proporcjonalny do

c² v1· v²,

11Wskazuje na to wyst¸epowanie we wzorze (17) pr¸edko´sci ´swiat la c.

(10)

gdzie v1 – pr¸edko´sć ladunku próbnego, v2 – pr¸edko´sć ladunku elektrycznego wytwarzaj¸acego pole magnetycznego.

Na zakończenie dodajmy jeszcze, ˙ze je´sli rozpatrujemy pole elektromagnetyczne w jednorodnym i izotropowym o´srodku o przenikalno´sci dielektrycznej i magnetycznej równych, od- powiednio, ε i µ, to podany wy˙zej uk lad równa´n Maxwella w danym o´srodku otrzymujemy zast¸apuj¸ac przenikalno´sć dielektryczn¸a ε0 i magnetyczn¸a µ0 pró˙zni warto´sciami przenikalno´sci dielektrycznej i magnetycznej ε = εrε0 i µ = µrµ0 danego o´srodka, gdzie εr i µr są względnymi (bezwymiarowymi) przenikalnościami dielektrycznymi i magnetycznymi ośrodka.

Tabela 3. Równania Maxwella w jednorodnym izotropowym ośrodku — postać ró˙zniczkowa

div E (r, t) = ∇ · E(r, t) = ρ(r)(r, t) ε rot E (r, t) = ∇ × E(r, t) = − ∂B(r, t)

∂t div B (r, t) = ∇ · B(r, t) = 0

rot B (r, t) = ∇ × B(r, t) = j (r, t) c

²

ε + 1

c

²

∂E(r, t)

∂t

Tabela 3A. Równania Maxwella w jednorodnym izotrpowym ośrodku— postać ró˙zniczkowa

div D (r, t) = ∇ · D(r, t) = ρ(r, t)

rot E (r, t) = ∇ × E(r, t) = − ∂B(r, t)

∂t div B (r, t) = ∇ · B(r, t) = 0

rot H (r, t) = ∇ × H(r, t) = j(r, t) + ∂D(r, t)

∂t

(11)

Tabela 4. R´ownania Maxwella w jednorodnym izotropowym ośrodku — posta´c ca lkowa

I

S

E (r, t) · dS = Q(t) ε

I

L

E (r, t) · dL = − ∂Φ

m

(t)

∂t +

^X

i

E

ⁱ

(r, t)

I

S

B (r, t) · dS = 0,

I

L

B (r, t) · dL =

Pi

I

i

(r, t) c

²

ε + 1

c

²

∂Φ

e

(t)

∂t

3.3. Zasada zachowania ladunku elektrycznego

Jednym z najwa˙zniejszych praw przyrody jest zasada zachowania ladunku elektrycznego, zgodnie z kt´or¸a

algebraiczna suma ladunk´ow elektrycznych w odizolowanym elektrycznie uk ladzie jest wielko´sci¸a sta l¸a.

W tym kontek´scie m´owimy, ˙ze ladunek elektryczny jest niezniszczalny, tj. nie znika ani nie powstaje samoistnie.

Zasada zachowania ladunku elektrycznego jest zawarta w r´ownaniach Maxwella. Na mocy (17) mamy

c²· rot B(r, t) − j(r, t) ε0

= ∂E(r, t)

∂t , za´s z r´ownania (14) otrzymujemy, kolejno,

∂

∂tdiv E(r, t) = div ∂E(r, t)

∂t = 1 ε0

∂ρ(r, t)

∂t = 1 ε0

div c²· rot B(r, t) −j(r, t) ε0

!

. Poniewa˙z jednak div rot B(r, t) = 0, wi¸ec matemtyczna posta´c zasady zachowania ladunku elektrycznego w punkcie¹² przyjmuje posta´c

∂ρ(r, t)

∂t + div j(r, t) = 0. (24)

Oznacza to, ˙ze ladunek elektryczny w danym punkcie przestrzeni mo˙ze wzrosn¸ać (zmaleć)¹³ jedynie w wyniku nap lyni¸ecia do (wyp lyni¸ecia od) tego punktu ladunku elektrycznego¹⁴. Widać to wyra´znie po wyca lkowaniu ostatniego równania po niewielkiej obj¸eto´sci dV otaczaj¸acej dany punkt r:

Z ∂ρ(r, t)

∂t dV = dQV(t) dt = −

Z

div j(r, t)dV = −

I

S

j(r, t) · dS,

co prowadzi do innej postaci zasady zachowania ladunku elektrycznego QV(t) znajduj¸acego si¸e wewn¸atrz obj¸eto´sci dV

dQV(t)

dt +

I

S

j(r, t) · dS = 0. (25)

12Dok ladniej, w niesko´nczenie ma lym otoczeniu dowolnego punktu r.

13Co charakteryzuje pochodna cz¸astkowa g¸esto´sci ladunku elektrycznego wzgl¸edem czasu.

14Co opisuje dywergencja wektora g¸esto´sci pr¸adu elektrycznego j(r,t).

(12)

Ostatni zwi¸azek czytamy w nast¸epuj¸acy spos´ob:

Zmiana w czasie ladunku elektrycznego w danej obj¸eto´sci V jest równa stru- mieniowi g¸esto´sci pr¸adu (−j(r, t)) elektrycznego przez powierzchni¸e otaczaj¸aça t¸e obj¸eto´sć¹⁵.

Dodajmy jeszcze, ˙ze ladunek elektryczny jest skwantowany, co oznacza, ˙ze istnieje najmniej- sza i niepodzielna ilo´s´c (porcja) ladunku elektrycznego, kt´ora wynosi

e = (1, 602 189 ± 0, 000 013) · 10⁻¹⁹ C. (26)

Warto´s´c ladunku r´owna e nosi nazw¸e ladunku elementarnego¹⁶.

3.4. Pole elektromagnetyczne

Materiał tego rozdziału nie był omawiany na wykładach.

nie by W tym punkcie wska˙zemy na jedno´sć pola elektromagnetycznego, tj. podkre´slimy, ˙ze wprawdzie pole elektromagnetyczne w wybranym uk ladzie odniesienia (wspó lrz¸ednych) mo˙ze być czysto elektryczne (lub czysto magnetyczne), to w innym — poruszaj¸acym si¸e uk ladzie odniesienia — pole to ma ró˙zne od zera sk ladowe wektorów elektrycznych i magnetycznych.

Zauwa˙zmy, ˙ze pole elektromagnetyczne charakteryzuj¸a wektory (E(r), B(r). Oznacza to, ˙ze z ka˙zdym punktem pola zwi¸azanych jest sze´s´c liczb (Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz) b¸ed¸acych sk ladowymi wektor´ow (E(r), B(r).

W uk ladzie odniesienia K, w którym ladunki spoczywaj¸a, ich g¸esto´sć ρ(r) 6= 0 i wektor g¸esto´sci pr¸adu j = 0 z uwagi na to, ˙ze pr¸edko´sć ladunków (w tak dobranym uk ladzie odniesienia) jest równa zeru.

Rozwa˙zmy teraz uk lad K^′ poruszaj¸acy si¸e wg K z pr¸edko´sci¸a v, tak ˙ze osie tych uk ladów s¸a równoleg le do siebie i K^′ porusza si¸e wzd lu˙z osi OX. Wtedy g¸esto´sć ladunku

ρ^′(r^′) = ρ(r)

q1 − v²/c² (27)

i g¸esto´s´c pr¸adu

j(r^′) = ρ^′(r^′) · v = ρ(r)v

q1 − v²/c². (28)

Stajemy przed problemem: Jak transformuj¸a si¸e g¸esto´s´c ρ ladunku i g¸esto´s´c pr¸adu j przy zmianie inercjalnego uk ladu odniesienia?

Okazuje si¸e, ˙ze tak samo jak zmienne (x, y, z, t), je´sli zamiast nich b¸edziemy u˙zywali czte- rowektora (jx, jy, jz, ρ) co przedstawiono w poni˙zszej tabeli:

Transformacja Lorentza czterowektora (jx, jy, jz, ρ). W pierwszej kolumnie podano standardow¸a transformacj¸e Lorentza czterowektora (x, y, z, t).

x

^′

= x − vt

q

1 − v

²

/c

²

j

_x^′

= j

x

− vρ

q

1 − v

²

/c

²

y

^′

= y j

_y^′

= j

_y

z

^′

= z j

_z^′

= j

_z

t

^′

= t − vx/c

²

q

1 − v

²

/c

²

ρ

^′

= ρ − vj

x^′

/c

²

q

1 − v

²

/c

²

Mo˙zna by spyta´c: Jak si¸e transformuj¸a w analogicznej sytuacji wektory (E(r), B(r) pola elek- tromagnetycznego? Odpowiedzi¸a s¸a poni˙zsze wzory, kt´ore podajemy bez uzasadnienia¹⁷.

15Zwracamy uwag¸e na znak minus stoj¸acy przed wektorem g¸esto´sci pr¸adu j.

16Jest to ladunek elektryczny elektronu. Obecnie s¸adzimy, ˙ze kwarki maj¸a ladunki elektryczne b¸ed¸ace u lamkiem e.

17Wykracza to poza ramy standardowego kursu Fizyki Og´olnej.

(13)

Transformacja sk ladowych wektor´ow pola elektromagnetycznego (E, B).

E

_x^′

= E

x

B

_x^′

= B

x

E

_y^′

= E

y

− vB

^z

q

1 − v

²

/c

²

B

_y^′

= B

y

+ vE

z

/c

²

q

1 − v

²

/c

²

E

_z^′

= E

_z

+ vB

_y

q

1 − v

²

/c

²

B

_z^′

= B

_z

− vE

y

/c

²

q

1 − v

²

/c

²

Jak widzimy, je´sli w jednym uk ladzie pole elektromagnetyczne ma jedynie sk ladowe elektryczne, tj. (E 6= 0, B = 0), to po przej´sciu do innego inercjalnego uk ladu odniesienia pole elektroma- gnetyczne ma sk ladowe magnetycznego wektora B^′, kt´ore s¸a r´o˙zne od zera.

Dla v ≪ c mamy

E_x^′ = Ex B_x^′ = Bx

E_y^′ = Ey− vB^z B_y^′ = By

E_z^′ = Ez+ vBy B_z^′ = Bz

Przyk ladowo, niechaj w uk ladzie spoczywaj¸acym K pole elektromagnetyczne jest czysto elektryczne (E = (Ex 6= 0, E^y 6= 0, E^z 6= 0, B = 0), którego ´zród lem s¸a nieruchome ladunki elektryczne. Te same ladunki w uk ladzie odniesienia K^′ znajduj¸a si¸e w ruchu i pole elektro- magnetyczne ma niezerowe sk ladowe wektorów elektrycznego i magnetycznego E^′ = (E_x^′ 6=

0, E_y^′ 6= 0, Ez^′ 6= 0) oraz B^′ = (Bx 6= 0, B^y 6= 0, B^z 6= 0), gdzie warto´sci tych sk ladowych okre´slaj¸a wyra˙zenia podane w ostatniej tabeli. Otrzymane wyniki nie powinny by´c dla nas za- skoczeniem z uwagi na podane wcze´sniej wzory transformacyjne dla g¸esto´sci ladunku i pr¸adu (patrz poprzednie przytoczone tabele).

3.5. Elektrostatyka

Zastosujemy podany wy˙zej uk lad równań Maxwella do analizy prostych sytuacji fizycznych.

Innymi s lowy, b¸edziemy rozwi¸azywali uk lad r´owna´n Maxwella w okre´slonych przypadkach.

Rozpoczniemy od zbadania pól stacjonarnych (statycznych, tj. niezale˙znych od czasu) co oznacza, ˙ze wszystkie ladunki elektryczne s¸a na sta le umiejscowione w przestrzeni¹⁸ (znajduj¸a si¸e w po lo˙zeniach równowagi) lub te˙z poruszaj¸a si¸e w ten sposób, ˙ze wytwarzaj¸a sta ly pr¸ad elektryczny.

Ilo´sciowo statyczno´s´c pola elektromagnetycznego oznacza, ˙ze

skalar ρ(r, t) — nie zale˙zy od czasu, w ka˙zdym punkcie przestrzeni , wektor j(r, t) = j0 — nie zale˙zy od czasu, w ka˙zdym punkcie przestrzeni .

Wtedy uk lad równań Maxwella nie zawiera pochodnych wzgl¸edem czasu i rozpada si¸e na uk lad dwóch niezale˙znych od siebie równań

∇ · E(r) = div E(r) = æ(r)

”₀ , (29)

∇ × E(r) = rot E(r) = 0 (30)

oraz

∇ × B(r) = rot B(r) = j(r)

ε0c², (31)

∇ · B(r) = div B(r) = 0 (32)

18W wybranym, tak˙ze spoczywaj¸acym wg ladunków, inercjalnym uk ladzie odniesienia. Znaj¸ac pole elektromagnetyczne w tym uk ladzie mo˙zemy je wyznaczyć w ka˙zdym innym ruchomym uk ladzie inercjalnym korzystaj¸ac z podanych uprzednio wzorów transformacyjnych.

(14)

Pierwsza para (29, 30) równań opisuje elektrostatyk¸e, a druga (31, 32) magnetostatyk¸e. Jak widzimy w przypadku pól stacjonarnych elektryczno´sć i magnetyzm s¸a niezale ˙znymi po- lami dopóty, dopóki ladunki elektryczne oraz pr¸ady elektryczne s¸a statyczne. Pod- kre´slmy jeszcze raz, ˙ze jest tak tylko i wy l¸acznie w inercjalnym uk ladzie odniesienia wzgl¸edem, którego ρ i j nie zale˙z¸a od czasu. W ka˙zdym innym uk ladzie odniesienia (np. poruszaj¸acym si¸e ze sta lym lub zmiennym w czasie przyspieszeniem) ju˙z tak nie jest, tzn. pole elektromagnetyczne nie separuje si¸e na dwa niezale˙zne od siebie pola: elektryczne i magnetyczne.

Obecnie zajmiemy si¸e polem elektrostatycznym. ´Zrod lem pola elektrostatycznego s¸a nieruchome ladunki elektryczne. Przy wyznaczaniu pola elektrycznego (magnetycznego tak˙ze) pos lugujemy si¸e zasad¸a superpozycji, zgodnie z kt´or¸a:

Ca lkowite nat¸e ˙zenie pola elektrostatyczego Ec(r) jest sum¸a wektorow¸a nat¸e ˙ze´n p´ol elektrostatycznych

E_c(r) =

N

X

i=1

E_i(r), (33)

których ´zród lem s¸a ró ˙zne ladunki elektryczneQi roz lo ˙zone w przestrzeni.

3.5.1. Pole elektrostatyczne ladunku punktowego

Niechaj ´zród lem pola b¸edzie ladunek Q umieszczony w pró˙zni. Zapytajmy o warto´sć nat¸e˙zenia E(r) pola elektrostatycznego w punkcie odleg lym o r od tego ladunku. W celu wyznaczenia warto´sci nat¸e˙zenia pola zauwa˙zmy, ˙ze z uwagi na symetri¸e sferyczn¸a naszego zagadnienia wektor E(r) powinien być równoleg ly do wektora r. Tylko taka konfiguracja geometryczna zapewnia, ˙ze symetria pola elektrostatycznego b¸edzie sferyczn¸a. Oznacza to, ˙ze dowolny obrót uk ladu wokó l punktu, w którym znajduje si¸e ladunek elektryczny oraz pocz¸atek naszego uk ladu odniesienia, nie zmienia warto´sci wektora E(r). Policzmy strumie´n wektora E(r) przez powierzchni¸e S(r), która jest sfer¸a o promieniu r i ´srodku w miejscu po lo˙zenia ladunku Q. Z prawa Gaussa dla pola elektrycznego otrzymujemy:

ΦE(r) =

I

S

E· dS = Q ε0

. (34)

Poniewa˙z strumie´n wektora nat¸e˙zenia pola jest r´owny ΦE = E(r)

I

S(r)dS = 4πr²E,

wi¸ec warto´s´c nat¸e˙zenia pola elektrycznego w odleg lo´sci r wynosi E(r) = 1

4πε0

Q

r², (35)

co ostatecznie prowadzi do E(r) = 1

4πε0

Q · r

|r|³ = kQ · r

|r|³ , (36)

gdzie k = 1

4πε0, a |r| = √

x²+ y²+ z² jest d lugo´sci¸a wektora r; dalej d lugo´s´c wektora r b¸edziemy oznaczali symbolem r.

Zauwa˙zmy, ˙ze dla dodatniego ladunku Q strumie´n jest dodatni, co oznacza, ˙ze E jest r´ownoleg le do r, za´s dla ujemnego Q wektor E jest antyr´ownoleg ly do r.

Warto´s´c dzia laj¸acej si ly Coulomba FC(r) na ladunek q umieszczony w odleg lo´sci r od Q jest r´owna

F_C(r) = q E(r) = kQq · r

r³ , (37)

która jest ujemna (przyci¸agaj¸aca) dla ró˙znoimiennych i dodatnia (odpychaj¸aca) dla jednoimien- nych ladunków elektrycznych Q i q.

Pole elektrostatyczne jest zachowawcze, co oznacza, ˙ze rot E(r) = 0.

(15)

Zadanie 9. Pokazać bezpo´srednim rachunkiem s luszno´sć ostatniej równo´sci.

Zatem istnieje taka funkcja skalarna φ(r), zwana potencja lem elektrostatycznym, ˙ze

E(r) = −∇ φ(r), (38)

której warto´sć w danym punkcie pola jest z definicji równa φ(r) = −

Z r r0

E(r) · dr. (39)

Korzystaj¸ac z wyprowadzonej postaci E mo˙zemy policzy´c warto´s´c potencja lu φ(r) φ(r) = −

Z r

∞

E· dr = 1 4πε0

Q

r. (40)

Zadanie 10. Korzystaj¸ac z (36) obliczy´c ca lk¸e wyst¸epuj¸ac¸a w ostatnim wzorze.

Dodajmy, ˙ze znajomo´sć potencja lu pozwala teraz wyznaczyć warto´sć nat¸e˙zenia pola elektrostatycznego na podstawie wzoru (38).

Zadanie 11. Pos luguj¸ac si¸e (38) wyznaczy´c nat¸e˙zenie pola elektrostatycznego (36).

Ponadto, w przypadku pola zachowawczego, pos lugujemy si¸e tak˙ze poj¸eciem energii poten- cjalnej Ep(r) ladunku q umieszczonego w polu elektrostatycznym ladunku Q, kt´ora wynosi

Ep(r) = −

Z r

∞

F_C(r) · dr = qφ(r) = 1 4πε0

Qq

r . (41)

Je´sli ´zr´od lem pola s¸a ladunki elektryczne Q1, Q2, ..., Qn roz lo˙zone w punktach r1, r2, ..., rn, to:

— na mocy zasady superpozycji, wypadkowe pole E w punkcie r0 jest r´owne E(r0) =

n

X

i=1

E_i(r0− rⁱ), (42)

gdzie

E_i = 1 4πε0

Qi

(r0− rⁱ)³ · (r⁰− rⁱ),

— wypadkowy potencja l φ(r0) φ(r0) =

n

X

i=1

φi(r0− rⁱ) =

n

X

i=1

1 4πε0

Qi

(r0− rⁱ);

— energia potencjalna Ep(r0) = 1

2

n

X

i=1

X

i6=j

1 4πε0

QiQj

rij

.

Je´sli rozk lad ladunku w przestrzeni zadaje g¸estó´sć obj¸eto´sciowa ladunków ρ(r^′), to w obj¸eto´sci dV otaczaj¸acej punkt r^′ zgromadzony jest ladunek

dQ = ρ(r^′) · dV,

kt´ory w punkcie r wytwarza pole elektryczne

— o nat¸e˙zeniu

dE(r) = kρ(r^′− r)

(r^′− r)³ · (r^′− r)dV

— i potencjale

dφ(r) = kρ(r^′− r) r − r^′ dV.

Pole elektrostatyczne wytwarzane przez ci¸ag ly rozk lad ladunku w danym punkcie charakteryzuje wi¸ec

— wypadkowe nat¸e˙zenie pola elektrycznego E(r) =

Z

V dE(r) =

Z

V kρ(r^′− r)

(r^′− r)³ · (r^′− r)dV

(16)

— wypadkowy potencja l φ(r) =

Z

V dφ(r) =

Z

V kρ(r^′− r) r − r^′ dV.

Wyznaczanie w opisany powy˙zej sposób nat¸e˙zeń pól elektrostatycznych jest zagadnieniem do´sć uci¸a˙zliwym rachunkowo. Poni˙zej przedstawimy metod¸e wyznaczania nat¸e˙zenia pola elektrostatycznego opart¸a na twierdzeniu i prawie Gaussa dla pola elektrostatycznego, która zastosujemy do wysoko symetrycznych rozk ladów ladunku elektrycznego.

3.5.2. Pole elektrostatyczne jednorodnie na ladowanej kuli i sfery

Niechaj dielektryczna kula o promieniu R b¸edzie jednorodnie na ladowana obj¸eto´sciowo ladun- kiem Q. Wtedy g¸esto´s´c ladunku

ρ(r) = Q (4/3)πR³

jest sta la w ca lej obj¸eto´sci kuli. Kul¸e umieszczamy w pocz¸atku uk ladu odniesienia.

Z uwagi na symetri¸e sferyczn¸a rozk ladu ladunku w obj¸eto´sci kuli powsta le pole elektrostatyczne musi mie´c symetri¸e sferyczn¸a¹⁹, co oznacza, ˙ze wektor nat¸e˙zenia pola E jest r´ownoleg ly do promienia wodz¸acego r. Otoczmy nasz¸a kul¸e sfer¸a o promieniu r > R i policzmy strumie´n wektora E przez t¸e powierzchni¸e. Na mocy twierdzenia Gaussa mamy

ΦE(r > R) =

I

S(r)E(r) · dS = E(r > R)

I

S(r)dS = E(r > R)4πr² = Q ε0

. Zatem warto´s´c nat¸e˙zenia pola w punkcie r > R wynosi

E(r) = 1 4πε0

Q r³ · r

Policzmy obecnie nat¸e˙zenie pola elektrycznego wewn¸atrz kuli dla r < R. Pos lu˙zymy si¸e ponownie prawem Gaussa w postaci ca lkowej, na mocy kt´orego

ΦE(r < R) =

I

S(r)

E(r) · dS = E

I

S(r)dS = E4πr² = Q(r) ε0

,

gdzie Q(r) = ρ ·4πr³

3 = Q

(4/3)πR³ 4πr³

3 = Q(r

R)³ jest ladunkiem zgromadzonym wewn¸atrz kuli o promieniu r. Zatem

E(r) = 1 4πε0

Qr R³.

Policzymy jeszcze potencja l pola elektrycznego w rozpatrywanym przypadku:

— dla r > R mamy φ(r > R) = −

Z r

∞

kQ

r,²dr^′ = kQ r ,

— dla r < R φ(r < R) = −

Z R

∞ E(r^′ ≥ R)dr^′−

Z r^′

R E(r^′ < R)dr^′ = 3kQ

2R − kQr² 2R . Zadanie 12. Otrzyma´c samodzielnie podane wy˙zej warto´sci potencja lu.

Zadanie 13. Wykona´c wykresy E(r) oraz φ(r) dla pola elektrostatycznego jednorodnie na ladowanej kuli dielektrycznej. Czy s¸a to funkcje ci¸ag le zmiennej r?

Zauwa˙zmy, ˙ze potencja l V (r) na ladowanej kuli osi¸aga warto´sć ekstremaln¸a dla r = 0. Dla Q < 0 jest to minimum, a dla Q > 0 maksimum. W pierwszym przypadku potencja l tworzy jam¸e potencjaln¸a dla dodatnie na ladowanych ladunków a w drugim dla ujemnie na ladowanych ladunków. Tak wi¸ec ka˙zda chmura ladunku elektrycznego jest dla ró˙znoimiennie na ladowanej cz¸astki jam¸a potencjaln¸a.

19Do´swiadczenie pokazuje, ˙ze obrót kuli o dowolny k¸at wokó l dowolnej osi przechodz¸acej przez ´srodek kuli nie zmienia pola elektrostatycznego wokó l kuli.

(17)

Zajmiemy si¸e jeszcze polem elektrostatycznym wytwarzanym przez jednorodnie na ladowan¸a sfer¸e o promieniu R, na powierzchni kt´orej zgromadzono ladunek Q o g¸esto´sci powierzchniowej σ = Q

4πR². Z takim przypadkiem mamy do czynienia zawsze, gdy ladunki gromadzimy na izo- lowanej kuli przewodz¸acej (metalowej). Wtedy wszystkie ladunki gromadz¸a si¸e na powierzchni metalowej kuli czego przyczyn¸a jest odpychanie si¸e ladunk´ow elektrycznych.

Tak jak poprzednio obliczamy warto´s´c nat¸e˙zenia pola elektrycznego dla r > R stosuj¸ac prawo Gaussa. Rezultat jest nast¸epuj¸acy:

E(r > R) = kQ r³ · r

r.

Latwe rachunki daj¸a warto´s´c potencja lu φ(r > R) = kQ

r, gdzie Q = σ · 4πR².

Dla r < R podobne obliczenia daj¸a E(r < R) = 0

oraz

φ(r < R) = −

Z R

∞

kQ r^′2dr^′ −

Z r

R 0 · dr^′ = kQ R .

Jak widzimy wn¸etrze pow loki sferycznej jest obszarem sta lego potencja lu i zerowego nat¸e˙zenia pola elektrostatycznego.

Zadanie 14. Otrzyma´c samodzielnie podane wy˙zej warto´sci nat¸e˙zenia i potencja lu w rozpatrywanym przypadku.

Zadanie 15. Wykona´c wykresy E(r) oraz φ(r) dla pola elektrostatycznego jednorodnie na ladowanej sfery. Czy s¸a to funkcje ci¸ag le zmiennej r?

3.5.3. Pole jednorodnie na ladowanych p laszczyzn

Symetria tym razem jest cylindryczna. Oznacza to, ˙ze obr´ocenie na ladowanej p laszczyzny (patrz rysunek) wok´o l dowolnej osi prostopad lej do p laszczyzny o dowolny k¸at nie zmienia pola elek- trostatycznego. St¸ad wynika, ˙ze pole elektrostatyczne (tj. wektor nat¸e˙zenia pola E) jest prosto- pad le do tej p laszczyzny. Stosuj¸ac ponownie twierdzenie Gaussa dla odpowiednio wybranych powierzchni otrzymujemy, ˙ze

E(r) = σ 2ε0

, (43)

gdzie σ jest g¸esto´sci¸a powierzchniow¸a ladunku zgromadzonego na p laszczyznie.

Podobnie pokazuje si¸e, ˙ze warto´s´c E pola elektrostatycznego wytwarzanego przez dwie r´ownoleg le p laszczyzny na ladowane z g¸esto´sci¸a powierzchniow¸a σ1 oraz σ2 (patrz rysunek) wynosi:

— w obszarze pomi¸edzy p laszczyznami E_wew= σ1

2ε0

+ σ2

2ε0

, (44)

— w pozosta lych obszarach E_zew= σ1

2ε0 − σ2

2ε0

. (45)

Jak widzimy, je´sli σ1 = σ2 = σ, to Ewew= σ/(ε0) i Ezew = 0.

(18)

3.5.4. Pole jednorodnie na ladowanego walca

Rozpatrzymy cienki²⁰ i dostatecznie d lugi dielektryczny (nieprzewodz¸acy) walec–drut r´ownomiernie na ladowany z liniow¸a g¸esto´sci¸a λ. Z prawa Gaussa otrzymujemy

I

E· dS = E · 2πrd = Q^′ ε ,

gdzie d jest d lugo´sci¸a walca. Ladunek Q^′ zgromadzony na walcu o d lugo´sci d wynosi Q^′ = d · λ wi¸ec

E(r) = λ 2πε0r · r

r.

Policzymy jeszcze potencja l tego pola φ(r) = −

Z r

∞E(r^′)dr^′ = −

Z r

∞

λ 2πε0r^′ · r^′

r^′dr^′ = − λ 2πε0

Z r

∞

1

r^′dr^′ = − λ

2πε0ln r + φ(∞), gdzie φ(∞) = λ

2πε0 ln(r = ∞) jest potencja lem pola w nieskończono´sci²¹. Ró˙znica potencja lów

∆φa,b = φ(ra) − φ(r^b) (zwana tak˙ze napi¸eciem) pomi¸edzy dwoma punktami ra oraz rb jest sko´nczona i r´owna

φ(ra) − φ(r^b) = λ 2πε0

ln(rb

ra

).

Zadanie 16. Sporz¸adzi´c wykresy zale˙zno´sci E(r) oraz φ(r) w rozpatrzonym wy˙zej przypadku.

Nieco bardziej z lo˙zony rachunkowo jest przypadek nieprzewodz¸acego walca o promieniu R > 0 na ladowanego z g¸esto´sci¸a obj¸eto´sciow¸a ρ =const.

Dia r > R z prawa Gaussa wynika, ˙ze E(r)2πrh = Q(h)

ε0

, gdzie Q = πR²hρ, co prowadzi do

E(r > R) = R²ρ 2ε0

,1 r a potencja l wynosi

φ(r > R) = −

Z r

∞E(r^′ > R)dr^′ = −R²ρ

2ε0 ln r − φ(∞) gdzie φ(∞) = R²ρ

2ε0 ln(r = ∞) jest potencja lem pola w nieskończono´sci. Latwo sprawdzić, ˙ze ró˙znica potencja lów jest skończona

φ(ra > R) − φ(r^b > B) = R²ρ 2ε0

ln(rb/ra).

Dla r < R z prawa Gaussa otrzymujemy E(r < R)2πrh = Q(h)

ε0

, ale

Q(h) = ρπr²h wi¸ec

E(r < R) = ρ 2ε0

r.

Policzmy warto´s´c potencja lu dla r < R φ(r < R) = −

Z r

∞E(r^′)dr^′ = −

Z R

∞ E(r^′ > R)dr^′−

Z r<R

R E(r^′ < R)dr^′

20W tym przypadku zak ladamy, ˙ze ´srednica walca jest na tyle ma l¸a, ˙ze jest praktycznie r´owna zeru.

21W rozpatrywanym przypadku jest on r´owny ∞ z uwagi na niesko´nczone rozmiary na ladowanego drutu.

(19)

oraz

φ(r < R) = −R²ρ

2ε0 ln R + φ(∞) − ρ 4ε0

(r²− R²).

Zadanie 17. Sporz¸adzi´c wykresy zale˙zno´sci E(r) oraz φ(r) w rozpatrzonym wy˙zej przypadku.

3.5.5. Rozwi¸azanie ogólne równań Maxwella Materiał tego rozdziału nie był omawiany na wykładach.

Podane w poprzednich podpunktach r´ownania Maxwella mo˙zna rozwi¸aza´c, je´sli znamy

´zr´od la pola elektromagnetycznego, kt´orymi – przypomnijmy – s¸a:

rozk lad ladunk´ow w przestrzeni — zadany funkcj¸a ρ(r, t) = ρ(x, y, z, t)

oraz pr¸ad elektryczny — okre´slony za pomoc¸a funkcji

j(r, t) = (jx(x, y, z, t), jy(x, y, z, t), jz(x, y, z, t)).

Znaj¸ac te wielko´sci mo˙zna wyznaczyć rozwi¸azanie uk ladu równań Maxwella w postaci E(r, t) = −∇ φ(r, t) −∂A(r, t)

∂t , (46)

B(r, t) = ∇ × A(r, t), (47)

gdzie φ(r, t) oraz A(r, t) s¸a, odpowiednio, potencja lem skalarnym i potencja lem wektorowym pola elektromagnetycznego, kt´orych warto´sci okre´slaj¸a nast¸epuj¸ace zwi¸azki

φ(r1, t) =

Z ρ(r2, t − r12

c ) 4πε0r12

dV2 (48)

i

A(r1, t) =

Z j(r2, t − r12

c )

4πε0r12c² dV2. (49)

W powy˙zszych wzorach dV2 = dx2dy2dz2jest elementem odj¸eto´sci w punkcie r2 = (x2, y2, z2) odleg lym od r1 = (x1, y1, z1) o r12=^q(x1− x²)² + (y1− y²)²+ (z1− z²)².

Zauwa˙zmy, ˙ze pole elektromagnetyczne zadaj¸a dwie wielko´sci. Jedna z nich jest skalarem φ(r, t), za´s druga jest wektorem A(r, t) zwanym potencja lem wektorowym. Tak wi¸ec zamiast sze´sciu liczb, b¸ed¸acych wspó lrz¸ednymi wektorów E(r, t) oraz B(r, t) mo˙zemy pos lugiwać si¸e czterema liczbami, tj. (φ(r, t), A(r, t)).

U˙zyjemy obecnie powy˙zszych wzorów do ponownego rozwi¸azania zagadnienia pola wytwa- rzanego przez ladunek punktowy. W tym celu pos lu˙zymy si¸e poj¸eciem uogólnionej funkcji zwanej δ–funkcj¸a Diraca, która nie ma okre´slonych warto´sci i jest zdefiniowana za pomoça ca lki

Z a

−af(x)δ(x)dx = f(0).

Tr´ojwymiarowa funkcja δ–Diraca ma posta´c

Z

V f(r)δ(r)dV = f(0).

Za pomoça tej funkcji mo˙zemy zapisać g¸esto´sć ladunku Q punktowego w postaci

ρ(r) = Q · δ(r − r⁰), (50)

poniewa˙z

Z

ρ(r)dV =

Z

Q · δ(r − r⁰)dV = Q.

Podstawienie g¸esto´sci (50) do r´ownania (48) daje φ(r1, t) =

Z Q · δ(r⁰− r², t − r12

c ) 4πε0r12

dV2 = Q 4πε0r,

gdzie po lo˙zono, ˙ze r0 = 0 (tj. ladunek Q umieszczono w pocz¸atku uk ladu odniesienia) i r1 jest odleg lo´sci¸a punktu, w kt´orym wyznaczamy warto´s´c potencja lu pola elektrostatycznego.