Liczby zespolone

Liczby zespolone

Funkcje trygonometryczne - wtr¡cenie Funkcje trygonometryczne

Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :

sin α = y

r, cos α = x r, tg α = y

x, ctg α = x y,

gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r = px²+ y². Wªasno±ci funkcji sinus y = sin x:

• D_f = R, Wf =< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, sin(x + 2π) = sin x;

• ograniczon¡, −1 ≤ sin x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• nieparzysta, sin(−x) = − sin x.

Rysunek 1: Wykres funkcji f(x) = sin x

Wªasno±ci funkcji kosinus y = cos x :

• D_f = R, Wf =< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, cos(x + 2π) = cos x;

• ograniczon¡, −1 ≤ cos x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• parzysta, cos(−x) = cos x.

Rysunek 2: Wykres funkcji f(x) = cos x Wªasno±ci funkcji tanges y = tg x:

• D_f = R \ {^π₂ + kπ : k ∈ Z}, Wf = R;

• okresowa o okresie podstawowym π, tg(x + π) = tg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, tg(−x) = − tg x.

Wªasno±ci funkcji kotanges y = ctg x:

• D_f = R \ πk : k ∈ Z}, Wf = R;

• okresowa o okresie podstawowym π, ctg(x + π) = ctg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, ctg(−x) = − ctg x.

Rysunek 4: Wykres funkcji f(x) = ctg x

Znaki funkcji trygonometrycznych w ¢wiartkach

ϕ I ¢w. II ¢w. III ¢w. IV ¢w.

sin ϕ + + − −

cos ϕ + − − +

tg ϕ + − + −

ctg ϕ + − + −

Mo»na nauczy¢ si¦ wierszyka, który obrazuje powy»sz¡ tabel¦: w pierwszej ¢wiartce same plusy, w drugiej tylko sinus(jest dodatni), w trzeciej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus.

Wzory redukcyjne

ϕ ^π₂ − α ^π₂ + α π − α π + α ^3π₂ − α ^3π₂ + α 2π − α sin ϕ cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos ϕ sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α

tg ϕ ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α ctg ϕ tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α

Przykªad. Wykorzystuj¡c wªasno±ci (równie» wzory redukcyjne) funkcji trygonometrycznych mamy:

a) sin⁵₄π = sin(π + ^π₄) = − sin^π₄ = −

√ 2 2 ;

b) cos(−23¹₃π) = cos 23¹₃π = cos 1¹₃π = cos(π + ^π₃) = − cos^π₃ = −¹₂; c) tg 3³₄π = tg³₄π = tg(^π₂ +^π₄) = − ctg^π₄ = −1;

d) ctg(−²⁵₃ π) = − ctg 8¹₃π = − ctg¹₃ = −

√ 3 3 .

Moduª liczby zespolonej

Denicja.Moduªem liczby zespolonej z = a + ibnazywamy liczb¦ rzeczywist¡ |z| okre±lon¡ nast¦- puj¡co:

|z| =√

a²+ b². Ma on nast¦puj¡ce wªasno±ci:

1. |z| = |z|,

2. |z1· z2| = |z1| · |z2|, 3. |zⁿ| = |z|ⁿ,

4. 

z1

z2

 = ^|z_|z^1|

2|,

5. |z1+ z₂| ≤ |z₁| + |z₂|.

Przykªad.

|3 − 4i| =p3²+ (−4)² =√

25 = 5.

Argument liczby zespolonej

Denicja. Argumentem niezerowej liczby zespolonej z = a + bi (ozn. arg z ) nazywamy ka»d¡

liczb¦ ϕ ∈ R speªniaj¡c¡ warunki:

cos ϕ = a

|z| oraz sin ϕ = b

|z|.

Argument liczby z = 0 jest nieokre±lony. Argumentem gªównym niezerowej liczby z (ozn. Arg z ) nazywamy ten argument ϕ liczby z, nale»y do przedziaªu [0, 2π).

Posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej Dokonujemy przeksztaªcenia dla liczby zespolonej z 6= 0 :

z = a + bi =√

a²+ b²·

 a

√a²+ b² + i b

√a²+ b²



= |z|(cos ϕ + i sin ϕ).

Otrzyman¡ posta¢ z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) nazywamypostaci¡ trygonometryczn¡ liczby zespolonej.

Posta¢ wykªadnicza liczby zespolonej Korzystaj¡c ze wzorów Eulera:

cos ϕ = e^iϕ+ e^−iϕ

2 , sin ϕ = e^iϕ− e^−iϕ 2i mamy:

e^iϕ = cos ϕ + i sin ϕ.

Wobec tego Mo»emy zapisa¢

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|e^iϕ. Posta¢ z = |z|e^iϕ nazywamy postaci¡ wykªadnicz¡ liczby zespolonej.

Mno»enie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej Denicja. Dwie liczby zespolonych s¡ równe:

• |z₁| = 0 ⇒ z₁ = z₂ ⇔ |z₂| = 0,

• |z1| 6= 0 ∧ |z2| 6= 0 ⇒ z1 = z2 ⇔ (|z1| = |z2| ∧ Arg z1 = Arg z2).

Twierdzenie. Niech z1, z₂ ∈ C i z1 = |z₁|(cos ϕ₁ + i sin ϕ₁), z₂ = |z₂|(cos ϕ₂+ i sin ϕ₂).Wówczas:

• z₁· z₂ = |z₁| · |z₂|[cos(ϕ₁+ ϕ₂) + i sin(ϕ₁+ ϕ₂)]

• ^z_z¹

2 = ^|z_|z^1|

2|[cos(ϕ₁− ϕ₂) + i sin(ϕ₁− ϕ₂)].

Wniosek. Niech z1, z₂ ∈ C. Wówczas:

• arg (z1· z₂) = arg z1 + arg z2,

• arg 

z1

z2



= arg z1 − arg z2,

• Arg (z1· z2) = Arg z1 + Arg z2 ± 2kπ dla pewnego k ∈ N,

• Arg 

z1

z2



=Arg z1 − Arg z2± 2kπ dla pewnego k ∈ N.

Pot¦gowanie liczb zespolonych Twierdzenie. (Wzór de Moivre'a)

Niech z = r(cos ϕ + i sin ϕ) b¦dzie dowoln¡ liczb¡ zespolon¡ oraz n ∈ N. Wówczas zachodzi wzór zⁿ = rⁿ(cos nϕ + i sin nϕ).

Uwaga. Powy»szy wzór zachodzi równie» dla liczb caªkowitych ujemnych.

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Denicja. Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy ka»d¡ liczb¦ zespolon¡ w speªniaj¡c¡ warunek: wⁿ = z.

Twierdzenie. Dla ka»dej liczby zespolonej z = r(cosϕ + i sin ϕ) istnieje dokªadnie n ró»nych liczb zespolonych z0, z₁, . . . , z_n−1 takich, »e (zk)ⁿ= z. Pierwiastki te wyra»aj¡ si¦ wzorem:

z_k = √ⁿ r



cosϕ + 2kπ

n + i sinϕ + 2kπ n



dla k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Geometryczne zbiór pierwiastków stopnia n ≥ 3 z liczby zespolonej z pokrywa si¦ ze zbio- rem wierzchoªków n-k¡ta foremnego wpisanego w okr¡g o promieniu √ⁿ

r i o ±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych. Wierzchoªki wyznaczone s¡ w punktach z0, z₁, ..., z_n−1,a k¡t pomi¦dzy ich s¡siednimi promieniami wodz¡cymi wynosi ^2π_n.

Zadania

1.Wykonaj podane dziaªania w zbiorze liczb zespolonych. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.

(a) (−4 + 3i) + (8 − 7i) (b) (4i − 3) − (1 − 10i) (c) (1 +√

2i) − (√

3 − 6i) (d) (√

2 + i)(3 −√

3i) (e) (√

7 +√ 3i)(√

7 +√

3i) (f ) (3 − 2i)(1 + i) + |3 + 4i|

(g) ^i(2−3i)_5+4i (h) ⁽²⁻³ⁱ⁾_1−i² − ³⁻⁷ⁱ_2−3i (i) ⁽¹⁻ⁱ⁾_(1+i)³3⁻¹+1

2. W zbiorze liczb zespolonych rozwi¡» podane równania.

(a) z²− 4z + 13 = 0 (b) z + i − z + i = 0 (c) (i − 3)z = 5 + i − z (d) z² + (2 + 2i)z + 3 − 2i = 0 (e) _z−2i+1³⁺ⁱ = _2−izⁱ⁻¹ (f ) _(i+1)^{Re z−iz−2i}_{Im z−i} = 1 − 3i (g) z² + (1 + 3i)z + i − 2 = 0 (h) z²− 6z + 10 = 0

3. Na pªaszczy¹nie zespolonej narysowa¢ zbiory liczb speªniaj¡ce podane warunki.

(a) Re z = 3 (b) Im z = −2 (c) |z − 2i| < 3

(d) ^π₃ <arg z < ⁴₃π (e) 1 < |z − 3 + 2i| < 3 (f ) |z²| ≥ |Im (4z)| + 5 4. Przedstaw w postaci trygonometrycznej nast¦puj¡ce liczby zespolone.

(a) 5 (b) i (c) − i (d) − 2 + 2i

(e) 1 − i (f )√

3 − i (g)√

2 −√ 6i 5. Zamie« stopnie na radiany:

(a) 45^◦ (b) 90^◦ (c) 150^◦ (d) 275^◦

(e) 330^◦ (f ) 480^◦ (g) 3090^◦ (h) 910^◦

6. Zamie« radiany na stopnie:

(a) ^π₃ (b) ³₄π (c) ⁷₆π (d) ⁴₃π

(e) ¹¹₆π (f ) ⁴⁵₄π (g) 4²₃π (h) 3⁷₆π

7. Korzystaj¡c ze wzorów redukcyjnych oraz wªasno±ci funkcji trygonometrycznych oblicz:

(a) sin 135^o (b) cos²₃π (c) tg⁵₆π (d) cos 180^o

(e) ctg⁵₄π (f ) sin(−1290^o) (g) cos(−7²₃π) (h) ctg(−315^o) (i) tg(−570^o) (j) sin⁷⁷₃ π (k) cos¹¹₃π (l) tg 510^o (m) ctg³²₃ π (n) sin(−37²₃π) (o) cos 58⁴₃π (p) tg 1001⁷₄π 8. Oblicz i zapisz w postaci algebraicznej.

(a) (√

3 − i)³² (b) (2√

3 − 2i)³⁰ (c) 

√1−i 3+i

6

(d) (cos 33⁰ + i sin 33⁰)¹⁰ (e) (1 + i)⁻⁶ (f ) ^(1+i)22

(1−√ 3i)⁶

(g) ^(1+i)42

(√

3−i)¹⁷ (h) ⁽¹⁻ⁱ

√ 3)⁶

i⁹(1+i)³ (i) 

−√ 3+i 1−i

20

9. Oblicz i narysuj na pªaszczy¹nie zespolonej.

(a) √³

1 (b) √⁶

64 (c) √⁴

116i (d) √⁵

1 + i (e) p

1 −√

3i (f ) √³

−2 − 2i (g) p√⁸

3 − i (h) √⁴

1 + i (i) √

3 − 4i (j) p⁴

−1 −√ 3i

Literatura:

1. Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra i geometria analityczna. Denicje, twierdzenia, wzory, wyd. Ocyna Wydawnicza GiS, 2008r.

2. Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra i geometria analityczna. Przykªady i zadania, wyd. O- cyna Wydawnicza GiS, 2008r.

3. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Denicje, twierdzenia, wzory., wyd.

Ocyna Wydawnicza GiS, 2001r.

4. Krysicki W., Wªodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach., wyd. PWN, t.I, 2001r.

5. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Przykªady i zadania., wyd. Ocyna Wydawnicza GiS, 2001r.

6. Siewierski L., ‚wiczenia z anzlizy matematycznej., wyd. PWN, 1982r.