1. Obliczy´ c pochodne nast epuj , acych funkcji: , a) 1

Lista nr 9 TRiL, sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2013/14

Pochodna funkcji jednej zmiennej

1. Obliczy´ c pochodne nast epuj _, acych funkcji: _, a) 1

3 x ³ − 3

2 x ⁴ + 13

5 x ⁵ − 2x ⁶ , b) 3x ^7/3 − 4x ^13/4 + 4

7 x ^−1/2 + 7 ^3/2 , c) √ x − 5

6

√

x ³ − 2 √ x ³ ,

d) (2

√

x ² − x)(4 √

x ⁴ + 2

√

x ⁵ + x ² ), e) 2 x + 1

x − 1 , f) 5

2x ² − 5x + 1 , g) x ² − 2x + 3

x ² + 2x − 3 , h) (3t + 1) ⁷ , i)

 7t ² − 4

t + 6

 6

,

j) p

x ² − 4, k)

r x ² − 3x + 2

x ² − 7x + 12 , l) sin ² 3t, m) sin t + cos t

2 sin 2t , n) x sin x

1 + tg x , o) arc tg ⁴ √

x,

p) 3 ctg x + ctg ³ x, q) x ² e ^2x sin x, r) sh x arcsin 3x.

2. Obliczy´ c pochodne nast epuj _, acych funkcji: _, a) cos ²

r 1

x , b)

s 1 + tg

 x + 1

x



, c)

r sin x +

q x + 2 √

x, d) e ^{sin x} ,

e) e ^cos

^x , f) (2x − 1)e ^x 2 √

x , g) 3 ^x x ³ , h) ln r 1 + t

1 − t , i) ln r 1 + sin x

1 − sin x , j) ln(ln(ln x))), k) ln sin x.

3. Jaki k at z osi _, a Ox tworzy linia y = ctg x w punkcie x = _, ^π ₂ ?

4. W jakim punkcie styczna do linii y = ^x−8 _x+1 tworzy z osi a Ox k _, at r´ _, owny ^π ₄ ? Wyznaczy´ c r´ ownanie tej stycznej.

5. Znale´ z´ c na krzywej y = e ^x punkt, w kt´ orym styczna do tej krzywej jest r´ ownoleg la do prostej x − y + 7 = 0.

6. W jakim punkcie krzywej y = ln x styczna jest r´ ownoleg la do prostej y = 2x?

7. Obliczy´ c drug a pochodn _, a nast _, epuj _, acych funkcji: _, a) ln(1 + x ² ), b) xe ^{sin x}

8. Obliczy´ c trzeci a pochodn _, a nast _, epuj _, acych funkcji: _, a)

√

x ³ , b) 1 + x

1 − x , c) sin(1 − 3x) 9. Obliczy´ c warto´ s´ c drugiej pochodnej funkcji:

a) x + 2

x ² − 3x w punkcie x = 2, b) ln(x + p

x ² + 1) w punkcie x = 0