Pole (miara Jordana) obszaru płaskiego Pole (miara Jordana) obszaru płaskiego 

CAŁKI PODWÓJNE I POTRÓJNE Niech r:[,]tr(t) Def. Zbiór K



r(t):t[]



krzywej płaskiej. (inaczej - Jeśli dodatkowo założymy, że Jeśli parametryzacja r jest

0

r 



t [,] '(t) , to K

Def. Łuk regularny, to łuk zwykły i gładki.

Krzywa regularna, to krzywa dająca się podzielić na skończoną ilość łuków regularnych.

Krzywa zamknięta, to krzywa, dla której Def. Obszar płaski

D  R

², to

Brzeg obszaru, to zbiór jego punktów skupienia nie należących do obszaru.

Obszar domknięty, to obszar z brzegiem.

Obszar wielokątny, to obszar ograniczony skończoną liczbą łamanych.

Pole obszaru wielokątnego

Pole (miara Jordana) obszaru płaskiego



D

obszar domknięty i ograniczony



A

wielokąt zawarty w obszarze



B

wielokąt nakrywający obszar (



A pole wielokąta

A



B pole wielokąta

B

B

A 

Istnieją więc kresy: D

A D A , wielok

* sup





Def. Jeżeli

D

_*

 D

^* , to obszar

nazywamy jego miarą Jordana, czyli polem.

Dowodzi się, że prawdziwe są następujące warunki

Tw.(WKW mierzalności) Obszar płaski i ograniczony jest

pokryć wielokątami o dowolnie małym (sumarycznym) polu. Inaczej, brzeg musi być zawarty w wielokącie o dowolnie małym polu.

Tw.(WW mierzalności). Jeżeli obszar krzywych ciągłych postaci y Tw.(WW mierzalności).Jeżeli obszar

regularnych, to jest mierzalny w sensie Jor

CAŁKI PODWÓJNE I POTRÓJNE

2

) (

)

) ( R

t y

t x 



 



 będzie ciągłą funkcją wektorową.

nazywamy krzywą płaską, a funkcję r nazywamy parametryzacją -krzywa, to ciągły obraz odcinka)

Jeśli dodatkowo założymy, że r jest różnowartościowa, to K nazywamy łukiem zwykłym jest różniczkowalna w sposób ciągły (czyli (x

K nazywamy łukiem gładkim.

o łuk zwykły i gładki.

, to krzywa dająca się podzielić na skończoną ilość łuków regularnych.

, to krzywa, dla której r()r().

, to otwarty i spójny podzbiór płaszczyzny.

Brzeg obszaru, to zbiór jego punktów skupienia nie należących do obszaru.

Obszar domknięty, to obszar z brzegiem.

Obszar wielokątny, to obszar ograniczony skończoną liczbą łamanych.

Pole obszaru wielokątnego – intuicja (suma pól trójkątów na które można podzielić wielokąt)

Pole (miara Jordana) obszaru płaskiego

ograniczony wielokąt zawarty w obszarze (

A  D

)

obszar (

B  D

)

A

wielokąi

sup i

t B D B

B D

wieloką :

* inf





, to obszar D nazywamy mierzalnym w sensie Jordana, a nazywamy jego miarą Jordana, czyli polem.

Dowodzi się, że prawdziwe są następujące warunki

.(WKW mierzalności) Obszar płaski i ograniczony jest mierzalny w sensie Jordana

pokryć wielokątami o dowolnie małym (sumarycznym) polu. Inaczej, brzeg musi być zawarty w wielokącie o dowolnie małym polu.

.(WW mierzalności). Jeżeli obszar D jest ograniczony i jego brzeg jest sumą skończonej i )

(x f

y lub xg( y), to D jest mierzalny w sensie Jordana.

.(WW mierzalności).Jeżeli obszar D jest ograniczony skończoną liczbą zamkniętych krzywych regularnych, to jest mierzalny w sensie Jordana.

będzie ciągłą funkcją wektorową.

nazywamy parametryzacją

łukiem zwykłym.

1 ]

) [

( ),

(t y t C_ ) oraz

, to krzywa dająca się podzielić na skończoną ilość łuków regularnych.

kątów na które można podzielić wielokąt)

nazywamy mierzalnym w sensie Jordana, a D  D_*  D^*

mierzalny w sensie Jordana  brzeg da się pokryć wielokątami o dowolnie małym (sumarycznym) polu. Inaczej, brzeg musi być zawarty w jest ograniczony i jego brzeg jest sumą skończonej ilości

jest mierzalny w sensie Jordana.

jest ograniczony skończoną liczbą zamkniętych krzywych

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14– dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

Całka podwójna

Niech:

D  R

² będzie płaskim ograniczonym obszarem domkniętym o brzegu będącym krzywą zamkniętą o polu zero (czyli można ją nakryć wielokątem o dowolnie małym polu)

Dzielimy obszar D skończoną ilością krzywych o polu zero na obszary

P ,...,

₁

P

_n o rozłącznych wnętrzach uzyskując podział P



P ,....,₁ Pn



DP₁...P_n







 j P

_i

P

_j

i int int



Przez P_i oznaczać będziemy pole obszaru P . _i

Średnicą zbioru AX (X-przestrzeń unormowana) nazywamy: ( ) sup sup ( , )

, ,

y x y

x A

d

A y x A

y

x 



  

 .

Średnicą podziału _P nazywamy liczbę ( ) max ( )

1 i nd Pi

d P   .

Niech

f : R

²

 D  R

².Wybierając w każdym zbiorze

P

_i punkt

( 

_i

, 

_i

)  P

_i tworzymy sumę

  _

  ⁿ 

i

i i i n

i i

i f P

f

1 ,...,

1 ( , )

) , ( ,

,    

 P .

Def. Liczbę rzeczywistą I nazywamy całką podwójną funkcji f po obszarze D gdy







 





       













 _ d ⁿ f P I

i i i i

n i i

i, ) 1

( _1,..., (P) ( , )| |

P i oznaczamy

 



    

 ⁿ

i i i i

D d D

df f x y dP f x y dxdy f P

I

0 1 )

(lim ( , )

) , ( )

,

(  

P

Def. (typu Heinego) Liczbę rzeczywistą I nazywamy całką podwójną funkcji f po obszarze D jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów P ciąg odpowiadających sum całkowych _n



_n zbiega do I niezależnie od wyboru punktów „pośrednich”.

Podobnie jak w przypadku pojedynczej całki Riemanna można zdefiniować sumy Darboux górną )

, (f P

S i dolną s( Pf, ) oraz ich kresy – całki górną i dolną. Pojęcia te pozwalają łatwo wykazać następujące warunki całkowalności:

WKW f jest całkowalna na D>0 _P: S(f,P)s(f,P)

WK Jeżeli funkcja określona na ograniczonym obszarze jest całkowalna, to jest ograniczona.

WW Jeżeli funkcja jest ciągła w D, to jest całkowalna.

WW Jeżeli funkcja jest ograniczona na D i ma nieciągłości na skończonej liczbie krzywych o polu zero, to funkcja ta jest całkowalna na D.

Własności całki

1. Jeżeli funkcja jest całkowalna na D i zmienimy ją dowolnie z zachowaniem ograniczoności wzdłuż krzywej o polu równym zero, to otrzymana funkcja jest także całkowalna i całki obu funkcji są równe.

2. Jeżeli obszar D podzielmy krzywą o polu zero na obszary D₁ i D₂, to funkcja jest całkowalna na Dfunkcja ta jest całkowalna na D₁ i D₂ oraz





 ^{f ( x , y ) dxdy  f ( x , y ) dxdy  f ( x , y ) dxdy}

^.

3. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na D i kR, to funkcja

(kf )

też jest całkowalna na D i





^

D D

dxdy y x f k dxdy y x

kf( , ) ( , ) .

4. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na D, to

f  g

też jest całkowalna na D i

   



^{  }

D D

D

dxdy y x g dxdy y x f dxdy y x g y x

f( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .

5. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na D, i

f ( x , y )  g ( x , y )

na D, to wówczas





^

D D

dxdy y x g dxdy y x

f( , ) ( , ) .

6. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na D, to f też jest całkowalna na D i





^

D D

dxdy y x f dxdy y x

f( , ) ( , ) .

7. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na D, i

m  f ( x , y )  M

, to mD f x y dxdy M D

D







^{( , ) ,}

czyli istnieje ^



D

dxdy y x D1 f( , )

 - wartość średnia funkcji f na zbiorze D.

8. Jeżeli funkcja f jest ciągła na D (zwartym i spójnym), to _*,*: f(*,*)- czyli istnieje punkt, w którym f przyjmuje wartość średnią, czyli f x y dxdy f D

D

*)

*, ( )

,

( 

 



^.

OBLICZANIE CAŁEK PODWÓJNYCH

Tw.(o zamianie całki podwójnej na iterowaną – wariant dla prostokąta) Jeżeli

 f :[a,b][c,d]R jest całkowalna oraz

 _{x[ ba, ]} istnieje ^



^d

c

dy y x f x

I( ) ( , ) ,

to funkcja I(x)R([a,b]) i

  

_^









 



b a

d c d

c b a

dx dy y x f dxdy

y x

f( , ) ( , )

] , [ ] , [

(całka iterowana - całka z całki).

Dowód. Z założonej całkowalności funkcji f na prostokącie P wynika, że możemy podzielić prostokąt P na nm prostokątów dzieląc przedział [a,b] na n przedziałów a przedział [c,d] na m przedziałów tak, aby sumy górna i dolna różniły się dowolnie mało. Wówczas dla dowolnego _i[x_i1,x_i] mamy

 



 _



 ^m

j i

y y i

d c

i f y dy f y dy

I

j

1 j

) , ( )

, ( ) (

1





 . Z twierdzenia o wartości średniej dla całki Riemanna mamy

j ij i

y

y j

ij y f y dy M y

m

j

j













) , (

1

 , j=1,...,m. Wobec tego

 











 ^m

j

j ij i

m j

j

ij y I M y

m

1 1

)

( .

Mnożąc każdą z tych nierówności przez x_i i sumując po i otrzymujemy

   

 



 













 ⁿ

i m j

j i ij n

i

i i

d

c n

i m j

j i

ij x y f y dy x M x y

m

1 1

1

1 1

] ) , (

[  .

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14– dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

Gdy średnica podziału zmierza do 0, to skrajne sumy zmierzają do



P

dxdy y x

f( , ) a środkowa do

 

b a

d

c

dx dy y x f( , ) ] [

Uogólnienie

Niech D{(x,y):a xb,



(x) y



(x),



,



 ciągłe}będzie trapezem krzywoliniowym

Def. Obszar normalny względem osi OX, to obszar, którego rzut na oś OX jest przedziałem [a,b] i każdy przekrój prostą x=x₀ , x₀ [a,b] jest przedziałem [(x),(x)]

Tw.(w wersji dla obszaru normalnego) Jeżeli

 f :D R jest całkowalna na D oraz

 _{x[ ba, ]} istnieje ^



^{( )}

) (

) , ( )

(

x

x

dy y x f x I





,

to funkcja I(x)R([a,b]) i

  

_^









 

b a

x

x D

dx dy y x f dxdy

y x f

) (

) (

) , ( )

, (





.

Dow. Obszar D można nakryć prostokątem P (bo D – ograniczony) P D







 

D P y x

D y x y x y f

x

f 0 ( , ) \

) , ( ) , ) (

, (

*



 ^

D D

dxdy y x f dxdy y x

f ( , ) * ( , )

..., (bo można podzielić obszar P na 3 obszary, przy czym w

dwóch z nich funkcja f^* jest zerem i stosujemy poprzednie twierdzenie:

    _ ^





 



  



^{b   }

a

d x x

x x

c

dx dy y x f dy y x f dy y x f

) ( )

( ) ( )

(

) , ( )

, ( )

, (









 f x y dy dx

b a

x

 

x

_ ^





 



 

^{( )}

) (

) , (





Przykład. Zmienić kolejność całkowania

Jeżeli obszar nie jest normalny, to dzielimy go na skończoną liczbę obszarów normalnych i dodajemy całki.

Zmiana zmiennych w całce podwójnej

Funkcja wektorowa:

 





 

: y y

x T x

Załóżmy, że T jest różniczkowalna w

jakobian: det

) , (

) ,

( 



  v u

y

J x ^df

Przy powyższych założeniach można dowieść, że łuk zwykły.

Niech , D będą domkniętymi ilość obszarów normalnych).

 





 

) , (

) , : (

v u y y

v u x

T x

odwzorowuje obszar regularny

Ponadto f :D R - ciągła (więc ograniczona z ograniczoności obszaru) Tw. Jeżeli 1º T jest klasy

2º

T : int  



 



 







 

D

x

x

dxdy y x f dx dy y x

f( , ) ( , )

2

0 2

...

) , ( )

, (

2 1







 

D D

dxdy y x f dxdy y x f

y x x y

y x x y

21

2  









 

 



































4 2

2 2

0 2 2

) , ( )

, (

... f x y dx dy f x y dx dy

y y

y

Jeżeli obszar nie jest normalny, to dzielimy go na skończoną liczbę obszarów normalnych i dodajemy

Zmiana zmiennych w całce podwójnej

) , (

) , (

v u y

v u

x

( vu, )otwarty, spójny.

jest różniczkowalna w  (czyli istnieją ciągłe pochodne cząstkowe w

0

det 























 







v y u

y v

x u x

w .

Przy powyższych założeniach można dowieść, że T przekształca obszar na obszar i łuk zwykły na

będą domkniętymi obszarami regularnymi (dające się podzielić na skończoną ilość obszarów normalnych).

odwzorowuje obszar regularny  na obszar regularny D.

ciągła (więc ograniczona z ograniczoności obszaru) jest klasy C¹ w obszarze nakrywającym 

D

jest różnowartościowa (T nie musi być różnowartościowa na



...

dy

Jeżeli obszar nie jest normalny, to dzielimy go na skończoną liczbę obszarów normalnych i dodajemy

(czyli istnieją ciągłe pochodne cząstkowe w )

przekształca obszar na obszar i łuk zwykły na

(dające się podzielić na skończoną

na obszar regularny D.

ciągła (więc ograniczona z ograniczoności obszaru)

nie musi być różnowartościowa na

Automatyka i Robotyka –Analiza

brzegu )

3º ( , )

) ,

( 



  v u

y J x

4º f :DR to:



^{f x y dxdy}

D

) , (

Transformacja biegunowa

y r y

x r x r

y

J x 







 







 

 









 sin

cos )

, (

) , (

Przykład Obliczyć objętość bryły wyciętej walcem z kuli Walec: x²  y² Rx (x

Kula:

x

²

 y

²

 z

²

 R

² Bryła

Vivaniego:

Analiza – Wykład 14– dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

 w 0

int 

jest ciągła na D (wiec także ograniczona)

 



 

  dudv

v u

y v x

u y v u x

f ( , )

) , ) ( , ( ), , (

Transformacja biegunowa

 









 





 0 sin

0 cos

r y

r r

T

_B

x

r r

r r

r   

  



 _{2 2}

sin cos cos

sin (

J  0

dla

 ( x , y , z ) : x , y D ,

V  





D

dxdy y x f

V ( , )

Obliczyć objętość bryły wyciętej walcem z kuli

2 2 2 2

2) (^R)

R  y 



cmiel@agh.edu.pl













dla

r  0

)



) , ( 0

,  z  f x y

- górna połówka







 

D

dxdy y x R

V 2

^{2 2 2}

r J

r y

r x









 sin cos



^



^

 

 

 

 









 



   







2

2 2

2

2 2 3

2

3 3

32 cos

0 2 2 31 cos

0

2

2 2 ( ) 1 sin

2 ...





















^



d R

d r

R d

rdr r

R ^R

R



^{1 sin}



9 ^{3(3 4)}

2 0

3 3

3 4

2









 ^{  }



R d

R .

Jak obliczyć zbieżną całkę niewłaściwą e du

du dx dx u e

I

m u m x

x

2 2

)

( ²

2 2

2 1 2

1 ^{ }





 

 







^_^{ }_{ }^





   

  ?

1 2}

{

2 sin

cos 2

1 2

1 2

1

0 2 0

2

0 2 2

0 2

2 2 2

2

2 2

2

2 2

2





















 



















 

 

 

 

 





 





dt r e

t rdr e

rdr d e

r v

r e u

dv e du

e I

t r

r v

u

R v

u 









 



Stąd 1

2 1 2

1 ⁽₂ ²⁾² ₂²





 ^{ }





 









^{e dx}



^{e du}

I

m u x







^{ ; m }



^0.

Podobnie ^{( )}^



^{ } ^{  ^2}

0 1 2

1 2

1 e dt t x

t ^t



^e^x dx

0

2 2 =2

 _ 

2

gdyż

4 0

0

4 0

2 ) 0

, 0 [

) ( 0

0

2 ^{2 2}

2

2 2 2 2

2   



   





     

^{ }



^{ }



^{ }





 

 



d x e d y e dxdy d e rdr e rdr e du

e

I

^{x y x y r r u} ,

a stąd

0 2

2 _







^{e dx}

I ^x .

Całki potrójne

Miara Jordana -objętość-obszaru przestrzennego) VR

³

Podobnie jak dla obszaru płaskiego definiujemy obszar wielościenny – obszar ograniczony skończoną liczba płaszczyzn i powtarzamy poprzednią konstrukcję.

Tw. (WKW mierzalności objętościowej) Obszar przestrzenny V

R

³ jest mierzalny w sensie Jordana

 brzeg da się pokryć skończoną ilością wielościanów o dowolnie małej (sumarycznej) objętości.





 

_{ }









 ^ 





cos 0

2

2

2 R r

rdrd

r

R

Automatyka i Robotyka –Analiza – Wykład 14– dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

Tw.( WW mierzalności objętościowej) Jeżeli V

R

³ jest ograniczony skończoną liczbą powierzchni

)

, ( y x f

z 

,

y  g ( z x , )

lub

x  h ( z y , )

, (

f , g , h 

ciągłe określone na zbiorze ograniczonym), to V jest mierzalny.

Tw.( WW mierzalności objętościowej) Jeżeli V

R

³ jest ograniczony skończoną liczbą powierzchni gładkich o równaniach



















) , (

) , (

) , ( ) , ( :

v u z

v u y

v u x v u

S r

( u ) , v  D 

obszar domknięty i ograniczony i rząd



r'(u,v)



rząd

2



























 



v z uz

v y u y

v x ux

, bez punktów wielokrotnych, to V jest mierzalny.

Niech

f : R

³

 V  R

będzie funkcją określoną na ograniczonym obszarze domkniętym V o brzegu miary Jordana 0, (czyli na obszarze mającym objętość). Podobnie jak w konstrukcji całki podwójnej dzielimy obszar V powierzchniami o objętości 0 na obszary

V ,...,

₁

V

_n uzyskując podział P oraz tworzymy analogiczną sumę całkową:

|

| ) , , (

1

i n

i

i i

i V



f







 i jej granicę o ile istnieje

w uproszczeniu: ( , , ) lim ( , , )

0



1



  _ⁿ

i i i i

V f x y z dxdydz dP f   

WK i WW całkowalności oraz własności całki potrójnej są analogiczne do przypadku całki podwójnej (zastępując: krzywa – powierzchnia, zbiór płaski – zb. przestrzenny)

Zamiana całki potrójnej na iterowaną

Tw: (wersja A dla prostopadłościanu V [a,b][c,d][e,f]) . Jeżeli



f : V  R

jest całkowalna na V







 



] , [ ] , [ ]

,

[ ( ) ( , , )

f e d c b

a

x I x f x y z dydz istnieje,

to I(x)R



[a,b]



i

  

_^









 

 b

a cd ef V

dx dydz z y x f dxdydz

z y x f

] , [ ] , [

) , , ( )

, ,

( .

Tw. (wersja B dla prostopadłościanu V [a,b][c,d][e,f])). Jeżeli



f : V  R

jest całkowalna na V

 ^{   }



^f

e

dz z y x f y x I d c b a y

x, ) [ , ] [ , ] ( , ) ( , , )

( istnieje,

to I( yx, ) jest całkowalna na [a,b][c,d] i

  

 









 

] , [ ] , [

) , , ( )

, , (

d c b a

f

e V

dxdy dz z y x f dxdydz

z y x

f .

V – obszar jak w definicji całki potrójnej (ograniczony powierzchniami o mierze 0) T – prostopadłościan nakrywający V

( V  T )







 

V T z y x dla

V z y x dla z

y x z f

y x

f 0 ( , , ) \

) , , ( )

, , ) (

, , (

*

Z własności całki otrzymujemy równość

 ^ 

T V

dxdydz z

y x f dxdydz

z y x

f ( , , ) * ( , , )

.

Oznaczmy:P_x {(y,z):(x,y,z)V}- przekrój obszaru płaszczyzną prostopadłą do osi X . Tw. (wersja A dla obszaru zawartego miedzy płaszczyznami x a i xb). Jeżeli



f : V  R

jest całkowalna na V

 ^{ }



Px

b a

x_{[ ,]} I(x) f(x,y,z)dydz istnieje, to I(x)R



[a,b]



i

 



_^









 

b

a P

V

dx dydz z y x f dxdydz

z y x f

x

) , , ( )

, ,

( .

} ) , , ( : : ) ,

{(x y x y z V

D _z  - rzut obszaru przestrzennego V na płaszczyznę XY.

} ) , , ( :

) {

,

( z x y z V

P_xy   - przekrój obszaru V prostą równoległa do osi Z wystawioną w punkcie (x,y) Tw. (wersja B dla ogólnego obszaru). Jeżeli



f : V  R

jest całkowalna na V

 ^{  }



) , (

) , , ( )

,

) (

, (

y

Px

D y

x I x y f x y z dz istnieje,

to I( yx, ) jest całkowalna na

D

i

  

_^









 

D P

V

dxdy dz z y x f dxdydz

z y x f

y x,) (

) , , ( )

, ,

( .

Np. 



















) , ( )

, (

) ( )

( :

y x B z y x A

x y x

b x a

V  

 ,  , A, B 

ciągłe

  

























 ^b 

a x

x y x B

y x A V

dx dy dz z y x f dxdydz

z y x f

) (

) (

) , (

) , (

) , , ( )

, , (





Zamiana zmiennych w całce potrójnej

Tw. Jeżeli

1º transformacja















) , , (

) , , (

) , , (

w v u z z

w v u y y

w v u x x

T jest klasy

C

¹ w obszarze obejmującym



2º T:intV jest różnowartościowa (T nie musi być różnowartościowa na brzegu



)

Automatyka i Robotyka –Analiza

3º ( , , ) ) , , (









 

 

u uz uy x

w v u

z y J x

4º

f : V  R

- ciągła (więc ograniczona) to

 ^{f x y z dxdydz}

V

) , , (

Współrzędne walcowe i sferyczne

Zastosowania całek

 Objętość obszaru ^



V

dxdydz V |

|

 Masa bryły o gęstości (x,y,z

 Momenty statyczne i współrzędne środka masy np. ^



V

xy z x y z dxdydz

MS ( , , )

 Momenty bezwładności np.

 i wiele innych

Analiza – Wykład 14– dr Adam Ćmiel – cmiel@agh.edu.pl

0







 





 







w z v z u

w y v y u

y w

x v x u x

w int

ciągła (więc ograniczona)

 







 

w v u

y w x

v u z w v u y w v u x

f ( , ,

, , ) ( , , ( ), , , ( ), , , (

Współrzędne walcowe i sferyczne

) , ,

( r  z

- współrzędne walcowe













z z

r y

r x





sin cos

r J 

) , ,

( r  

- współrzędne sferyczne























sin sin cos

cos cos r z

r y

r x

 











 

 0 0 r



2

cos r J 

dxdydz

z) ^



V

dxdydz z

y x m ( , , ) Momenty statyczne i współrzędne środka masy

dxdydz ,

m z

_C

 MS

^xy itd.

np. ^



^

V

x x z x y z dxdydz

I ( ^{2 2})( , , )

cmiel@agh.edu.pl

dudvdw w

z ) ) ,

współrzędne walcowe

współrzędne sferyczne

 





 



2