Minimalizacja warunkowej wartości zagrożonej

(1)

Karolina Koziorowska, Krzysztof

Ogrodnik

Minimalizacja warunkowej wartości

zagrożonej

Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania 10, 481-492

(2)

STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 10

KAROLINA KOZIOROW SKA KRZYSZTOF OGRODNIK

r • *

M INIM ALIZACJA W ARUNKOW EJ W ARTOŚCI ZA G ROŻON EJ

Wstęp

Przez ostatnie dwadzieścia lat zarządzanie ryzykiem stało się jednym z głównych zadań każdej instytucji finansowej. Znaczący wpływ na wzrost zainteresowania różnorodnymi metodami zarządzania ryzykiem miały między innymi głośne katastrofy finansowe lat dziewięćdziesiątych. Zaliczyć do nich trzeba upadek przedsiębiorstwa Metallgesellschaft w 1993 r., hrabstwa Orange i Banku Baringsa w 1995 r.

Zarządzanie ryzykiem należy do priorytetowych zadań instytucji finanso wych. Jednakże skuteczne jego stosowanie nie byłoby możliwe bez osiągnięć teoretycznych w tej dziedzinie. Jednym z najważniejszych był, bez wątpienia, opublikowany w 1952 r. przez Harry’ego Markowitza artykuł stanowiący pod stawę teorii portfelowej, gdzie ryzyko było mierzone przy użyciu odchylenia standardowego. Kolejnym, o ogromnym znaczeniu, był opublikowany w 1973 r. model wyceny opcji Blacka, Scholesa i Mertona.

Ważną koncepcją pomiaru ryzyka rynkowego w bankach jest system opar ty na wartości zagrożonej (VaR). Rozwiązanie to wprowadził w październiku

1994 r bank J.P. Morgan w opracowanym przez siebie systemie RiskMetrics™. Warto wspomnieć, że ten sam bank w 1997 r. zaoferował system CreditMetrics, służący pomiarowi ryzyka kredytowego.

Najważniejszym celem zarządzania ryzykiem finansowym, jest ustalenie pewnej kwoty kapitału, potrzebnej do zabezpieczenia w razie nieoczekiwanych,

* Praca częściowo finansowana ze środków na naukę w latach 2007-2010 w ramach projektu NN 111 1256 33

(3)

R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E I N W E S T O W A N I E

przyszłych strat, co wpływa na poprawę wyników finansowych firmy. Ryzyko należy ograniczać i zabezpieczać się jak najlepiej przed jego potencjalnymi negatywnymi skutkami. Zarządzanie dotyczy rozpoznawania rodzaju ryzyka, z jakim firma może mieć do czynienia, jego pomiaru i kontroli. Do korzyści płynących z zarządzania ryzykiem zalicza się zwiększenie możliwości pozy skiwania kapitału oraz zapewnienie stabilności środków przeznaczonych na inwestycje strategiczne firmy.

Do miar ryzyka można zaliczyć między innymi wariancję, wartość zagro żoną i warunkową wartość zagrożoną ( C o n d i t i o n a l V a l u e a t R i s k ) 1. Wpływ na

rozwój metody pomiaru ryzyka opartej na obliczaniu wariancji, miał wzrost zainteresowania teorią portfelową. Warunkowa wartość zagrożona (CVaR), zaproponowana przez Rockafellara i Uryaseva (2000) jest stosunkowo nową metodą.

W poniższym artykule opisano i porównano różne metody mierzenia ryzy ka rynkowego i wyznaczania portfela optymalnego, minimalizującego warian cję i warunkową wartość zagrożoną. Szczegółowy opis metody minimalizacji warunkowej wartości zagrożonej znajduje się w artykule Rockafellara i Ury aseva (2000). Porównano również granice efektywności otrzymane w wyniku minimalizacji warunkowej wartości zagrożonej i wariancji. Podejścia te zwery fikowano na portfelu zbudowanym z indeksów światowych. Międzynarodowa dywersyfikacja jest praktykowana przez inwestorów instytucjonalnych, w celu zmniejszenia ryzyka portfela. Do portfela wybrano następujące indeksy: francu ski CAC 40, brytyjski FTSE 250, japoński NIKKEI 225 oraz amerykańskie NASDAQ 100 i S&P 500. Wyniki badania pokazują, że minimalizacja warun kowej wartości zagrożonej może być dobrym kryterium wyznaczania portfela. Wartość zagrożona. Teoria portfela

Wartość zagrożona jest prawdopodobnie jedną z najczęściej stosowanych, przez instytucje finansowe, miar ryzyka. Po raz pierwszy wprowadzona została pod koniec lat 8 0-tych przez kilka międzynarodowych instytucji finansowych.

Wzrost popularności wartości zagrożonej obserwuje się od października 1994 r., kiedy to J.P. Morgan stworzył system RiskMetrics™. Wartość zagrożona zaczęła być również popularna wśród inwestorów instytucjonalnych i firm.

(4)

K A R O L I N A K O Z I O R O W S K A , K R Z Y S Z T O F O G R O D N I K

Mi n i m a l i z a c j a w a r u n k o w e j w a r t o ś c i z a g r o ż o n e j

483

Metoda ta wzbudziła również zainteresowanie instytucji nadzorczych. W 1996 r. Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego uchwalił poprawkę do standardów wymogów kapitałowych ze względu na ponoszone ryzyko rynkowe. W Stanach Zjednoczonych Federalny Bank Rezerw uchwalił standardy kapitałowe związa ne z ryzykiem rynkowym, które wzorowały się na poprawce Komisji Bazylej- skiej. W obu uchwałach opisano zasady kalkulacji wartości zagrożonej, którymi miały posługiwać się banki.

Wartość zagrożona pozwala określić wielkość kapitału zapasowego. Zaleca się, aby każda instytucja finansowa odkładała pewien kapitał, aby pokryć ewen tualne straty.

Wartość zagrożona portfela na poziomie ufności a , zdefiniowana jest jako

najmniejsza liczba l, taka, że prawdopodobieństwo, iż strata L przekroczy l, jest

niewiększe niż (1 - a ). Zatem można zdefiniować ją jako:

VaRa = inf{le R :P ( L > l ) < 1 - a } .

Teoria Markowitza miała ogromny wpływ na wzrost popularności pomiaru ryzyka metodą opartą na obliczaniu wariancji. Markowitz zauważył, że przy odpowiednim doborze składników portfela oraz poprzez sterowanie wielkością udziałów można uzyskać portfele, które przy założonym zysku dają różne po ziomy ryzyka. Ograniczanie ryzyka jest możliwe poprzez dywersyfikację. Z teorii Markowitza wynika, że może istnieć duża ilość portfeli papierów warto ściowych o założonej stopie dochodu, ale tylko jeden z nich charakteryzuje się minimalnym ryzykiem.

Dzięki temu, można wyznaczyć zbiór efektywnych portfeli inwestycyj nych. Model wyboru portfela zaproponowany przez Markowitza pomimo swej atrakcyjności, związanej z możliwością minimalizowania ryzyka przy niezmie nionym poziomie stopy zwrotu, posiada kilka wad. Wykorzystanie danych z przeszłości, może okazać się nieadekwatne dla przyszłości. Po drugie metoda ta jest bardzo wrażliwa na niewielkie nawet zmiany wyboru okresu, z którego pochodzą dane historyczne do analiz. Wystarczy przesunąć okres analizowa nych danych historycznych o kilka dni i można uzyskać diametralnie inny skład portfela.

(5)

Warunkowa wartość zagrożona

Niech f (x, y) będzie funkcją straty, gdzie x jest wektorem decyzji wy

branym z pewnego podzbioru X c R n, a wektor losowy y c R m jest wekto

rem zmiennych losowych, których dystrybuanta określa rozkład funkcji straty. Wektor x można interpretować jako reprezentację portfela. Wektor y opisuje niepewność, czyli zmienność rynku, która ma wpływ na stratę.

Przez p ( y) oznaczono funkcję gęstości wektora y . Prawdopodobieństwo,

że funkcja straty f (x,y) nie osiągnie progu (wielkości) a określone jest wzo

rem:

Y (x ,a) = J p(y)dy. (1)

f(x,y)<a

Zatem Y jest dystrybuantą funkcji straty. Można ją wykorzystać do zdefi niowania VaR i CVaR.

Ogólnie mówiąc, Y (x ,a ) jest niemalejąca ze względu na a i jest prawo

stronnie ciągła ze względu na x , ale niekoniecznie lewostronnie ciągła, ze względu na możliwe skoki. Jednak zakłada się, że Y (x ,a ) jest wszędzie ciągła w odniesieniu do a .

Wartość zagrożoną VaR dla losowej funkcji straty f (x, y) i danego po

ziomu ufności b z przedziału (0, 1) definiuje się następująco:

a p (x) = m in {ae R : Y(x, a ) >P}. (2)

Warunkową wartość zagrożoną CVaR dla funkcji straty f (x, y) i danego

poziomu ufności p z przedziału (0, 1) określa się następującym wzorem:

Fp(x) = ( 1 - P b1 J f(x ,y)p(y)dy. (3) f ( x,y )> ap (x)

Pojawia się tutaj trudność w oszacowaniu warunkowej wartości zagrożo nej. Dopóki nie obliczono VaR, nie można wyznaczyć CVaR (definicja warun kowej wartości zagrożonej zawiera a b(x) ).

Zaproponowane przez Rockafellara i Uryaseva podejście jest oparte na funkcji:

Fp (x, a ) = a + ( 1 - p )-1 J (f(x ,y ) - a ) p ( y ) d y , (4)

f ( x,y )> a która pozwala na pokonanie tej trudności.

Kolejne zaproponowane przez nich uproszczenie polega na aproksymacji wartości funkcji Fp(x,a) otrzymanej za pomocą losowania z rozkładu zmiennej

(6)

KAROLINA KOZIOROWSKA, KRZYSZTOF OGRODNIK Mi n i m a l i z a c j a w a r u n k o w e j w a r t o ś c i z a g r o ż o n e j

485

y, zgodnie z jego gęstością p ( y ) .Odpowiednia aproksymacja funkcji F p ( x , a) ,

dla funkcji straty f (x,y) = - x Ty , wynosi:

F (x, a ) = a + 1 ± [ - x T y k - a ] + , (5) q(1 - p ) k=1

+ (t dla t > 0

gdzie q - wielkość próby oraz [t] = < .

[0 dla t < 0

Wspomniani Autorzy udowodnili następujące własności:

- F p(x ,a ) jest wypukła ze względu na zmienną a ,

- Wartość zagrożona jest minimalnym punktem F p ( x , a ) po zmiennej a ,

- Minimalizując F p ( x , a ) , ze względu na a i dla ustalonego x otrzymujemy

warunkową wartość zagrożoną:

Fp (x) = Fp (x, a p (x)) = iiun Fp (x, a). (6) - Minimalizacja F p (x ) ze względu na x , jest równoważna minimalizacji

F p ( x , a ) po (x ,a )e X x R :

min F p(x) = min Fp (x, a). (7)

- Ponadto Fp(x,a)jest wypukła po (x ,a) i F p (x ) jest wypukła ze względu

na x , jeżeli f (x, y) jest wypukła ze względu na x .

Dowód powyższych własności można znaleźć w artykule Rockafellara i Uryaseva (2000).

Optymalizacja portfela

Niech wektor decyzji x reprezentuje portfel instrumentów finansowych, w tym sensie, że x = (x 1, . . . . , x n ) T, gdzie x j jest udziałem j-tego instrumentu w

portfelu:

x j > 0 dla j = 1, 2, . . . , n oraz z x , = 1. (8) j=i j

Oznaczając przez y j stopę zwrotu z j-tego instrumentu, otrzymuje się lo

sowy wektor y = (y1,....,y n). Rozkład wektora y jest opisany za pomocą gęsto

ści p (y ).

Stopa zwrotu z portfela x jest sumą indywidualnych stóp zwrotu poszcze gólnych instrumentów pomnożonych przez x j (proporcjonalny udział instru

(7)

RYNEK KAPITAŁOWY - SKUTECZNE INWESTOWANIE Stratę oznaczono przez:

f (x, y) = - ( x1y1 +... + xnyn) = -XT y. (9) W tym podejściu, metodologia minimalizacji warunkowej wartości zagro żonej jest porównywalna do minimalizacji wariancji. Stąd stratę otrzymano w wielkościach procentowych, a nie tak jak zazwyczaj w wartościach pienięż nych.

Dana jest funkcja:

F (x, a) = a + (1- p )-1 j[- xTy - a ]+p(y)dy, (10) yERn

gdzie: [t]. = j t d la t > 0 . [O dla t < 0

Bardzo ważne jest, że funkcja F p ( x , a ) jest wypukła ze względu na x i a .

Często jest to funkcja różniczkowalna ze względu na te zmienne.

Przez m(x) i a(x) oznaczono wartość oczekiwaną i wariancję funkcji straty powiązanej z portfelem x, przy założeniu, że m jest wartością oczekiwa ną, a V wariancją wektora y . Zatem:

m(x) = - x Tm i a 2(x) = x TV x. (11)

Następnie rozważono aproksymacj ę wartości funkcji F p(X,a ) otrzymanej

za pomocą losowania z rozkładu zmiennej y , zgodnie z jego gęstością p (y) ,

to jest F p ( x , a) .

Fp(x,a) = a + 1 X[ x Ty k - a ]+. (12) q(1 - p )k=1

Minimalizując tak określoną funkcję, otrzymano rozwiązanie następujące go problemu:

min F p (x) dla xe X. (1 3)

Podobnym problemem jest znalezienie portfela, o minimalnej wartości za grożonej (Mausser, Rosen 1999), to jest stanowiącego rozwiązanie następuj ące- go problemu:

min a p (x) dla x e X. (1 4)

Ponieważ $ ^ (x) > a p (x), zatem wyznaczenie portfela minimalizującego

warunkową wartość zagrożoną jest postępowaniem korzystnym, także z punktu widzenia minimalizacji wartości zagrożonej. W odniesieniu do równości (7), technika minimalizacji F p(X,a ) pozwala otrzymać wartość zagrożoną portfela

(8)

487

Ponadto przydatne jest porównywanie rozwiązania problemu (13) z otrzymanym za pomocą bardzo popularnej metody minimalizacji wariancji:

m in o2(x) dla x £ X, (15)

zaproponowanej przez Markowitza. Wyniki empiryczne

Celem niniejszej pracy jest porównanie alternatywnych metod konstrukcji portfela optymalnego, otrzymanego za pomocą minimalizacji warunkowej war tości zagrożonej i minimalizacji wariancji. W ten sposób próbowano skonfron tować nowe podejście wyznaczenia portfela optymalnego z klasyczną metodą jego konstrukcji. W skład badanego portfela wchodzi pięć indeksów świato wych, notowanych na różnych giełdach. Należą do nich: francuski CAC 40, brytyjski FTSE 250, japoński NIKKEI 225 oraz amerykańskie NASDAQ 100 i S&P 500.

W Tabeli 1 umieszczone są statystyki opisowe rozważanych stóp zwrotów

z indeksów, które obliczono w następuj ący sposób: rt = 1 0 0(ln(Pt) - ln(Pt_i)),

gdzie P t jest wartością indeksu w chwili t.

Notowania indeksów pochodzą z okresu od 02.01.2006 r. do 29.12.2006 r, zatem wykorzystano 255 notowań.

W rozważanym portfelu stopy zwrotu CAC 40, FTSE 250 i NIKKEI 225 charakteryzują się lewostronną skośnością, a indeksy amerykańskie prawo stronną skośnością. Kurtoza dla badanych stóp zwrotu jest większa od 3, zatem ich rozkłady nie są rozkładami normalnymi.

Tabela 1. Statystyki opisowe rozważanych stóp zwrotu.

CAC 40 FTSE 250 NIKKEI 225 NASDAQ 100 S&P 500

Min -3,2270 -4,0402 -4,2304 -3,1439 -1,8496 Max 2,4228 4,4928 3,5220 3,0292 2,1336 Średnia 0,0580 0,0893 0 , 0 2 0 1 0,0175 0,0435 Odchylenie standardowe 0,9252 0,9560 1,2265 0,9736 0,6179 Skośność -0,4256 -0,3420 -0,1545 0,0620 0,0799 Kurtoza 3,9742 8,1016 3,5892 3,6375 4,3419

(9)

W artykule tym przedstawiono porównanie struktury portfela optymalnego otrzymanego w wyniku minimalizacji wariancji i warunkowej wartości zagro żonej. Po pierwsze rozwiązano problem (13), przy różnych poziomach założo nej stopy zwrotu2 R:

m(x) = R. (16)

W ten sposób otrzymano skład portfela optymalnego, przy różnych ocze kiwanych stopach zwrotu z portfela.

*

Rys. 1 i 2 przedstawiają skład portfela optymalnego X uzyskanego w wyniku minimalizacji wariancji i minimalizacji warunkowej wartości zagro żonej, dla poziomu ufności3 p = 0,95 . Główny udział w portfelu ma indeks

S&P500. W portfelu udział indeksu CAC 40 jest równy zero.

Procentowy udział indeksu S&P500 wynosi 77,52%, NIKKEI 225 21,33%, zaś indeksu FTSE 250 to zaledwie 1,15%. Przy stopie zwrotu R = 0,03904 w

portfelu nie znalazł się indeks CAC 40 oraz NASDAQ 100.

R y s . 1. S k ł a d p o r t f e l a o p t y m a l n e g o o t r z y m a n e g o w w y n i k u m i n i m a l i z a c j i w a r i a n c j i .

Źródło: opracowanie własne.

Na rys. 3 porównano granice efektywności w przypadku stosowania jako kryterium optymalizacji warunkowej wartości zagrożonej przy różnych pozio mach ufności p. Jak łatwo zauważyć, wraz ze wzrostem poziomu ufnośc; wzra sta warunkowa wartość zagrożona, dla każdego poziomu wartości R.

2 Wartości R były ustalone co 5 p.p, od wartości minimalnej do maksymalnej średniej stopy zwro

tu indeksów.

3 Badania zostały przeprowadzone dla poziomów ufności P od 55% do 90% co 5 p.p oraz dla

(10)

K A R O L IN A K O Z IO R O W S K A , K R Z Y S Z T O F O G R O D N IK

M inimalizacja warunkowej wartości zagrożonej

489 J a k w i d a ć z p o w y ż s z e g o r y s u n k u , z a l e ż n o ś ć s t o p a z w r o t u z p o r t f e l a - C V a R j e s t s t a b i l n a 4, p r z y r ó ż n y c h p o z i o m a c h u f n o ś c i . N i e s t e t y p o d o b n e j s t a b i l i z a c j i , n i e m o ż n a u z y s k a ć d l a w a r t o ś c i z a g r o ż o n e j . Z a o b s e r w o w a ć t o m o ż n a n a r y s . 4 . R y s . 2 . S k ł a d p o r t f e l a o p t y m a l n e g o o t r z y m a n e g o w w y n i k u m i n i m a l i z a c j i C V a R . Ź ró d ło : o p ra co w a n ie własne. P r z e d s t a w i o n a z a l e ż n o ś ć m o ż e b y ć s p o w o d o w a n a w y s t ę p o w a n i e m „ g r u b y c h o g o n ó w ” w r o z k ł a d a c h s t ó p z w r o t u z p o r t f e l a , b o w i e m w t a k i e j s y t u a c j i m i n i m a l i z a c j a w a r u n k o w e j w a r t o ś c i z a g r o ż o n e j , w m i a r ę o b n i ż a n i a p o z i o m u u f n o ś c i n i e m u s i p r o w a d z i ć d o w y b o r u p o r t f e l a o m i n i m a l n e j w a r t o ś c i z a g r o ż o n e j . R y s . 3 . G r a n i c e e f e k t y w n o ś c i p o r t f e l i m i n i m a l i z u j ą c y c h C V a R , g d z i e b e t a - p o z i o m u f n o ś c i . Ź ró d ło : o p ra co w a n ie w ła sn e .

4 Przez stabilność wspomnianej zależności rozumie się obserwowany fakt, że kształt krzywej obrazującej zależność stopa zwrotu - CVaR, nie zmienia się przy różnych poziomach ufności b .

(11)

R Y N E K K A P I T A Ł O W Y - S K U T E C Z N E IN W E S T O W A N IE P o d s u m o w a n ie W a r t o ś ć z a g r o ż o n a ( V a R ) j e s t m i a r ą r y z y k a p o w s z e c h n i e u ż y w a n ą p r z e z i n s t y t u c j e f i n a n s o w e . M o ż l i w e s ą j e d n a k i n n e p o d e j ś c i a d o p r o b l e m u m o n i t o r o w a n i a r y z y k a i n w e s t y c j i f i n a n s o w y c h . W p o n i ż s z y m a r t y k u l e o p i s a n o i p o r ó w n a n o m e t o d y m i e r z e n i a r y z y k a r y n k o w e g o i w y z n a c z a n i a p o r t f e l a o p t y m a l n e g o m i n i m a l i z u j ą c e g o w a r i a n c j ę i w a r u n k o w ą w a r t o ś ć z a g r o ż o n ą . P o r ó w n a n o r ó w n i e ż g r a n i c ę e f e k t y w n o ś c i o t r z y m a n ą w w y n i k u m i n i m a l i z a c j i w a r u n k o w e j w a r t o ś c i z a g r o ż o n e j z z a l e ż n o ś c i ą s t o p a z w r o t u - V a R . P o d e j ś c i a t e z w e r y f i k o w a n o n a p r z y k ł a d z i e p o r t f e l a z b u d o w a n e g o z i n d e k s ó w ś w i a t o w y c h . M i n i m a l i z a c j a C V a R , j e s t d o b r ą p r o p o z y c j ą k o n s t r u k c j i p o r t f e l a . W y n i k a t o z f a k t u , ż e z a l e ż n o ś ć s t o p a z w r o t u z p o r t f e l a - C V a R j e s t s t a b i l n a , p r z y r ó ż n y c h p o z i o m a c h u f n o ś c i . N a n i e k o r z y ś ć t e g o s p o s o b u k o n s t r u k c j i p o r t f e l a p r z e m a w i a f a k t , ż e p o r t f e l o m i n i m a l n e j w a r t o ś c i C V a R n i e z a w s z e c h a r a k t e r y z u j ą s i ę n a j m n i e j s z y m i w a r t o ś c i a m i V a R . S z c z e g ó l n i e j e s t t o w i d o c z n e p r z y n i s k i c h , z a ł o ż o n y c h p o z i o m a c h u f n o ś c i . P o n a d t o o b r a z r y z y k a , j a k i p o k a z u j e w a r u n k o w a w a r t o ś ć z a g r o ż o n a , j e s t z g o d n y z o b e c n ą w f i n a n s a c h z a s a d ą , ż e z a d o d a t k o w y z y s k t r z e b a p o n o s i ć c o r a z w i ę k s z e r y z y k o . R y s . 4. Z a l e ż n o ś ć s t o p a z w r o t u — V a R p o r t f e l i o t r z y m a n y c h z m i n i m a l i z a c j i C V a R . Ź ró d ło : o p ra co w a n ie własne. W b a d a n i u o k a z a ł o s i ę r ó w n i e ż , ż e m i n i m a l i z a c j a w a r u n k o w e j w a r t o ś c i z a g r o ż o n e j , m o ż e p r o w a d z i ć d o p o d o b n y c h r e z u l t a t ó w j a k m i n i m a l i z a c j a w a r i a n c j i w t y m s e n s i e , ż e s k ł a d y p o r t f e l i o p t y m a l n y c h n i e r ó ż n i ą s i ę z n a c z ą c o .

(12)

491

Literatura

1. Markowitz H. M., P o r t f o l i o s e l e c t i o n , Journal of Finance, Vol. 7, No 1, 1952, p.77

- 91.

2. Mausser H., Rosen D., E f f i c i e n t r i s k / r e t u r n f r o n t i e r s f o r c r e d i t r is k , Algo Research

Quarterly 2, 1999, p.35 - 47.

3. Pflug G., S o m e r e m a r k s o n t h e V a l u e - a t - R i s k a n d t h e c o n d i t i o n a l V a l u e - a t - R i s k .

Kluwer Academic Publishers, 2000. 4. RiskMetrics™ Technical Document, 1996.

5. Rockafellar R. T., Uryasev S., O p t i m i z a t i o n o f C o n d i t i o n a l V a l u e - a t - R i s k , The

Journal of Risk, Vol. 2, No. 3, 2000, p.21 - 41.

6. Rockafellar R. T., Uryasev S., V a l u e - a t - R i s k f o r g e n e r a l l o s s d i s t r i b u t i o n s , Journal

of Banking and Finance, 26/7, 2002, p.1443 - 1471.

7. Topaloglou N., Vladimirou H., Zenios S. A., C V a R M o d e l s w i t h S e l e c t i v e H e d g i n g f o r i n t e r n a t i o n a l A s s e t A l l o c a t i o n , Journal of Banking and Finance, 26/7, 2 0 0 2,

p. 1535 - 1561.

8. Uryasev S., I n t r o d u c t i o n t o t h e t h e o r y o f p r o b a b i l i s t i c f u n c t i o n s a n d p e r c e n t i l e s ( V a l u e - a t - R i s k ) , Kluwer Academic Publishers, 2000.

STRESZCZENIE

W artykule tym przedstawiona została metoda mierzenia ryzyka rynkowego za pomocą warunkowej wartości zagrożonej (Conditional Value at Risk, CVaR). Zastoso wane metody minimalizacji CVaR i optymalizacji portfela ze względu na CVaR są oparte na propozycjach Rockafellara i Uryaseva. Analizowany portfel składa się z pię ciu indeksów: francuskiego CAC40, brytyjskiego FTSE250, japońskiego NIKKEI225 oraz amerykańskich NASDAQ100 i S&P500. Zbudowano dwa typy portfeli optymal nych: otrzymany za pomocą minimalizacji wariancji oraz minimalizacji CVaR i porów nano otrzymane wyniki. Rezultat obliczeń pokazuje, że CVaR może być użytecznym narzędziem do monitorowania ryzyka rynkowego.

M INIM IZATION OF CONDITIONAL VALUE AT RISK SUMMARY

In this paper we describe a method of measuring the market risk by means of Con ditional Value at Risk (CVaR). The applied approach for minimization of CVaR and

(13)

optimization of portfolio with respect of CVaR are based on results of Rockafellar and Uryasev. This approach is verified in the case of selected instruments from international stock exchanges. Our portfolio consists of positions in stock indices: CAC40, FTSE250, NIKKEI225, NASDAQ100 and S&P500. We construct two types of the optimal portfo lio: with the minimum variance approach and by minimizing CVaR and compare the. Our results show that CVaR can be a useful tool to monitoring the market risk of a port folio.

T r a n s l a t e d b y K . K o z i o r o w s k a

M g r K a r o l i n a K o s i o r o w s k a

Akademia Ekonomiczna w Poznaniu karolcia82@echostar.pl

M g r K r z y s z t o f O g r o d n i k

Akademia Ekonomiczna w Poznaniu krzy sztof.ogrodnik@ae.poznan. pl