Podstawy Automatyki i Sterowania III. Liniowe układy dyskretne

Podstawy Automatyki i Sterowania III

Liniowe układy dyskretne

Sygnały ciągłe i dyskretne

• W praktyce w układach sterowania jeszcze stosuje się sygnały ciągłe, jednak układy dyskretne wypierają

analogowe

• Sygnał analogowy (ciągły) wprowadzony do systemu

mikroprocesorowego musi być zastąpiony dyskretnym, a wyjście z systemu komputerowego często przetwarza się na sygnał analogowy: przetworniki A/C i A/D

a) sygnał ciągły b) sygnał dyskretny c) sygnał schodkowy

e(t) e(i) e(i)

n

T_s t n

Dyskretyzacja sygnału ciągłego

• Próbkowanie – pobieranie w odstępach czasu T z

ciągłego sygnału u(t) ciągu dyskretnych wartości u*(t)

• Kwantyzacja – podział wartości wejściowych na rozłączne przedziały

• Sygnał ciągły może być ponownie odtworzony z sygnału dyskretnego, jeśli był próbkowany z częstotliwością co najmniej dwa razy większą od granicznej częstotliwości swego widma. (tw. Kotielnikowa-Shannona)

• W praktyce należy odfiltrować wyższe harmoniczne przed próbkowaniem

Opis dyskretny układów ciągłych

• Równanie różniczkowe – znany opis ciągłego układu dynamicznego

 

 

p 

k

q

i

i i k i

k

k dt

t u b d

dt t y a d

0 0

) ( )

(

• Równanie różnicowe – opis układu dynamicznego uwzględniający sygnały nieciągłe (dyskretne)

 

 

 



p

k

q

i

i i k i

k

k T

n b u

T n a y

0 0

) ( )

(

T – okres impulsowania; n – numer próbki (czas bezwymiarowy) y(n), u(n) – sygnały dyskretne, T^k Tⁱ – odpowiedniki różniczek czasu

 y(n) 

Opis dyskretny układów ciągłych

) ( )

( )

( )

( )

( )

( ²₂ ^{2 1}₁ ¹y n a₀ ⁰y n n

T n a

T y n a

T y n a

T y

a _k

k p k

p

p          

• Równanie różnicowe – z wymuszeniem bez pochodnych

• Obliczanie różnic skończonych rzędu k

)!

(

! ) !

1 (

) (

) (

0

j k j r k

j n y r n

y

j k j

k

j j k

 













• Wstawiając nowe stałe c_i można uzyskać zapis:

) ( )

( )

1 (

)

( ₁

0y n p c y n p c y n n

c      _p 

• Najwyższy rząd różnicy skończonej jest analogiem najwyższej pochodnej w równaniu różniczkowym

Schemat blokowy układu regulacji cyfrowej

• Obiekt analogowy – daje na wyjściu sygnał ciągły i wymaga sygnału ciągłego na wejściu

• Regulator cyfrowy wymaga sygnałów cyfrowych i generuje sygnał cyfrowy

• Przetworniki A/D i D/A przetwarzają sygnały

• Zegar taktuje działanie przetworników

A/D sygnał

analogowy

Zegar

Cyfrowy algorytm regulacji

Obiekt (proces) D/A

y

y0 e ed ud ua y

Impulsator

• Element przekształcający sygnał ciągły w ciąg impulsów

e(2Ts) e(t) e(4Ts)

e(Ts) e(0)

0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts

t

e(t) e^*(t)

e^*(t) (impulsy Diraca)

0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts

e(0)δ(t) e(T)δ(t-T) ss e(2T)δ(t-2T) ss e(3T)δ(t-3T) ss e(4T)δ(t-4T) ss n

• Zadanie – dokonanie próbkowania sygnału ciągłego

• Impulsy Diraca – nieskończenie krótkie, nieskończenie wysokie, całka z impulsu odpowiada poziomowi sygnału w chwili próbkowania

Odtwarzanie sygnału analogowego

• Wierne odtwarzanie nie jest realizowane – nie ma takiej potrzeby

• Przybliżone odtwarzanie – za pomocą ekstrapolatora

• Najczęściej stosowany – ekstrapolator zerowego rzędu (ZOH – Zero Order Hold) – aproksymacja wielomianem zerowego rzędu (prostokątna)

• Stosuje się niekiedy ekstrapolatory I lub II rzędu – odpowiedni stopień wielomianu do aproksymacji

e^*(t)

t

e^*(t) e₁(t)

e₁(t)

t

s e^sTs

 1

Przykład opisu dyskretnego – element inercyjny

• Równanie różniczkowe elementu inercyjnego I rzędu:

T₁ – stała czasowa; k – wzmocnienie

• W układzie dyskretnym:

– sygnałowi y(t) odpowiada ciąg y(n) – sygnałowi u(t) odpowiada ciąg u(n)

– różniczce sygnału dy(t) – różnica skończona rzędu I: ¹y(n) – różniczce czasu dt – okres próbkowania T

• Równanie różnicowe ) ( )

) ( (

1 y t ku t

dt t

T dy  

T 1  

Element inercyjny – równanie różnicowe

• Obliczenie różnicy skończonej

• Po podstawieniu otrzymujemy zależność rekurencyjną:

) ( )

( )

1 (

1 y n y n ku n

T

T   

) ( )

1 (

) ( )

1 (

n y n

y n

y n

y     



) ( )

1 ( )

1 (

) ( )

( ) 1 (

) 1 (

) ( )

( )

( )

1 (

1

1 1

n a u

n k a y

n a y

n ku n

y a

n ay

T a T

n ku n

y n

T y n T

T y T

 























Element inercyjny – odpowiedź dyskretna

• Przyjmujemy: a=2, k=1, y(0)=0, wymuszenie u(n)=1(n)

• Można obliczyć wartości funkcji dyskretnej w

poszczególnych chwilach, podstawiając n=1, 2, … )

( )

1 ( )

1

( u n

a n k

a y n a

y  





Przekształcenie (transformata) Z

• Transformatę dyskretną F(z) funkcji dyskretnej f(n) powstałej z dyskretyzacji ciągłej funkcji czasu f(t) można otrzymać na

podstawie przekształcenia:

• gdzie: z = zmienna zespolona, n=0,1,2,……- chwile impulsowania.

F(z) nazywa się transformatą dyskretną f(n), funkcję f(n) – oryginałem dyskretnym, a f(t) – oryginałem ciągłym.





  0

) ( )

(

n

z n

n f z

F

)]

( [ )

(z Z f n

F 

Własności przekształcenia Z

• Liniowość

• Przesunięcie w lewo (przy zerowych warunkach pocz.)

• Przesunięcie w prawo

oraz najczęstsze przypadki przesunięcia w prawo )]

( [

)]

( [ )]

( )

(

[ f₁ n f₂ n Z f₁ n Z f₂ n

Z









) ( )]

(

[ f n k z F z

Z   ^k





 



 ¹

0

) ( )

( )]

( [

k

r

r k

kF z y r z

z k

n f Z

) 1 ( )

0 ( )

( )]

2 (

[

) 0 ( )

( )]

1 (

[

2

2F z z y zy

z n

f Z

zy z

zF n

f Z















Transformaty Z różnic dyskretnych

• Różnica I rzędu

• Transformata różnicy skończonej I rzędu

• Dla f(0)=0 – zerowy warunek początkowy )

( ) 1 (

)]

( [

) 0 ( )

( ) 1 (

)]

( [

) ( )

1 (

) (

z F z

n f Z

zf z

F z

n f Z

n f n

f n

f























) 0 ( )

( )

1 (

)]

( [

) ( )

1 (

) (

2 2

2

zf z

F z

n f Z

n f n

f n

f





















• Różnica II rzędu

• Transformata różnicy przy zerowych warunkach pocz.

Transformaty Z różnych funkcji (ciągów)

• Transformata funkcji delta Diraca

Transformata skoku jednostkowego

Transformata F(z) posiada biegun w punkcie z=1 oraz pierwiastek w punkcie z=0. Obszar zbieżności opisuje zależność |z| >|1|, leży na zewnątrz okręgu o promieniu 1.

Transformata funkcji wykładniczej

Transformata X(z) posiada biegun w punkcie z=a, oraz pierwiastek w punkcie z=0.

Obszar zbieżności opisuje zależność |z| >|a|, leży na zewnątrz okręgu o promieniu a.

Transformata odpowiedzi członu inercyjnego

• Wymuszenie – skok jednostkowy



 



  











 



 















a z a

z a z kz Y

y

a az z azy k z

z Y

z k z z

Y a

y z

Y az

n ku n

y a

n ay

) 1 1 (

) (

0 )

0 (

1 ) 0 1 (

) (

) 1 ( ) 1 (

)]

0 ( )

( [

) ( )

( ) 1 (

) 1 (

Tabela przekształceń Z

Przekształcenie Z a przekształcenie Laplace’a

Sekwencję y(kT) – ciąg impulsów Diraca

d

Po obustronnym przekształceniu Laplace’a otrzymujemy:

Porównując z:

można zaobserwować związek: z = e^Ts Zapisujemy to:

lub w skrócie:

Odwrotne przekształcenie Z

• Poszukiwanie ciągu impulsów, który jest oryginałem transformaty.

Metody transformowania odwrotnego:

• Rozkład na ułamki proste i korzystanie z tablic transformat

• Rozwinięcie w szereg potęgowy

• Met. residuów (lub wzoru całkowego)

 





) (

) ( )

(

*

1 1

z U Z

n u

z U Z

t u









Odwrotne przekształcenie Z - metody

Metoda rozkładu na ułamki proste

W celu uzyskania rozkładu w postaci:

najpierw należy dokonać rozkładu funkcji F(z) na sumę

ułamków prostych, a następnie pomnożyć je przez z w celu uzyskania końcowego wyrażenia.

Metoda rozkładu na ułamki proste – przykład 1

Znaleźć odwrotną transformatę funkcji:

Rozkład na ułamki proste:

Końcowe wyrażenie:

Po skorzystaniu z tabeli transformat:

Metoda rozkładu na ułamki proste – przykład 2

Znaleźć odwrotną transformatę funkcji:

Rozkład na ułamki proste:

Pierwszy składnik można zapisać jako (opóźn. o T sekund):

Ostatecznie odwrotna transformata:

Metoda dzielenia wielomianów – przykład

Poszczególne wyrazy z ujemnymi potęgami z można

przekształcić na impulsy Diraca w kolejnych chwilach czasu

Odwrotne przekształcenie w Matlabie

Funkcja operatorowa w postaci licznika i mianownika:

Szukanie residuów, biegunów i współczynników stałych:

Rozkład funkcji na ułamki:

Transmitancja impulsowa

Transmitancję impulsową G(z) układu dyskretnego definiuje się jako stosunek transformaty sygnału

odpowiedzi do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych:

Uwaga: dla różnych rozmieszczeń impulsatorów w układzie otrzymuje się różne transmitancje zastępcze, co można

zobaczyć na następnych slajdach

 





) (

) ) (

( Z u t

t y

Z z

U z z Y

G  

Transmitancja impulsowa – przykład 1

• Impulsatory pracują synchronicznie (dlatego użyto iloczynu transmitancji

• Transformata Z{L^-1[G(s)]}=Z[g(t)], gdzie g(t) – char. impulsowa, ponieważ Z[d(t)]=1

Transmitancja impulsowa – przykład 2

• Transmitancja impulsowa jest inna, niż w poprzednim przykładzie, co jest związane ze zmianą położenia

impulsatorów

Rozmieszczenie impulsatorów

Wyznaczanie transmitancji impulsowej

• Istnieje szereg metod przybliżonych wyznaczania G(z)

• Zakładamy posiadanie transmitancji ciągłej obiektu G_a(s)

• W powyższych wzorach T_k to okres impulsowania

Inne metody przybliżone

Modele dyskretne wybranych elementów ciągłych

Z uwzględnieniem ZOH (ekstrapolatora 0 rzędu) na wejściu

Modele dyskretne wybranych elementów (2)

Układ regulacji dyskretnej

• Obiekt – ciągły

• Regulator – dyskretny

Układ regulacji dyskretnej

Układ formujący:

• ekstrapolator zerowego rzędu

• generator PWM

• inne

Postać ciągła algorytmu PID

• Regulator ciągły PID: proporcjonalno-całkująco- różniczkujący

• k_p – współczynnik wzmocnienia

• T_i – czas zdwojenia (całkowania)

• T_d – czas wyprzedzenia (różniczkowania)

Elementy składowe regulatora dyskretnego

• Składowa proporcjonalna

• Składowa sumująca (odpowiednik całkowania)

• Składowa różnicująca (odpowiednik różniczkowania)

Dyskretna wersja regulatora PID

• Składowa P – proporcjonalna do uchybu

• Składowa I – suma wszystkich uchybów od początku

• Składowa D – może chwilowo przyjmować różne wartości (np. na skutek szumów lub próbkowania), aby uniknąć

zaleca się stosować uśrednianie, np. jak poniżej

Charakterystyka skokowa dyskretnego PID

Transmitancja dyskretna regulatora PID

Transformacja płaszczyzny s do z

• Zależność wiążąca transmitancję Laplace’a i Z

Stabilność układów dyskretnych

Warunek stabilności układów dyskretnych:

• Bieguny transmitancji Z układu dyskretnego muszą

znajdować się wewnątrz koła jednostkowego o środku w początku układu: |z_i|<1

• Jeżeli jakiś biegun znajduje się na okręgu jednostkowym, to układ jest stabilny, ale nie asymptotycznie

• Jeżeli jakiś biegun znajduje się poza okręgiem

jednostkowym, to układ dyskretnych jest niestabilny

Kryteria stabilności układów dyskretnych

• Kryterium Nyquista – podobne jak dla układów ciągłych

• Kryterium Routha-Hurwitza (po przekształceniu do płaszczyzny s)

• Kryterium Jury (analiza wyznaczników macierzy, utworzonych ze współczynników wielomianu charakterystycznego)

UWAGA

• Stabilność może zależeć nie tylko od parametrów modelu układu, ale także od okresu próbkowania

Zależność stabilności od położenia biegunów

Charakter odpowiedzi skokowej ukł. dyskretnych

• Układy o transmitancji Z z biegunami o ujemnych częściach rzeczywistych charakteryzują się dużymi oscylacjami w stanie przejściowym; rzeczywiste bieguny o wartościach ujemnych

(ujemna oś rzeczywista) prowadzą do oscylacji o zmieniającym się kierunku w kolejnych próbkach, które się nasilają w miarę zbliżania biegunów do wartości –1 (efekt ‘dzwonienia’, ang. ringing);

oscylacje występują nawet w przypadku układów 1-go rzędu, co nie ma miejsca w układach ciągłych.

• Pary biegunów zespolonych o dodatnich częściach rzeczywistych prowadzą do odpowiedzi oscylacyjnych (podobnie, jak w układach ciągłych).

• Stan przejściowy odpowiedzi układu wydłuża się, gdy bieguny transmitancji zbliżają się do okręgu jednostkowego.

• Jeśli wszystkie bieguny transmitancji leżą w początku układu współrzędnych, to odpowiedź przejściowa ma skończony czas trwania (ang. dead-beat ) .

Zależność charakteru odpowiedzi skokowej układu

dyskretnego od położenia biegunów z

Zalety cyfrowych układów regulacji

• Elastyczność w realizacji niemal dowolnych funkcji sterowania

• Niski koszt wykonania

• Duża dokładność i szybkość sterowania

• Odporność na zakłócenia sygnałów

• Łatwe rozszerzenie zakresu funkcji (rejestracja, analiza zdarzeń)

• Łatwość komunikacji

Układy impulsowe w praktyce

• W praktyce niemal wszystkie aktualnie stosowane układy automatycznej regulacji wykorzystują elementy cyfrowe, co oznacza, że w rzeczywistości są układami

impulsowymi

• Równania różnicowe, opisujące układ dyskretny, są spełnione tylko w chwilach wyznaczonych przez

impulsowanie

• Niekiedy sygnały schodkowe są niewygodne – używa się złożonych układów formujących, np. ekstrapolatorów wyższych rzędów

• Zazwyczaj nie ma konieczności dokładnego odtwarzania sygnału dyskretnego w ciągły

Cechy układów impulsowych

• Wskutek impulsowania pojawiają się szumy

wysokoczęstotliwościowe, które mogą się przenosić na elementy układu – można je zniwelować stosując filtry dolnoprzepustowe w wybranych miejscach układu, np. w torze sprzężenia zwrotnego, można zastosować też filtr cyfrowy

• Elementy działają z opóźnieniem, zależnym od okresu impulsowania. Może to być uciążliwe szczególnie w przypadku elementów różniczkujących/różnicujących

• Stabilność układów zależy również od częstości impulsowania (próbkowania)

Cechy układów impulsowych

• Parametry regulacji pogarszają się ze wzrostem okresu próbkowania

• Impulsator może utrudniać analizę stanów przejściowych

• Jeśli okres impulsowania jest znacznie mniejszy, niż stałe czasowe układu, to można stosować metody doboru

nastaw regulatorów znane z układów ciągłych, w

przeciwnym wypadku wpływ opóźnienia ekstrapolatora jest już znaczący

• Niekiedy można traktować układy jako idealnie

dyskretne, gdzie komputer sterujący jest nieskończenie szybki i wykonuje idealnie próbkowanie, w którym

pomija się dynamikę przetworników

52